篇一：不等式的解法
目录
摘要…………………………………………………………….1 引言 …………………………………………………………..1
一 、目的性………………………………………………….2
1.1不等式的理论与实践相统一……………………………….2
1.2总结不等式的解法在数学课程中的重要性…………………2
二 、不等式的理论性…………………………………………2
2.1 一元二次不等式的解法……………………………………2
2.2函数与不等式的关系 ……………………………………….3
2.3利用函数解不等式…………………………………………3
2.4 含绝对值不等式的解法…………………………………..5
三、实用性 … ………………………………………………6
3.1结合数轴图形解不等式…………………………………..6
3.2 用分类讨论的思想求不等式的解法 … ……………………7
四、结论……………………………………………………7 总结与体会…………………………………………………7 致谢 ………………………………………………………8 参考文献 …………………………………………………8
摘 要
在现在中学数学的教学中，不等式的解法是数学课程的重点之一。而学生在做不行式方面的题时，往往不知道如何下笔。本文通过分析不等式的相关例题，例如简单不等式，含绝对值的不等式，均值不等式，一元高次不等式的解法。从中总结出解不等式的的一些规律。
【关键词】 不等式解法
Abstract
In the present mathemaics teaching of the middle school , the solution of inequality is one of mathematics curiculum key . But when the students do aspect to the inequality question . They always don’t know how to start .This article through the analysis of inequality related example ,For example , The solution of simple inequality, including absolute value inequality , average value inequality and a unitary higher mode inequality . So we can summmarize some rules related to the solution of inequality in the article.
Keywords: InequalitySolution
引 言
问题的提出 随着素质教育的实施，培养全面发展的合格人才的呼声越来越高。中学教育是基础教育，中学阶段所学的知识也属于基础知识，因此，要求学生掌握中学阶段的内容显得极为重要[4]。在我国现有的国情下，既要实施素质教育，同时又不能回避学生的升学问题，这是摆在广大教育工作者面前的一个尖锐的矛盾。在高中数学学习中，两级分化的问题极为突出，要改变这种状况，因材施教显得极为必要。然而，因材施教一直是一个喊得很时髦的口号，鉴于各种主观及客观的原因，不少教师的因材施教只是停留在口头上，并没有落到实处。对学生进行分层教学，是使全体学生共同进步的一个有效措施，也是使因材施教落到实处的一种有效的方式。 分层教学的实施 根据学生的个性差异及接受能力不同的特点，笔者近年来在教学中采用了分层教学的教改实验，收到了较好的教学效果。要对学生进行分层教学。数学是现代文化的重要组成部分，数学思想方法向一切
领域渗透，数学的应用越来越被社会所重视。能够运用所学知识解决实际问题，使学生形成用数学的意识，这是把数学教育转到提高公民素质教育轨道的一个重要措施[5]。目前，大部分学生动手能力差，应用意识弱。长此以往，必将学而无用，适应不了社会发展的需要。如何培养学生的数学应用意识，谈谈我的实习教学体会。
一 目的性
我们在初中，高中以及大学课程中都学习了不等式的一些性质和定律，从而掌握了一些关于不等式的解法，更进一步了解不等式的性质。在学习中我们学习了简单不等式，含绝对值的不等式，均值不等式和一元高次不等式的解法。明白了不等式的解法在生活中的重要性。随着我国社会发展对数学课程的要求，数学的发展对数学课程的要求，教育，心理学发展对数学课程的要求[9]。这三方面是需求和谐统一的。不等式作为数学课程的一部分，我们要将“实践与理论综合运用”作为数学知识技能领域的一个重要内容,并不是在数学知识领域之外增加新的知识,而是强调数学知识的整体性和现实性,注意数学的现实背景以及与其他学科之间的联系.通过综合时间活动,促使学生进行自主探索,合作交流,并学会综合运用所学的知识解决实际问题。通过实践活动,让学生经历观察,操作,实验 ,调查,推理等实践活动,能运用所学的知识和方法解决简单问题,感受数学在日常生活中的作用等.学生通过这些实践活动,初步获得数学活动的经验,了解数学在日常生活中的简单应用,初步学会与他人合作交流,获得积极的数学学习情感。那么我们可以通过不等式的解法的一些例题来解决我们生活中的一些问题,使理论与实践相统一。
二 不等式的理论性
我们分别学习了一元二次不等式和含绝对值的不等式的理论知识,下面是文
[1-2]中一些关于不等式的讨论和讲解：
2.1一元二次不等式的解法
目的要求:
从一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系出发，掌握
一元二次不等式的解法
内容分析:
1．首先对照我们已经了解的一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系，利用二次函数的图象，找出一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进而得到利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法[3]。然后，说明一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组，由此又引出了简单的分式不等式的解法。
2.2学习一元二次不等式的解法，关键是弄清一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。
分析讨论过程:
首先我们从初中已经做过的一例题出发来探讨怎样用多种的方法来解不等式的 例1[2] 当x取什么值的时候，3x－15的值
（1）等于0； （2）大于0； （3）小于0。
讲解：
像3x－15＞0(或＜0）这样的不等式，常用的有两种解法。
(1)图像解法：利用一次函数y＝3x－15的图象求解[12]。
注：①直线与x轴交点的横坐标，就是对应的一元一次方程的根。
②图像 在x轴上面的部分表示3x－15＞0。
(2)代数解法：用不等式的三条基本性质直接求解。
注[2] :这个方法也是对比一元一次方程的解法得到的。
2.3 利用函数解不等式
画出函数y?x2?x?6的 图像，利用图像回答：
（1）方程的解是什么；
（2）x取什么值时，函数值大于0；
（3）x取什么值时，函数值小于0。
讲解：
1.
结合二次函数 的对应值表与图象（表、图略）
，可以得出
方程的解是x＝－2，或x＝3；
当x<－2，或x>3时，y>0，即
当－2<x< 3时，y< 0，即； 。<X<3时，Y<0，即。< p>
经上结果表明，由一元二次方程
函数数的解是x=－2，或x=3，结合二次的解集是 图象，就可以知道一元二次不等式
{x|x<－2,或x>3}； 一元二次不等式
{x|－2<X<3}。
提出问题：
一般地，怎样确定一元二次不等式
呢？
组织讨论：
从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：
(1)
抛物线
的根的情况
(2)抛物线
总结讨论结果：
（1）抛物线
以由一元二次方程（a>0）与x轴的相关位置，分为三种情况，这可的判别式三种取值情况(Δ>0，Δ=0，的开口方向，也就是a的符号。 与x
轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程与的解集的解集是 Δ<0）来确定。因此，要分二种情况讨论。
（2）a<0可以转化为a>0。
2．分Δ>O，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式与的解集。
3．归纳解一元二次不等式的步骤[12]。
（1）把二次项系数化成正数；
（2）解对应的一元二次方程；
（3）根据一元二次方程的根，结合不等号的方向，写出不等式的解集。
拓广引申：
篇二：高中数学精品例析：常见解不等式的解法
不等式的解法
高考要求
不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接 重难点归纳
解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题 (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法
(2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法
(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法(4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法
(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论
一．解不等式中的简易逻辑思想
例1 已知p:|1?x?1
3
|?2，q:x2?2x?1?m2?0(m?0)；?p是?q的必要不充分条件，求实数m
的取值范围. 0?m?3
二、解不等式中的换元思想
例2．
解不等式
112??16
。 解集是[3，8] 三、解不等式中的数形结合思想
例3．设a<0
2x?a。 解集是(
3a
4
,+∞) 四、解不等式中的函数方程思想
例4 求a，b的值，使得关于x的不等式ax2
+bx+a2
-1≤0的解集分别是： (1)[-1，2]；(2)(-∞，-1]∪[2，+∞)；(3){2}；(4)[-1，+∞)．
五、解不等式中的分类类讨论思想
解不等式
1?x2
?1?x2?0x＞?3 六、解不等式中的构造思想
例6、解不等式 8(x?1)
3
?10x?1?x3?5x＞0－1＜x＜2或x＜－2 七、解不等式中的转化化归思想
例7 对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px＞4x＋p-3恒成立，试求x的取值范围.
(-∞,-1)∪(3,＋∞)
八、解不等式中的整体思想
例8、已知f(x)=ax2-c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的范围。 -1≤f(3)≤20
例1 f(x)是［－1，1］上的奇函数，且f(1)=1， m、n∈［－1，1］，m+n≠0时f(m)?f(n)
＞0m?n
(1)用定义证明f(x)在［－1，1］上是增函数；(2)解不等式1 f(x+
22)＜f(1
x?1
)； (3)若f(x)≤t－2at+1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，求实数t的取值范围 命题意图本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力
知识依托本题主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函 t{t|t≤－2或t=0或t≥2}
例2设不等式x2－2ax+a+2≤0的解集为M，如果M?［1，4］，求实数a的取值范围 命题意图 考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系
知识依托本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想
M?［1，4］时，a的取值范围是(－1，18
7
例3解关于x的不等式a(x?1)
x?2＞1(a≠1)
当a＞1时解集为(－∞，a?2a?2
a?1)∪(2，+∞)；当0＜a＜1时，解集为(2，a?1)；当a=0时，解
集为?；当a＜0时，解集为(a?2
a?1
，2）
学生巩固练习
?
?(x?1)2(x??1)1设函数f(x)=?
?2x?2(?1?x?1)，已知f(a)＞1，则a的取值范围是( )
??1
?x
?1(x?1)A(－∞，－2)∪(－111
2，+∞)B (－2，2)
C (－∞，－2)∪(－11
2，1) D(－2，－2
)∪(1，+∞)
2已知f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)＞0的解集是(a2
，b)，g(x)＞0的解集是(a2b2，2
)，则f(x)·g(x)
＞0的解集是__________
3已知关于x的方程sin2x+2cosx+a=0有解，则a的取值范围是_______4已知适合不等式|x2－4x+p|+|x－3|≤5的x的最大值为
(1)求p的值； (2)若f(x)=px?1-－
11?xpx?1
，解关于x的不等式f(x)＞logpk(k∈R+)
设f(x)=ax2+bx+c，若f(1)=
72，问是否存在a、b、c∈Rx2+12≤f(x)≤2x2+2x+32
对一切实数x
已知函数f(x)=x2+px+q，对于任意θ∈R，有f(sinθ)≤0，且f(sinθ+2)≥ (1)求p、q之间的关系式；(2)求p的取值范围；
(3)如果f(sinθ+2)的最大值是14，求p的值并求此时f(sinθ)的最小值
解不等式log(x－1
ax)＞1
设函数f(x)=ax
满足条件当x∈(－∞，0)时，f(x)＞1；当x∈(0，1]时，不等式f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)恒成立，求实数m
一、 选择题
（1）若x∈R，下列不等式中解法正确的是 （ ）
（A）x2＞2?x＞±2 （B）（x-1）2＜2?1-2＜x＜1+2 （C）ax+b＜0?x＜-
ba（D）x2
?1＜1-2x?x2-1＜(1-2x)2?3x2-4x+2＞0 ∵△=16-24＜0 ∴无解.
(2)下列各对不等式中同解的是 ( )
(A)(2a+7)x＞a+3与x＞a?3
2a?7
(B)lg(x-a)2＜0与(x-a)2＜1
(C)x?ax?b＜1与x?ax?b≤1 (D)(x-a)(x-b)＞0与x?ax?b
＞0
(3)不等式4x＞9
x的解集是 ( )
(A){x|x＜-32或x＞32} (B){x|x＞-33
2且x≠2}
(C){x|-32＜x＜0或x＞3332} (D){x|-2＜x＜2
}
(4)不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-12＜x＜1
3
},则a+b的值为 ( )
(A)10 (B)-10 (C)14 (D)-14
(5)不等式(x-1)x?2≥0的解集是 ( )
(A){x|x＞1}(B){x|x≥1} (C){x|x≥1或x-2} (D){x|x＜-2或x≥2} (6)不等式4?x2
?
xx
≥0的解集是 ( )
(A){x|-2≤x≤2} (B){x|-3≤x＜0或0＜x≤2}
(C){x|-2＜x≤0或0＞x≤2}(D){x|-≤x＜0或0＜x≤3}
(7)不等式|x?2-3|＜1的解集是 ( )
(A){x|5＜x＜16} (B){x|6＜x＜18} (C){x|7＜x＜20}(D){x|8＜x＜22}
lgx
(9)不等式??1?
?2?
?
＞4的解集是 ( )
(A){x|x＜100}(B){x|0＜x＜100}(C){x|x＜
11?100} (D)?
??
x|0?x?100??
(10)若集合M={x|x2-5x-6＜0},N={x|lg(x+1)2＜2},全集I=R,则M?N为 ( )
(A){x|x≤1}∪{x|6≤x＜9} (B){x|-1＜x＜6}(C){x|-11＜x≤-1或6≤x＜9} (D){x|-11＜x＜9} (11)不等式log2X2?1(3x2+2x-1) ＜1的解集是 ( ) (A){x|-2＜x＜0} (B){x|0＜x＜1或-2＜x＜-1} (C){x|-2＜x＜-1}(D){x|-2＜x＜-1或
2
2
＜x＜1} (12)不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4＜0,对任意实数x恒成立,则a的取值范围是 ( )
(A)(-2,2) (B)(-2,2](C)(-∞,-2)∪(2,+∞)(D)(-∞,-2)∪[2,+∞) (13)如果loga
35
＜1,则a的取值范围是 ( ) (A)??3? (B)?3? (C)?3,?0,5????5,1????5???? (D)?3?∪(1,+∞) ???0,5?
?
x2?2ax
(14)不等式?2
?1?2
3x?a对一切实数x都成立,则a的取值范围是 ( )
?2?＜?
(A)a＞
34 (B)a＜34(C) 0＜a＜33
4 (D)4 ＜a＜1 (15)若关于x的方程x2-x-(m+1)=0在[-1,1]上有解,则m的取值范围是 ( ) (A)m≥-54(B)-54≤m≤-1 (C)-5
4
≤m≤1(D)m≤1 填空题
(1)不等式3x
x2
?2
≥1的解集是__________.(2)不等式(x2-4x-5)(x2-4)≤0的解集是__________. (3)使不等式2x?5＞x+1成立的x的取值范围是_______. (4)不等式|2x2-5|＞3x的解集是
________. log2?2x)
1(x(5)不等式lg??x?
1?
3
?x??
＜0的解集是__________. (6)不等式5≥0.2的解集是________.
二、 解答题
(1)解不等式5?4x?x2
≥x. （2）解不等式log3x+logx27＜4.(3)解不等式|x?6-2x|≥1.
(4)已知:a＞0,a≠1,解不等式loga(4+3x-x2)-loga(2x-1)＞loga2.
(5)若(a-2)x2+1≤(a-2)x对任意实数x都成立,求a的取值范围.
(6)如果偶函数f(x)在x∈[0,+∞)上是增函数,且f(log427·log272)=0,求不等式f(logax)＞0 (a＞0且a≠1)的解集.
篇三：不等式的解法
分式不等式解法2
记得以前央视新闻有条微博说7成网友赞成数学退出高考，下边一片叫好声。 我有个同事淡淡回了句：“数学就是用来把这7成人筛出去的。”
这句话我永远都记得，所有被千夫所指的困难，都是为了淘汰掉懦夫，仅此而已。
你以为这题就结束了？开玩笑事情！
一道分式范围题的启发--you know or not know but should know 还是那道分式范围题的启发--江湖人称“地位等价法”“对称法” 又是那道分式不等式的启发--江湖人称“判别式法”“数形结合法” 仍是那道分式不等式的启发--再现“反函数法”“函数有界性法” 继续那道分式不等式的启发--不为人知的“嵌入不等式法”
后两种无限期延迟，有空再讲，你们可以找人预习一下。
现在讲第二个
万变不离其宗，还是那题
提过了此题的通解、k-cos换元法，扯过了传说中的对称法，这次在展示判别式法 已知分式不等式六条路
几何意义、求导、判别式法、对称法、单调性、不等式
求导不用说，
单调性有两种，一种你遇到会笑，一种你遇到会哭，期待你们能遇到 对称法、不等式第一讲已讲。
这讲谈的就是几何意义和判别式法
三元问题是不会出现的，人称填空题标杆的江苏2012年的14题可以看出这一点 高中三元分式问题只有唯一方法--齐次同除
然后跟随杀手的脚步，踏入今天的征程
我们再一次弄出了答案，答案对说明过程是有道理的（我没说过程对，过程有少许漏写） 凭什么y是变量，x是常量，我不服。不服在猜一次给你看
答案再一次跃居纸上.你还别不信
高中数学探究之路--答案对，说明过程有道理，在此过程上总结新方法，然后就是你的了
以这个为例吧，
一个x+一个y对应一个t，
相反的，一个t和一个x肯定就有一个y对应，
那么，所有的y肯定就对应了所有的t和x
因为y是＞0的，所以关于y的二次函数必在（0，+∞）上有解
又因为y1+y2=2t，（t＞0）
说明如果方程有解（△≥0），必有正解
一次处理过后，再来看x
x1+x2=t，（t＞0），所以△≥0
倒过来看就是t是这么个范围，然后对应了所有的x＞0，
然后t与x狼狈为奸，又把所有的y＞0弄出来了
综上所述，t是这么个范围，然后这么个范围就对应了所有的正数x和y
再所述一遍就是，所有的正数x和y对应了t的这么个范围
有些话我只说一遍
二次函数根的限定是国家五A级旅游景点，一定要会，一定一定一定要精通，不精通的赶快补
1. 设k=这个，k表示斜率，几何意义
2. t=这个，所以y=t（x-3）+4，代入圆中，-1≤x≤1，则t范围是......
3.把圆的方程写成y=？？然后代入右边分类求导
例四：a=2，b=1的椭圆，题型同上，同学们自己算吧！
之前例题都是带大家玩的，第一波僵尸即将来临
《不等式的解法》出自：百味书屋
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