篇一：高一数学幂函数的图像与性质
幂函数的一般形式为y=x^a。
如果a取非零的有理数是比较容易理解的，不过初学者对于a取无理数，则不太容易理解，在我们的课程里，不要求掌握如何理解指数为无理数的问题，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。因此我们只要接受它作为一个已知事实即可。
对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：
首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,＋∞）。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：
排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；
排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数；
排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。
总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；
如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。
在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域。
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.
可以看到：
（1）所有的图形都通过（1，1）这点。
（2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。
（3）当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。
（4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。
（5）a大于0，函数过（0，0）；a小于0，函数不过（0，0）点。
（6）显然幂函数无界。
篇二：幂函数的性质与图像(一) - 黄浦教研 → 首页
幂函数的性质与图像（一）
学校：储能中学 执教：陈云青日期：2011-12-6
【教学目标】
1．知道幂函数的概念，会用有代表性的k的值，讨论幂函数的定义域、单调性、奇偶性及最值；
2．在探究幂函数的性质与图像的过程中，体会研究函数性质的过程与方法； 3．在交流研究幂函数性质的活动中，感悟数学思想方法。
【教学重点】
幂函数的性质与图像。
【教学难点】
探索研究幂函数性质与图像的途径，熟悉由特殊到一般的数学思想。
【情景引入】
建立下列问题的函数关系：
（1）如果正方形的边长为x，那么正方形的面积y?____________ ；
（2）如果一个正方体容器的体积为x，那么该正方体容器的棱长y?____________ ； （3）如果某人在x秒内，骑自行车行了1km，那么他骑自行车的平均速度y?____________ 。
上述问题中的函数的解析式都具有形如y?x的共同特征,这就是我们要研究的“幂函数”。
k
【概念形成】
(教学提示：这一环节可采用教师引领下学生阅读教材或学生阅读教师呈现的PPT素材) 幂函数概念：一般地，函数y?xk(k为常数，k?Q)叫做幂函数。 譬如，y?x,y?x,y?x
?1
?1
2
等都是幂函数。
数学交流：说一说幂函数解析式的共同特征有哪些？
【概念应用】
例1、下列函数中，哪些是幂函数： （1）y?x
?52
，（2）y?2x，（3）y?x?2x，（4）y??x?1?，（5）y?x。
2
2
3
例2、已知某幂函数，当x?
1时，y?，求该幂函数的解析式。 2
例3、研究函数y?x
?
12
的定义域、奇偶性和单调性，并且作出它的图像。
例4、研究函数y?x的定义域、奇偶性、单调性和最大值或最小值，并且作出它的图像。
2
3
【课堂反馈】
(学生独立完成，教师巡视，提供指导和发现闪光点，获取第一手反馈材料,对研究函数过程理解不到位的给予个别指导)
研究五个常用幂函数y?x,y?x,y?x,y?x,y?x?1的性质，并在同一坐标系内画出
2
3
1
2
它们的图像。
【课堂小结】
（让学生用自己的语言归纳小结，并通过补充和订正提高参与度） (1)幂函数的概念；
(2)研究函数性质的过程与方法； (3)作函数图像的主要方法。
【作业布置】
(基础型)必做题：
(1)教材练习P81练习4.1(1)1，2，3； (2) 练习册习题4.1 A组P41 1，3。 拓展题
(3)通过对幂函数y?x(k?Q)的(幂指数k的不同取值)性质的探究，你发现了幂函数有哪些性质？请写出你的发现。
k
篇三：幂函数的性质与图像
幂函数的性质与图像
一、教学内容分析与学情分析
(一) 教材分析
幂函数是上海教育出版社高一数学第四章第一节，它是高中教材中的一个基本内容，即是对正比例函数、反比例函数、二次函数的系统总结，也是对这些函数的一般化和深化，更是高中教材第一个具体函数.它承接函数的基本性质后研究的第一个函数，采用何种方式方法来研究一个具体的陌生函数是高中阶段学生函数学生的一个根本目的之一。
一堂好的数学课旨在通过师生的共同探究深化数学思想与方法的渗入，让学生学会举一反三，发散思维，学会一类问题的解决策略与方法。由于上海教材幂函数的定义与全国教材的定义上有一点区别，它的研究方式也就有了一定的差别，本节课力图通过幂函数的探究式学习，让学生体会研究函数的一种方法与策略，发现研究函数的策略，为后面学习指、对数函数打下基础。
(二) 学情状况
本校是徐汇区一般普通完中，总体层次是比区重点入学成绩略弱，比一般普通中学略高；大部分同学习惯传统的教学模式，自学能力较弱，自觉性不够，学习习惯有待进一步加强；学生学习能力一般，缺乏自主性学习方式方法，归纳总结的能力需加以强化。因此本堂课采用以学生为主体，教师为主导的课堂模式，小步伐、慢节奏，从特殊到一般让学生从中发现规律，总结规律，同时，结合函数的性质，让学生体验研究新函数的方法与策略。
二、教学目标设计
知识与技能 理解幂函数的定义，掌握幂函数的基本性质，能描绘常见幂函数的图像； 过程与方法 通过几个有代表性的幂函数的研究获得幂函数性质的探究体验，通过图象的求作了解幂函数图象的演进，获得图形特征与代数特征对称联系的美的体验，获得函数的奇、偶性的应用所反映出来的数学的价值体验；
情感、态度、价值观 通过对幂函数的学习，学会研究新函数的一种方法与策略；体验人类的认知过程由特殊到一般、一般到特殊的思想与数学学习的紧密结合；在学习和讨论的过程中，通过师生的平等探讨，体会自由、平等、民主、公平公正、和谐的社会主义核心价值；
教学重点: 幂函数的意义；幂函数的性质与图像.
教学难点: 幂函数的代数特征与图像特征的依赖关系.
教学方法：探究发现，小组合作
课前准备：几个单位长度小坐标系和一个单位长度大坐标系
三、教学流程设计
四、教学过程设计
（一）情境设计
1、给出情境：
给出y?x,y?x2,y?x?1三个具体函数。这三个函数又有什么共同特征？
2、找出共同点：
（1）______是常数 （2）______是变量 （3）x系数是____ （4）都是_______的形式 学生通过观察题目后回答：（1）指数；（2）底数；（3）1；（4）y?xk
设计意图：从学过的具体函数入手，学会从特殊到一般的学习方法，并从中发现问题， 提 出疑问，总结共同点和不同点，找出共性；
（二）概念形成
1、一般地，形如y?xk(k为常数,k?Q)的函数称为幂函数．
2、概念理解
辨析：
1) 下列函数为幂函数的是：；
A、y?x4B、y?x?2C、y?1 D、y?2x2E、y?x3?2 F、y?2x 学生：A B
教师：为什么D、E不对？
学生讨论分析后，得出：从形式上看幂函数中x的系数为1，且后面没有其它的项；
2) 幂函数y?(m?2)xm,求m=_____； kk
学生：m??1；
3) 幂函数经过点（2，2），求函数f(x)的解析式；
1
2 学生：f(x)?x
设计意图：幂函数的概念来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等
函数，同样也是一种“形式定义”的函数，让学生体会定义，形成初步感知；同时引导学生注意辨析，加深对概念的理解；
（三）探索研究
问题1：请学生口答y=x,y=x,y=x的性质，并画出它们的草图；
教师：函数的性质包含哪些？
学生：定义域、奇偶性、单调性、最值与值域；
教师：这些性质有研究次序是否一定要按上述次序？
学生A：不一定；因为对于这几个函数的所有性质我们都可以很轻松的得到； 学生B：不太清楚；
学生C：应该是要按上述次序；因为只有知道了定义域是否关于原点对称才能讨论奇偶23
性；若知道了奇偶性，根据奇函数在原点两侧的单调性相同，偶函数在原点两
侧的单调性相反，故只需证明原点一侧即可；单调性是求函数最值的一种方法；所以上述次序不能颠倒；
强调一： y=x3单调性的证明；
3学生A：取x1??1，x2?1，?1?1,故有(-1)?13，所以y=x3在(??,??)上单调
递增；
学生B：不对，单调性的证明不能用特殊代替一般；
22学生C：都有f(x1)?f(x2)?x13?x23?(x1?x2)(x1?x1,x2?R,x1?x2，?x1x2?x2)，
22但x1的符号不法判断，所以不知道单调性； x1?x2,?x1?x2?0，?x1x2?x2
2x12?x1x2?x2?(x1?学生D：x2232)?x2?0，可以判断f(x1)?f(x2)?0，所以24
y=x3 在(??,??)上单调递增；
老师：上述做法对吧？还有没有其它解法？
学生E：对的！还可以用不等式的乘方性质来解决：?x1,x2?R,x1?x2，由不等式的
乘方性质得x13?x23，所以f(x1)?f(x2)?x13?x23?0，故y=x3在
(??,??)上单调递增；
学生F：不对！不等式的乘方性质的前提是0?x1?x2，才有x13?x23；
学生G：学生A是对的！经验证，?x1,x2?R,x1?x2都有x13?x23，即有
f(x1)?f(x2)?x13?x23?0；
学生H：虽然验证对于y=x成立，但对于y=x是不成立的；因为不等式的乘方性
质对于n?N都成立有前提是0?x1?x2，所以应先证在x?[0,??)时，?34
y=x3单调递增，再由它是奇函数，得到x?(??,0]时y=x3单调递增；所
以y=x3在(??,??)上单调递增；
老师：（鼓掌）学生H的回答非常正确！能否将证“x?[0,??)单调递增”改为
“x?(0,??)单调递增”，再由它是奇函数，得到x?(??,0)也单调递增，所
以y=x在(??,??)上单调递增呢？
学生I：不可以，x?(??,0)和x?(0,??)都递增，不能得到x?(??,0)
调递增，更不能得到y=x在(??,??)上单调递增。
老师：为什么学生H的证明可以，但改为x?(0,??)不行了呢？
学生J：学生证明x?[0,??)和x?(??,0]都包含了0且单调性相同，根据函数定义33(0,??)单
f(0)只右能只有一个值，所以y=x3在(??,??)上单调递增；
刚才的三种证明方式：证法一特殊值法，显然和单调性的定义相违背，不可取，但又是学生在初学单调性后容易犯的一种典型性错误；证明二采用因式分解然后判定每个因式的符号，是证明单调性的常规解法，思维直接，但对于无法因式分解的幂函数或其它函数而言就不再适用；证法三先利用不等式的乘方性质比较大小先证原点一侧的单调性，再根据奇偶性说明另一侧的单调性，在这一过程中很好的利用了不等式的乘方性质直接比较大小，是在无法因式分解的情形下证明单调性的另一种方法；后两种方法都是可取的，但又各有所侧重，解答过程中要注意合适的取舍，精益求精。
设计意图：理性精神的一种重要表现方式是质疑。首先，教师面对学生的错误并没有简单地直接修正，而是引导学生质疑，发现思维的缺陷，并主动改正，这是培养学生的求真意识；其次提出将“x?[0,??)”改为“x?(0,??)”请学生辨析，这是培养学生思维的严密性。通过学生之间的辨析，让学生在自由、民主、平等、和谐的学习气氛中体验社会主义的优越性；
强调二：对于函数y=x3如何取点作图并且使图像更精确呢？
学生A：由五点作图法，x??2,?1,0,1,2即可；
学生B：虽然取上述五点即考虑到了函数的奇偶性又兼顾到了函数的单调性，但所作图像精确度不够，我认为x?0,1,2,3,4更好，再由它是奇函数对称过去即可；
教师：A、B两种方案你们赞同哪一种？
学生：B的方法应该更精确；
接下来学生计算、描点。
教师：你们在作图过程中遇到什么问题？
学生C：点(3,27),(4,81)已知超出所给的坐标系范围，没法描出来；
教师：如何修正取点呢？
学生D：为描点方便，我取x?0,1,1.5,2,2.5；并展示图像；
教师：同学们觉得怎样？是否有还需改进的地方？
学生E：从图像中可以看出x?1时图像在y?x的上方且递增速度起来越快，但x?[0,1]内的图像连线的方式没法确定；所以我认为x?(0,1)中内也应当取点；即
13x?0,,1,,2更合适； 22
教师：是否一定要取x?0呢？
学生F：不一定，因为它是奇函数，x?0有定义，即图像一定经过原点，所以我取的123是x?,,1,,2； 232
教师：学生E的回答相当好！由奇偶性只需取x?0的点即可；为反映图像相对于y?x的变化趋势，取点时应当在x?1的左右两侧都取，且两侧取点个数相同更能精确的反映图像的变化趋势；
【这三个函数性质与图像：（板书在黑板上）】
设计意图：
1、 描点作y=x图像是学生继初中二次函数后的第一个作图问题，它与初中在对称轴
两侧取各取两个点不同，初中只要求能做出大致图像，高中则要求力求精确，因此取点时要尽可能的考虑图像的精确性和反映函数图像细微的变化趋势；在作函数3
y=x3的图像时强调在x?(0,??)取五个点且在x?1两侧各取两个点，其目的是加深学生对函数奇偶性与图像对称性之间关系的理解和作图的精确性与取点的关系；
2、 从初中已经学过的函数入手，降低学习难度，唤起学生的经验，引起学生的关注，激发学生的学习兴趣；同时让学生了解函数性质探究的一般次序和作图时的精确性；
问题2：研究函数y=x、y
强调以下内容：
教师：它们的研究过程与研究y=x3的策略是否一致？
学生：因为它们都是幂函数，应当是一致的。
教师：y=x3单调性的证明前面我们考虑了两种方法，你们认为哪一种更适合这两个
函数？
学生：利用不等式的乘方和开方性质更方便！
教师：图像呢？怎么样取点更精确？
学生：取x?12?x23的定义域与性质，并证明单调性，作出其图像； 123,,1,,2更精确； 232
【这三个函数性质与图像：（板书在黑板上）】
教师：把这五个函数放在一起，你所研究的幂函数k的取值范围是什么？你可以看出它
们有哪些共同点和不同点吗？
学生：这五个函数k都大于0；它们的定义域由k具体的取值而定，但定义域都包含
[0,+ )；奇偶性也由k具体的取值而定；单调性：x?[0, )单调递增；图像特征：图象过点(1,1),(0,0)，且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间?0,???上是单调增函数；而且当k?1时图像形状类似于“举手型”，当0?k?1时，图像形状类似于“鞠躬型”。
设计意图：①学生活动既动手操作、观察、归纳、猜想、验证、推理、提出问题等个体活动，也包括讨论、合作、交流、互动等小组活动，意图是让学生活动中体验数学； ② 这两个函数的研究学生以小组形式自行完成，让学生在在研究的过程中发现问题，分析问题，解决问题，达到数学能力的提高。
问题3：①口答y=x-1的性质，并画出草图；
②研究函数y=x-2、y?x?1
2的定义域与性质，并作出它们的图像；
因问题3和前面两个类似，请学生自行研究完成，并类比y?xk(k?0)归纳其特点，
并总结性质；
学生归纳：这三个函数k都小于0；它们的定义域由k具体的取值而定，但定义域都包含(0,+ )；奇偶性也由k具体的取值而定；单调性：x?(0, )单调递减；图像特征：图象过点(1,1),，且在第一象限随x的增大而下降；而且当k?0时图像形状类似于“双曲型”。 k
问题4：幂函数y?x(
k① 像；
②当k?0时，x?[0k?1(1,1),(0,0)；当k?10
《幂函数的性质与图像ppt-沪教版必修1课件免费下载》出自：百味书屋
链接地址：http://www.850500.com/news/41966.html
转载请保留,谢谢!