篇一：3.7《正弦定理与余弦定理》
3．7 正弦定理与余弦定理
一、选择题
1．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC一定是( )
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
解析：方法一：由已知结合正、余弦定理得
a2＋c2－b2aca2＝b2，∴a＝b， 2ac2R2R
∴△ABC一定是等腰三角形．
方法二：∵sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，
∴由已知得sinAcosB－cosAsinB＝0，
即sin(A－B)＝0，又A－B∈(－π，π)，
∴A－B＝0，即A＝B.
∴△ABC为等腰三角形．
答案：B
2．满足A＝45°，c6，a＝2的△ABC的个数记为m，则am的值为( )
A．4 B．2
C．1 D．不确定
ac解析：由正弦定理 sinAsinC
26×2csinA3得sinC＝＝. a22
∵c＞a，∴C＞A＝45°，
∴C＝60°或120°，
∴满足条件的三角形有2个，即m＝2.∴am＝4.
答案：A
abc3．在△ABC中，若＝ABC是( ) cosAcosBcosC
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．顶角为120°的等腰三角形
D．以上均不正确
解析：由已知条件及正弦定理，得tanA＝tanB＝tanC，
又0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π，故A＝B＝C， 所以△ABC为等边三角形，故答案为B.
答案：B
sinB4．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为( ) sinC
8553A. B.C. D. 5835
222解析：由余弦定理得BC＝AB＋AC－2AB·AC·cosA，即72＝52＋AC2－10AC·cos120°，
sinBAC3∴AC＝3.由正弦定理得＝sinCAB5
答案：D
5．若△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于( )
33A. 24
3 或 224
133解析：，∴sinC＝sin30°sinC2
∵0°＜C＜180°，∴C＝60°或120°. C.
3； 2
13当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝×1×sin30°＝. 24
答案：D
6．若△ABC的周长等于20，面积是3，A＝60°，则BC边的长是( )
A．5 B．6 C．7 D．8 11解析：依题意及面积公式S＝sinA，得103＝sin60°，得bc＝40.又周长为20，故a22
＋b＋c＝20，b＋c＝20－a，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，故a2＝(20－a)2－120，解得a＝7.故答案为C.
答案：C
二、填空题
7．在△ABC中，a2－c2＋b2＝ab，则角C＝__________.
a2＋b2－c2ab1222解析：∵a－c＋b＝ab，∴cosC＝＝.又∵0°＜C＜180°，∴C＝60°. 2ab2ab2
答案：60°
π38．在△ABC中，BC＝2，B＝，若△ABC的面积为tanC为__________． 32
13解析：由S△ABC＝BC·BAsinB＝得BA＝1，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－22
2AB×BCcosB，
∴AC＝3，∴△ABC为直角三角形，其中A为直角，
AB3∴tanC＝AC3
3答案：3
19．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S＝(a2＋b2－c2)，4
则C＝__________.
111π解析：由S＝(a2＋b2－c2)得sinC＝·2abcosC.∴tanC＝1.∴C＝. 4244
π答案：4
三、解答题
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，并且a2＝b(b＋c)． (1)求证：A＝2B；
(2)若a3b，判断△ABC的形状．
解析：(1)证明：因为a2＝b(b＋c)，即a2＝b2＋bc，
所以在△ABC中，由余弦定理可得， a2＋c2－b2c2＋bccosB＝ 2ac2acb＋ca2asinA＝＝， 2a2ab2b2sinB
所以sinA＝sin2B，故A＝2B. 当C＝60°时，A＝90°，∴BC＝2，此时，S△ABC
a(2)因为a＝b3， b2由a＝b(b＋c)可得c＝2b，
a2＋c2－b23b2＋4b2－b23cosB＝ 2ac243b2
所以B＝30°，A＝2B＝60°，C＝90°.
所以△ABC为直角三角形．
11．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，tanC＝37.
(1)求cosC；
→→5(2)若CB·CA＝，且a＋b＝9，求c. 2sinC解析：(1)∵tanC＝7，∴＝37， cosC
1又∵sin2C＋cos2C＝1解得cosC＝. 8
∵tanC＞0，∴C是锐角．
1∴cosC. 8
5→→5(2)∵CB·CA＝，∴abcosC＝，∴ab＝20. 22
22又∵a＋b＝9，∴a＋2ab＋b＝81.
∴a2＋b2＝41.
∴c2＝a2＋b2－2abcosC＝36.
∴c＝6.
C12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC＋cosC＝1－sin2
(1)求sinC的值；
(2)若a2＋b2＝4(a＋b)－8，求边c的值．
C解析：(1)由已知得sinC＋sin＝1－cosC， 2
CCC2cos＋1?＝2sin. ∴sin2?22
CCC由sin0，得2cos＋1＝2sin， 222
CC1∴sincos. 222
13两边平方，得1－sinCsinC44
CC1πCππ37(2)由sin－0C＜π，则由sinC＝得cosC＝－. 222422244
由a2＋b2＝4(a＋b)－8得(a－2)2＋(b－2)2＝0，则a＝2，b＝2.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2bccosC＝8＋7，
所以c＝7＋1.
篇二：3-7 正弦定理和余弦定理
[A组 基础演练·能力提升]
一、选择题
1．(2014年北京东城区期末)在△ABC中，A，B，C为内角，且sin Acos A＝sin Bcos B，则△ABC是( )
A．等腰三角形 C．等腰直角三角形
B．直角三角形 D．等腰或直角三角形
解析：由sin Acos A＝sin Bcos B得
＝ππ
－2B，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC2
答案：D
2．(2014年长沙模拟)在斜三角形ABC＝1－2，则角A的值为( )
π 4π 2
解析：由题意知，sin A＝－2cos B·
C两边除以cos B·cos C得tan B＋tan C，πA＝4中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B
4
πB.6π3
3
.又A∈2
解析：由已知及正弦定理得2sin AsinB3sin B，因为sin B>0，所以sin A＝
?0，π，所以A＝π?23
答案：D
4．(2014年铁岭六校联考)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c且acos C，bcos B，ccos A成等差数列，则B的值为( )
π 62π 3
πB.35π6
解析：由题意得acos C＋ccos A＝2bcos B，又a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，得sin(A＋C)＝2sin Bcos B，即sin B＝2sin Bcos B，在△ABC中，0<B<π，∴sin B≠0，∴cos B1π＝B＝23
答案：B
5．在△ABC中，角A，B，C
的面积等于( )
1 2C．1
解析：∵a＝3bsin A，∴由正弦定理得的
1111
面积Ssin B＝×3，故选A.
2232
答案：A
A，B，C所对的边长分别为a，b，c，sin A，sin B的值为( )
3423
sin2B＝sin Asin C，由正弦定理得，
2224a＋a－2a3
b2，故选B. 4a4
答案：B 二、填空题
7．(2014年长春模拟)△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2－c2＝2b，且sin B＝6cos A·sin C，则b的值为________．
b2＋c2－a2
解析：由正弦定理与余弦定理可知，sin B＝6cos Asin C可化为b＝·c，化简
2bc可得b2＝3(b2＋c2－a2)，
又a2－c2＝2b且b≠0，得b＝3. 答案：3
1
8．(2013年高考浙江卷)在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点，若sin∠BAM，
3则sin∠BAC＝________.
BMABAB3解析：△ABM中，由正弦定理＝，所以a＝
2sin∠BAMsin∠BMAcos∠MACa22a6
整理得(3a－2c)＝0，c3
2
22
a2＋4b2
，2b
答案：
6 3
9．(2013年高考安徽卷)＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝解析：由3sin A＝5sin B，ca2＋b2－
c2＝7t，可得cos C＝2ab2π
答案：3a，b，c是角A，B，C3a＝2csin A.
a＋b的值．
. 133
(2)由已知得，△ABC的面积S＝absin C，
22∴ab＝6.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab， ∴(a＋b)2＝25，∴a＋b＝5.
11．(2014年荆州模拟)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋23cos2x－3，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
→→
(2)在锐角△ABC中，若f(A)＝1，AB·AC2，求△ABC的面积．
π
2x＋， 解析：(1)f(x)＝2sin xcos x＋2x－1)＝sin 2x＋x＝2sin?3?2π
故函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
2
π
2A＋?＝1， (2)在锐角△ABC中，有f(A)＝2sin?3??πππ4π
∵0<A<<2A＋，
2333π5ππ∴2A＋，∴A＝364
→→→→又AB·AC＝|AB|·|AC|cos A＝2， →→∴|AB|·|AC|＝2.
1→→1∴△ABC的面积S＝AB|·|AC|sin A＝22
12．(能力提升)(2014年南昌模拟)在△c，
B－ Acos B＝0，
，又cos B≠0，所以tan B＝，又0<B<π，所以B. 111a－2＋. 因为a＋c＝1，cos B＝，所以b2＝3??24211
又0<a<1，于是有≤b2<1，即有≤b<1.
42
[B组 因材施教·备选练习]
1．(2014年郑州模拟)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcos C＝2a－c，
(1)求B；
(2)若△ABC3，求b的取值范围． 解析：(1)由正弦定理得2sin Bcos C＝2sin A－sin C， ∵在△ABC中，sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Ccos B， ∵sin C(2cos B－1)＝0，又0<C<π，sin C>0， 1π
∴cos B0<B<π，∴B＝.
231
(2)∵S△ABC＝acsin B3，∴ac＝4，
2
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac≥ac＝4， 当且仅当 a＝c＝2时，“＝”成立， ∴b的取值范围为b≥2.
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c＝(cos A，cos B)，n＝(a,2c－b)，且m∥n.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝4，求△ABC面积的最大值．
解析：(1)因为m∥n，所以acos B－(2cA＝0，由正弦定理得sin Acos B－(2sin C－
A＝0， A， (2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， 所以16＝b2＋c2－bc≥bc，所以bc≤16， 当且仅当b＝c＝4时，上式取“＝”， 1
所以△ABC面积为Ssin A≤43，
2所以△ABC面积的最大值为4
篇三：《3.7第七节 正弦定理和余弦定理》 教案
教学过程
课堂导入
三角形是最基本的几何图形．三角形中的数量关系，有着极其广泛的应用．在初中，我们已经能够借助于锐角三角函数解决有关直角三角形的测量问题．在实际工作中，我们还会遇到许多其它的测量问题，这些仅用锐角三角函数就不够了．如：
1．怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离？ 2．怎样测量底部不可到达的建筑物的高度？
3．怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度？ 4．怎样测出海上航行的轮船的航速和航向？
5．怎样确定航向，才能在航速一定的情况下，尽快与一运动的物体(如轮船)相遇？等等．
研究这些问题显然需要明白三角形中的边长与角度之间的数量关系，那么本次课我们就来发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并将它们融入已有的知识体系．
复习预习
回忆在三角函数中学过的公式
A. 三角函数诱导公式： B. 三角函数的两角和或差公式： C. 三角函数的二倍角公式： D. 三角函数的辅助角公式：
知识讲解
考点1 正弦定理和余弦定理
考点2 在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况
《3.7正弦定理和余弦定理课件》出自：百味书屋
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