篇一：微积分1期末模拟考试答案(1)
微积分1期末模拟考试
一、填空题（每题3分，共18分）
ex?1
1． li?；
x?0?x
2.
?()dx?
xsin?x；c
3.设函数f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)，则f(x)有_______个极值点;
4.设f(x)的一个原函数为e，则?f(x)dx? ，?f?
(x)dx? 。
?x
5.函数f(x)?arctanx在?0,1?上满足拉格朗日中值定理的点?? 。
6.设f(x)=sinx, 则
?f??2x?dx?
?11?7.??2
?x?a(x?a)?
?dx＝ .(附加题，可不做) ?
8.
99
(2x?3)dx?. (附加题，可不做) ?
二、选择题（每题3分，共30分） 1.设?f(x)dx?A、
1?x
?C，则f(x)?（ B ） 1?x
?22?2x2x
B、 C、 Ｄ、
(x?1)2(x?1)2(x?1)2(x?1)2
2.设f?(x)连续，下列等式错误的是（ D ） A、C、
??
?
f(x)dx?f(x)B、
?
?f?(x)dx?f(x)?C
??f(2x)dx
?
??f(2x) D、?f?(2x)dx?f(2x)?C
3.设?f(x)dx?C，则?xf(x2)dx?（ A ） A、1sinx?C B、1C
22C
、1sin2CD、1sin2x?C 2x
4.设
?
x
f(x)dx?sinex?C，则?f(lnx)?（
C ）
A、sine?C B、sin(lnx)?C 5.设函数f(x)在x?x0处取得极大值，则必有（D）。
A.f?(x0)=0；C.
f?(x0)?0；
B.f?(x0)?0；
D.f?(x0)=0或者f?(x0)不存在.
6.函数f(x)?lnx及其图形在区间(1,??)上( B )。
A. 单调减少上凹; B.单调增加上凸; C. 单调减少上凸; D.单调增加上凹.
7.如果f(x)?( A ),那么f?(x)?0。
A.arcsinx?arccosx；C.sinx?cosx；
B.sec2x?tanx；
D.lnx?arccosx.
8.函数y?x?arctanx在(??,??)内（ A ）
A.单调递增 B.单调递减 C.不单调 D.不连续
9.设f(x)?x，则x?0是f(x)
的（ D ）
23
A.间断点 B.可导点 C.驻点 D.极值点
10. （ C ）
A.asintB.atantC.asectD.
acost
三、 解下列各题（每小题4分，共8分）
ex?e?x?2
1.求lim；
x?01?cosx
?1ln(1?x)?
?2.求lim； x?0?xx2?
1
x
3.求lim(cosx)
x?0
2
.(附加题，可不做)
四、求不定积分（每小题5分，共30分）
;
1.?1?x
2.
;
3.
34x
(2x?e?cos5x)dx; ?
4.
2
x?lnxdx;
5.
?
;
6.
dx
?x(1?x2);
7.
;(附加题，可不做)
8.
;(附加题，可不做)
1?x?x2
;(附加题，可不做) 9.?2
(1?x)
2
10.2sin
?
(附加题，可不做)
11.设函数f(x)的一个原函数为lnx，求不定积分xf?(x)dx。(附加题，可不做)
?
篇二：微积分 课后习题答案
习题1—1解答 1． 设f(x,y)?xy?
x
11x1
，求f(?x,?y),f(,),f(xy,), yxyyf(x,y)
11xy
1xy
yx
xy
2
2
解f(?x,?y)?xy?
xy
；f(,)??;f(xy,)?x?y;
1f(x,y)
?
yxy
2
?x
2． 设f(x,y)?lnxlny，证明：f(xy,uv)?f(x,u)?f(x,v)?f(y,u)?f(y,v)
f(xy,uv)?ln(xy)?ln(uv)?(lnx?lny)(lnu?lnv)?lnx?lnu?lnx?lnv?lny?lnu?lny?lnv?f(x,u)?f(x,v)?f(y,u)?f(y,v)
3． 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）f(x,y)?
?x
2
?
2
y?1;
2
（2）f(x,y)?
4x?y
2
ln(1?x?y)
xa
22
2
;
（3）f(x,y)?1??
yb
22
?
zc
22
;
（4）f(x,y,z)?
x?
2
y?
2
z
2
.
?x?y?z
解（1）D?{(x,y)x?1,y?1
?
（2）
D?(x,y)0?x2?y2?1,y
?
222
??xy （3）
D??(x
,y)2?2?ab?
（4）D?(x,y,z)x?0,y?0,z?0,x2?y2?z2?1
4．求下列各极限： （1）lim
1?xyx?y
2
2
??
1?00?1
?1
x?0y?1
=
（2）lim
ln(x?ex?y2?
2
y)2
x?1y?0
?
ln(1?e)?0(2?
?ln2
（3）lim
xy?4xy
x?0y?0
?lim
xy?4)(2?xy(2?
xy?4)
x?0y?0
xy?4)
??
14
（4）lim
sin(xy)y
x?2y?0
?lim
sin(xy)xy
x?2y?0
?x?2
5．证明下列极限不存在： （1）lim
x?0y?0
x?yx?y
; （2）lim
xy
2
2
22
2
x?0y?0
xy?(x?y)
（1）证明 如果动点P(x,y)沿y?2x趋向(0,0) 则lim
x?yx?y
x?2xx?2x
??3；
x?0
y?2x?0
?lim
x?0
如果动点P(x,y)沿x?2y趋向(0,0)，则lim
x?yx?y
y?0
x?2y?0
?lim
3yy
y?0
?3
所以极限不存在。
（2）证明 如果动点P(x,y)沿y?x趋向(0,0)
xy
2
2
2
2
2
则lim
x?0y?x?0
xy?(x?y)
?lim
xx
44
x?0
?1；
如果动点P(x,y)沿y?2x趋向(0,0)，则lim所以极限不存在。
6．指出下列函数的间断点： （1）f(x,y)?
y?2xy?2x
2
xy
2
2
22
2
x?0
y?2x?0
xy?(x?y)
?lim
4x
4
4
2
x?0
4x?x
?0
； （2）z?lnx?y。
解 （1）为使函数表达式有意义，需y2?2x?0，所以在y2?2x?0处，函数间断。 （2）为使函数表达式有意义，需x?y，所以在x?y处，函数间断。 习题1—2 1．（1）z?
?z?x
xy
?
yx
,
?z?x
?
1y
?
yx
2
，
?z?y
?
1x
?
xy
2
.
(2)?ycos(xy)?2ycos(xy)sin(xy)?y[cos(xy)?sin(2xy)]
?z?y
?xcos(xy)?2xcos(xy)sin(xy)?x[cos(xy)?sin(2xy)]
(3)
?z?x
?y(1?xy)
y?1
y?y(1?xy)
2y?1
,
1?zz?y
x1?xy
,
lnz=yln，两边同时对y求偏导得?ln(1?xy)?y
?z?y
?z[ln1(?xy)?
xy1?xy
]?(1?xy)[ln1(?xy)?
y
xy1?xy
];
(4)
?z?x
1??x?
2yxx
y3
1
y
2
?
x?2yx(x?y)
3
3
?z
,?y
?
xx?
2
yx
2
?
;3
x?y
1
?u
(5)?x
?
yz
x
z
?1
,
?u?y
?
1z
y
x
z
lnx,
?u?z
??
yz
2
y
x
z
lnx
;
(6)
?u?x
?
z(x?y)
z?12z
1?(x?y)
,
?u?y
??
z(x?y)
z?12z
1?(x?y)
,
?u?z
?
(x?y)ln(x?y)1?(x?y)
2z
z
;
2.(1)
zx?y,zy?x,zxx?0,zxy?1,zyy?
;
(2) zx?asin2(ax?by),zy?bsin2(ax?by),
zxx?2acos2(ax?by),zxy?2abcos2(ax?by),zyy?2bcos2(ax?by).
2
2
3 fx?y?2xz,fy?2xy?z,fz?2yz?x,fxx?2z,fxz?2x,fyz?2z,
fxx(0,0,1)?2,fxz(1,0,2)?2,fyz(0,?1,0)?0.
222
4
zx??2sin2(x?
t2
),zt?sin2(x?
t2
y
t2
),zxt?2cos2(x?
t2)?0.
t2
),ztt??cos2(x?
t2
)
2ztt?zxt??2cos2(x?
)?2cos2(x?
5.(1) zx??
12
yx
2
y
e, zy?
x
1x
ex,dz??
yx
2
y
edx?
x
1x
y
exdy;
(2) z?ln(x
2
?y),zx?
2
xx?y
2
2
,zy?
yx?y
2
2
,dz?
xx?y
2
2
dx?
yx?y
2
2
dy;
(3)zx
2
yx
???2 , zy?2
y2x?y1?()1?
x
?
y1
?ydx?xdyxx
?2dz? ,; 222
y2x?yx?y()x
yz
(4) ux?yzx
yz?1
,uy?zx
yz?1
yz
lnx,uz?yx
yz
lnx, lnxdz.
du?yzxdx?zxlnxdy?yx
yz
6. 设对角线为z,则z?
22
x?y,zx?
xx?y
2
2
,zy?
yx?y
2
2
, dz?
xdx?ydyx?y
2
2
当x?6,y?8,?x?0.05,?y??0.1时,?z?dz?
6?0.05?8?(?0.1)
6?8
2
2
=-0.05(m).
7. 设两腰分别为x、y,斜边为z,则z?zx?
xx?y
2
2
x?y,
22
，zy?
yx?y
2
2
, dz?
xdx?ydyx?y
2
2
,
设x、y、z的绝对误差分别为?x、?y、?z,
当x?7,y?24,?x??x?0.1,?y???z?dz?
7?0.1?24?0.1
7?24
2
2
y
?0.1时, z?7?24
22
?25
=0.124,z的绝对误差?z?0.124
z的相对误差
?zz
?
0.12425
?0.496%.
8. 设内半径为r，内高为h，容积为V，则
V??rh,Vr?2?rh,Vh??r,dV?2?rhdr??rdh,
2
2
2
当r?4,h?20,?r?0.1,?h?0.1时,
?V?dV?2?3.14?4?20?0.1?3.14?4?0.1?55.264(cm).
2
3
习题1—3
y
x
? )
2
1.
dudx
?
?fdx?xdx
?
?fdy?ydx
?
?fdz?zdx
?
1?(
zxyz
ax4
1?(
2
2
zxyz
?
xyzxyz
2
?ae)
2
ax
?
1?(
?2a(ax?1)
)
2
=
y[z?axz?2axy(ax?1)]
z?xy??f?????x
3
2
2
2
=
(ax?1)e(1?ax)
2
2ax
(ax?1)?xe
.
3
4
2.
?z?x
?
?f?????x
=
?
??
2
22
?x?x?y
2
2
?arcsin??
4x
4
x?y
=
4xarcsin
4
?x?y
4
x?y
?z?y
??f?????y
?
?
xln(x?y)(1?x?y)(x?y)
2
2
2
2
44
4y
4
3
4
?f?????y
2
=
?
??
2
?y?x?y
42
2
?arcsin??
x?y
=
4yarcsin
4
3
?x?y
4
2
x?y
?
yln(x?y)(1?x?y)(x?y)
2
2
2
2
4
.
3. (1)
?u?x?u?x?u?x
=2xf1?ye
xy
f2,
?u?y
=?2yf1?xe
1z
xy
f2.
(2) =
1y
?f1,
?u?y
=?
xy
2
?f1?f2,
?u?z
=?
yz
2
?f2.
(3)
=f1?yf2?yzf3,
?u?y
=xf2?xzf3,
?u?z
=xyf3.
微积分测试题答案
一、选择题(每题2分)
1、设??x?定义域为（1,2），则??lgx?的定义域为（） A、（0,lg2）
B、（0，lg2?
C、（10,100） D、（1,2）
2、x=-1是函数??x?=x2?xxx2?1的（）
A、跳跃间断点 B、可去间断点 C、无穷间断点 D、不是间断点
3
、试求
x?0A、?1
4
B、0 C、1 D、? 4、若
yx?x
y
?1，求y?等于（） A、
2x?y2y?xB、y?2x2y?xC、2y?xx?2y
2x?y
D、2x?y
5、曲线y?
2x
1?x
2
的渐近线条数为（） A、0B、1 C、2 D、3 6、下列函数中，那个不是映射（）
A、y2
?x (x?R?
,y?R?
) B、y2
??x2
?1
C、y?x2
D、y?lnx (x?0)
二、填空题（每题2分） 1
、__________2、
、设 （(n?)1x
fx)?milx??nx2?1
，则() fx的间断点为__________
3、已知常数 a、b,lim
x2?bx?a
x?11?x
?5，则此函数的最大值为__________ 4、已知直线 y?6x?k是 y?3x2
的切线，则 k?__________ 5、求曲线 xlny?y?2x?1，在点（，11）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分）
1、函数y?x2
1?x
2
是有界函数( )2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( )
3、若lim
?
??，就说?是比?低阶的无穷小( )4可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) ?
5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点( )
sin1x
四、计算题（每题6分）1、求函数 y?x
1
的导数 2、已知f(x)?xarctanx?ln(1?x2），求dy
2
tanx?sinx
2x?0xsinx
3、已知x2?2xy?y3?6，确定y是x的函数，求y?4、求lim
x(cosx)5
、计算 6、计算lim ?x?0五、应用题
1、设某企业在生产一种商品x件时的总收益为R（x)?100x?x，总成本函数为C(x)?200?50x?x，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分） 2、描绘函数y?x?
2
1
22
1
的图形（12分） x
1x
六、证明题（每题6分）
f()?A 1、用极限的定义证明：设limf(x)?A,则lim?
x???
x?0
2、证明方程xe?1在区间（0,1）内有且仅有一个实数
一、选择题
1、C 2、C3、A4、B5、D 6、B 二、填空题
1、x?0 2、a?6,b??7 3、18 4、35、x?y?2?0 三、判断题
1、√ 2、× 3、√ 4、× 5、× 四、计算题 1、
x
y??（x?（e
sin
1
x
)?)?
1sinlnxx
1111??
?ecos(?2)lnx?sin??xxxx??
1sin
1111x
?x(?2coslnx?sin)
xxxx
1
sinlnxx
dy?f?(x)dx
112x
?(arctanx?x?)dx22
1?x21?x
?arctanxdx
3、 解：
2x?2y?2xy??3y2y??0
2x?3y
?y??2
2x?3y
?y???
4、
解：
2)2
(2?3y?)(2x?3y2)?(2x?2y)(2?6yy?)
(2x?3y
x2
?当x?0时，x?tanx?sinx,1?cosx?
2
12xxtanx(1?cosx)1?原式=lim?lim3?2x?0x?0xsinxx2
5、
解：
令x?t6dx?6t5原式?
?（1?t
2
)t3
t2?6?
1?t2
t2?1?1?6?
1?t2
1
?6?(1?)2
1?t
?6t?6arctant?C??6arctan
?C
解：
1
原式?limex
?
x?0
2
lncosx
?e
x?0?
lim
1xlncosx
其中：
1
lncosx2
x?0x
lncosx
?lim 2
x?0?x
1
(?sinx)
?limx?0?2x
?tanx1
?lim??x?0?2x2lim?
?原式?e
五、应用题
1、解：设每件商品征收的货物税为a，利润为L(x)
?1
2
L(x)?R(x)?C(x)?ax
?100x?x2?(200?50x?x2)?ax??2x2?(50?a)x?200
L?(x)??4x?50?a
50?a
令L?(x)?0,得x?,此时L(x)取得最大值
4a(50?a)
税收T=ax?
4
1
T??(50?2a)
4
1
令T??0得a?25T?????0
2
?当a?25时，T取得最大值
2、 解：
D????，0???
0,???间断点为x?0y??2x?
1
x2
令y??0则x?y???2?
2x3
令y???0则x??1
渐进线：
limy???y无水平渐近线
x??x?0
limy?0?x?0是y的铅直渐近线yx?1
lim?2???y无斜渐近线x??xx
3
图象
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