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第二十六章二次函数
26.1 二次函数及其图像 相关知识连接：
1.函数的定义：一般地，设在某个变化过程中有两个变量x,y，如果对x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量. 2.3.一次函数的定义：
形如y?kx?b(k、b为常数项，k?0）的函数叫做一次函数，当b=0时，函数关系式为
y?kx(k?0),这个函数叫正比例函数.（它的图像是一条直线）
4.反比例函数的定义：形如y?
k
(k为常数项，k?0）的函数叫做反比例函数.（它的图像x
是双曲线）.
知识点1 通过实例体会二次函数模型的应用,
知识点2 二次函数的定义
一般地，形如y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0）的函数叫做二次函数.其中x是自变量
2
a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.（a?0，b,c可为0）
例1：若函数y?(m?m)x
知识点3 二次函数y?ax(a?0)的图像与性质
二次函数y?ax（a?0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点是原点 （0,0）.
（1）二次函数图象的做法
（2）二次函数y?x与y??x的图像和性质。如（P5表格）
例3：在同一直角坐标系中，画出函数y?
2
2
2
2
m2?m
是二次函数，求m的值.
2
12
x和y??2x2的图像，并根据图象回答下列2
问题：
（1）说出这两个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
（2）抛物线y?
12
x，当x_______时，抛物线上的点都在x轴上方；当x>0时，曲线自左2
2
向右逐渐_______；它的顶点是图象的最_______点.
（3）函数y??2x，对于一切x的值，总有函数值y_______0,；当x<0时，y随x的增大而_______；当x________时，y有最_______值，是_______.
知识点4 二次函数y?ax?k(a,k常数，a?0)的图像与性质
二次函数y?ax?k(a?0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k），它与y?ax的图像形状相同，只是位置不同.函数y?ax?k(a?0)图像是由抛物线
2
2
2
2
y?ax2向上（或向下）平移k个单位得到的.
例4：在同一直角坐标系中，画出函数y??x和y??x?1的图像，并根据图像回答下列问题：
（1）抛物线y??x?1经过怎样的平移才能得到抛物线y??x.
（2）函数y??x?1，当x_______时，y随x的增大而减小；当x______时，函数y有最大值，最大值是________；其图像与y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标是____.
（3）试说出抛物线
知识点5 二次函数y?a(x?h)(a,h常数,a?0)的图像与性质
二次函数y?a(x?h)(a?0)的图像是一条抛物线，它是对称轴是平行于y轴或与y 轴重合的直线x=h，顶点坐标是（h,0），它与y?ax的图像形状相同，位置不同，函数
2
2
2
2
2
2
2
2
y?
12
x?3
的开口方向、对称轴和顶点坐标. 2
y?a(x?h)2(a?0)的图像是由抛物线y?ax2向右（或左）平移h的单位得到的.
画二次函数y?a(x?h)(a?0)的图像时，x的取值一般为h和h左右两侧的值.
二次函数y?a(x?h)(a?0)与y?ax的图像之间的关系如（P8表格）
2
2
2
例5：在同一直角坐标系中，画出函数y??答下列问题： （1）抛物线y??（2）函数y??
121
x与y??(x?1)2的图像，并根据图像回22
11
(x?1)2可以看成将抛物线y??x2做怎样的平移得到的？ 22
1
(x?1)2的图像的对称轴是_________；当x__________时，曲线自左向右2
1
(x?1)2，当x________时，y随x的增大而减小；当x_______时，y有最2
上升；除顶点外，抛物线上的点都在________. （3）函数y??
大值，最大值是_______.
知识点6 二次函数y?a(x?h)?k(a,h,k是常数，a?0）的图像与性质
二次函数y?a(x?h)?k(a?0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是直线x?h，顶点坐标为（h,k），是由抛物线y?ax(a?0)向右（左）平移h个单位，再向上（下）平移k个单位得到的.
例6：已知二次函数y?a(x?h)?k(a?0)是由抛物线y??向右平移1个单位得到的抛物线. （1）求出a,h,k的值.
（2）在同一直角坐标系中，画出y?a(x?h)?k与y??
（3）观察y?a(x?h)?k的图像，当x________时，y随x的增大而增大；当x______时，函数y有最______值，最_______值是y_________.
（4）观察y?a(x?h)?k的图像，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗？
知识点7 二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图像与性质（难点） ★二次函数y?ax?bx?c的图像的画法：
2
222
2
22
2
2
12
x向上平移2个单位，再2
12
x的图像. 2
★一般式y?ax?bx?c(a?0)与顶点式y?a(x?h)?k(a?0)的性质对照如下表所示 表格（P13）
★二次函数y?ax?bx?c的图像特征与a,b,c，b?4ac的符号之间的关系. 表格（P14）
例7：画出函数y?
2
2
22
12
x?6x?21的图像，并说明这个函数有哪些性质，它是由抛物线 2
y?
12
x怎样平移得到的？ 2
知识点8 用待定系数法求二次函数解析式（选学） （1）一般式 （2）顶点式 （3）交点式
26.2 用函数观点看一元二次方程
知识点1 二次函数与一元二次方程的联系
2
函数y?ax?bx?c(a?0)，当y?0时，得到一元二次方程ax?bx?c?0(a?0).
2
那么一元二次方程的根就是二次函数的图像与x轴交点的横坐标，因此，二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
（1）当二次函数的图像与x轴有两个交点时，b?4ac＞0，方程有两个不相等的实数根； （2）当二次函数的图像与x轴有且只有一个交点时，b?4ac?0方程有两个相等的实数根；
（3）当二次函数的图像与x轴无交点时，b?4ac＜0，方程无实数根. 综上（P38表格）
例1：画出函数y?x?2x?3的图像，根据图像回答下列问题： （1）图像与x轴的交点坐标是什么？
（2）当x取何值时y=0?这里x的取值与方程x-2x-3=0有什么关系？ （3）你能从中得到什么启示？
知识点2 图像法求解一元二次方程（难点）
方法1：利用找抛物线与x轴的交点坐标的方法求一元二次方程ax?bx?c?0的解. （1）在平面直角坐标系中画出二次函数y?ax?bx?c的图像； （2）观察图像，确定抛物线与x轴的交点坐标；
（3）交点的横坐标即为一元二次方程ax?bx?c?0的解.
方法2：利用抛物线与直线交点坐标的方法求一元二次方程ax?bx?c?0的解. （1）在平面直角坐标系中画出函数y?ax与y??bx?c（或y?ax?bx与
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y??c或y?x2与y??
bcx?aa的图像；
2
（2）观察图像，确定抛物线与直线的交点坐标；
（3）交点的横坐标即为一元二次方程ax?bx?c?0的解.
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