篇一：反比例函数课件
篇二：函数及其-表示课件
函数及其表示方法
补充内容
设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).
注意：
(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；
(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；
(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；
(4)原象集合=定义域，值域=象集合.
函数与映射的关系
函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出.
映射
函数
集合A,B可为任何集合,其元素可以是物,人,数等
函数的定义域和值域均为非空的数集
对于集合A中任一元素,在集合B中都有唯一确定的像
对函数的定义域中每一个,值域中都有唯一确定的值与之对应
对集合B中任一元素,在集合A中不一定有原像
对值域中每一个函数值,在定义域中都有确定的自变量的值与之对应
函数是特殊的映射,映射是函数的推广.
〖注意〗（1）函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应：A→B。这里A，B为非空的数集。
（2）A：定义域，原象的集合；{|∈A}：值域，象的集合，其中{|∈A}(B；：对应法则，∈A，∈B
（3）函数符号：=，是的函数，简记
知识点一、函数的概念
1．函数的定义
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.
记作：y=f(x)，xA．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域.
3.已知函数f(x)=3x2+5x-2，求f(3)，，f(a) ，f(a+1).
思路点拨：由函数f(x)符号的含义，f(3)表示在x=3时，f(x)表达式的函数值.
解：f(3)=3×32+5×3-2=27+15-2=40；；；.
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；
②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.
1.下列各组函数是否表示同一个函数？
(1)
(2)
(3)
(4)
思路点拨：对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.
解：(1)，对应关系不同，因此是不同的函数；
(2)的定义域不同，因此是不同的函数；
(3)的定义域相同，对应关系相同，因此是相同的函数；
(4)定义域相同，对应关系相同，自变量用不同字面表示，仍为同一函数.
总结升华：函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则，其中核心是对应法则，它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：
(1)定义域不同，两个函数也就不同；
(2)对应法则不同，两个函数也是不同的.
(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.
3．区间的概念
(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
(2)无穷区间；
(3)区间的数轴表示．
区间表示：
{x|a≤x≤b}=[a，b]；
；；
.
知识点二、函数的表示法
1．函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.
⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.
例如，s=60，A=，S=2,y=a+bx+c(a0),y=(x2)等等都是用解析式表示函数关系的.
优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.
⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.
例如，学生的身高 单位：厘米
学号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
身高
125
135
140
156
138
172
167
158
169
数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表
优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.
⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.
例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.
优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.
2．分段函数：
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
9. 已知，求f(0)，f[f(-1)]的值.
思路点拨：分段函数求值，必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系. 解：f(0)=2×02+1=1
f[f(-1)]=f[2×(-1)+3]=f(1)=2×12+1=3.
举一反三：
【变式1】已知，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)，f{f[f(-1)+1]}的值. 解：由分段函数特点，作出f(x)图象如下： ∴如图，可得：f(1)=2；f(-1)=-1；f(0)=；f{f[f(-1)+1]}=f{f[-1+1]}=f{f(0)}=f()=+1.
三、规律方法指导
1.函数定义域的求法
(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.
(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.
(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.
2.求下列函数的定义域(用区间表示).
(1)；(2)；(3).
思路点拨：由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围.
解：(1)的定义域为x2-2≠0，
；
(2)；
(3).
总结升华：使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.
小结几类函数的定义域：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(即求各集合的交集)
(5)满足实际问题有意义.
3.函数值域的求法
实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：
观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的"最高点"和"最低点"，观察求得函数的值域；
配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；
判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些"分式"函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；
换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.
求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.
经典例题透析
4. 求值域(用区间表示)：
(1)y=x2-2x+4；.
思路点拨：求函数的值域必须合理利用旧知识，把现有问题进行转化.
解：(1)y=x2-2x+4=(x-1)2+3≥3，∴值域为[3，+∞)；
(2)；
(3)；
(4)，∴函数的值域为(-∞，1)∪(1，+∞).
7. 求函数的解析式 (1)若f(2x-1)=x2，求f(x) (2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x). 思路点拨：求函数的表达式可由两种途径. 解：(1)∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，则 ；(2)f(x+1)=2x2+1，由对应法则特征可得：f(x)=2(x-1)2+1 即：f(x)=2x2-4x+3. 举一反三： 【变式1】(1) 已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)；(2)已知：，求f[f(-1)]. 解：(1)(法1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1 ∴f(x)=x2+2x-1； (法2)令x+1=t，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1 ∴f(x)=x2+2x-1； (法3)设f(x)=ax2+bx+c则 f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c
∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2
；
(2)∵-1＜0，∴f(-1)=2·(-1)+6=4f[f(-1)]=f(4)=16.
总结升华：求函数解析式常用方法：
(1)换元法；(2)配凑法；(3)定义法；(4)待定系数法等.注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.
篇三：《反函数》说课稿
《反函数》说课稿
各位评委、老师大家好：
我说课的题目是《反函数》，内容选自高中数学第一册第2.4节。
通过我对教材的理解,知道反函数在高中函数部分起着重要的作用。他是对直接函数的进一步加深，那么我将从以下面几个方面对反函数进行分析、说明。
一、说教材
1、教材地位与重要性分析
“反函数”一节课是高中数学第一册的重要内容。这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为日后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用。
2、教学目标
（1）让学生接受、理解反函数的概念，并且让学生能够正确判断一个函数是否存在反函数；
（2）让学生能够求出指定函数的反函数，并能理解原函数和反函数之间的内在联系；
（3）培养学生发现问题、观察问题、解决问题的能力；
（4）使学生树立对立统一的辩证思维观点。
3、教学重难点
重点是掌握反函数的概念及反函数的求法。理解反函数概念并求出函数的反函数是高一代数教学的重要内容，这建立在对函数概念的真正理解的基础上，必须使学生对于函数的基本概念有清醒的认识。难点是反函数概念的理解。学生不知道反函数是怎样的来得，也不知道反函数与原函数间的关系，使得学生在学习的过程中容易产生错误的认识，那么我们就必须要让学生认清反函数的本质问题，才能使学生接受概念并对反函数的存在有正确的认识。在教学中通过复习函数概念，进而引出反函数概念，就是为突破难点做准备。
二、说教法
根据本节课的内容及学生的实际水平，我采取引导发现式教学方法。
引导发现法作为一种启发式教学方法，体现了认知心理学的基本理论。教学过程中，教师采用点拨的方法，启发学生通过主动思考、动手操作来达到对知识的“发现”和接受，进而完成知识的内化，使书本的知识成为自己的知识。课堂不再成为“一言堂”，学生也不会变成教师注入知识的“容器”。
三、说学法
在教学中，教师创设疑问，让学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，在积极的双边活动中，学生找到了解决疑难的方法。整个过程贯穿“怀疑”——“思索”——“发现”——“解惑”四个环节，学生随时对所学知识产生有意注意，思想上经历了从肯定到否定、又从否定到肯定的辨证思维过程，符合学生认知水平，培养了学习能力。
四、说过程
在新课导入、新课讲授及终结阶段的教学中，我力求发挥学生自我发现的能力，突出学生的教学主体地位，以启发、引导为教师的责任。
一、新课导入
首先，我们从物理上速度、时间、路程三者之间的关系入手，讨论在一个匀速直线运动过程中路程与
时间只存在一个什么样的关系，列出表达式，在考虑时间与路程之间的关系，又列出一个表达式。观察这两个函数之间存在一个什么样的关系，指明函数是一种映射的实质，分析原函数中映射的具体情况，进而引导学生考虑，若将定义域、值域互换，此时映射还是不是一个函数呢？
这样的引入方式，抓住了反函数概念的实质，确保学生不会产生概念上的偏差。此外，可以使学生明白新知识来源于旧知识，促使学生主动运用函数的研究方法去学习反函数，为顺利完成教学任务做好思维上的准备。
二、新课讲授
在导入的基础上，给出反函数的具体概念。
给出概念后，必须防止学生对于反函数f-1(y)形式的误解（以为是1/f(x)）。此外，还要学生理解：最终的表达形式写为y=f-1(x)是顺应习惯，并且也为后面的图象研究提供方便，y实际上是直接函数中的x，x是直接函数中的y。对于这一问题可以引导学生从图象观察得出。
进一步深化对概念的理解，设置疑问：（1）反函数是不是函数；（2）反函数有没有三要素？如何确定？ 引导学生思索，学生逐渐会认识到：反函数也是函数，其定义域是直接函数的值域，对应法则可由直接函数得到，值域则是直接函数的定义域。
这时，指明反函数与直接函数的关系。澄清学生对于概念的认识，抓住问题的关键。
但是，具体怎样求一个函数的反函数呢？
这些问题，必须通过实例解决，于是进入例题解答过程。
例1、 求下列函数的反函数。
（1）y=5x-1(x∈R)； (2)y=x3+1； （3）y=(3x+2)/(x-1)(x∈R且x≠1)
通过例1，要使学生明白具体求反函数的过程。以达到突出重点、突破难点的目的。
启发学生：既然反函数也存在三要素，那如何一一求出，得到具体的反函数呢？这时结合第（1）小题，让学生思考问题。引导学生找出关键x的方程，将x用y表达，以得到反函数的表达式。这个表达式中的x、 y表示什么？这和我们通常的函数表达式有什么区别？进而引导学生想到交换x、 y得到我们习惯使用的函数表达式。再考虑：反函数的定义域、值域怎么求？是怎样来的？学生思考后，可得出通过求直接函数值域来得到反函数的定义域的方法。
教师板书第（1）小题，学生完成后两题。
此时，引导学生比较三道小题的解题步骤，师生共同小结出求反函数的三部曲：反解（把解析式看作x的方程，求出反函数的解析式）--→互换（求出所给函数的值域并把它改换成反函数的定义域）--→改写（将函数写成y=f-1(x)的形式）。
教师在这一部分教学中，抓住反函数是函数这一本质问题，突出了反函数与直接函数之间的联系，给出了具体求解的过程，使学生掌握了重点问题的解决方法。教师以一个个问题来引导学生逐步“发现”解决问题的方法，符合学生的认知水平。在教师创设的问题情境中，学生的认识达到了第一次平衡。
“反函数的概念已经理解，反函数也会求了，任务已基本完成，该休息了”，有的学生会这样想。这时，出示第二道例题，打破平衡，激起学生的疑难。
例2、（1）y=x2(x)的反函数 （2）y=x2(x≥0)的反函数是 （3）y=x2(x<0)的反函数是 相当一部分同学会按部就班求出第（1）小题的“反函数” y= (x∈R)。这对不对呢？通过老师在黑板上画图，引导学生观察图象，从函数的概念出发，必须存在x→y的单值对应，但反过来呢？y→x存不存
在单值对应呢？适当的引导提问，使学生抓住了问题的关键：在原函数的定义域内必须存在y→x的单值对应，这是反函数存在的前提。认清这一问题后，引导学生进一步分析，y=x2(x∈R)不存在反函数，在定义域的局部存不存在反函数呢？让学生借助图形发现答案，并且进一步得出y=x2(x≥0)，y=x2(x<0)两个函数的反函数。这样，就突破了主要难点，澄清了概念，并为以后反正弦函数的教学做好理论准备。
这样设计的好处是：（1）通过函数图像来研究问题，直观形象，符合学生的认识水平，并且为后续的互为反函数的函数图像关系问题做好铺垫。（2）对于反函数的存在性问题，不能回避，必须使学生理解其内在含义，由具体的二次函数结合图像解决这一问题，可以澄清的学生的疑问，达到教学目标。
此时，趁学生对于概念有了一个比较清晰的认识，从函数概念、反函数的存在性、反函数的求法三方面进行简单的归纳，突出重点，突破难点。
三、小结阶段
（一）课堂练习
（1）函数y=2|x|在下列哪个定义区间内不存在反函数？（ ）
（A）[2，4]；（B）[-4，4] （C）（0，+∞] （D）（-∞，0]
(2)求反函数：y=x/(2x+5),(x∈R且x≠-5/3)
（3）已知y=，x∈[0,5/2],求出它的反函数，并指明定义域。
第一道题是概念题，使学生对于反函数的概念有更清晰的认识，使学生对于反函数的存在条件认识更深刻。第二道题使学生熟悉反函数的求法，突出重点。第三道题使学生加深对于概念的理解，弄清反函数与直接函数的内在关系。
（二）小结归纳
通过对反函数概念和性质的小结，使学生理清这节课的重难点，并使终结阶段的教学更为完整，达到本堂课的教学目标。
布置一道发散性的练习（已知函数y=f(x),（x∈A）是增函数，问：反函数y=f-1(x)单调性如何？图象中如何反映？），进一步深化教学。
总之，在整个教学过程中，我抓住学生的“主体”来进行教学，以积极的双边活动使学生主动自觉地发现结果、发现方法。培养了学生的观察分析能力和思维的全面性。具体教学中，教师创设问题情境，学生在这一情境中去讨论分析、探究发现，以符合学生思维的形式发展了学生的能力，达到了教学目标，优化了整个教学。
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