篇一：集合及其表示方法
篇二：集合与集合的表示方法
第1章集合
1.1 集合与集合的表示方法
1.1.1 集合的概念
一、概念与能力聚焦
1、集合的概念
集合是数学中最原始的不定义的概念，只能给出，描述性说明：某些指定的且不同的对象集在一起就成为一个集合。组成集合的对象叫元素，集合通常用大写字母A、B、C、…来表示。元素常用小写字母a、b、c、…来表示。
集合是一个确定的整体，因此对集合也可以这样描述：具有某种属性的对象的全体组成的一个集合。
例题1：考察下列每组对象能否组成一个集合？
（1）2010年上海世博会上展出的所有展馆；
（2）2010年辽宁高考数学试卷中所有的难题；
（3）清华大学2010级的新生；
（4）平面直角坐标系中，第一象限内的一些点；
（5）2的近似值的全体.
2、元素与集合的关系
元素与集合的关系有属于和不属于两种：元素a属于集合A，记作a?A；元素a不属于集合A，记作a?A。
例题 2：已知a?
3、集合中元素的特性
（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。例如A??0,1,3,4?,可知12?，A?xx?m?n,m,n?Z，则a与A之间是什么关系？ ??0?A,6?A。
（2）互异性：“集合中的元素必须是互异的”，就是说“对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的”。如方程(x?4)?0的解集记为?4?，而不能记为?4,4?。 2
（3）无序性：集合与其中元素的排列次序无关，如集合?a,b,c?与集合?c,b,a?是同一个集合。
例题3：已知集合A中含有两个元素a?3和2a?1，若?3?A，试求实数a的值。
4、集合的分类
集合可根据它含有的元素个数的多少分为两类：
有限集：含有有限个元素的集合。如“方程3x?1?0的解组成的集合”，由“2,4,6,8组成的集合”，它们的元素个数是可数的，因此这两个集合是有限集。
无限集：含有无限个元素的集合，如“到平面上两个定点的距离相等的所有点”“所有的三角形”，组成上述集合的元素是不可数的，因此它们是无限集。
2特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作?，如x?Rx?1?0。 ??
例题4：下列各组对象能否构成集合，若能构成集合，则指出它们是有限集、无限集。还是空集。
（1）中国的所有人口组成的集合；
（2）广东省2011年应届高中毕业生；
（3）数轴上到原点的距离小于1的点；
2（4）方程x?0的解构成的集合；
（5）你们班上成绩较好的同学；
（6）小于1的正整数构成的集合。
5、特定的集合的表示
为了书写方便，我们规定常见的数集用特定的的字母表示，下面是几种常见的数集表示方法，请牢记。
（1）全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N.
（2）非负整数集内排除0的集合，也称正整数集，记作N或N?.
（3）全体整数的集合通常简称为整数集Z.
（4）全体有理数的集合通常简称为有理数集，记作Q.
（5）全体实数的集合通常简称为实数集，记作R.
例题5 ：给出下列关系：(1)*1属于R；(2)2?Q (3)?3?N?；(4)?3?Q；2
(5)0??,其中正确的个数为（ ）
A.1B.2 C.3D.4
二、方法与技巧平台
6、元素分析法
解决集合问题，应对集合的概念有深刻理解，解题时能不能把集合问题转化为相关的数学知识是解题的关键，而集合离不开元素，所以分析元素是解决集合问题的核心。元素分析法就是抓住元素进行分析，即元素是什么？具备哪些性质？是否满足元素的三个特性？（即确定性、互异性、无序性）
例题6：（1）已知集合A是由a?2，2a?5a，12三个元素组成的，且?3?A，求a的值。
（2）设集合A?k2?k,2k
2??，求实数k的取值范围。
三、创新与思维拓展
7、利用集合中元素的特性解决与方程有关的问题
集合与方程有密切联系，利用集合中元素的特性，即元素的互异性、无序性、确定性，再结合方程的解法，可以求出集合中参数的值。
2例题7：已知集合A?x?Rax?3x?2?0,a?R ??
（1）若A是空集，求a的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
（3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围。
速效基础演练
1、给出下列四组对象，其中能构成集合的个数为（）
（1）高一（2）班所有身高180cm以上的同学 （2）高一（2）班所有高个子同学（3）26个英文字母（4）所有无理数
A.1 B.2C.3D.4
2、给出下面几个关系式：2?R,0.3?Q,0?N,0?N?,???Z,?5?Z其中正确关系式的个数是（）
A.4B.5 C.6D.7
3、已知集合S的三个元素a,b,c是?ABC的三边长，那么?ABC一定不是（）
A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形
4、已知集合M??(2,?2),2,?2?,则集合M中元素个数是（）
A.2 B.3C.4D.6
5、所给下列关系式中正确的个数是（ ）
（1）??R（2）3?Q （3）?1?N?（4）?4?N?
A.1 B.2C.3D.4
6、已知集合A中只含有1,a2两个元素，求实数a不能取的值。
27、以方程x?2x?m?0的根为元素的集合含有两个元素，求实数m的取值范围？
8、已知集合A是由三个元素0,m,m2?3m?2组成的集合，且2?A，求实数m的值。
1.1.2集合的表示方法
一、概念与能力聚焦
1、集合的表示方法
（1）列举法：就是把集合中元素一一列举出来的方法，置于大括号内。例如，由方程x2?4的所有解组成的集合，可以表示为??2,2?。
（2）描述法：就是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。描述法有两种不同的表示形式。
形式一：将说明元素性质的一句话写在大括号内，即文字描述法。
形式二：在大括号内，首先写出集合元素的表现形式（称之为代表元素）和它的范围，再画一条竖线（或一个冒号，或一个分号），然后写上元素所满足的条件（性质），即符号描述法，其基本形式如下：
?x?Ax具有性质p?，或?x?A:x具有性质p?，或?x?A；x具有性质p?。
（3）图示法（维恩图）：为了便于直观的认识集合，我们常常用平面上一条封闭曲线所围成的图形（如圆、矩形等）来表示一个集合，这就是维恩图。例如，集合A??1,2,3,4?，可用下列所示几个图形来表示。
例题1：用列举法把下列集合表示出来
??6A??N?； （1）?x?N6?x??
（2）B???6??Nx?N?； ??6?x
（3）方程组?x?y?2
x?y?0的解集；
（4）由
aa?b(a,b?R)所确定的实数集合。 b
篇三： 1.1集合与集合的表示方法
第一章：集合与数理逻辑用语
考点透视
考试大纲要求：理解集合，子集，交集，并集，补集的概念及其表示方法；了解空集，全集的意义；了解符号?，?，?，?，?，?，?，≠的含义，并能运用这些符号表示元素与集合、集合与集合的关系。能掌握有关的逻辑用语和符号（∧，∨，乛，?，?，?，?，?，?）。在复习本节内容时应重视基础知识的掌握与应用。
知识链接
1.1集合与集合的表示方法
2．正确判定元素与集合的关系，熟练使用符号，理解集合中元素的涵义．
体为集合．（简称：集）
一般用大写拉丁字母A，B，C，D，?表示．
2．元素：构成集合的每个对象都叫做集合的元素．
一般用小写拉丁字母a，b，c，d，?表示．
【说明】集合中对象三层涵义：（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性 元素与集合的关系：属于或不属于的关系（a?A，a ?A）
常见数集介绍：
非负整数集（自然数集）：N={0，1，2，3，4?}；
正整数集：N?或N*={1，2，3，4，?}；整数集：Z．
有理数集：Q；实数集：R；无理数集：P
有限集：含有有限个元素的集合
无限集：含有无限个元素的集合
单元素集：只含有一个元素的集合
空集：不含任何元素的集合，用字母φ表示．
3．集合的表示方法：
（1）列举法：把集合的元素一一列举出来写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法．
注意：用列举法表示集合时，列出的元素要求不遗漏，不增加，不重复，但与元素的列出顺序无关．
（2）描述法：将所给集合中全部元素的共同特征和性质用文字或符号语言来描述集合的方法．（常用于表示无限集），一般格式如下：
{××××∣××××××××}
↑↑ ↑
该集合中的分隔号 这些元素具有什么共同
元素是什么？ 性质、特征或表达式？
（3）图示法：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合．（常用于讨论集合与集合之间的关系、运算等）
【例1】下列的语句中，哪个可确定一个集合（ ）
A、本班性格开朗的同学全体 B、与0接近的实数的全体
C、本校数学科学得好的同学全体D、大于2小于20的偶数的全体
【点评】根据集合对象（元素）的含义：A、
B、C中的“性格开朗”、“接近”、“学得好”没有绝对标准，模糊，对象确定不了归属，故A、B、C不能构成集合，而D能确定元素的归属，故答案为D．
【例2】用?，?，=，≠符号填空：
（1）0N?，（2）3.14159 Q，（3，（4）Z；
（5）2{1，3，5} ，（6）φ{φ}，（7）0φ，（8）{0}φ；
（9）坐标点（-2，7） {（7，-2），（2，7）}，（10）{a,b,c} {b,a,c}
【点评】正确理解?，?的涵义，元素与集合的关系，熟记常用数集的符号表示．
【例3】用列举法表示下列集合：
1．大于0.9并且小于4.9的自然数的集合：
2．15的正因数的集合：
3．绝对值等于2的整数的集合：
4．方程x2?9的解的集合：
5．方程x2?5x?36?0的解的集合：
6．满足方程：
x?y?6,x?N?,y?N?的点的集合：
【点评】关键是要求出（确定）集合中的元素
【例4】用描述法表示下列集合：
1．绝对值等于5的实数的全体构成的集合：
2．不小于-2的全体实数的全体构成的集合：
3．梯形的全体构成的集合：
4．坐标平面上第二象限的所有点的全体构成的集合：
【点评】描述法表示集合首先要明白其格式；其次要理解、表述集合中
1.下列的语句中，哪个可确定一个集合（ ） 53
A．质数的全体 B．由2，3，2，4，2，5构成的全体
C．无限趋近于5的实数的全体 D．本班个子较高的同学的全体
2．下列正确的是（）
A不含任何元素的集合叫空集，用字母φ表示
B {1}?{1，2}C．0=φD．{0}=φ
3．x2?4的一次因式的集合（ ）
A．{（x+2）（x-2）}B．{（x+2）}C．{（x-2）}D．{x+2，x-2}
4．不大于2的非负整数的集合（ ）
A．{1，2} B．{x|x≤2} C．{x|0≤x≤2} D．{0，1，2}
5．满足方程：x?y?5,x?N?,y?N?的点的集合（ ）
A．{1，4，2，3}B．{（1，4），（2，3），（4，1），（3，2）}
C．{（4，1），（3，2）} D．{（1，4），（2，3）}
6．坐标平面上第一象限的所有点的全体构成的集合（ ）
A．{（x,y)|x＞0，y＞0） B．{（x,y)|xy＞0）
C．{（x,y)|x＞0，y=0）D．{（x,y)|x=0，y＞0）
7．下列关系正确的是（ ）
A．{a,b}={b,a} B ．1?{(1,2)} C．{（1，2）}={x|0＜x＜2＝
D．sin600?Z
8．下列关系正确的是（ ）
A．0∈N B．0?N C．∈Z D．?Q 2?
9．下列为无限集的是（ ）
A．{1，2，3，?，100} B．φC．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤100，x∈N}
10．被7除余2的自然数的全体构成的集合（ ）
A．{9，16，23，30，?, 7n+2, ?,n∈N }B．{x|x=7n-2}
C．{ x|x=7n+2,n∈Z} D．{x|x=7n?2}
二．填空题：
1．用?，?，=，≠符号填空：
（1）-3N?，（2）3.14? Q，（3
，（4）?；
（5）5 {1，3，5} ，（6）0{φ}，（7）0{0}， 53
（8）{x|x≥2，x∈R}{x|x为不小于2的实数}；
（9）坐标点（-5，7）{(-5，7)}，（10）{（a,b），（c，d）}{(a,c),(b,d)}
2．方程x2?4?0的解的集合用列举法表示为．
3．方程x2?x?36?0的解的集合用描述法表示为
4．绝对值不大于3的全体实数的全体构成的集合
5．数集﹛x,x2?2﹜中的x取值范围是
三．解答题：
设A=﹛a?2,2a2?5a,12﹜，已知-3∈A，求a
设集合A=﹛(x,y)x?y?7,x?N,y?N﹜，试用列举法表示集合A．
已知集合A=﹛xmx?2x?1?0,m?R﹜（1）若A只有一个元素，试求m的值，并示出这个元素；若A是空集，求m的取值范围．
2
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