篇一：导数及其应用
导数及其应用
【专题要点】
1. 导数的定义:利用导数的定义解题; 2. 求导数(包括求导函数和某一点的导数);
3. 导数的简单应用,包括求函数的极值,求函数的单调区间,证明函数的单调性等,复现率较高; 4. 导数在实际问题中的应用(利润最大,用料最省,效率最高等优化问题);
5. 综合考查,将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切
线问题等有机地结合在一起，设计综合问题。包括：
（1） 函数、导数、方程、不等式综合在一起，解决单调性、参数的范围等问题，这类问题涉及含参
数的不等式、不等式的恒成立的求解；
（2） 函数、导数、方程、不等式综合在一起，解决极值、最值等问题，这类问题涉及求极值和极值
点、求最值，有时需要借助方程的知识求解；
（3） 利用导数的几何意义求切线方程，解决与切线方程有关的问题； （4） 通过构造函数，以导数为工具证明不等式；
（5） 导数与解析几何或函数图像的混合问题，这是一个重要问题，也是高考中考察综合能力的一个
方向 【考纲要求】
⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．
⑵熟记基本导数公式（C,x(n为有理数),sinx.cosx,logax,ax,ex,lnx的导数）．掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．
⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．
【知识纵横】
n
f?x0??x??f?x0??0
1定义：fx?lim?0??x?0?
?x?
???1?公式：①常函数，②指，③对，④幂，⑤复合函数。?0?2运算???u????????2?法则：①?au?，②?u?v?，③?uv?，④??
?v???
???1?物理意义：瞬时速度及加速度????斜率：求法有三①知两点②知倾角③求导??0
??
?3意义：?①在该点出的切线方程,??
2几何意义??????切线方程：②过某点做曲线的切线方程,????
?③知切线求参数值.???????
导数?
??①证明或判断单调性；?
???1单调性???②求单调区间；??
?③知单调，求参数范围.?????
??①求极值；?
???
2求两函数值???②求最值；??40应用：??③知极值或最值，求参数值.????
??3?f?x?与f??x?的图像关系 ?
??
??①证明不等式；?
???4?综合应用?②比较实数大小；???
?③讨论方程根的个数.?????
【教法指引】
（1）近几年各地高考题一直保持对导数知识考查力度，体现了在知识网络交汇点出题的命题风格，重点考查导数概念、单调性、极值等传统、常规问题，这三大块内容是本专题复习的主线，在复习中应以此为基础展开，利用问题链向学生展示题目间的内在联系，揭示解题的通法通解，如讲解利用导数处理函数单调性问题时，可设计这样的问题链：已知函数求单调区间?知函数在区间上单调求参数?若函数不单调如何求参数．
（2）要认识到新课程中增加了导数内容，增添了更多的变量数学，拓展了学习和研究的领域，在复习中要明确导数作为一种工具在研究函数的单调性、极值等方面的作用，这种作用不仅体现在导数为解决函数问题提供了有效途径，还在于它使学生掌握了一种科学的语言和工具，能够加深对函数的深刻理解和直观认识
（3）在教学中有意识的与解析几何（特别是切线、最值）、函数的单调性，函数的最值极值，二次函数，方程，不等式，代数不等式的证明等进行交汇，综合运用。特别是精选一些以导数为工具分析和解决一些函数问题、切线问题的典型问题，以及一些实际问题中的最大（小）值问题
【典例精析】
1.导数定义的应用
例1 (2008北京高考）如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为
(0，，，，，4)(20)(64)， lim
解：由图可知f?x???
?x?0
f?1??x??f?1?
?_________．
?x
0?x?2??2x?4
，根据导数的定义
2?x?3?x?2
知lim
?x?0
f?1??x??f?1?
?f??1???2．
?x
例２(2006重庆高考)已知函数f?x??x2?bx?cex,其中b,c?R，（Ⅰ）略，（Ⅱ）若b2?4?c?1?,且
??
lim
x?0
f?x??c
?4，试证：?6?b?2． x
解：f??x??x2??b?2?x?b?cex，易知f?0??c．故
??
lim
x?0
f?x??cf?x??f?0??lim?f??0??b?c，
x?0xx?0
?b?c?4,
所以?2解得?6?b?2．
??b?4c?1,?
2. 利用导数研究函数的图像
例3 （2009安徽高考）设a＜b,函数y?(x?a)2(x?b)的图像可能是
解：y?(x?a)(3x?2a?b)，由y?0得x?a,x?
//
2a?b2a?b
，∴当x?a时，y取极大值0，当x?33
时y取极小值且极小值为负．故选C．或当x?b时y?0，当x?b时，y?0选C． 点评:通过导数研究函数图像的变化规律,也是考试的热点题型.
例4（2009年湖南卷）若函数y?f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数， ．．．则函数y?f(x)在区间[a,b]上的图象可能是
a
b a
b a
A ．B． C． D．
解: 因为函数y?f(x)的导函数．．．y?f?(x)在区间[a,b]上是增函数，即在区间[a,b]上各点处函数的变化率是递增的，故图像应越来越陡峭．由图易知选A.
点评：这是一道非常精彩的好题，题目考察了导数的概念——函数的变化率以及图像的变化规律，是以高等数学中函数图像的凹凸性为背景命制的，虽然试题的设计来源于高等数学，但考察的还是中学所学的初等数学知识．这也是近年来高考命题的一大特色． 3.利用导数解决函数的单调性问题
例5（2008全国高考）已知函数f(x)?x3?ax2?x?1，a?R． （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）设函数f(x)在区间??，??内是减函数，求a的取值范围． 解：（1）f(x)?x?ax?x?1求导得f?(x)?3x?2ax?1 当a?3时，??0，f?(x)?0，f(x)在R上递增；
2
?2
?31?3?
322
当a?3，f?(x)?
0求得两根为x?，
2
???a?a??a即f(x
)在???
递增，?递减，
????333??????a??
???递增。 ?
??3??
（2）因为函数f(x)在区间??，??内是减函数，所以当x???，??时f??x??0恒成立，结合二次
?2
?31?3??2?31?3?
??2??f???3??0???
函数的图像可知?解得a?2．
?f???1??0
?????3?
点评：函数在某区间上单调转化为导函数f??x??0或f??x??0在区间上恒成立问题，是解决这类问题的
2
??3
通法．本题也可以由函数在求解．
上递减，所以1????31312
【变式1】（2004年全国高考）若函数f?x??x?ax??a?1?x?1在区间?1,4?上是减函数，在区间
32
?6,???上是增函数，求实数a的取值范围．
解：f?x??x2?ax??a?1?，令f??x??0得x?1或x?a?1，结合图像知4?a?1?6，故a??5,7?． 点评：本题也可转化为f??x??0，x??1,4?恒成立且f??x??0，x??6,???恒成立来解． 【变式2】(2005年湖南高考)已知函数f?x??lnx?围；
12
ax?2x?a?0?存在单调递减区间，求a的取值范2
1ax2?2x?1
.因为函数f??x?存在单调递减区间，解：f??x?(x)??ax?2??所以f??x??0在?0,???上
xx
解，从而ax?2x?1?0有正解．
2
①当a?0时，y?ax2?2x?1为开口向上的抛物线，ax?2x?1?0总有正解；
22
②当a?0时，y?ax?2x?1为开口向下的抛物线，要使ax?2x?1?0总有正解，则
2
??4?4a?0,解得?1?a?0 ．
综上所述，a的取值范围为??1,0???0,???．
【变式3】（2009浙江高考）已知函数f(x)?x3?(1?a)x2?a(a?2)x?b (a,b?R)．若函数f(x)在区间(?1,1)上不单调，求a的取值范围． ．．．
解：函数f(x)在区间(?1,1)不单调，等价于f??x??0在区间(?1,1)上有实数解，且无重根．
2
又f??x??3x?2?1?a?x?a?a?2?，由f??x??0，得x1?a,x2??
a?2
。从而 3
a?2??1???1,??1?a?1,??1?a?1,??5?a?1,?????3或解得或 ?a?2???11
a?2a??,a??,a??,?a?????.322????3?
所以a的取值范围是??5,?????
??1??1?
,1?.
2??2?
点评：这种逆向设问方式是今后高考命题的一种趋势，充分体现高考“能力立意”的思想，高考中应高度重视。
选修2-2单元测试题
一、选择题(共12小题，每小题5分,共60分)
1.函数y=x2cosx的导数为…………………………………………【 】 A. y′=2xcosx－x2sinx B.y′=2xcosx+x2sinx C.y′=x2cosx－2xsinx D. y′=xcosx－x2sinx
2.下列结论中正确的是……………………………………………【 】 A. 导数为零的点一定是极值点
B. 如果在x0附近的左侧f'(x)?0右侧f'(x)?0那么f(x0)是极大值 C. 如果在x0附近的左侧f'(x)?0右侧f'(x)?0那么f(x0)是极小值 D. 如果在x0附近的左侧f'(x)?0右侧f'(x)?0那么f(x0)是极大值 3. 曲线y?cosx(0?x?
3?
与坐标轴围成的面积是……………【 】 25
A.4B. C.3 D.2
2
3
4.函数f(x)?3x?4x，x?[0,1]的最大值是……………………【 】 A.1B.
1
C.0D.-1 2
5. 如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，则克服弹力所做的功为……………………【 】A . 0.28JB. 0.12JC. 0.26J D. 0.18J6. 给出以下命题：⑴若
?
ba
f(x)dx?0，则f(x)>0； ⑵?
2?0
sin?4;
⑶f(x)的原函数为F(x)，且F(x)是以T为周期的函数，则
?
a0
f(x)dx??
a?TT
f(x)dx；其中正确命题的个数为…【 】
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 7. 若函数f(x)?x?x?mx?1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是【 】
A. (,??) B. (??,)C. [,??) D. (??,]
3
2
1
3131313
8.设0<a<b，且f (x)＝A.f (a)< f (
1??x
，则下列大小关系式成立的是…【 】. x
a?ba?b
)<f (ab)B. f ()<f (b)< f (ab) 22a?ba?b
C. f (ab)< f ()<f (a) D. f (b)< f ()<f (ab)
22
9. 函数f(x)?ax2?b在区间(??,0)内是减函数则a,b应满足【 】 Ａ．a?0且b?0Ｂ．a?0且b?R
Ｃ．a?0且b?0Ｄ．a?0且b?R
10. f(x)与g(x)是R定义在上的两个可导函数，若f(x)与g(x)满足
f?(x)?g?(x)，则f(x)与g(x)满足………………………【 】
Ａ．f(x)?g(x) Ｂ．f(x)?g(x) 为常数函数 Ｃ．f(x)?g(x)?0 Ｄ．f(x)?g(x)为常数函数 11. (2007江苏)已知二次函数f(x)?ax?bx?c的导数为f?(x)，对于任意实数x，有f()则f?(0)?0，x≥0，
2
f1)(
f?0()
的最小值为…【 】
Ａ．3
Ｂ．
5
2
Ｃ．2 Ｄ．
3 2
12. (2007江西理)设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线
y?f(x)在x?5处的切线的斜率为（ ）
Ａ．?
1 5
Ｂ．0
Ｃ．
1 5
Ｄ．5
选修2-2单元测试题答题卷
姓名： 班级： 分数：
二、填空题(共4小题，每小题4分,共16分) 13．10.曲线y=2x3－3x2共有____个极值. 14．已知f(x)为一次函数，且f(x)?x?2
?1
x
?
10
则f(x)=_______. f(t)dt，
15. 若f(x)?e，则lim
t?0
f(1?2t)?f(1)
?___________.
t
16. 已知函数f(x)?x3?ax2?bx?c在x??2处取得极值，并且它的图
象与直线y??3x?3在点（1，0）处相切，则函数f(x)的表达式为 __ __m.
2
三、解答题（共74分）
17．（本小题满分12分）一物体沿直线以速度v(t)?2t?3（t的单位
为:秒,v的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程?
18. （本小题满分12分）已知曲线 y = x3 + x－2 在点 P0 处的切线 l1 平行直线4x－y－1=0，且点 P0 在第三象限,
⑴求P0的坐标; ⑵若直线 l?l1 , 且 l 也过切点P0 ,求直线l的方程.
19. （本小题满分12分）已知函数f(x)?ax3?(a?1)x2?48(a?2)x?b的图象关于原点成中心对称, 试判断f(x)在区间??4,4?上的单调性,并证明你的结论.
20．（本小题满分12分）已知函数f(x)?lnx(x?0),函数
g(x)?
1
?af?x()x(?f?(x)
⑴当0)x?0时,求函数y?g(x)的表达式;
⑵若a?0,函数y?g(x)在(0,??)上的最小值是2 ,求a的值; ⑶在⑵的条件下,求直线y?形的面积.
21．（本小题满分12分）设a≥0，f(x)?x?1?ln2x?2alnx(x?0)． ?∞)内的单调性并求极值； （Ⅰ）令F(x)?xf?(x)，讨论F(x)在(0，
27
x?与函数y?g(x)的图象所围成图36
（Ⅱ）求证：当x?1时，恒有x?ln2x?2alnx?1．
篇三：《导数及其应用》经典题型总结
《导数及其应用》经典题型总结
一、知识网络结构
题型一 求函数的导数及导数的几何意义 考点一 导数的概念，物理意义的应用
例1．(1)设函数f(x)在x?2处可导，且f?(2)?1，求lim
h?0
(2)已知f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?2008)，求f?(0).
考点二 导数的几何意义的应用
例2: 已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a、b、c的值
f(2?h)?f(2?h)
；
2h
例3：已知曲线y=x3?.(1)求曲线在（2，4）处的切线方程;(2)求曲线过点（2，4）的切线方程.
题型二 函数单调性的应用
考点一 利用导函数的信息判断f(x)的大致形状
例1 如果函数y＝f(x)的图象如图，那么导函数y＝f(x)的图象可能是( )
13
43
考点二 求函数的单调区间及逆向应用
例1 求函数y?x?2x?5的单调区间.（不含参函数求单调区间）
1
例2 已知函数f(x)＝2＋alnx(a∈R，a≠0)，求f(x)的单调区间．（含参函数求单调区间）
2
练习：求函数f(x)?x?
4
2
a
的单调区间。 x
32
例3 若函数f(x)＝x－ax＋1在(0,2)内单调递减，求实数a的取值范围．（单调性的逆向应用）
练习1：已知函数f(x)?2ax?x,x?(0,1],a?0，若f(x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围。 2. 设a>0,函数f(x)?x?ax在（1，+∞）上是单调递增函数，求实数a的取值范围。 3. 已知函数f(x)＝ax3＋3x2-x+1在R上为减函数，求实数a的取值范围。
总结：已知函数y?f(x)在(a,b)上的单调性，求参数的取值范围方法：1、利用集合间的包含关系
2、转化为恒成立问题（即f(x)?0或f(x)?0）（分离参数）3、利用二次方程根的分布（数形结合） 例4 求证sinx?x，（x??）（证明不等式）
练习：已知x>1，证明x>ln(1＋x)．
/
/
3
3
题型三 函数的极值与最值
考点一 利用导数求函数的极值。
lnx＋11
例1 求下列函数的极值：(1)f(x)＝x＋；(2)f(x)＝.（不含参函数求极值）
4xx
a
例2 设a>0，求函数f(x)＝x2的单调区间，并且如果有极值时，求出极值.（含参函数求极值）
x
a
例3设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.若f(x)在(－∞，
3＋∞)内无极值点，求a的取值范围．（函数极值的逆向应用）
3
例4 已知函数f(x)＝x－3ax－1，a≠0.（利用极值解决方程的根的个数问题） (1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
题型四 函数的最值
例1 求函数f(x)?
4x
,x???2,2?的最大值与最小值。（不含参求最值） 2
x?1
例2 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，试问是否存在实数a、b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29，若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．(最值的逆向应用)
例3 已知f(x)＝xlnx，g(x)＝x3＋ax2－x＋2. (1)求函数f(x)的单调区间．
(2)若对任意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围．（利用极值处理恒成立
问题）
1
练习1 已知f(x)＝x3－2－2x＋5，当x∈[－1,2]时，f(x)<m恒成立，求实数m的取值范围。
2
(2)f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1,1]恒有f(x)≥0成立，则a＝________.
二、知识点
1、函数f?x?从x1到x2的平均变化率：
f?x2??f?x1?x2?x1
x?x0
.
f(x0??x)?f(x0)．
?x
2、导数定义：f?x?在点x0处的导数记作y?
?f?(x0)?lim
?x?0
3、函数y?f?x?在点x0处的导数的几何意义是曲线4、常见函数的导数公式： ①C?0；②(x)??x
x'
x
'
y?f?x?
在点
'
??x0,f?x0??
处的切线的斜率．
?'??1x'
； ③(sinx)?cosx；④(cosx)??sinx；
x
'
⑤(a)?alna；⑥(e)?e； ⑦(logax)'?5、导数运算法则：
11
；⑧(lnx)'? xlnax
?1?
???f?x??g?x????f??x??g??x?；
???f?x??g?x????f??x?g?x??f?x?g??x?；
?2?
?f?x???f??x?g?x??f?x?g??x?
g?x??0?????2
??3??gx??g?x???．
6、在某个区间?a,b?内，若f??x??0，则函数y?f?x?在这个区间内单调递增； 若f??x??0，则函数y?f?x?在这个区间内单调递减． 7、求解函数y?f(x)单调区间的步骤：
（1）确定函数y?f(x)的定义域； （2）求导数y?f(x)； （3）解不等式f(x)?0，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式f(x)?0，解集在定义域内的部分为减区间．
8、求函数y?f?x?的极值的方法是：解方程f??x??0．当f??x0??0时：
''
'
'
?1?如果在x0附近的左侧f??x??0，右侧f??x??0，那么f?x0?是极大值；
?2?如果在x0附近的左侧f??x??0，右侧f??x??0，那么f?x0?是极小值．
9、求解函数极值的一般步骤：
（1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f’(x) （3）求方程f’(x)=0的根
（4）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 10、求函数y?f?x?在?a,b?上的最大值与最小值的步骤是：
?1?求函数y?f?x?在?a,b?内的极值；
?2?将函数y?f?x?的各极值与端点处的函数值f?a?，f?b?比较，其中最大的一个是最大值，最
小的一个是最小值．
《导数及其应用》出自：百味书屋
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