篇一：格式范文-待定系数法
待定系数法在中学数学解题中的应用（小二黑体）
苏奕婷（小三楷体）
【摘要】 待定系数法是解决数学问题时常用的数学方法之一，它在数学解题中广泛使用，特别是有些问题，用待定系数法更简捷明了。文章简单阐述了待定系数法的概念、理论依据及其解题步骤，重点论述了待定系数法在分解因式、求数列通项公式中、解方程、求函数解析式以及几何证明中的应用。（四号宋体）
【关键词】 待定系数法 多项式恒等 应用（四号宋体）
做任何事情都要讲究方法。方法对头，事半功倍；方法不当，事倍功半。解答数学问题关键也在于掌握思考问题的方法，思维方法正确，问题就容易解决。波利亚说过：“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。”
待定系数法是中学数学中的一种常用的解题方法，它在中学数学中起着至关重要的作用，其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，因此，认真学好并掌握待定系数法将大有裨益。下面就待定系数法在中学数学解题中的应用进行论述。
一、对“待定系数法”的概述（小三黑体）
1．待定系数法的概念及其理论依据（四号黑体）
待定系数法是指利用已知条件确定一个解析式或某一个数学表达式中的待定参数的值，从而得到预期结果的方法。更广泛地说，是要确定变量间的函数关系，设出某些未知数，然后根据所给条件来确定这些未知数，使问题得到解决的方法。其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)?g(x)的充要条件：对于一个任意的a值，都有f(a)=g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。（小四宋体）
2．待定系数法的解题步骤（四号黑体）
利用待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程，使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题，是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如：分解因式x2-2xy+y2+2x-2y-3。先看多项式中的二次项x2-2xy+y2，可以分解成（x-y）(x-y)，则：若多项式能分解成两个关于x、y的一次因式的乘积，那么这两个因式必定是（x-y+m）(x-y+n)的形式，其中m，n为待定系数，根据两个多项式恒等，它们的对应项的系数就对应相等，求出m和n的值，多项式便能分解。（小四宋体）
所以，使用待定系数法解题的一般步骤可归纳为：
（1）确定所求问题含待定系数的解析式；
（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；
（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
二、待定系数法在解题中的应用（小三黑体）
待定系数法在解题中的应用非常广泛，在使用待定系数法时，要注意所设的形式是否正确或适合题意，还要注意设系数时，待定的系数要尽量少，以简化计算。
1．在分解因式中的应用（四号黑体）
因式分解是中学数学的一个重要的恒等变形问题。一般分解因式的方法有提取公因式、应用公式法、十字相乘法等等，但遇到一些复杂的多项式，如：没有公因式的多项式或提出公因式后所得的多项式，不能用一般方法分解时，这时，尝试用待定系数法，问题就简单了。
例1：分解因式3x2+5xy-2y2+x+9y-4
解：由于3x2+5xy-2y2=(3x-y)(x+2y)
故可设3x2+5xy-2y2+x+9y-4
=(3x-y+a)(x+2y+b)
=3x2+5xy-2y2+(a+3b)x+(2a-b)y+ab
比较两边系数，得
a+3b=1 (1)
2a-b=9 (2)
ab=-4(3)
由（1），（2）联立得a=4，b=-1，代入（3）式适合。
所以，原式=(3x-y+4)(x+2y-1)
在分解复杂的多项式时，主要是根据两多项式f(x)?g(x)，则它们同次的对应项系数一定相等，利用这个结论将因式分解的问题转化为解方程组，即求待定系数的问题来解决。
2．在求数列通项公式中的应用（四号黑体）
数列问题的解决过程是问题的不断变换和数学思想方法灵活运用的过程，求数列通项公式的方法灵活多样，对于特殊数列（等差或等比），可直接设出其通项公式，根据已知条件，运用待定系数法，问题就变得简单了。
例2：已知数列{an}的通项an=n(n+1)2，是否存在等差数列{bn},使an=1?b1+2?b2+3?b3+?+nbn对一切自然数n都成立，并说明理由。
分析：题目给出的条件是等式，等差数列{bn}具有确定的形式，可设bn=a1+(n-1)d或bn=pn+q，这两者是等价的，可利用待定系数法，根据题目条件看参数a1,b或p,q的
值是否存在。
解：假设等差数列{bn}，使an=1?b1+2?b2+3?b3+?+nbn
对一切自然数n都成立。
设bn=pn+q（p,q为待定系数），则
n(n+1)2=1?(p+q)+2?(2p+q)+?+n(np+q)
令n=1,得p+q=4 (1)
令n=2,得5p+3q=18 (2)
由（1）（2）联立，解得p=3,q=1，故bn=3n+1
但这样得到的{bn}只是必要条件，也就是还必须证明其充分性，需要用数学归
纳法证明：对一切自然数n，等式： 1?4+2?7+3?10?+n(3n+1)=n(n+1)2成立.
这样一道难题的成功解出，带给人无限的享受，简单而又巧妙的解法更让人体会到数学海洋中挖掘不尽的美所带来的美感 ，在解题时应注意观察分析题目，巧用数学解题方法 。
3．在解方程中的应用 （四号黑体）
解方程是中学课本的一个重要内容，通常是按照解方程的步骤，但在解某些方程（特别是高次方程）时，某些时候使用待定系数法也可使问题得到简化。
例3：已知三次方程x3-6x2+11x-6=0,有一根是另一根的2倍，解该方程 。 解：设该方程的三根分别为a,2a,b，则有
x3-6x2+11x-6=(x-a)(x-2a)(x-b)
左右分别展开，并把相同的系数作比较，可得: 解得：a=1,b=3
2b=-6
所以该方程的根分别为：x1=1,x2=2,x3=3.
4．在求函数解析式中的应用（四号黑体）
求函数解析式的方法较多，常常用到待定系数法，如何简捷地运用待定系数法呢？应根据题意灵活运用，但要注意自变量的取值范围。
例4：已知f(x)为二次函数，且f(2x+1)+f(2x-1)=16x2-4x+6,求f(x)。
解：根据题意，设f(x)=ax2+bx+c (a?0)
?f(2x+1)=a(4x2+4x+1)+b(2x+1)+c
f(2x-1)=a(4x2-4x+1)+b(2x-1)+c
?f(2x+1)+f(2x-1)=8ax2+4bx+2a+2c
由已知得，16x2-4x+6=8ax2+4bx+2a+2c
?解得 ? f(x)=2x2-x+1
求函数解析式，主要是由已知条件，依靠知识、经验背景等，确定选用合适的表达式，根据多项式恒等原理，求出待定系数。
5．在几何中的应用（四号黑体）
待定系数法是解决几何问题的常用方法，确定直线或曲线方程就是要确定方程中x、y的系数与常数，我们常常先设它们为未知数，然后设法将已知的几何条件转化成代数形式后代入方程，求出待定的系数与常数。这是平面解析几何的重要内容，是求曲线方程的有效方法，在含参数的曲线方程中，参数值确定，方程随之确定。
例5：求过三点O(0,0)、M1(1,1)、M2(4,2) 的圆的方程，并求这个圆的半径和圆
心坐标。
解：设所求的圆的方程为
x2+y2+Dx+Ey+F=0
用待定系数法，根据所给条件，来确定D,E,F
因O,M1,M2在圆上，所以它们的坐标是方程的解，把它们的坐标依次代入上面
的方程，得到关于D,E,F的三元一次方程组：
解这个方程组得D=-8,E=6,F=0
于是得到所求圆的方程为：x2+y2-8x+6y=0.
? 圆的半径r=1
2D2?E2?4F=5
圆心坐标是(4,-3)。
篇二：第 10 讲 待定系数法(高中版)
第 10 讲 待定系数法(高中版)
（第课时）
D
重点：1．；
2．；3．。 难点
：1．；2．；3
．；。 其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。
待定系数法是中学数学常用的方法，它常用在求代数式的值、因式分解、恒等变形、求函数表达式、数列求和、求复数、求曲线方程等等方面。
使用待定系数法解题的基本步骤是：第一步，针对所求问题，确定含有待定系数的解析式；第二步，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组确定待定系数或者消去待定系数。确定待定系数的值常用比较系数法或特殊值法。
二次函数解析式有三种表达形式，
1．一般式：y=ax2+bx+c ；其中 a≠0, a, b, c 为常数 2．顶点式：y=a(x-h)2+k ；其中a≠0, a, h, k 为常数，（h,k）为顶点坐标。
3．交点式：y=a(x-x1)(x-x2)；其中a≠0, a, x1,x2 为常数，x1,x2是抛物线与横轴两交点的横坐标。
每种形式都有三个待定的系数，所以用待定系数法求二次函数解析式应注意以下几点： 根据题目给定的条件注意选择适当的表达形式，一般已知抛物线的顶点，用顶点式；已知抛物线与x轴的两个交点（或与x轴的一个交点及对称轴），用交点式。
解题过程中待定的系数越少，需构造的方程也越少，这样可以大大简化计算过程，故尽量由已知条件先行直接确定某些系数。
若题目给定二次函数解析式的某种形式（如y=ax2+ bx+c=0 (a≠0)），那么最后的结果必须写成此种形式。
1．待定系数法在求数列通项中的应用
例.（高三）数列{an}满足a1=1，an=
1
a+1（n≥2），求数列{an}的通项公式。 2n?1
分析：一般地，形如an?1=p an+q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解，只要设 an?1+k=p（an+k）并与原式比较系数可得出 k，从而得等比数列{an+k}。
111
(an?1+k) ，即 an=an?1-k ，与原式比较系数可得 k=-2 ， 22211
则由an=an?1+1（n≥2）得 an－2=（an?1－2），而 a1－2=1－2=－1 ，
22
1
∴ 数列{ an－2}是以为公比，－1为首项的等比数列，
21n?11n?1
∴ an－2=－（） ，∴ an=2－（） 。
22
解：令 an+k =
点评：本题使用待定系数法求数列通项。
例.（高三）数列{an}满足a1?2,a2?5,an?2?3an?1?2an=0，求数列{an}的通项公式。 分析：对于 an?2?pan?1?qan 型的递推式，通过对系数p的分解，可得等比数列
{an?an?1}，这只要设 an?2?kan?1?h(an?1?kan) ，再比较系数得 h?k?p?hk?q，
?hk?q 可解得h、k。
本题递推式 an?2?3an?1?2an?0 中含相邻三项，因而考虑每相邻两项的组合，即把中间一项an?1的系数分解成1和2，适当组合，可发现一个等比数列{an?an?1}。
解：由 an?2?3an?1?2an?0 得 an?2?an?1?2(an?1?an)?0 ， 即 an?2?an?1?2(an?1?an） ，且 a2?a1?5?2?3 ，
∴ {an?1?an}是以2为公比，3为首项的等比数列，∴ an?1?an?3?2n?1 ， 利用逐差法可得an?1?(an?1?an)?(an?an?1)???(a2?a1)?a1
?3?2n?2???3?20?2
n?1n?2
=3?(2?2???2?1)?2
=3?2
n?1
1?2n
?2 =3?
1?2n
=3?2?1 ∴ an?3?2n?1?1 。
2．待定系数法在求复数中的应用
3．待定系数法在三角中的应用
4．待定系数法在立几中的应用
5．待定系数法在求曲线方程中的应用
解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设曲线方程→条件转换成关于待定系数的方程（组）→求出系数→把系数代入所设的曲线方程。
例.（高三）一个圆经过 p(?2,1)点，和直线 x?y?1 相切，并且圆心在直线 y??2x上，求它的方程。
解：设圆的方程为(x?a)?(y?b)?r，
2
2
2
?(?2?a)2?(1?b)2?r2?a?b?1?则 ? ?r
2?
b??2a??
?a?9?a?1??
解之得 ?b??18 或 ?b??2
?r?142?r?22??
故所求方程为 (x?9)2?(y?18)2?392 或 (x?1)2?(y?2)2?8 。
求数列通项 复数 三角 立几 解几
1 2 3 4 √ √ √
5
6
7
8
1.（高三）数列{an}满足a1=1，3an?1?an?7?0 ，求数列{an}的通项公式。
7
， 3
1k77
设 an?1?k??(an?k) ，比较系数得 ?k?? ，解之得 k?? ，
333471773
∴ {an?}是以?为公比，以 a1??1??? 为首项的等比数列，
43444731n?1
∴ an????(?) ，
443731n?1
∴ an???(?) 。
443
解：由 3an?1?an?7?0 得 an?1??an?
点评：本题使用待定系数法求数列通项。
2.（高三）数列{an}中，a1?1,a2?2,3an?2?2an?1?an，求数列{an}的通项公式。
13
21
an?1?an,设an?2?kan?1?h(an?1?kan) 33
2111
?kh?，解得k?1,h??或k??,h?1 比较系数得k?h?，333311
若取k?1,h??，则有an?2?an?1??(an?1?an)
33
1
∴{an?1?an}是以?为公比，以a2?a1?2?1?1为首项的等比数列
31n?1
∴an?1?an?(?)
3
由逐差法可得an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1
解：由3an?2?2an?1?an得an?2?=(?)
13
n?2
111
?(?)n?3???(?)2?(?)?1?1
333
1
1?(?)n?1
3?1?731=?1=?1?(?)n?1??1???(?)n?1
14?3?4431?3
1111
点评：若本题中取k??,h?1，则有an?2?an?1?an?1?an即得{an?1?an}为常
3333
数列，故an?1?
11117an?an?an?1???a2?a1?2?? 。 33333
3.（高三）设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是－5，求椭圆的方程。
【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据a、b、c之值，问题就全部解决了。设a、b、c后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a－c的值后列出第二个方程。
【解】 设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c，则|BF’|＝a ?a2?b2?c2
??2?a?22
∴ ?a?a?(2b) 解得：?
???b??a?c??x2y2
∴ 所求椭圆方程是：＋＝1
105
点评：本题使用待定系数法求曲线方程。本题也可由垂直关系推证出等腰Rt△BB’F’后，由
?b?c?
其性质推证出等腰Rt△B’O’F’，再解 ?a?c??5，更容易求出a、b的值。
?222?a?b?c
篇三：中考数学专项讲解 待定系数法
2009年中考数学专项讲解 待定系数法
知识梳理
对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称之为待定系数法． 使用待定系数法解题的一般步骤是：
(1)确定所求问题含待定系数的解析式；
(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程； (3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决． 初中数学中，待定系数法主要用途如下： 典型例题
一、在求函数解析式中的运用
这是待定系数法的一个主要用途，学生也是在这种运用过程中开始较深入的接触待定系数法．初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分
x，y=kx+b的形式(其中k、b为待定系数，且k≠0)．而二次函数可以根据题别可设y=kx，
目所给条件的不同，设成y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数)，y=a(x－h) 2+k(a、k、h为待定系数)，y=a(x－x1)(x－x2)( a、x1、x2为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h、k、a、c、b、x1、x2等待定系数．
【例1】 (05上海)点A(2，4)在正比例函数的图象上，求这个正比例函数的解析式．
【解】设这个正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，把A(2，4)代入得4=2k，?k=2，?y=2x． 【例2】 已知y与x+1成反比例，且x=2时，y=4，求函数的解析式．
y?
k
x?1 (k≠0)，然后把x=2，
y?
k
【分析】 y与x+1成反比例，把x+1看作一个整体，即可设为：y=4代入，求出k的值即得函数的解析式．
x?1(k≠0)
kky?4?
x?1(k≠0)，得2?1，解得k=12将x=2，y=4代入
【解】 ?y与x+1成反比例，?可设
y?
k
x?1．?所求的函数的解析式为
【解题反思】 本题中y与x+1成反比例关系，但y与x不是反比例关系，所以当自变量为x时，y?
12
x?1不是反比例函数．
y?
12
【例3】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．
(1)求这个函数的解析式．
(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．
【解】 (1)设这个函数的解析式为y=ax2+bx+c．依题意得：
?0?a?b?c?a?1??0?9a?3b?c?b??4?
?c?3??1?4a?2b?c
?解这个方程组得? ?这个函数的解析式是：y=x2－4x+3
?y?x2?4x?3?x1?1?x2?2???
y?0y??1y??x?1?1
(2)? 解这个方程组得：，?2 ?函数与直线的交点坐标是：(1，0)、(2，－1)
【解题反思】 运用待定系数法，由已知建立方程(组)，可求其系数的值，在把a、b、c的值代入解析式时要注意符号．
二、在确定方程或解方程时，某些时候使用待定系数法也可使问题得到简化．
例如：已知一元二次方程的两根为x1、x2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方
22
程为x+mx+n=0，则有(x－x1)(x－x2)=0，即x－(x1+x2)x+x1x2=0，对应相同项的系数得m=－(x1+x2)，n=x1x2，所以所求方程为：x2－(x1+x2)x+x1x2=0．
【例4】 已知三次方程x3－6x2+11x－6=0，有一根是另一根的2倍，解该方程．
32
【解】设方程的三根分别为a、2a、b，则有x－6x+11x－6=(x－a)(x－2a)(x－b)，左右分别展开，并把相同项的系数作比较，可得：－3a－b=－6，2a2+3ab=11，－2a2b=－6．解得a=1，b=3，所以该方程的根分别为：x1=1，x2=2，x3=3． 三、待定系数法在分式展开化为部分分式中的应用．
分式化为部分分式时，如果用待定系数法也会产生很好的效果．
?11x?7
2
【例5】 把分式2x?x化为部分分式．
?11x?7
2
2x?1x，然后将右边进行通分，化成一个分式，由于左右两边分母相【解】设2x?x
同，则只要分子相同，即：－11x+7=(A－B)x－B．由各项系数相同得：－11x=A－B，7=－B，
?11x?7
2
?
A
?
B
2x?1x 解得A=3，B=－7．所以2x?x
四、待定系数法在因式分解中的应用
【例6】 分解因式：2x2－xy－y2+13x+8y－7
【解】 因为2x2－xy－y2=(2x+y)(x－y)，所以可设2x2－xy－y213x+8y－7=(2x+y+8)(x－y+b)，展开比较相同项系数，可得：a=－1，b=7，所以2x2－xy－y2+13x+8y－7=(2x+y－1)(x－y+7)． 五、待定系数法在多项式除法中的应用
【例7】 当a、b为何值时，2x3－ax2+bx+1能被2x－1整除?
【解】 设2x2－ax2+bx+l=(2x－1)(x2+mx－1)，右边展开由x的相同项的系数相同可得a、b，m的方程组，解得：a=3，b=－3．m=－1
?
3
?
?7
综合训练
1．已知：一次函数的图象经过(－4，15)、(6，－5)两点，求此一次函数的解析式．
2．(08镇江)二次函数的图象经过点A(0，－3)，B(2，－3)，C(－1，0)． (1)求此二次函数的关系式；
(2)求此二次函数图象的顶点坐标；
(3)填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移________个单位，使得该图象的顶点在原点．
3．如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是(8，0)、(0，4)，求这个抛物线的解析式．
4．(07枣庄)在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为(－3，1) (1)求点B的坐标．
(2)求过A，O，B三点的抛物线的解析式；
(3)设点B关于抛物线的对称轴的对称点为B1，求△AB1B的面积．
参考答案
?4a?2b?3??3?
a?b?3?002a 1．y=－2x+7 2．(1)设y=x+bx－3，把点(2，－3)，(－1，0)代入得?，?a?1
?
b??2
解方程组得?． ?y=x2－2x－3．(也可设y=a(x－1) 2+k)．
2 2
(2)y=x－2x－3=(x－1)－4，?函数的顶点坐标为(1，－4)． (3)5
3．解：观察图象可知，A、C两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x=3．因为对称轴是直线x=3，所以B点坐标为(－2，0)．设所求二次函数为y=a(x－x1)(x－x2)，由已知，这个图象经过点(8，0)、(－2，0)，可以得到y=a(x－8)(x+2)．又由于其图象过(0，4)点，将点
y??
14
x?
2
32
x?4
代入，得所求二次函数的关系式是．
4．解：(1)作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C，D，则∠ACO=∠ODB=90°．
?∠AOC+∠OAC=90°．又?∠AOB=90°，?∠AOC+∠BOD=90°．?∠OAC=∠BOD．又?AO=BO，?△ACO≌△ODB．?OD=AC=1，DB=OC=3．?点B的坐标为(1，3)．
2
(2)抛物线过原点，可设所求抛物线的解析式为y=ax+bx．将A(－3，1)，B(1，3)代入，解得
6．故所求抛物线的解析式为
a?
56，
b?
13
y?
56x?
2
136
x
．
x??
13(3)抛物线的对称轴的方程是10． B?183?
1点为??，?5?
?．在△AB1B中，底边B1B=4．6，高为2．
点B关于抛物线的对称轴的对称
S?AB1B?4.6
?
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