篇一：电磁场课件-电磁场教案-第1章-2013
篇二：电磁场数值分析课件
湖 北 工 业 大 学
研 究 生 考 试 答 题 纸
考 试 科 目 工程电磁场数值计算研究生姓名 陈天丽学 号 120130104 任 课 教 师 邹玲教授 学院、专业 电气与电子工程学院 成 绩
二0一四 年 6 月19日
《工程电磁场数值计算》课程学习总结
这一学期的工程电磁场数值计算学完了，在老师的教导下以及与同学的课堂交流中我学习了很多很多东西，接下来我将从以下七个方面来总结以下这一学期我们学习的东西。
1.高斯消元法 1.1高斯消元法概念
高斯消除法是求解线性代数方程组最古老的方法之一。它不仅容易在计算机
上实现，同时，又是构造其他方法的基础。基本思想：按序逐次消去未知量，把原来的方程化为等价的三角形方程组，或者说，用矩阵行的初等变换将系数矩阵A约化为简单三角形矩阵；然后按相反方向顺序向上回代求解方程组。
一．下面以一个例子来说明高斯消除法的计算过程。
?2x1?3x2?4x3?6 (1)
?
?3x1?5x2?2x3?5 (2) ?
?4x1?3x2?30x3?32 (3)将上述方程写成矩阵形式
?2346??3525? ????433032??
（1）以第一行为基底，消元：
?k12?
kk1234?
? k13?13??2 k112k112
?
（2）第二行减去第一行乘以k12
3??
k21?k21?k11?k12?3?2?(?)?0
2
31??
k22?k22?k12?k12?5?3?(?)?
223??
k23?k23?k13?k12?2?4?(?)??4
2
3??
p2?p2?k13?k12?5?6?(?)??4
2
?
（3）同理，第三行减去第一行乘以k13
4??
k31?k31?k11?k13?4?2?(?)?0
24??
k32?k32?k12?k13?3?3?(?)??3
24??
k33?k33?k13?k13?30?4?(?)?22
24??
p3?p3?k13?p3?32?6?(?)?20
2
变形后矩阵变为
46??23
?00.5?4?4? ????0?32220??
（4）同理，以第二行为基地，消元：
?k23?
k23?3
???6 k220.5
?
k k32?k3?2k?12
3?2(3?3)?0.?5??)0
0.53??
k33?k33?k13?k13?22?(?4)?(?)??2
0.53??
p3?p3?k13?k23?20?(?4)?(?)??4
0.5
?
再次变形后的矩阵为
46??23
?00.5﹣?
4﹣4??
?4??00﹣2﹣?
对应的方程为
2x1?3x2?4x3?0 (1) 0.5x2?4x3??4 (2) ?2x3??4 (3)
?x3?2?
解得?x2?8
?
?x1??13
二.有限元的方程组的求解方法归纳：
?k11k12?
?k21k22????kn01kn02
高斯法如下：
k13k23kn03
???1??p1?
????????2???p2???????????kn0n0????n0??pn? k1n0k2n0
以第一行为基底消元：
p?
?ij
pijk11
k?
?1j
k1jk11
?k12第二 行减去第一行乘
第n0行减去第一行乘同理有如下通式
?k1n0
p1p?pi?ki1?p?pi?ki1?
k11
?i
?1
k?kij?k1j?k
1.2列主元消除法
一．基本实例 二．基本思想 给出增广矩阵
?ij?1j
?kij?ki1?
k1jk11
?a11a12?
?a21a22
??A，b=???
??a
?n1an2
a1na2nann
?a2,n?1?
? ?an,n?1??
a1,n?1?
用增广矩阵表示方程组，在增广矩阵上进行计算，其计算步骤是： （1） 选ai1,1?maxai1，交换第1行和第i1，然后进行消元得，
1?i?n
??a?1?a?1
1112??1??1??aa11????2122
?A，b?=????
??1??1?aa?n2?n1
?
11?????a2a2,nn?1
? ?
?1??1??annan,n?1??
a??1na?n??1?,
1
1
1
22?1?
（2） 选ai,1?maxai2，交换第2行和第i2，然后进行消元，得?A??，b???
22?i?n??
依次类推，每次消元前都要换行取最大的列元素为主元 三.列主元消去法技巧和注意
在消元过程中适当选取主元素是十分必要的。误差分析的理论和计算实践均
表明：顺序消元法在系数矩阵A为对称正定时，可以保证此过程对舍入误差的数值稳定性，对一般的矩阵则必须引入选取主元素的技巧，方能得到满意果。 在列主元消去法中，未知数仍然是顺序地消去的，但是把各方程中要消去的那个未知数的系数按绝对值最大值作为主元素，然后用顺序消去法的公式求解。顺序消去法未知量是按其出现于方程组中的自然顺序消去的，实际上已经发现顺序消去法有很大的缺点。设用作除数为主元素，首先，消元过程中可能出现 为零的情况，此时消元过程亦无法进行下去；其次如果主元素很小，由于舍入误差和有效位数消失等因素，其本身常常有较大的相对误差，用其作除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，使得所求的解误差过大，以致失真。
2.Ansoft maxwell有限元仿真 2.1.1有限元方法的基本思想
有限元的基本思想是将结构离散化来替代对实际结构的分析，即将实际结构
篇三：电磁场课件第一章
第一章 电磁场数学基础
1.1矢量的基本概念
1.1.1 标量与矢量
只有大小的物理量称为标量，如温度、压力、密度、质量、时间和电阻等。既有大小又有方向的物理量称为矢量，例如力、速度、电场强度和磁场强度等。为了便于区别矢量和标量，本书中用
?
斜体字母表示标量，而用斜体字母上加单向箭头表示矢量。例如A表示一个矢量，它的大小称为该
?
矢量的模。模是一个标量，表示为A或A。
1.1.2 单位矢量
???A。矢量模等于1的矢量叫做单位矢量，在本书中表示为e。与A矢量同方向的单位矢量表示为e
显然有，
?A?e
?
AA
(1.1.1)
?
这样，我们也可以将矢量A表示为
?
?AA (1.1.2) A?e
1.1.3 矢量的表示
?
在三维空间里，矢量A可以表示为一根有方向的线??
段。线段的长度表示A的模，线段的方向代表A的方向。?
在三维直角坐标系中，A可表示为一根由坐标原点出发的
有向线段，如图1.1.1所示。沿着三个坐标轴正方向上的
?
?y，e?x，e?z，A在三个单位矢量方向上单位矢量分别为e
?
的投影分别为Ax，Ay，Az，矢量A可表示为
图1.1.1 直角坐标系中的矢量A
?
?
矢量A的模为
?
?xAy?e?yAy?e?zAz A?e
(1.1.3)
?
A?A?
Ax?Ay?Az
222
(1.1.4)
?
?A为 矢量A与x轴、y轴、z轴的夹角分别为α、β、γ，单位矢量e?A?e
?AA
?x?e
AyA
?y?e
AyA
?z?e
AzA
?xco??yco??zco?s(1.1.5) ?es?es?e
其中cos??
Ax
A?A?A
2
x
2y
2z
，cos??
Ay
A?A?A
2x
2y
2z
，cos??
Az
A?A?A
2x
2y
2z
(1.1.6)
?
?A在直角坐标系中的三个分量，决定着矢量A的方向，由于cosα、cosβ、cosγ，是单位矢量e?
所以它们被称为矢量A的方向余弦。
?A的模等于1，可以由下面的式子证明。 单位矢量e
?A?e??1
cos??cos??cos?Ay
Ax?Ay?Az
2
2
2
2
2
2
?
Ay
Ax?Ay?Az
2
2
2
?
Az
Ax?Ay?Az
2
2
2
1.1.4
位置矢量与距离矢量
在三维直角坐标系中，由坐标原点出发向空间任一点
P(x,y,z)引出的有向线段称为点P的 位置矢量或矢径，表
??示为r，如图1.1.2所示。矢径r的三个坐标分量分别为x，y，z，可表示为
?
?xx?e?yy?e?zzr?e
图1.1.2 直角坐标系中的位置矢量
2
(1.1.7)
矢径r的模等于线段OP的长度，即 ?
r?r?
?
?
x?y?z(1.1.8)
2
2
?r为 矢径r的单位矢量e
?r? e
?rr?x?e
xr?y?e
yr?z?e
zr
?xco??yco??zco?s (1.1.9) ?es?es?e
?
本书用r表示电磁场中场点P(x,y,z)的位置矢量，用r?表示电磁场中源点P??x?,y?,z??的位?
置矢量，矢径R则表示由点P?引向点P的距离矢量，表示为
?
???
?x?x?x???e?y?y?y???e?z?z?z?? (1.1.10) R?r?r??e
?
距离矢量R的模R表示点P和点P?之间的距离，即
???R?R?r?r??
?x?x??2??y?y????z?z?? (1.1.11)
2
2
距离矢量的单位矢量为
?
?x?x???y?y???z?z??R
?R??x?y?z e(1.1.12) ?e?e?e
RRRR
1.2 矢量的代数运算
1.2.1 矢量相等
??
若矢量A与矢量B的大小相等且方向相同，或者说它们有相等的坐
??
图1.2.1 矢量平移 标分量，则称矢量A与矢量B相等，记为
??
A?B (1.2.1)
??
由矢量相等的定义可知，一个矢量A经平移后所得到的新矢量A?与原矢量相等，如图1.2.1??
所示，即A?A?。
1.2.2 矢量加法
??
???设矢量B?exBx?eyBy?ezBz，若将矢量B平移使它的始点与矢量
????
A的终点重合，则从矢量A的始点出发引向矢量B的终点的矢量C称为
??
矢量A与矢量B相加得出的和矢量，如图1.2.2所示，记为
图1.2.2 矢量加法
???
?x?Ax?Bx??e?y?Ay?By??e?z?Az?Bz??e?xCx?e?yCy?e?zCz(1.2.2) C?A?B?e
矢量加法满足交换律和结合律，即
????
交换律A?B?B?A(1.2.3) 结合律
1.2.3 矢量减法
??
与矢量B大小相等方向相反的矢量称为矢量B的负矢量，记为
?????
?B。矢量A与矢量?B相加得出的矢量C称为矢量A减去矢量
?A?B??C
???
???
?A??B?C? (1.2.4)
图1.2.2 矢量加法
?
B的差矢量，如图1.2.3所示，记为
?????C?A?B?A???B?
?x?Ax?Bx??e?y?Ay?By??e?z?Az?Bz? (1.2.5) ?e
?xCx?e?yCy?e?zCz?e
1.2.4 矢量的数乘
??C若矢量的诸分量分别等于矢量A的各分量与任意常数
a的乘积，即
Cx?aAx，Cy?aAy，Cz?aAz(1.2.6)
??
则矢量C称为矢量A与常数a的数乘，记为
????
C?aA 或C?Aa (1.2.7)
显然，若a
??
为大于零的实数，则aA相当于将原矢量A伸长（a>1）或缩短（a<1）a倍，而方
??
为小于零的实数，则aA相当于将原矢量A伸长（a>1）或缩短（a<1）
向保持不变；反之，若a
a倍，而方向变为相反方向。
1.2.5 矢量的标量积
两个矢量之间存在两种不同类型的乘积，即标量积和矢量积（也称作点乘和叉乘）。
??????
矢量A与矢量B的标量积记为A?B，其大小等于A的模和B的模与两个矢量之间夹角?的余弦的乘积，即
????
A?B?ABcos? (0????) (1.2.8)
显然，标量积可以看作是一个矢量在另一个矢量方向上的投影。由标量积的定义，不难证明标量积满足交换律和分配律，即
????
交换律A?B?B?A(1.2.9)
分配律A??B?C??A?B?A?C(1.2.10) ??
可以看出，若矢量A与矢量B垂直，即它们之间的夹角??90?，则这两个矢量的点积等于零；??
若矢量A与矢量B平行，即它们之间的夹角??0?，则这两个矢量的点积等于这两个矢量的模的乘
?
?
?
??
??
积，即有
??
A?B?0， ??90?(1.2.11) ????
A?B?AB, ??0?(1.2.12)
?y，e?x，e?z互相垂直，满足以下关系 直角坐标系中的三个坐标单位矢量e
?x?e?y?e?y?e?z?e?z?e?x?0(1.2.13) e
?x?e?x?e?y?e?y?e?z?e?z?1 (1.2.14) e
??
显然，可以用坐标分量的形式给出矢量A与矢量B的标量积，很容易用 (1.2.13)式和(1.2.14)式
证明有以下公式成立
??
A?B?AxBx?AyBy?AzBz (1.2.15)
这个公式表明，任何两个矢量的标量积等于这两个矢量的相应坐标分量乘积之和。
1.2.6 矢量的矢量积
????
矢量A与矢量B的矢量积记为A?B。它是一个矢量，垂直于包????
含矢量A与矢量B的平面，其大小等于A的模和B的模与两个矢量
之间夹角?的正弦的乘积，其方向是当右手的四指从转到时大拇指所
?n）指的方向（单位矢量为e，即
图1.2.3 矢量积
????
?nABsin? (1.2.16) A?B?e
????
显然，A?B的模在数值上等于矢量A与矢量B组成的平行四边形的面积，如图1.2.3所示。 ??
矢量积不满足交换律，从矢量积的定义可知，矢量A与矢量B叉积顺序上的交换将导致矢量积
的结果矢量反向，即有
????
A?B??B?A(1.2.17)
矢量积满足分配律，即
???????
A??B?C??A?B?A?C (1.2.18)
另外，矢量积也不满足结合律，即
??????
A??B?C???A?B??C
??
作为特殊情况可以看到，若矢量A与矢量B平行，即它们之间的夹角??0?，则这两个矢量之??
间的矢量积等于零；若矢量A与矢量B垂直，即它们之间的夹角??90?，则这两个矢量之间的矢
量积的模等于这两个矢量模的乘积。即有
??
A?B?0， ??0? (1.2.19) ????
A?B?AB, ??90?(1.2.20)
?y，e?x，e?z满足以下关系 由以上性质可以推论，直角坐标系中的三个坐标单位矢量e
?x?e?x?e?y?e?y?e?z?e?z?0 (1.2.21) e
?x?e?y??e?y?e?x?e?z (1.2.22) e
?y?e?z??e?z?e?y?e?x (1.2.23) e
?z?e?x??e?x?e?z?e?y (1.2.24) e
利用(1.2.21)～(1.2.24)式，可以将矢量的矢量积用坐标分量的形式表示出来，即
《电磁场课件》出自：百味书屋
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