篇一：必修一 指数函数图像及其性质 教案
个性化学科优化学案
鹰击长空—基础不丢
要点一、指数函数的概念：
x
函数y=a(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R. 要点诠释：
（1）形式上的严格性：只有形如y=a(a>0且a≠1)的函数才是指数函数．像y?2?3，y?2，y?3?1等
x
x
1
x
x
函数都不是指数函数．
（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：
x
??x?0时，a恒等于0，
①如果a?0，则? x
??x?0时,a无意义.
②如果a?0，则对于一些函数，比如y?(?4)，当x?
x
11
,x?,???时，在实数范围内函数值不存在． 24
x
③如果a?1，则y?1?1是个常量，就没研究的必要了．
要点二、指数函数的图象及性质：
（1）当底数大小不定时，必须分“a?1”和“0?a?1”两种情形讨论。 （2）当0?a?1时，x???,y?0；当a?1时x???,y?0。 当a?1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快。 当0?a?1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快。
?1?
（3）指数函数y?
ax与y???的图象关于y轴对称。
?a?
要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）
x
① y?a②y?b ③y?cx ④y?dx
则：0＜b＜a＜1＜d＜c
又即：x∈(0,+∞)时，bx?ax?dx?cx（底大幂大） x∈(－∞,0)时，bx?ax?dx?cx （2）特殊函数
x
x
y?2x,y?3x,
1y?()x,
21
y?()x的图像：
3
由底数变化引起指数函数图像变化的规律：在y轴右侧，底大图高；在y轴左侧，底大图低。
要点四、指数式大小比较方法
(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法
比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：
①若A?B?0?A?B；A?B?0?A?B；A?B?0?A?B； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断
AA
?1，或?1即可．
BB
可以攻玉—经典题型
类型一、指数函数的概念
例1．函数y?(a2?3a?3)ax是指数函数，求a的值．
举一反三：
【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？
（1）y?4；（2）y?x；（3）y??4；（4）y?(?4)； （5）y?(2a?1)(a?
x
x4xx
1
且a?1)；（6）y?4?x． 2
类型二、函数的定义域、值域
例2．求下列函数的定义域、值域.
3xxx(1)y?；(2)y=4-2+1；
(4)y?1?3x
举一反三：
【变式1】求下列函数的定义域： (1)y?
2x(3)y?
2
为大于1的常数)
-1
(2)y?
y?a?0,a?1)
类型三、指数函数的单调性及其应用 例3．讨论函数f(x)???
举一反三：
【变式1】求函数y?3?x
2
?1??3?
x2?2x
的单调性，并求其值域．
?3x?2
的单调区间及值域.
【总结升华】由本例可知，研究y?af(x)型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当a＞1时，y?af(x)的单调性与y?f(x)的单调性相同；当0＜a＜1时，y?af(x)的单调与y?f(x)的单调性相反．
ax?1
(a?1)在定义域上为增函数. 例4．证明函数f(x)?x
a?1
【思路点拨】利用函数的单调性定义去证明。 【解析】定义域为x?R，任取x1<x2，
ax1?1ax2?1(ax1?1)(ax2?1)?(ax1?1)(ax2?1)
f(x1)?f(x2)?x1??
a?1ax2?1(ax1?1)(ax2?1)2(ax1?ax2)
?x. x21
(a?1)(a?1)
?1?0，∴(ax1?1)(ax2?1)?0，
xxxx
又a>1， x1<x2，∴ a1?a2，∴ a1?a2?0， ∴ f(x1)<f(x2)，
ax?1
(a?1)在定义域上为增函数. 则 f(x)?x
a?1
xxxxx?x
另：a1?a2?a1(1?a21)， ∵a1?0， a>1且x2-x1>0，
x?xx?x
∴a21?1， ∴ 1?a21?0.
∵a1?1?0,a
例5．判断下列各数的大小关系：
x
x2
?1-24
(1)1.8与1.8； (2)()3,3,()
33
12.52.50
(3)2，(2.5)，() (4)a?0,a?1)
2
a
a+1
2
【变式1】比较大小：
2.12.3 33-0.3-0.1
(1)2与2 (2)3.5与3.2(3)0.9与1.1(4)0.9与0.7
0.3
0.4
(5)1.5
?0.2
24,()3,()3. 33
11
【总结升华】在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0，1等)分别与之比较，从而得出结果.总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断.
类型四、判断函数的奇偶性
例7．判断下列函数的奇偶性：f(x)?(【答案】偶函数
【解析】f(x)定义域关于原点对称(∵?(x)定义域关于原点对称，且f(x)的定义域是?(x)定义域除掉0这个
11
?)?(x) (?(x)为奇函数) 2x?12
11112x1?2x1
?，则g(?x)??x?????元素)，令g(x)?x xx
2?1222?122?121?2
?(2x?1)?111111
????1????(?)??g(x)
22x?12x?122x?12
∴ g(x)为奇函数， 又 ∵?(x)为奇函数，∴ f(x)为偶函数.
举一反三：
【变式1】判断函数的奇偶性：f(x)?
类型五、指数函数的图象问题
x
例8．如图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数y?a的图象，
而a??,
xx
?. 2x?12
??1?2???
??，2??
则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是________、________、________、________．
【变式2】为了得到函数y?9?3?5的图象，可以把函数y?3的图象( ) A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度
x
x
篇二：人教版高中数学必修1指数函数图象及性质题型梳理
人教版高中数学必修1指数函数图象及性质题型梳理
一、利用定义法解题
例1指出下列函数哪些是指数函数？
x（）（1）y?；（2）y?xn(n为常数，n?N)；（3）y?(?1)x；
x（4）y?(2a?1)(a?231且a?1)；（5）y?4?x． 2
二、函数单调性的应用
1、判断幂的大小
例2.判断下列各数的大小关系：
12.5?12.50(1)1.8与1.8；(2)()3,34,()-2(3)2，(2.5)，() (4)a?0,a?1) 2
33aa+12
练习：比较大小：
(1)2与22.12.3 (2)3.5与3.2 (3)0.933-0.324与1.1(4)0.9与0.7(5)1.5?0.2,()3,()3. 33-0.10.30.411
2.函数单调性
2x例3函数f（x）=(a-1)在R上是减函数，则a的取值范围是（）
A、a?1B、a?2 C、a<2 D、1<a?
练习;设0?a?1，使不等式a
三、底数决定函数值分布 x2?2x?12 ?3x?5?ax2成立的x的集合是
x例4如图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数y?
a的图象，而a????1
?2?????，??
则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是________、________、________、________．
练习1.设a,b,c,d都是不等于1的正数，y?ax,y?bx,y?cx,y?dx在同一坐标系中的图像如图所示，则a,b,c,d的大小顺序是（） A.a?b?c?dB.a?b?d?c
C.b?a?d?cD.b?a?c?d
2.函数y?ax?2?1.(a?0且a?1)的图像必经过点（）
A.(0,1)B.(1,1)C.(2,0)D.(2,2)
四、几类指数型函数的图象及应用
1、图象的平移 例5将函数f(x)?2x的图象向_________平移________个单位，就可以得到函数g(x)?2x?2的图象。
练习：1.若函数y?ax?(b?1)（a?0且a?1）的图象不经过第二象限，则有 （ ）
A、a?1且b?1 B、0?a?1且b?1C、0?a?1且b?0 D、a?1且b?0
2.函数f(x)?23?x在区间(??，0)上的单调性是（）
A、 增函数B、 减函数 C、 常数 D、 有时是增函数有时是减函数
3.函数f(x)?2x?1，使f(x)?0成立的的值的集合是（）
A、 xx?0 B、 xx?1 C、 xx?0 D、 xx?1
4.为了得到函数y?9?3?5的图象，可以把函数y?3的图象( )
A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度
B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度
C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度
D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度
2、指数型复合函数
例6：研究函数f(x)?2，g(x)?()的单调性
归纳方法：
|x|????????xx1|x|2
篇三：必修1数学讲解课件
高中数学 必修1 基本初等函数 知识点复习
指数与指数函数
【知识要点】
（一）指数及其运算性质
1．根式的概念：一般地，如果xn?a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作0?0。
?a(a?0)
当n是奇数时，nan?a，当n是偶数时，an?|a|??
?a(a?0)?2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
a?a(a?0,m,n?N,n?1)a
m
n
m*
?
mn
?
1a
mn
?
1
am
(a?0,m,n?N*,n?1)
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质
rrr?s
（1）a·a?a(a?0,r,s?R)；
rsrs(a)?a（2） (a?0,r,s?R)；
rrs(ab)?aa (a?0,r,s?R)． （3）
（二）指数函数
1．定义：形如y=ax（a>0，且a≠1）的函数叫做指数函数． 2．指数函数y=ax的性质：
（1）定义域：R；（2）值域：?0,???；
（3）单调性：当a>1时，在R上是增函数，当0<a<1 时，在R上是减函数． （4）图象过定点（0，1）；
（5）若a>1，则当x<0时，0<y<1，当x>0时y>1，若0<a<1，则当x<0时，y>1，当x>0时0<y<1． 3．指数函数y=ax的图象：如右图所示．记住图象，就可以记住性质．
4、指数函数的图象和性质
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，f(x)?ax(a?0且a?1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]
（2）若x?0，则f(x)?1；f(x)取遍所有正数当且仅当x?R； （3）对于指数函数f(x)?ax(a?0且a?1)，总有f(1)?a；
【例题训练】
【例1】当0?a?1时，函数y=ax和y=ax+a的图象只可能是（ ）
A B
C
D
?2?x?1,x?0
?
【例2】函数f(x)??1，满足f(x)?1的x的取值范围（ ）
2??x,x?0A．(-11，)； B． (?1,??)； C．{x|x?0或x??2}；D．{x|x?1或x??1}．
【例3】指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ]
A．a＜b＜1＜c＜d B．a＜b＜1＜d＜c C． b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b
【例4】指数函数①
②
满足不等式
,则它们的图象是 ().
【例5
】函数y?
y? ，
函数定义域是_________．
【例6】已知函数y?a2x?2ax?1(a?1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值.
【例7】已知函数f(x)的定义域为D??xx?0?,且满足: 对于任意m,n?D，都有f(mn)=
f(m)?f(n)，且f(2)=1，
（1）求f(4))的值；
（2）如果f(2x?6)?3,且f(x)在(0,??)上是单调增函数，求x的取值范围.
ax?1
【例8】已知f(x)＝x(a＞1)(1)判断f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的值域；(3)证明f(x)
a?1
在区间(－∞，＋∞)上是增函数．
解 (1)定义域是R．
a?x?1ax?1
f(－x)＝?x??x＝－f(x)，
a?1a?1
∴函数f(x)为奇函数．
ax?1?1?yy?1
(2)函数y＝x，∵y≠1，∴有ax＝?＞0?－1＜y＜1，
y?11?ya?1即f(x)的值域为(－1，1)．
(3)设任意取两个值x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2．f(x1)－f(x2)
axl?1ax2?12(axl?ax2)
＝xl?1?x2?1＝xl，∵a＞1，x1＜x2，ax1＜ax2，(ax1＋1)x
aa(a?1)(a2?1)(ax2＋1)＞0，∴f(x1)＜f(x2)，故f(x)在R上为增函数．
高中数学 必修1 基本初等函数 知识点复习
对数与对数函数
【知识要点】
（一）对数及其运算性质：
1、如果ab?N(a?0且a?1)，那么b叫做以a为底N的对数，记作b?logaN．
a叫做底数，N叫做真数．以10为底的对数叫做常用对数，记作lgN，以e为底的对数叫做自然对数，记作lnN．
由对数的定义得： ①a
logaN
=N（对数恒等式）；
②logaa?1（底数的对数等于1）； ③loga1?0（1的对数等于0）．
2、对数的运算性质：
①logaM?N?logaM?logaN； ②loga
M
?logaM?logaN； N
n
③logaM?nlogaM 3、对数换底公式：logab?
n
①logamb?
logma
．由对数换底公式可得：
logmb
n
logab；②logab?logba?1；③logab?logbc?logac． m
（二）对数函数：
1．定义：形如y?logax(a?0,且a?1)的函数叫做对数函数， 2．对数函数y?logax(a?0,且a?1)的性质： （1）定义域为：?0,???；（2）值域为：R；
（3）单调性：当a?1时，对数函数y=logax在?0,???上是增函数，当0?a?1时， 对数函数y=logax在?0,???上是减函数． （4）对数函数y=logax的图象恒过定点（1，0）； （5）若a>1，则当0<x<1时，y<0；当x>1时，y>0．若0?a?1，则当0<x<1时，y>0；当x>1时，y<0．
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