篇一：3 正弦函数和余弦函数的图象与性质
第3课 正弦函数、余弦函数的图象与性质
区庄 陈龙
【教学目标】 一、知识目标
1、理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法； 2、理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法； 3、掌握并学会求正、余弦函数的定义域和值域、周期和最小正周期；
4、理解并掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间． 二、能力目标通过本节的学习培养学生的化归能力、转化思想． 三、情感目标
通过本节的学习了解三角函数图象的对称美与曲线美．【教学重点】
正弦函数和余弦函数的图象及其定义域和值域、周期、奇偶性与对称性以及单调性． 【教学难点】
1、利用正弦线画出函数y?sinx,数与最小正周期意义的理解；
2、正弦函数和余弦函数的图象与性质的初步运用． 【知识点梳理】 一、正弦、余弦函数图象
的图象，利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线，周期函
二、正弦函数和余弦函数的性质
1、周期函数的定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f (x+T)=f (x)，那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
（1）若f(x)周期为T，则kT，k?Z*也是f(x)的周期．
因为：f(x)?f(x?T)?f(x?2T)?
?f(x?kT)．
（2）一般结论：函数y?Asin(?x??)及函数y?Acos(?x??)，x?R的周期T?2．定义域和值域、奇偶性、对称性、单调性
2?． |?|
【典型例题】
题型一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 例题1：画出下列函数的简图：
（1）（2）
， ，
； ．
【解析】（1）按五个关键点列表
利用五点法作出简图：
请说出函数答：函数
（2）按五个关键点列表
利用五点法作出简图：
，与
的图象之间有何联系？ 的图象可由
，
的图象向上平移1个单位得到．
y?cosx，
与，的图象有何联系？
答：它们的图象关于轴对称．
【点评】三角函数作图中五点作图法最常用，要牢记五个关键点的选取特点．
变式1：（1）在同一直角坐标系下，用五点法分别作出下列函数的图象：
①，；②，．
（2）你能判断函数y?|sinx|和y?sinx、y?sin(x?（3）画出下列函数的简图：
①
，
； ②
，
3?
)和y?cosx的图象有何关系吗？ 2
； ③，．
【解析】（1）
（2）将函数y?sinx的图象的x轴以下部分向上翻折得到y?|sinx|的图象；
y?sin(x?
3?3??
)?sin[(x?)?2?]?sin(x?)?cosx和y?cosx这两个函数相等，图象重合． 222
（3）
例题2：观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的的区间．
（1）sinx?0，（2）sinx?0，（3）cosx?0，（4）cosx?0，（5）2sinx?1?0． 【解析】（1）
（3）
，，
，（2），（4）
，
， ，
（5）2sinx?1?0，即 sinx??
1
．在一周期2
．
上符合条件的角为，
∴符合条件的角为
【点评】由正弦曲线和余弦曲线得一周期的解再加2kπ．
题型二、定义域与值域
例题3：求函数f(x)??2cosx?lg(2sinx?1)的定义域．
5?1???
?2k??x??2k?,k?Zcosx???1?2cosx?0???332
??【解析】由题意得：?，解得?，
2sinx?1?01?5???sin???2k??x??2k?,k?Z??26??6
即x?[
?
3
?2k?,
5?
?2k?),k?Z． 6
由于y?sinx,y?cosx的周期都是2k?,k?Z，所以先在[0,2?)内求出不等式组解集交集[后，再加上2k?,k?Z．
?5?
,)36
【点评】解三角不等式时，一般是将相位视为一个整体，利用相关函数图象（由函数名决定），可先画出相关曲线，确定相位的值或相应的取值范围，列方程或不等式，最后解出自变量x的值或取值范围即可． 变式2：求下列函数的定义域、值域：
（1）【解析】（1）
（2）由又∵∴定义域为（3）由又由∴∴定义域为
（
），值域为 或
．
，∴
（
），值域为
（
． ），
； （2） ，y?[1,3]；
（
）
； （3）
．
【点评】求值域应注意用到 有界性的条件．
例题4：函数y?2a?bsinx的最大值是3，最小值是1，求函数y??4asin的x的取值．
【解析】因为?1?sinx?1，则
b
x的最大值和最小值及相应2
?2a?b?1?a?1
??（1）当b?0时，2a?b?2a?bsinx?2a?b，即?；
2a?b?3b?1???2a?b?1?a?1
??（2）当b?0时，2a?b?2a?bsinx?2a?b，即?，
2a?b?3b??1??
故，(1)y??4asin
b11?
x??4sinx，当x???2k?,即x????4k?时，最大值ymax?4， 2222
篇二：必修4：正弦函数、余弦函数的图像与性质
1.4.1正弦函数、余弦函数的图像
【三维目标】
1.要求学生了解用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象，2.学会用诱导公式，平移正弦曲线获得余弦函数图象． 3.通过分析掌握五点法画正（余）弦函数图象．
4.培养学生利用类比的思想方法研究正弦、余弦问题；培养学生的动手操作能力． 【预习要点】
（1）正弦函数、余弦函数的解析式各是什么？__________________________。
（2）我们在必修一学习了指数函数、对数函数以及幂函数，请同学们思考并回答：如何绘制函数的图像？
_____________________________________________________________________________________________
【学习内容】
（一）用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：
为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一
般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．
（1）函数y=sinx的图象
第一步：_______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 第二步：在单位圆中画出对应于角0,
?
6
，
?
3
，
?
2
,?，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把
角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.
第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．
探究1：你能由y=sinx，x∈[0，2π]的图像得到y=sinx，x∈R的图象吗？说明理由。
_____________________________________________________________________________________。 （2）余弦函数y=cosx的图象
探究2：你能根据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象？
____________________________________________________________________________________。 正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
探究3：根据正余弦函数图像的特点，我们在精确度不高的情况下，如何更快地做出正余弦曲线？
___________________________________________________________________________________。
（二）．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（五点法）：
正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：_______________________________。
余弦函数y=cosxx?[0,2?]的五个点关键是_________________________________________。
（三）例题
例1、画出下列函数的简图 (1)y=1+sinx,x∈[0,2π];(2)y=-cosx,x∈[0,2π].
探究4： 如何利用y=sinx，x?R的图象，通过图形变换（平移、对称等）来得到
（1）y＝1＋sinx , x?R的图象； （2）y=sin(x- π/3) x?R的图象？
小结：_____________________________________________________________________________。
探究5：如何利用y=cos x，x?R的图象，通过图形变换（平移、对称等）来得到y＝-cosx ，x?R
的图象？
探究6：如何利用y?sinx,x?R的图像得到y?sinx,x?R和y?sinx,x?R的图像？
例2、分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x的集合：
(1)sinx?
1
2;
（2）2cosx?3?0
【课堂练习】
1、画出函数y??1?2sin(x?
2、 利用函数的图象求满足条件的x的集合：sinx?
12
3?2)
，x??0,2??的简图。
【课堂小结】_____________________________________________。
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质
【学习目标】
1.结合正弦函数、余弦函数图像理解正、余弦函数的性质. 2.会运用正、余弦函数的图像及性质解决相关问题.
【预习要点】
（1）正弦函数、余弦函数的图像是怎样的，请在 “学习内容”模块表格中做出正、余弦函数的图像？
（2）对于函数f(x)，如果存在T，使得当x取 时，都有 。那么函数f(x)
就叫做周期函数 就叫做这个函数的周期。
写出下列函数的一个周期
① y?3cosx T?______②y?sin2x T?______ ③ y?2sin(
12x?
?
6
) T?______
（3）（I）什么是最小正周期？
（II
（
【学习内容】
（二）例题
例1 求下列函数的定义域
(1)y?1?
1sinx
(2)y??2cosx (3)y?lg(2sinx?3)
例2求下列函数值域
(1) y?2sin(2x?(3)y?
cosx?3cosx?3
?
6
),x?[0,
?
2
] (2) y?sinx?sinx?1
2
(4)y?2sin(
?
3
?x)?cos(
?
6
?x)
提高题：（1）已知函数f(x)?2acos(2x?
（2）求函数y?sin
2
?
32
53?
x?acosx?a?(x?[0,])的最大值
822
)?b的定义域为[0,
?
],值域为[?5,1].求a,b的值.
例3 (1)函数f(x)?sinx图象的对称轴是 ____;对称中心是____
(2)函数f(x)?cos(x?
(3)函数f(x)?2sin(
?
3
?
3
)图象的对称轴是_____;对称中心是__.
?2x)?1图象的对称轴是对称中心是例4求使下列函数取得最大值的自变量x(x?R)的集合,并说出最大值是什么? （1）y?sinx?1（2）y??2sin2x （3）y??sin(
例5 判断下列函数奇偶性（1）f(x)?xsin(
?
3
?2x)?3
?
2
?x)(2)f(x)?sinx?cosx
提高题：(1)已知f(x)?ax?bsin3x?1(a,b为常数),且f(5)?7,求f(?5).
(2)若f(x)为奇函数,且当x?0时,f(x)?xsinx?cos2x,求当x?0时,f(x)的解析式.
例6 试确定下列函数的单调递增区间 （1）y??sin2x （2）y?sin(x?
2
1
1
?
3
)（3）y?cos(
?
4
?3x)
（4）y?()sin2x （5）y?log1cosx
2
2
例7 不通过求值,比较下列各式的大小:
(1)sin(?
?
18
),sin(?
?
10
)(2)cos(?
235
?),cos(?
174
?)
(3)sin194?,cos160?(4)sin1,sin2,sin3
例8、若函数f(x)的定义域为R,对于任意x?R，都有f(x?a)??f(x),(a?0)。 证明：函数f(x)是周期为2a的函数。
【课后练习】
（01. 下列四个函数中，既是 ,）上的增函数，又是以?为周期的偶函数的是（ ）.
2
?
篇三：正弦、余弦函数图像与性质 教案
正、余弦函数的图像与性质
一、 教学目标： 1、知识与技能
(1)引导学生借助正弦函数线直观了解正弦函数y生学会通过“五点作图法”画正弦函数y
(2)引导学生通过诱导公式cos正弦函数y
?sinx
?sinx
?sinx
的图像形状，要求学
的图像； ，观察余弦函数y
?cosx
x?sin(x?
?2
)
图像与
图像的关系，由此学会画余弦函数图像；(3)要求学生能说出三
角函数的性质（定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最大最小值等）；
(3)引导学生通过“五点作图法”画出y与y
?sinx
?Asin(?x??)?b
的图像，并研究其
图像的关系以及A,?,?,b对图像的影响；
?Asin(?x??)?b
(4)要求学生能说出y图像的性质（定义域、值域、周期性、
对称性、单调性、最大最小值等） 2、过程与方法：
回顾在前一节课学习的三角函数线的定义和几何意义，借助几何画板画出当终边从x轴开始逆时针转动一周过程中正弦函数线长度的变化情况（以角度为x轴，相应的正弦函数线长度为y轴作图），以此使得学生对正弦函数的图像形状有直观的了解。再引导学生通过初中所学的画图三步骤“列表、描点、连线”掌握正弦函数的“五点作图法”，并能结合图像总结正弦函数图像的性质。引导学生通过对y
?Asin(?x??)?b
每一个A,?,?,b对y
?sinx
图像的影响进行单独的
的图像及能通
考虑，从简到繁，学会用“五点作图法”画出y
?Asin(?x??)?b
过y
?sinx
图像性质迁移类比（将?x??当成整体）总结出y
?Asin(?x??)?b
的
性质。通过例题讲解，总结方法，通过课堂练习，检验和巩固所学知识。 3、情态与价值
通过本节的学习，让学生掌握正、余弦函数的性质并能灵活运用于解题，培养数形结合、由简到繁、迁移类比的重要的数学思维能力，并通过正、余弦函数的图像让学生感受数学的对称美。 二、教学重、难点 重点：会画y
?sinx
、y
?cosx
的图像，掌握两个函数的图像性质（定义域、值
域、周期性、奇偶性、对称性等） 难点：y
?sinx
和y
?Asin(?x??)?b
图像之间的关系
三、学法与教学用具
学法：利用三角函数线和五点作图法理解和掌握画图的方法 教学用具：几何画板、PPT 四、教学设想
1、引导学生回顾之前所学
在学习任意角的正弦、余弦值时，除了用坐标定义，还有几何意义，即三角函数线：
如图，有向线段OM的长度即为?的正弦值。 2、通过几何画板得到y
?sinx
图像及“五点作图法”
我们学习了任意角的正弦值，自然想要研究任意角的正弦值随角度改变的变化情况，由于角度不好测量，在[0,2?)内，圆弧AP的弧长即为?，于是我们利用几何画板（可实现吗？没有用过几何画板），作如上图的平面直角坐标系及单位圆，令角的顶点在原点，始边在x轴，终边从x轴开始逆时针旋转一周，并以终边转过的单位圆弧长为横坐标，正弦函数线长度为纵坐标，记录正弦值在
[0,2?)
随角度改变的变化情况，得到如下图：
引导学生通过观察，发现正弦函数的图像是一条光滑的波动曲线，在[0,2?)内有一个最大值及一个最小值。
让学生动手将图像扩展到实数轴上，引导学生可以通过a）三角函数线绕过一周又重复b）sin(
T?2?
x?2?)?sinx
发现正弦函数是周期函数并且最小正周期为
，所以画正弦函数图像只需画出一个周期内的部分再进行平移即可。于
是画正弦函数图像化简到画一个周期内的部分，观察图2，回顾初中所学的画图方法“列表、描点、连线”，发现只要将图2中横坐标为0,来，再将几个点光滑的连起来，就可以得到y让学生亲自动手在纸上画出y
?sinx
?sinx
?2
,?,
3?2
,2?
的点画出
的大致图像，（课堂练习）
在[?4?,2?)的图像。
3、探究y
?sinx
图像及y
?cosx
图像的关系
?cosx
先同样用几何画板的方式，让学生对y的图像有直观的了解，然后
?cosx
让他们用“五点作图法”动手实践，在同一个直角坐标系中画出y并与原来y
?sinx
的图像，
?sinx
的图像进行比较，引导学生说出“y
?cosx
的图像是由y
?2)
图像进行平移而来”，让他们思考原因并予以解答，cos的图像是由y4、研究y
定义域：R（x是任意角，没有限制）
?sinx
x?sin(x?
，y
?cosx
图像向左平移
?2
个单位得到。
?sinx
的性质
值域：[?1,1]（引导学生从几何意义看，正弦函数线的长度不超过1） 【课堂练习：目的在于引导学生数形结合 例题1：请写出以下函数的定义域和值域 1）
11?sinx
2）
?2cosx
】
最大最小值及当x为何值时取到：
ymax?1,x?
?
2
?2k?
ymin??1,x??
?
2
（可以从图像看出，也可从三角函数线定义入手）
?2k?
【课堂练习：
例题2 求下列函数的最值： 1）y=sin(3x+
?
4
)-1 2） y=sin2x-4sinx+53） y=
?
3?cosx3?cosx
目的：a）让学生学会将复杂的式子(3x
?4
)
当成整体
b）让学生学会将sin例题3、函数y
x,cosx
替换成另一个定义域为[?1,1]的自变量t
2, 最小值为-4，求k,b的值。】
?ksinx?b的最大值为
?sinx
奇偶性：奇函数（从y质原因是公式sin
图像可以直观看出关于原点对称，是奇函数，而本
x?sin(?x)
）
?Z
对称性：a）是中心对称，对称中心为(k?,0),k
（引导学生通过找特殊的几个对称中心，如(??,0),(0,0),(?,0),(2?,0),(3?,0)等总结出对称中心为(k?,0),k
?Z
，本质原因是sink?
?2
?k?,k?Z
?0,k?Z
）
b）是轴对称，对称轴为x
?
?
（引导学生通过找特殊的几条对称轴，如x
x?
?2
，x
?
3?2
等，总结出对称轴为
?2
?k?,k?Z
，本质原因是sin(
?2
?k?)??1,k?Z
）
【课堂练习：目的：仍是培养学生的整体代换思想 例题4、写出y
?sin(2x?
?3
)的对称中心和对称轴】
单调性：引导学生在一个周期内找单增、单减区间（注意一个周期内可以是
[0,2?)
，也可以是[?
?2
,
3?2
)
，在此为了让单增区间完整，用后者方便），再扩大
2
)内，y?sinx
到整个实轴上去，在[?
?2
,
3?
在[?
?2
,
?2
)内单增，在[
?2
,
3?2
)
单减，
引导学生思考下一个单增、单减区间如何得到，发现可以通过每一个单增区间向左向右平移
[?
T2
得到，于是引导学生总结出
，y
?sinx
y?sinx
的单增区间为
?2
?k?,
?2
?k?],k?Z
的单减区间为[
?2
?k?,
3?2
?k?],k?Z
（注意提醒学生：
a）单增区间的端点在有意义的情况下可取可不取，不影响单调性 b）单增区间为[?
?2?k?,
?2
?k?],k?Z
并不是说y
?sinx
在这些区间的并上单调
递增，而是说在每一个区间上单调递增）
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