篇一：2017年考研数学一真题及答案解析
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2017年考研数学一真题及答案解析
跨考教育 数学教研室
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．
x?0（1
）若函数f(x)?在x?0处连续，则（ ） ?b,x?0?12
(C)ab?0(A)ab?
【答案】A
?B?ab???D?ab?2
12
1x111?1x?0??b?ab?.选A. 【解析】lim在处连续?lim?,?f(x)?
x?0?x?02a2axax2a
（2）设函数f(x)可导，且f(x)f'(x)?0，则（）
(A)f(1)?f(?1)(C)f(1)?f(?1)
【答案】C
?B?f(1)?f(?1)?D?f(1)?f(?1)
【解析】?f(x)f'(x)?0,??
?f(x)?0?f(x)?0
(1)或?(2)，只有C选项满足(1)且满足(2)，所以选C。
?f'(x)?0?f'(x)?0
2
（3）函数f(x,y,z)?xy?z在点(1,2,0)处沿向量u??1,2,2?的方向导数为（）
2
(A)12
【答案】D 【解析】选D.
(B)6(C)4(D)2
gradf?{2xy,x2,2z},?gradf
(1,2,0)
?{4,1,0}?
?fu122?gradf??{4,1,0}?,,?2.
?u|u|333
（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线v?v1(t)（单
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位：m/s），虚线表示乙的速度曲线v?v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0（单位：s），则（）
(s)
(A)t0?10
【答案】B
(B)15?t0?20(C)t0?25(D)t0?25
【解析】从0到t0这段时间内甲乙的位移分别为
?
t0
v1(t)dt,?v2(t)dt,则乙要追上甲，则
t0
?
t0
v2(t)?v1(t)dt?10，当t0?25时满足，故选C.
（5）设?是n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（）
(A)E???T不可逆(C)E?2??不可逆
【答案】A
T
?B?E???T不可逆?D?E?2??T不可逆
TTTT
【解析】选项A,由(E???)??????0得(E???)x?0有非零解，故E????0。即E???
不可逆。选项B,由r(??T)??1得??的特征值为n-1个0，1.故E???的特征值为n-1个1，2.故可逆。其它选项类似理解。
TT
?200??210??100???????（6）设矩阵A?021,B?020,C?020,则（ ） ??????????001???001???002??
?B?A与C相似,B与C不相似
(C)A与C不相似,B与C相似?D?A与C不相似,B与C不相似
(A)A与C相似,B与C相似
【答案】B
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【解析】由(?E?A)?0可知A的特征值为2,2,1
?100???
因为3?r(2E?A)?1，∴A可相似对角化，且A~?020?
?002???
由
?E?B?0可知B特征值为2,2,1.
因为3?r(2E?B)?2，∴B不可相似对角化，显然C可相似对角化， ∴A~C，且B不相似于C
（7）设A,B为随机概率，若0?P(A)?1,0?P(B)?1，则P(AB)?P(AB)的充分必要条件是（ ）
(A)P(BA)?P(BA)(C)P(BA)?P(BA)
(B)P(BA)?P(BA)(D)P(BA)?P(BA)
【答案】A
【解析】按照条件概率定义展开，则Ａ选项符合题意。
1n
（8）设X1,X2???Xn(n?2)为来自总体N(?,1)的简单随机样本，记??Xi，则下列结论中不正确
ni?1
的是（）
(A)?(Xi??)2服从?2分布
i?1n
n
?B?2(Xn?X1)2服从?2分布
(C)?(Xi?)2服从?2分布
i?1
?D?n(??)2服从?2分布
【答案】B 【解析】
X?N(?,1),Xi???N(0,1)??(Xi??)2??2(n),A正确
i?1n
?(n?1)S??(Xi?)2??2(n?1)，C正确，
2
i?1
n
1
?~N(?,??)?N(0,1),n(??)2~?2(1),D正确,
n
(Xn?X1)2
?~N(0,2),~?2(1),故B错误.
2
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由于找不正确的结论，故B符合题意。
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二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．(9) 已知函数f(x)?【答案】f(0)??6 【解析】
??
112nn2n
f(x)???(?x)?(?1)x??22
1?x1?(?x)n?0n?0
1
，则f(3)(0)2
1?x
f'''(x)??(?1)n2n(2n?1)(2n?2)x2n?3?f'''(0)?0
n?2
?
(10) 微分方程y''?2y'?3y?0的通解为
y?_________
【答案】y?e?x(c1?c2)，（c
1,c2为任意常数） 【解析】齐次特征方程为??2??3?0??1,2?
?1
故通解为e?x(c1?c2) (11) 若曲线积分
2
xdx?aydy22
?Lx2?y2?1在区域D??(x,y)|x?y?1?内与路径无关，则
a?__________
【答案】a?1 【解析】
(12) 幂级数
?P?2xy?Q2axy?P?Q
由积分与路径无关知?2,?,??a??1
?y(x?y2?1)2?x(x2?y2?1)2?y?x
?(?1)
n?1
?
n?1
nxn?1在区间(?1,1)内的和函数S(x)?________
【答案】s(x)?
1
?1?x?
2
1???x?n?1n?1n?1n??【解析】?(?1)nx???(?1)x????2 n?1?n?1??1?x?(1?x)
?101?
??
（13）设矩阵A??112?，?1,?2,?3为线性无关的3维列向量组，则向量组A?1,A?2,A?3的秩为
?011???
?
''
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_________
【答案】2
【解析】由?1,?2,?3线性无关，可知矩阵?1,?2,?3可逆，故
r?A?1,A?2,A?3??r?A??1,?2,?3???r?A?再由r?A??2得r?A?1,A?2,A?3??2
（14）设随机变量X的分布函数为F(x)?0.5?(x)?0.5?(
x?4
，其中?(x)为标准正态分布函数，则2
EX?_________
【答案】2
【解析】F?(x)?0.5?(x)?
??0.5x?40.5??x?4
?(，故EX?0.5?x?(x)dx?x?(dx
??222???2
????????x?4x?4
?tx?(dxx?(x)dx?EX?0。令，则=24?2t?(t)dt?8?1?4t?(t)dt?8 ??????????????22
因此E(X)?2.
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或．．．演算步骤.
（15）（本题满分10分）
dy设函数f(u,v)具有2阶连续偏导数，y?f(e,cosx)，求
dx
x
x?0
，
d2ydx2
x?0
dy
【答案】
dx
【解析】
x?0
d2y
?f(1,1),2
dx
'1x?0
''?f11(1,1), x?0
y?f(e,cosx)?y(0)?f(1,1)?dy
dx
??f1'ex?f2'??sinx??
x?0
x?0
x
?f1'(1,1)?1?f2'(1,1)?0?f1'(1,1)
d2y''2x''x''x''2'x'
?2?f11e?f12e(?sinx)?f21e(?sinx)?f22sinx?f1e?f2cosxdxd2y''?2?f11(1,1)?f1'(1,1)?f2'(1,1)dxx?0结论：
dydx
?f1'(1,1)
x?0
''?f11(1,1)?f1'(1,1)?f2'(1,1)x?0
d2y
dx2
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篇二：2017年考研数学一真题及答案(全)
2017年全国硕士研究生入学统一考试
数学（一）试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． ．．．
x?0（1
）若函数f(x)?在x连续，则 ?b,x?0?
(A) ab?【答案】A
【详解】由lim?
x?0
1． 2
(B) ab??
1． 2
(C) ab?0． (D) ab?2．
11
??b,得ab?.
22a
（2）设函数f?x?可导，且f(x)f'(x)?0则
(A) f?1??f??1? ． (B) f?1??f??1?． (C) f?1??f??1?． 【答案】C
(D) f?1??f??1?.
f2(x)
]??0,从而f2(x)单调递增,f2(1)?f2(?1). 【详解】f(x)f?(x)?[2
（3）函数f(x,y,z)?xy?z在点(1,2,0)处沿着向量n?(1,2,2)的方向导数为 (A) 12． 【答案】D
(B) 6．
(C) 4．
(D)2 ．
2
2
【详解】方向余弦cos??
122,cos??cos??,偏导数fx??2xy,fy??x,fz??2z,代入33
cos?fx??cos?fy??cos?fz?即可.
（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线v?v1(t)(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线v?v2(t)(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则
数学（一）试题 第1页（共4页）
(A) t0?10． 【答案】C
【详解】在t0?25时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m处. （5）设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则 (A) E?αα不可逆． (C) E?2αα不可逆． 【答案】A
【详解】可设???????????T,则??的特征值为1,0,?,0,从而E???的特征值为
T
T
TT
(B) 15?t0?20． (C) t0?25． (D) t0?25．
(B) E?αα不可逆． (D) E?2αα不可逆．
T
T
0,1,?,1,因此E???T不可逆.
?200??210??1???????
2（6）设有矩阵A??021?，B??020?，C???
?001??001??2???????
(A)A与C相似，B与C相似． (B) A与C相似，B与C不相似．
(C) A与C不相似，B与C相似． (D) A与C不相似，B与C不相似． 【答案】B
【详解】A,B的特征值为2,2,1,但A有三个线性无关的特征向量,而B只有两个,所以
A可对角化, B则不行.
（7）设A,B为随机事件，若0?P(A)?1，0?P(B)?1，则P(A|B)?P(B|A)的充分必要条件
(A) P(B|A)?P(B|A)． (C) P(B|A)?P(B|A)． 【答案】A
【详解】由P(A|B)?P(A|)得
(B) P(B|A)?P(B|A)． (D) P(B|A)?P(B|A)．
P(AB)P()P(A)?P(AB)
,即??
P(B)P()1?P(B)
P(AB)>P(A)P(B);
数学（一）试题 第2页（共4页）
由P(B|A)?P(|A)也可得P(AB)>P(A)P(B).
1n
（8）设X1,X2,?,Xn(n…2)为来自总体N(?,1)的简单随机样本，记??Xi，则下
ni?1
列结论不正确的是 (A)
22服从分布 ． (X??)??ii?1n
(B) 2(Xn?X1)2服从?2分布．
(C)
?(X
i?1
n
i
?)2服从?2分布． (D) n(??)2服从?2分布．
【答案】B
nn
Xi??22
【详解】~N(0,1)?(Xi??)~?(n),?(Xi?)2~?2(n?1);
1i?1i?1
(Xn?X1)2122
~N(?,),n(??)~?(1);Xn?X1~N(0,2),~?2(1).
n2
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上． ．．．（9）已知函数f(x)?【答案】0 【详解】f(x)?
1
,f(3)(0)?． 2
1?x
124
?1?x?x??(?1?x?1),没有三次项. 2
1?x
（10）微分方程y???2y??3y?0的通解为 ．
?x
【答案】y?e(C1?C2)
?x2
【详解】特征方程r?2r?3?
0得r??1,
因此y?e(C1?C2).
（11）若曲线积分． 【答案】?1
xdx?aydy22
?Lx2?y2?1在区域D?(x,y)x?y?1内与路径无关，则a?
??
【详解】有题意可得
?
?Q?P
?,解得a??1. ?x?x
n?1
（12）幂级数
?(?1)
n?1
nxn?1在(-1,1)内的和函数S(x)?．
数学（一）试题 第3页（共4页）
【答案】
1
2
(x?1)
【详解】
?(?1)nx
n?1
n?1
?
n?1
???[(?x)n]??
n?1
?
1
.
(x?1)2
?101???
（13）A??112?，?1，?2，?3是3维线性无关的列向量，则?A?1,A?2,A?3?的秩
?011???
为 ．
【答案】2
【详解】r(A?1,A?2,A?3)?r(A)?2
（14）设随即变量X的分布函数F(x)?0.5?(x)?0.5?(布函数，则EX? ． 【答案】2 【详解】EX?
x?4
)，其中?(x)为标准正态分2
?
??
??
xf(x)dx??
??
x[0,5?(x)?
0.5x?4?()]dx?2. 22
三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答
案写在答题纸指定位置上． ．．．（15）（本题满分10分）．
dy
设函数f(u,v)具有2阶连续偏导数，y?f(e,cosx),求
dx
x
d2y,2x?0dx
.
x?0
【答案】?y?f(e,cosx)
x
dy
?f1'ex?f2'sinx,dxdy?x?0?f1'(1,1)dx 2 dy''x''x'x''x'''
?fe?fsinxe?fe?(fe?fsinx)sinx?fcosx11121212222
dxd2y''
x?0?f11(1,1)?f1'(1,1)?f2'(1,1)2
dx?
??
（16）（本题满分10分）．
求lim
kk
ln(1?).
n??n2n
【答案】
数学（一）试题 第4页（共4页）
lim?
kkln(1?)2n??nk?1n
?
122nn??1
?lim?2ln(1?)?2ln(1?)?...?2ln(1?)?n??nnnnnn??
1?1122nn??lim?ln(1?)?ln(1?)?...?ln(1?)?n??nnnnnnn??111??xln(1?x)dx??ln(1?x)dx2
002
11111
?x2ln(1?x)??x200221?x111x2?1?1
?ln2??0221?x
11111
?ln2?[?(x?1)dx??]
01?x220
111
?ln2?[(x2?x)?ln(1?x)]
002221111
?ln2?(?1?ln2)?2224
（17）（本题满分10分）．
已知函数y(x)由方程x3?y3?3x?3y?2?0确定，求y(x)的极值. 【答案】x?y?3x?3y?2?0①，
方程①两边对x求导得：3x?3yy?3?3y?0②，令y?0，得3x?3,x??1.当x?1时y?1，当x??1时y?0.
方程②两边再对x求导：6x?6y(y)?3yy?3y?0，令y?0，6x?(3y?1)y?0，
'
2
''
'2
2
''
''
'
2
2
2
'
'
3
3
3''
，当x??1，y?0时y?6. 2
所以当x?1时函数有极大值，极大值为1，当x??1时函数有极小值，极小值为0.
当x?1，y?1时y??
''
（18）（本题满分10分）．
设函数f(x)在区间[0,1]上具有2阶导数，且f(1)?0，lim?
x?0
f(x)
?0.证明： x
（I）方程f(x)?0在区间(0,1)内至少存在一个实根;
数学（一）试题 第5页（共4页）
篇三：2017考研数学一试题及答案解析
2017考研数学一答案及解析
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
?1??（1
）若函数f(x)??。 ,x?0在x?0连续，则（ ）ax?b,x?0?
1 2
1B. ab?? 2A. ab?
C. ab?0
D. ab?2
【答案】A
【解析】
f(x)?f(0)，而
由连续的定义可得lim-f(x)?lim+x?0x?0
1211limf(x)?bb?，，因此可得，故选limf(x)?lim?lim?-+x?0x?0+x?0+x?02aax2a
择A。
（2）设函数f(x)可导，且f(x)f'(x)?0，则（ ）。
A. f(1)?f(?1)
B. f(1)?f(?1)
C. |f(1)|?|f(?1)
D. |f(1)|?|f(?1)
【答案】C
【解析】令F(x)?f(x)，则有F'(x)?2f(x)f'(x)，故F(x)单调递增，则F(1)?F(?1)，即[f(1)]?[f(?1)]，即|f(1)|?|f(?1)，故选择C。 222
r（3）函数f(x,y,z)?xy?z在点(1,2,0)处沿向量n?(1,2,0)的方向导数为（ ）。 22
A.12
B.6
C.4
D.2
【答案】D
【解析】gradf?{2xy,x2,2z}，因此代入(1,2,0)可得gradf，则有|(1,2,?0){4,1,0}?fu122?grad??,,?2。 ?u|u|333
（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中，实线表示甲的速度曲线v?v1(t)（单位：m/s），虚线表示乙的速度曲线v?v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0（单位：s），则（ ）。
A. t0?10
B. 15?t0?20
C. t0?25
D. t0?25
【答案】C
【解析】从0到t0时刻，甲乙的位移分别为
可知，?t00v1(t)dt与?v2(t)dt，由定积分的几何意义0t0?25
0(v2(t)?v1(t)dt?20?10?10，因此可知t0?25。
（5）设?为n维单位列向量，E为n维单位矩阵，则（ ）。
A. E???T不可逆
B. E???T不可逆
C. E?2??T不可逆
D. E?2??T不可逆
【答案】A
【解析】因为??T的特征值为0（n-1重）和1，所以E???T的特征值为1（n-1重）和0，故E???T不可逆。
?200??210??100???????（6）已知矩阵A?021,B?020,C?020，则（ ）。 ??????????001???001???002??
A.A与C相似，B与C相似
B. A与C相似，B与C不相似
C. A与C不相似，B与C相似
D. A与C不相似，B与C不相似
【答案】B
【解析】A和B的特征值为2,2,1，但是A有三个线性无关的特征向量，而B只有两个，所依A可对角化，B不可，因此选择B。
（7）设A，B为随机事件，若0?P(A)?1,0?P(B)?1，且P(A|B)?P(A|B)的充分必要条件是（ ）。 A. P(B|A)?P(B|A) B. P(B|A)?P(B|A) C. P(B|A)?P(B|A) D. P(B|A)?P(B|A)
【答案】A
【解析】
由P(A|B)?P(A|B)得
此选择A。 P(AB)P(AB)P(A)?P(AB)，即P(AB)?P(A)P(B)，因??P(B)1?P(B)P(B)
1n
（8）设X1,X2,LXn(n?2)来自总体N(?,1)的简单随机样本，记X??Xi，则下列ni?1
结论中不正确的是（ ）。
A. ?(X
i?1
nni??)2服从?2分布
B. 2?(X
i?1n?X1)2服从?2分布 C. ?(X
i?1ni?X)服从?2分布 D. n(X??)2服从?2分布
【答案】B
【解析】Xi??~N(0,1)，故?(X
i?1ni??)2~?2(n)，Xn?X1~N(0,2)，因
此
2~N(0,，
1故)n1n~?(1)，故B错误，由S?(Xi?X)2可得，?n?1i?12221(n?1)S??(Xi?X)2~?2(n?1)，X?
?~N(0,)X??)~N(0,1)，因ni?1
此n(X??)2~?2(1)。
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。
（9）已知函数f(x)?
【答案】0 ??12462n【解析】f(x)??1?x?x?x?L??(?x)??(?1)nx2n，因此 21?xn?0n?0
?1(3)，则f(0)=_________。 21?x
f'''(x)??(?1)n2n(2n?1)(2n?2)x2n?3，代入可得f(3)(0)?0。
n?0
（10）微分方程y''?2y'?3y?0的通解为y=_________。
【答案】e(c1?c2)
【解析】由y''?2y'?3y?0，所以?2?2??3?
0，因此???
1，因此通解为：?xe?x(c1?c2)。
（11）若曲线积分
=_________。
【答案】－1
【解析】设P(x,y)?xdy?aydy22在区域D?{(x,y)|x?y?1}内与路径无关，则a22?Lx?y?1x?ay,Q(x,y)?，因此可得： 2222x?y?1x?y?1
?P2xy?Q2axy?P?Q??2,??，根据，因此可得a??1。 ?y(x?y2?1)2?x(x2?y2?1)2?y?x
（12）幂级数??
n?1(?1)n?1nxn?1在区间(?1,1)内的和函数S(x)=_________。 【答案】1 (1?x)2
【解析】???x1n?1n?1n?1n(?1)nx?[(?1)x]'?()'?。 ?2n?1n?11?x(1?x)
?101???（13）设矩阵A?112，?1,?2,?3为线性无关的3维向量，则向量组A?1,A?2,A?3????011??
的秩为_________。
【答案】2
【解析】因为(A?1,A?2,A?3)?A(?1,?2,?3)，而
?101??101??101????011???011?，因此r(A)?2，所以向量组A??112A?1,A?2,A?3????????011????011????000??
的秩2。
（14）设随机变量X的分布函数为F(x)?0.5?(x)?0.5?(x?4)，其中?(x)为标准正态2
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