篇一：高考数学填空题常胜技巧
高考数学填空题常胜技巧
数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求
数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫。常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、等价转化法等。
一、直接法
这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。
例1设 其中i，j为互相垂直的单位向量，又 ，则实数m = 。
解： ∵ ，∴ ∴ ，而i，j为互相垂直的单位向量，故可得 ∴ 。
例2已知函数 在区间 上为增函数，则实数a的取值范围是。
解： ，由复合函数的增减性可知， 在 上为增函数，∴ ，∴ 。
例3现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为。
解：由题设，此人猜中某一场的概率为 ，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为 。
二、特殊化法
当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。
例4 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若a、b、c成等差数列，则 。 解：特殊化：令 ，则△ABC为直角三角形， ，从而所求值为 。
例5 过抛物线 的焦点F作一直线交抛物线交于P、Q两点，若线段PF、FQ的长分别为p、q，则。
分析：此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k的直线与抛物线均有两个交点P、Q，当k变化时PF、FQ的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF、FQ不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。
解：设k = 0，因抛物线焦点坐标为 把直线方程 代入抛物线方程得 ，∴ ，从而 。 例6 求值 。
分析：题目中“求值”二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令 ，得结果为 。
三、数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。
例7如果不等式 的解集为A，且 ，那么实数a的取值范围是 。
解：根据不等式解集的几何意义，作函数 和
函数 的图象（如图），从图上容易得出实数a的取
值范围是 。
例8 求值 。
解： ，
构造如图所示的直角三角形，则其中的角 即为 ，从而
所以可得结果为 。
例9 已知实数x、y满足 ，则 的最大值是。
解： 可看作是过点P（x，y）与M（1，0）的直线的斜率，其中点P的圆 上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率 最大，最大值为 。
四、等价转化法
通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。
例10 不等式 的解集为（4，b），则a= ，b= 。
解：设 ，则原不等式可转化为： ∴a > 0，且2与 是方程 的两根，由此可得： 。 例11不论k为何实数，直线 与曲线 恒有交点，则实数a的取值范围是 。 解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆 ，∴ 。 例12 函数 单调递减区间为 。
解：易知 ∵y与y2有相同的单调区间，而 ，∴可得结果为 。
总之，能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。
五、练习
1 已知函数 ，则
讲解 由 ，得 ，应填4.
请思考为什么不必求 呢？
2． 集合 的真子集的个数是
讲解 ，显然集合M中有90个元素，其真子集的个数是 ，应填 .
快速解答此题需要记住小结论;对于含有n个元素的有限集合,其真子集的个数是
3． 若函数 的图象关于直线 对称，则
讲解 由已知抛物线的对称轴为 ,得 ，而 ，有 ，故应填6.
4． 果函数 ，那么
讲解 容易发现 ，这就是我们找出的有用的规律，于是
原式＝ ，应填
本题是2002年全国高考题，十分有趣的是，2003年上海春考题中也有一道类似题： 设 ，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得
5． 已知点P 在第三象限，则角 的终边在第 象限.
讲解 由已知得
从而角 的终边在第二象限，故应填二.
6． 不等式 （ ）的解集为 .
讲解 注意到 ，于是原不等式可变形为
而 ，所以 ，故应填
7． 如果函数 的图象关于直线 对称，那么
讲解 ，其中 .
是已知函数的对称轴，
，
即 ，
于是故应填 .
在解题的过程中，我们用到如下小结论：
函数 和 的图象关于过最值点且垂直于x轴的直线分别成轴对称图形.
8． 设复数 在复平面上对应向量 ， 将 按顺时针方向旋转 后得到向量 ， 对应的复数为 ，则
讲解 应用复数乘法的几何意义，得
，
于是
故应填
9．设非零复数 满足 ，则代数式 的值是____________.
讲解 将已知方程变形为，
解这个一元二次方程，得
显然有 , 而 ,于是
原式＝
＝
＝
在上述解法中，“两边同除”的手法达到了集中变量的目的，这是减少变元的一个上策，值得重视.
10． 已知 是公差不为零的等差数列，如果 是 的前n项和，那么
讲解 特别取 ，有 ，于是有
故应填2.
11． 列 中，, 则
讲解 分类求和，得
，故应填 ．
12． 以下四个命题：
①
②
③凸n边形内角和为
④凸n边形对角线的条数是
其中满足“假设 时命题成立，则当n=k+1时命题也成立’’.但不满足“当 （ 是题中给定的n的初始值）时命题成立”的命题序号是 .
讲解 ①当n=3时， ，不等式成立；
② 当n=1时， ，但假设n=k时等式成立，则
；
③ ，但假设 成立，则
④ ，假设 成立，则
故应填②③.
13．某商场开展促销活动，设计一种对奖券，号码从000000到999999. 若号码的奇位数字是不同的奇数，偶位数字均为偶数时，为中奖号码，则中奖面（即中奖号码占全部号码的百分比）为 .
讲解 中奖号码的排列方法是： 奇位数字上排不同的奇数有 种方法，偶位数字上排偶数的方法有 ，从而中奖号码共有 种，于是中奖面为
故应填
14．的展开式中 的系数是
讲解 由 知，所求系数应为 的x项的系数与 项的系数的和，即有
故应填1008.
15． 过长方体一个顶点的三条棱长为3、4、5, 且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是________.
讲解 长方体的对角线就是外接球的直径 , 即有
从而 ，故应填
16． 若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是 （只需写出一个可能的值）．
讲解 本题是一道很好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是怎样构造的，依据“三角形中两边之和大于第三边”，就可否定｛1，1，2｝，从而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三种形态，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四面体的体积分别为： , , ，故应填. 、 、 中的一个即可.
17． 如右图，E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是 .（要求：把可能的图的序号都填上）
讲解 因为正方体是对称的几何体，所以四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB1A1、面ADD1A1上的射影.
四边形BFD1E在面ABCD和面ABB1A1上的射影相同，如图○2所示；
四边形BFD1E在该正方体对角面的ABC1D1内，它在面ADD1A1上的射影显然是一条线段，如图○3所示. 故应填○2○3.
18直线 被抛物线 截得线段的中点坐标是___________.
讲解 由 消去y，化简得
设此方程二根为 ，所截线段的中点坐标为 ，则
故 应填 .
19 椭圆 上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是_____________________.
讲解 记椭圆的二焦点为 ，有
则知
显然当 ，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.
故应填 或
20一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是 ，在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是___________.
讲解依抛物线的对称性可知，大圆的圆心在y轴上，并且圆与抛物线切于抛物线的顶点，从而可设大圆的方程为
由
消去x，得 （*）
解出或
要使（*）式有且只有一个实数根 ，只要且只需要 即
再结合半径 ，故应填
数学 怎样解填空题
【考点梳理】
一、题型特点
填空题和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍，考查目标集中，答案简短、明确、具体，不必填写解答过程，评分客观、公正、准确等等。
不过填空题和选择题也有质的区别。首先，表现为填空题没有备选项。因此，解答时既有不受诱误的干扰之好处，又有缺乏提示的帮助之不足，对考生独立思考和求解，在能力要求上会高一些，长期以来，填空题的答对率一直低于选择题的答对率，也许这就是一个重要的原因。其次，填空题的结构，往往是在一个正确的命题或断言中，抽去其中的一些内容（既可以是条件，也可以是结论），留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活。在对题目的阅读理解上，较之选择题，有时会显得较为费劲。当然并非常常如此，这将取决于命题者对试题的设计意图。
填空题与解答题比较，同属提供型的试题，但也有本质的区别。首先，解答题应答时，考生不仅要提供出最后的结论，还得写出或说出解答过程的主要步骤，提供合理、合法的说明。填空题则无此要求，只要填写结果，省略过程，而且所填结果应力求简练、概括和准确。其次，试题内涵，解答题比起填空题要丰富得多。填空题的考点少，目标集中，否则，试题的区分度差，其考试信度和效度都难以得到保证。这是因为：填空题要是考点多，解答过程长，影响结论的因素多，那么对于答错的考生便难以知道其出错的真正原因。有的可能是一窍不通，入手就错了，有的可能只是到了最后一步才出错，但他们在答卷上表现出来的情况一样，得相同的成绩，尽管它们的水平存在很大的差异。对于解答题，则不会出现这个情况，这是因为解答题成绩的评定不仅看最后的结论，还要看其推演和论证过程，分情况评定分数，用以反映其差别，因而解答题命题的自由度，较之填空题大得多。由此可见，填空题这种题型介于选择题与解答题这两种题型之间，而且确实是一种独立的题型，有其固有的特点。
篇二：高考数学填空题常胜技巧
高考数学填空题常胜技巧
数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求
数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫。常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、等价转化法等。
一、直接法
这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。
例1设a?(m?1)i?3i,b?i?(m?1)j,其中i，j为互相垂直的单位向量，又(a?b)?(a?b)，则实数m = 。
解：a?b?(m?2)i?(m?4)j,a?b?mi?(m?2)j.∵(a?b)?(a?b)，∴(a?b)?(a?b)?0∴m(m?2)j2?[?(m?2)2?m(m?4)]i?j?(m?2)(m?4)j2?0，而i，j为互相垂直的单位向量，故可得m(m?2)?(m?2)(m?4)?0,∴m??2。
ax?1在区间(?2,??)上为增函数，则实数a的取值范围是。 x?2
ax?11?2a1?2a?a?解：f(x)?，由复合函数的增减性可知，g(x)?在(?2,??)上为增函数，∴x?2x?2x?2
11?2a?0，∴a?。 2例2已知函数f(x)?
例3现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为。
1解：由题设，此人猜中某一场的概率为，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件，故某人全部猜3
1中即获得特等奖的概率为13。 3
二、特殊化法
当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。
例4 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若a、b、c成等差数列，则cosA?cosC?。 1?cosAcosC
33解：特殊化：令a?3,b?4,c?5，则△ABC为直角三角形，cosA?,cosC?0，从而所求值为。 55
例5 过抛物线y?ax2(a?0)的焦点F作一直线交抛物线交于P、Q两点，若线段PF、FQ的长分别为p、q，则11?? pq
分析：此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k的直线与抛物线均有两个交点P、Q，当k变化时PF、FQ的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF、FQ不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。
解：设k = 0，因抛物线焦点坐标为(0,
|PF|?|FQ|?111，从而??4a。 2apq111),把直线方程y?代入抛物线方程得x?，∴4a4a2a
例6 求值cos2a?cos2(a?120?)?cos2(a?240?)?
分析：题目中“求值”二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令a?0?，得结果为3。 2
三、数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。
例7如果不等式4x?x2?(a?1)x的解集为A，且A?{x|0?x?2}，那么实数a的取值范围是 。
解：根据不等式解集的几何意义，作函数y?4x?x2和
函数y?(a?1)x的图象（如图），从图上容易得出实数a的取
值范围是a??2,???。
例8 求值sin(
解：sin(?3?arctan1)?。 2?
3?arctan13111)?)?)， 22222
1，从而 2构造如图所示的直角三角形，则其中的角?即为arctan
1211?2)?,)?.所以可得结果为。 22105
例9 已知实数x、y满足(x?3)2?y2?3，则
解：y的最大值是。 x?1y可看作是过点P（x，y）与M（1，0）的直线的斜率，其中点P的圆(x?3)2?y2?3上，如图，x?1
y当直线处于图中切线位置时，斜率最大，最大值为tan??3。 x?1
四、等价转化法
通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。
3的解集为（4，b），则 2
33解：设x?t，则原不等式可转化为：at2?t??0,∴a > 0，且2与b(b?4)是方程at2?t??0的22
1两根，由此可得：a?,b?36。 8例10 不等式x?ax?
例11不论k为何实数，直线y?kx?1与曲线x2?y2?2ax?a2?2a?4?0恒有交点，则实数a的取值范围是 。
解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆(x?a)2?y2?2a?4，∴?1?a?3。 例12 函数y?4x?1?23?x单调递减区间为 。
113解：易知x?[,3],y?0.∵y与y2有相同的单调区间，而y2?11?4?4x2?13x?3，∴可得结果为[,3]。 48
总之，能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。
五、练习
1 已知函数f?x??
讲解 由3?. x?1，则f?1?3??_______f?1?3??x?4，应填4. x?1，得
?1请思考为什么不必求f?x?呢？
??. ?的真子集的个数是______???1?2． 集合M??x?1?log110??,x?N2?x?
讲解 M?x?lgx?2,x?N?x?x?100显然集合M中有90个元素，其真子集的个数是2,x?N，
应填290????90?1，?1.
2 快速解答此题需要记住小结论;对于含有n个元素的有限集合,其真子集的个数是2?1.
23． 若函数y?x??a?2?x?3,x??a,b?的图象关于直线x?1对称，则b?_____.
讲解 由已知抛物线的对称轴为x??a?2a?b?1，有b?6，故应填6. ,得 a??4，而22
x2
4． 果函数f?x??，那么 21?x
f?1??f?2??f???f?3??f???f?4??f???_____. ?1?
?2??1??3??1??4?
讲解 容易发现f?t??f???1，这就是我们找出的有用的规律，于是
原式＝f?1??3??1??t?
77，应填. 22本题是2002年全国高考题，十分有趣的是，2003年上海春考题中也有一道类似题： 设f?x??1
2?2x，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得
f??5??f??4??????f?0??????f?5??f?6??______.
5． 已知点P?tan?,cos??在第三象限，则角?的终边在第____象限.
讲解 由已知得
??tan??0,?sin??0, ???cos??0,?cos??0,
2cosx从而角?的终边在第二象限，故应填二. 6． 不等式?lg20??1（x??0,??）的解集为__________.
讲解 注意到lg20?1，于是原不等式可变形为
2cosx?0?cosx?0.
而0?x??，所以0?x??
2，故应填?x0?x??
???，x?R?. 2?
7． 如果函数y?sin2x?acos2x的图象关于直线x??
讲解 y??a2sin?2???，其中tan??a. ?8对称，那么a?_____.
?x???
8是已知函数的对称轴，
?????2??????k??， 2?8?
即 ??k??3?，k?Z， 4
于是 a?tan??tan?k??
??3?????1. 故应填 ?1. 4?在解题的过程中，我们用到如下小结论： 函数y?Asin??x???和y?Acos??x???的图象关于过最值点且垂直于x轴的直线分别成轴对称图形.
8． 设复数z1?2sin??cos??3?????后得到向量????在复平面上对应向量OZ1，将OZ1按顺时针方向旋转42??4
OZ2，OZ2对应的复数为z2?r?cos??isin??，则tan??____.
讲解 应用复数乘法的几何意义，得
z2?z1?cos?
?3?3???isin? 44?
??
于是tan??
2??2sin??cos????2sin??cos??i?， 22sin??cos?2tan??1?， 2sin??cos?2tan??12tan??1. 故应填 2tan??1
?x 9．设非零复数x,y满足 x2?xy?y2?0，则代数式 ??x??
??y??2005?y????x?y????2005的值是____________. ?x??x?讲解 将已知方程变形为 ??y?????y???1?1，
????2
解这个一元二次方程，得
x1???i??. y22
2
显然有??1,1?????, 而2005?3?668?1,于是 3?20051原式＝ ?200520051??1?? ＝ ?
??22005?1??22005
＝1???1. ??2在上述解法中，“两边同除”的手法达到了集中变量的目的，这是减少变元的一个上策，值得重视.
10． 已知?an?是公差不为零的等差数列，如果Sn是?an?的前n项和，那么
limn??nan?_____. Sn
n?n?1?，于是有 2 讲解 特别取an?n，有Sn?
limn??nan2n2??limSnlimnn?1n??n??211?n?2. 故应填2.
?1?n是奇数??5n，11．列?an?中，an?? S2n?a1?a2?????a2n, 则 2??n，（n是偶数）?5
limS
n??2n?________.
讲解 分类求和，得 ?S2n??a1?a3?????a2n?1???a2?a4?????a2n?，
?limS2n
n??22115???，故应填． 11881?21?25515?
12．以下四个命题：
n2n?1①2〉?n?3?；
?n?1?；
?n?3?； 2②2?4?6?????2n?n?n?2③凸n边形内角和为f?n???n?1??
篇三：高考数学填空题常胜技巧_2
高考数学填空题常胜技巧
数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求
数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫。常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、等价转化法等。
一、直接法
这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。
例1设a?(m?1)i?3i,b?i?(m?1)j,其中i，j为互相垂直的单位向量，又(a?b)?(a?b)，则实数m = 。
解：a?b?(m?2)i?(m?4)j,a?b?mi?(m?2)j.∵(a?b)?(a?b)，∴(a?b)?(a?b)?0∴
m(m?2)j2?[?(m?2)2?m(m?4)]i?j?(m?2)(m?4)j2?0，而i，j为互相垂直的单位向量，故可得
m(m?2)?(m?2)(m?4)?0,∴m??2。
ax?1
在区间(?2,??)上为增函数，则实数a的取值范围是。 x?2
ax?11?2a1?2a
?a?解：f(x)?，由复合函数的增减性可知，g(x)?在(?2,??)上为增函数，∴1?2a?0，x?2x?2x?2
1∴a?。
2
例2已知函数f(x)?
例3现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为。
1
解：由题设，此人猜中某一场的概率为，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件，故某人全部猜中
3
1
即获得特等奖的概率为13。
3
二、特殊化法
当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。
cosA?cosC
?。
1?cosAcosC33
解：特殊化：令a?3,b?4,c?5，则△ABC为直角三角形，cosA?,cosC?0，从而所求值为。
55
例4 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若a、b、c成等差数列，则
例5 过抛物线y?ax2(a?0)的焦点F作一直线交抛物线交于P、Q两点，若线段PF、FQ的长分别为p、q，则
11
??。 pq
分析：此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k的直线与抛物线均有两个交点P、Q，当k变化时PF、FQ的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF、FQ不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。
解：设k = 0，因抛物线焦点坐标为(0,从而
11
??4a。 pq
1111),把直线方程y?代入抛物线方程得x?，∴|PF|?|FQ|?，4a4a2a2a
例6 求值cos2a?cos2(a?120?)?cos2(a?240?)?。
分析：题目中“求值”二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令a?0?，得结果为
3
。 2
三、数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。
例7如果不等式4x?x2?(a?1)x的解集为A，且A?{x|0?x?2}，那么实数a的取值范围是 。
解：根据不等式解集的几何意义，作函数y?4x?x2和 函数y?(a?1)x的图象（如图），从图上容易得出实数a的取 值范围是a??2,???。
例8 求值sin(解：sin(
?
3
?arctan
1
)? 2
?
3
?arctan
13111)?)?)， 22222
1
，从而 2
构造如图所示的直角三角形，则其中的角?即为arctan
12115?2)?,)?.所以可得结果为。
221055
例9 已知实数x、y满足(x?3)2?y2?3，则解：
y
的最大值是。 x?1
y
可看作是过点P（x，y）与M（1，0）的直线的斜率，其中点P的圆(x?3)2?y2?3上，如图，x?1
y
当直线处于图中切线位置时，斜率最大，最大值为tan??3。
x?1
四、等价转化法
通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。
3
的解集为（4，b），则， 2
33
解：设x?t，则原不等式可转化为：at2?t??0,∴a > 0，且2与(b?4)是方程at2?t??0的两根，
22
1
由此可得：a?,b?36。
8
例10 不等式x?ax?
例11不论k为何实数，直线y?kx?1与曲线x2?y2?2ax?a2?2a?4?0恒有交点，则实数a
的取值范
围是 。
解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆(x?a)2?y2?2a?4，∴?1?a?3。 例12 函数y?4x?1?23?x单调递减区间为 。
113
解：易知x?[,3],y?0.∵y与y2有相同的单调区间，而y2?11?4?4x2?13x?3，∴可得结果为[,3]。
48
总之，能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。
五、练习 1 已知函数f?x??讲解 由3?
. x?1，则f?1?3??_______
f?1?3??x?4，应填4.
x?1，得
?1
请思考为什么不必求f
?x?呢？
??
. ?的真子集的个数是______
??
?1?
2． 集合M??x?1?log110??,x?N
2?x?
讲解 M?x?lgx?2,x?N?x?x?100,x?N，显然集合M中有90个元素，其真子集的个数是2填2
90
????
90
?1，应
?1.
2
快速解答此题需要记住小结论;对于含有n个元素的有限集合,其真子集的个数是2?1.
2
3． 若函数y?x??a?2?x?3,x??a,b?的图象关于直线x?1对称，则b?_____.
讲解 由已知抛物线的对称轴为x??
a?2a?b
?1，有b?6，故应填6. ,得 a??4，而
22
x2
4． 果函数f?x??，那么 2
1?x
f?1??f?2??f???f?3??f???f?4??f???_____.
?1??2??1??3??1??4?
讲解 容易发现f?t??f???1，这就是我们找出的有用的规律，于是 原式＝f?1??3?
?1??t?
77，应填. 22
本题是2002年全国高考题，十分有趣的是，2003年上海春考题中也有一道类似题： 设f?x??
12?2
x
，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得
f??5??f??4??????f?0??????f?5??f?6??______.
5． 已知点P?tan?,cos??在第三象限，则角?的终边在第____象限. 讲解 由已知得
?tan??0,?sin??0,
? ??
cos??0,cos??0,??
从而角?的终边在第二象限，故应填二.
6． 不等式?lg20?
2cosx
?1（x??0,??）的解集为__________.
讲解 注意到lg20?1，于是原不等式可变形为2cosx?0?cosx?0. 而0?x??，所以0?x?
?
2
，故应填?x0?x?
??
?
?
，x?R?. 2?
7． 如果函数y?sin2x?acos2x的图象关于直线x??讲解 y??a2sin?2???，其中tan??a.
?
8
对称，那么a?_____.
?x??
?
8
是已知函数的对称轴，
????
?2??????k??，
2?8?
即 ??k??
3?
，k?Z， 4
于是 a?tan??tan?k??
??
3?4
?
???1. 故应填 ?1. ?
在解题的过程中，我们用到如下小结论：
函数y?Asin??x???和y?Acos??x???的图象关于过最值点且垂直于x轴的直线分别成轴对称图形. 8． 设复数z1?2sin??cos??
3?????
后得到向量OZ2，????在复平面上对应向量OZ1，将OZ1按顺时针方向旋转42??4
OZ2对应的复数为z2?r?cos??isin??，则tan??____.
讲解 应用复数乘法的几何意义，得z2?z1?cos
?
?
3?3???isin? 44?
??于是tan??
2
??2sin??cos????2sin??cos??i?， 2
2sin??cos?2tan??1
?，
2sin??cos?2tan??12tan??1
. 故应填
2tan??1
?x22
9．设非零复数x,y满足 x?xy?y?0，则代数式 ??x?
?
??y??
2005
?y?
???x?y????
2005
的值是____________.
?x??x?
讲解 将已知方程变形为 ??y?????y???1?1，
????
2
解这个一元二次方程，得
x1???i??. y22
2
显然有??1,1?????, 而2005?3?668?1,于是
3
?20051
原式＝ ?20052005
1??1??
＝
?
??22005
?
1
??22005
＝
1??
?1. 2
??
在上述解法中，“两边同除”的手法达到了集中变量的目的，这是减少变元的一个上策，值得重视.
10． 已知?an?是公差不为零的等差数列，如果Sn是?an?的前n项和，那么
lim
n??
nan
?_____. Sn
n?n?1?，于是有 2
讲解 特别取an?n，有Sn?
lim
n??
nan2n2
??lim
Snlimnn?1n??n??
21
1?n
?2. 故应填2.
?1
?n是奇数??5n，
11．列?an?中，an?? S2n?a1?a2?????a2n, 则
2
??n，（n是偶数）?5
limS
n??
2n
?________.
讲解 分类求和，得
?S2n??a1?a3?????a2n?1???a2?a4?????a2n?，
?limS2n
n??
2
2115???，故应填．
11881?21?2
55
15
?
12．以下四个命题：
n
2n?1①2〉
?n?3?；
?n?1?； ?n?3?；
2
②2?4?6?????2n?n?n?2
③凸n边形内角和为f?n???n?1??④凸n边形对角线的条数是f?n??
n?n?2?2
?n?4?.
其中满足“假设n?k?k?N,k?k0?时命题成立，则当n=k+1时命题也成立’’.但不满足“当n?n0（n0是题中给定的n的初始值）时命题成立”的命题序号是 .
讲解 ①当n=3时，2?2?3?1，不等式成立；
② 当n=1时，2?1?1?2，但假设n=k时等式成立，则
2?4?6?????2?k?1??k2?k?2?2?k?1???k?1???k?1??2；
2
2
3
③ f?3???3?1??，但假设f?k???k?1??成立，则 f?k?1??f?k??????k?1??1? ?；④ f?4??
4?4?2?k?k?2?，假设f?k??成立，则
22
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