篇一：物理课件
力 学 讲 义
（第九章 振 动）
使用教材：漆安慎，力学 主讲教师：侯登录
授课对象：2004级物理本科（一年级）
2004年9月
第九章 振动
本章提要： 9.1 简谐振动的动力学特征、 9.2 简谐振动之运动学方程、 9.3 简谐振动的能量、 9.4 简谐振动的合成、 9.6 阻尼振动、 9.7 受迫振动、
不讲内容：* 9.5 振动分解* 9.8不守规矩的摆 混沌行为 9.9参数振动 自激振动 本章重点：简谐振动的动力学和运动学方程 本章难点：阻尼振动、受迫振动
课时安排：本章学时6= 9.1 简谐振动的动力学特征1； 9.2 简谐振动之运动学方程1 9.3 简谐振动的能量1 9.4 简谐振动的合成1 9.6 阻尼振动1 9.7 受迫振动1
机动0
讲学方式：讲授为主，自学为辅，由于与中学相差甚多，详细讲； 习题作业：
机械振动，物体或其一部分在其平衡位置附近往复运动。我们主要讨论机械振动，电磁振动、等不讨论。振动和弹性体形变相联系，是质点、刚体形变之继续。
9.1 简谐振动（Simple harmonic motion）的动力学特征
简谐振动是最简单、最基本的振动形式。 一. 概念（P257、P355）：
* 若作用于质点的力总与质点相对平衡位置的位移成正比，且总指向平衡位置，此力称线性回复力。 ．．．．．． * fx??kx，平衡位置：fx?0，即x?0。（讨论弹簧振子，建坐标系标准）线性回复力，与位移成正比，fx??kx，质点沿x平衡位。 二. 例：
1. 弹簧振子：k质量不计且均质。fx??kx，k称弹簧强劲系数。由第二定律，重力、支持力平衡，只有f，理想弹簧，摩擦不计。f?ma
?m
dxdt?
22
x
??kx，取
km
??
20
，
?x???
20
x?0?
km
称固有圆频率。
2. 单摆Simple pendulum
质点受到切向力的大小：mgsin??mg?方向与角位移反号，写为：
f???mg?，这是线性回复力。运动方程：
m
d(l?)dt
2
2
??mg? 或
d(?)dt
22
d(?)dt
22
2
??
gl
?
令
gl
??
20
，有
??0??0，即简谐振动
3. 扭摆（刚体平衡条件定平衡位置）：金属线上端固定，下端连均质圆盘。静止为平衡位置时，圆盘半径OB沿OX轴。圆盘在XOY平面内扭动，金属线扭转形变。其（金属线）扭转回复力矩总使圆盘．．．．．．回到平衡位置。依 8.3（8.3.3）式有（原为扭转力矩??C?）：金属线回复力矩，?．．扭转角，自OX向右为正，C为扭转系数，由材料决定） 由转动定律知，圆盘在金属线所施回复力矩作用下：Iz其中，Iz为圆盘对OZ轴转动惯量。 有三种情况：
dxdt
222
z
??C?，（?为
d?dt
2
2
??C?，?
20
?
CIz
，
d?dt
2
2
??0??0，
2
??
20
x?0，?
20
?k/m；
d?dt
2
??0??0，?
220
?
glCIz
2
，（?为摆角或角位移）；
d?dt
2
2
??0??0，?
220
?
，（C为扭转系数，?为扭转角）。
从数学角度说，三个方程形式一样。?0由系统固有性质决定，是由强度量（k、g、C）和广延量m、
l、Iz之比决定。
*
简谐振动定义（P259）：任意物理量x（长度、角度、电流、电压……）的变化规律满足
dxdt
2
2
??
20
x?0，
且常数?0由系统固有性质决定，则该物理量作简谐振动。 ．．．．
例1（P359、P259）：坐标如图，原点为平衡位置，有x?0，这时弹簧伸长了l，而弹簧自由伸长时，在x1，且x1??l。在平衡位置，有mg?k（0?x1）?kl，在任一位置x时，m受弹力：
fx??k（x?x1）??k（x?l），重力mg，则m
dxdt
2
2
??k（x?l）?mg??kx，有
dxdt
2
2
??
20
x?0，
?
20
?k/m
m如果选自由伸长为原点O?，则在任一位置x时，
2
dxdt
22
2
??kx?mg??kx?kl，m
dx?dt
22
dxdt
2
2
??k（x?l）,
取x??x?l，坐标原点又平移到x?l，
例2（P409、P294，9.2.1题）：
dxdt
2
?
d（x?l）
dt
2
?
，m
dx?dt
2
2
??kx?，（麻烦些）
复摆（小角变摆动）。刚体可绕过O点水平轴OZ摆动，转动惯量Iz，重心在C，OC?h，质量m，
?
。证明为简谐振动。 OY为平衡位置（轴光滑，注意坐标：Z轴向外，向右转?沿Z，?＞0，?增加）
证明：
?
，?增，Y右侧?＞0，左侧?＜0，当偏角?时，Z轴向外，逆Z轴看，逆时针转（?沿Z，?＞0）??
N无矩，W有矩，?＞0，?z＜0，?
d?dt
22
z
??mghsin???mgh? ，由转动定律Iz?
d?dt
2
2
??mgh?，
?
??0??0，?
220
?
mghIz
由固有性质决定。由定义知，为简谐振动。
例3： P409（9.2.3）K1、K2，等价K多大？
l?l1），由?K1l1??K（l?l1），得l?设共伸长l，K1伸长l1，?Kl??K1l1??K（22
K1?KK
2
K1?KK
2
2
l1，
代入?Kl??K1l1，有?K?
Km
12
K1m
2
l1??K1l1，?K?
K1K
22
K1?K
。
如（9.2.3），
12
?
，?K?
14
K1，可求出K
2
?
13
K1，
??保证?o
?
o?
。
22
（下述内容不讲）：复摆中，O称悬挂中心，把?0?mgh/Iz和单摆Simple pendulum?0?
gl
比较。
/mh）取L?Iz（，称L为等值摆长。令L?OO??OC?CO??h?h?，又
L?Iz（/mh）?
Ic2
/mh）Ic?mh）??h?h??h，h?OC，?h??CO??Ic（。如果悬挂
mhmh1
点改为O?，取O?Z?//OZ，O?Z?轴为轴，类比前边有
?O??
2
mgh?Iz?
?mg
Icmh
（/Ic?mh?）?mgI
2
c
/[mh（Ic?m
Ic
2
22
mh
）]?
mghIc?mh
2
?mgh/Iz??
20
，故
，不变圆频率。 O、O?是互易中心．．．．
2
x???0x 9.2 简谐振动之运动学方程（--动力学方程?
?0
的解）
一. 运动学方程：
2
x???0x?0的形如x?x（t）的解取试探解x?Acos（?0t??）引入常数A、?，寻找动力学方程?
待定。且令A＞0。A、?由初始位移和初速度决定。 1. 圆频率、频率、周期：
x?Acos（?0t??）是周期函数，余弦周期2?，令?（t?T）????0t???2?，得周期 0
T?2?/?0，（2?是空间周期，T?2?/?0是时间周期。）频率??
1T
?
?
2
2?
，称?0是固有圆频率。
2?T
?
?2??
?2?/T，可改写x?Acos（?0t??）?Acos（2??t??）?Acos（
。当然 t??）
弹簧振子：?
20
?k/m，T?
2?
?
?2?m/k；
单摆Simple pendulum：?
20
?g/l，T?2?l/g；
2
扭摆：?0?C/Iz，T?2?Iz/C，C为扭转系数； Iz（/mgh） 。
2
复摆：?0?mgh/Iz，T?2?
?0、?、T都由系统自身固有特性决定，故称固有圆频率、固有频率、固有周期。 ．．．．．．
???A?0sin（?0t??），当t?0时，2. 振幅：A?|xmax|，最大位移，由x?Acos（?0t??），v?xx0?Acos?，v0??A?
sin?；x0、v0为初始条件，A?（x0?
2
v0
22
）
1/2
?0
＞0。
3. 位相、初位相：当A、?0一定时，
?都由?0t??决定，称之为位相；t?0时，?为初位相。 1）振动状态：x、x
两个同频率的振动：x1?A1cos（?0t??1），x2?A2cos（?0t??2），比较二者位相：
（?0t??2）?（?0t??1）??
2
??1，称为位相差，（?
2
??1）＞0，称x2比x1位相超前，反之为落后。
当?2??1??2n?，n?0、1、2???，称为同位相振动；
（2n?1）?，n?0、当?2??1??1、2???，称为反向振动。
篇二：物理课件
Mechanics
力 学 讲 义 （数学知识+第一章物理学与力学）
使用教材：漆安慎，力学基础
主讲教师：侯登录
授课对象：2004级物理本科（一年级）
2004年9月
篇三：物理课件
力 学 讲 义
（第五章 角动量（动量矩）、关于对称性）
使用教材：漆安慎，力学 主讲教师：侯登录
授课对象：2004级物理本科（一年级）
2004年9月
第五章 角动量（动量矩）、关于对称性
Angular momentum, symmetry
本章提要： 5.1质点角动量Angular momentum of a Particle; 5.2 质点组的角动量定理Theorem of Angular Momentum of a System of Particles及守恒定律； 5.3 质点组对其质心的角动量定理及守恒定律； 5.4 对称性、对称性和守恒定律（可自阅）； 5.5 经典力学适用范围--宏观、低速 本章重点：质点组的角动量定理及守恒定律
本章难点：质点组对其质心的角动量定理及守恒定律 课时安排：本章学时6= 5.1质点角动量1；
5.2 质点组的角动量定理及守恒定律2；
5.3 质点组对其质心的角动量定理及守恒定律2； 5.4 对称性、对称性和守恒定律（可自阅）0.5； 5.5 经典力学适用范围--宏观、低速0.5；
讲学方式：讲授为主，自学为辅，由于与中学相差甚多，详细讲 习题作业：
讲了力、动量、能量、功，另一个重要物理量是角动量。近代物理中作用极大，其他类动量、能量是另一个重要物理量。物理学中没有角动量，问题不易解决。在天体运动、电子绕核运转，在有些运动中动量、能量不守恒，角动量可能是守恒的（直升飞机的尾翼、卫星的运动）。 开普勒第一定律：行星沿椭圆轨道绕日运转，日在一焦点上； 第二定律：行星绕日运转中面积速度恒定； 第三定律：T/a?C
（卫星绕地，行星绕日，电子绕核）
2
3
5.1质点角动量
一. 质点角动量Angular momentum of a Particle
1. 开普勒认真研究弟谷的观测资料，发现的行星运动三定律之第二定律讲行星绕日运行，以日为中心的位置矢量在相等时间内扫过的面积相等，或称面积速度为恒定。矢径r在dt内扫过的面积为
?
1??1???
|r?dr|?|r?vdt|，面积速度即单位时间内r扫过面积为22
????1??1??1??
|r?v|，而r?v垂直纸面向外。故称r?v为面积速度矢量：??r?v即面积速度?是恒 222
矢量。
?2. 定义质点对参考点的角动量矢量L：
??????????
（1）L?r?P?r?mv，r是位置矢量，P是质点动量，都在O?XY平面内，则L与r、P
?
成右手关系，称L是质点对O点角动量，沿Z轴。
???*
例：水平匀速圆周运动：L?r?mv是恒矢量；
????*
竖直平面内的圆周运动，L向外，显然L不是恒矢量。如果P反向，则L垂直纸面向里；
????*
平行Y轴的匀速直线运动，r是变的，但是L?r?mv，L?rmvsin??lmv，l是O到直线
距，
????
故L恒定。注意?是r?P之夹角。L单位：kgm2s?1。
?
??dL
（2）若L方向大小都不变，即恒矢量，则?0，L守恒。
dt
???????dmv???????dLd?dr
（3）一般地说，?r?mv）??mv?r??v?mv?r?ma?r?F，r为位矢，F
dtdtdtdt???
为质点受的合力。r?F??是力矩，也是右手关系。
二. 力对参照点的力矩torque：
????
质点对参照点的位置矢量和.质点受力F的矢量积??r?F，方向为右手关系，大小为
?????
??rFsin?，单位：米?牛顿，质点受几个力，则???r?Fi?r??Fi，
???2?2
?单位：kgms，?是r?F之夹角。
三. 质点对参考点的角动量定理及角动量守恒定律
?????
[?dt?dL，是力矩的冲量矩；dP?Fdt，Fdt是力的冲量]
??
?????dLdLd?
?r?mv）?r?F??，称??为角动量定理[类比P88、P63（3.3.3）的动量定理dtdtdt???dP??dL
?F??0，L为恒矢量，即为质点对参考点的角动量]，注意方向关系。显然如果 = 0，则
dtdt
守恒定律。
1??
r?v，是恒矢量，角动量守恒，说明行星运行中受的力的力矩恒为0，2
??
即受沿径向的力--行星受太阳引力沿r反方向--万有引力总是逆r方向。
开普勒行星第二定律说??
?
[开普勒（1571--1630）；牛顿（1643--1727）] 四. 质点对轴的角动量定理及守恒定律
???
对点的角动量L，其方向较任意，r、v方向可任意。若对过O点的Z轴而言，对Z轴角动量则?dLz为L在Z轴的分量，角动量定理记为?z?，?z?0，则Lz守恒。
dt
??
1. 关于?z：取垂直Z轴的平面（平行O?XY的平面），把r和F都沿垂直Z轴和平行Z轴方向
分解，
??????????????????
??r?F?（r//?r?）?（F//?F?）?r//?F//?r//?F??r??F//?r??F??????//?????z， ?
说明：式中第一项为0；第二、三项垂直于z轴，无z轴分量；第四项沿z轴为?z或?||
??????
，?是r?和F?的夹角。作用于P点?z?r?F?sin? （?之z分量?z为r、F之垂直z分量之叉积）
??
的力对Z轴的力矩?z和轴上点O的选取无关。对轴上不同参考点，P的位矢r不同，但r?是一样的，
?z不变；
（1） （2）
如果r、F本已都垂直Z轴，即同在垂直z的平面内，则?z???rFsin?；
?
?
P点（同一个点）受几个力作用：?z?
??
iz
??r?Fi?sin?i?r??F?合?sin?
对同一个点，合力的力矩等力矩的和。2. 关于Lz，质点对轴的角动量定理：
（质点合力的矩或力矩的和一样，因r只有一个；质点组则不同）
?
?? 如?z，有Lz?。 （r?P）z?r?P??sin?
??
如果r、P都已在垂直z的平面内，Lz?rPsin?。
**
?z、Lz之间有质点对Z轴的角动量定理，?z?
d
Lz；显然?z= 0，Lz不变，即质点对Z轴角动dt
量守恒。
例1（P215、P153）：
讨论?粒子散射。带两个正电荷质量为m的?粒子以v0从无穷远接近带正电荷Ze（e＞0）原子核M（M＞＞m），瞄准距b，求?可达与M之最近距d。
解：瞄准距b即平行v0过d、M的二直线间距。?粒子散射中略去重力，只受核的静电力，沿r方
?
??
???2Ze2
?，显然?对O点的力矩??r?F?0，故?对O的角动量守恒，r
4??0r2
?????
， L?r0?mv0?r?mv， 即L?bmv0?dmv---（1）
?
?粒子散射中略去重力后，能量守恒，取r??为静电势能零点，r0??，Ep?0，故在无?向：F?
1
121212Ze2
?穷远和最近处，有：mv0?mv? ---（2），将（1）代入（2）式，
224??0d
2
1b2v012Ze212
?mv0 ---（3） 有： m2?，
24??0d2d
4Ze2
?d?b2?0， 即 d?2
4??0mv0
2
2Ze22Ze22
取d＞0，则d??（[）?b2]1/2， 22
4??0mv04??0mv0
显然，如果取b?0，即对心碰撞时，dmin
4Ze2
， ?2
4??0mv0
122Ze24Ze2
或直接取b?0，由（3），得mv0?， 有 dmin?，近似为核半径上限。 2
24??0?d4??0mv0
例2（5.1.1）：
卫星近地点距地面h1，远地点距地面h2，速度v2，求近地点速度v1。近、远点r和v垂直。解： （R?h1）v1?（R?h2）v2，则v1?
?
?
R?h2
v2
R?h1
代入数据
v16370?23848754???1.286。 v26370?4396809
5.2 质点组的角动量定理及守恒定律
Theorem of Angular Momentum of a System of Particles
一. 质点组对参考点O的角动量定理及守恒定律：
????????
Li?ri?mivi，ri是mi对O的位矢，取矢量和：L??Li??ri?mivi，前有质点i对O的角
i
i
?
????dLi
动量定理?i?，质点组有组外力，又有组内质点间互作用力内力，对mi，Fi?Fi外?Fi内，故
dt
?
??dL????
?i?ri?（Fi外?Fi内）??i外??i内?i，取和：
dt
???????dd?
???（?i外??i内）???i外???i内??Li?L，（其中，??i内?0）
dtdt
?????
以二质点间互作用引力说明??i内?0。质点1、2，位矢r1、r2，互作用力F12??F21，
????????????????
（r2?r1）?F21?r21?F21?0，r21和F21共线。 ??i内?r1?F12?r2?F21??r1?F21?r2?F21?
?
?dL
质点组角动量定理：??i外?。
dt
****
注意：质点组内力对动量定理、角动量定理都不计。 ．．．．．
质点组对参考点O的角动量的时间变化率等于外力对O点的力矩的矢量和（各力的力矩和，不是．．．．．
合外力的矩；它区别于质点），此称质点组对O点的角动量定理。
**
质点组对参考点O的角动量守恒定律：当
??i外?0（外力矩之和为0）时，L是恒矢量。
?
?
?
?
二. 质点组对轴的角动量定理及守恒定律：
简化为：各质点都处于垂直Z轴的平面内运动，即ri、vi都垂直Z轴。
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