篇一：硕士研究生《数值分析》试卷2013(A)
硕士研究生《数值分析》试卷2013(A)
一、判断题 (下列各题，你认为正确的，请在题后的括号内打“√ ”，错误的打“×”，每题2
分，共10分) 1. 近似数x?3.200关于准确值x?3.200678有4位有效数字。 ( ) 2. 设xi(i?0,1,2,3)是互异的点，li(x)(i?0,1,2,3)是Lagrange插值基函数，则
*
?4xl(x)?4x
2ii
i?0
7
3
2
.( )
1
2
3
4
5
6
7
3. 设f(x)?x?3x?2，则差商f[2,2,2,2,2,2,2]?1。 ( ) 4. 设A是n阶非奇异方阵，则解方程组Ax?b的迭代法收敛的充要条件是A的谱半径
3
?(A)?1。 ( )
5. 解常微分方程初值问题的四阶Runge-Kutta方法的整体截断误差是O(h)，其中h是步长。( )
二、填空题 (每空2分，共16分) 1. 设x?(2,1,?3,4)，A??2. 设I?
T
4
??25?
?. 则 ||x||1?Cond(A)??4?3??
?
20
若用梯形求积公式计算I，结果是4；用Simpson求积公式计算I，f(x)dx，
结果是2. 则f(1)? .
3. 设S是函数f在区间[0,3]上满足第一类边界条件的的三次样条：
?x2, 0?x?1,?
S(x)??12
??x?1??a?x?1??b,1?x?3,?2
则a?，b?f?(3)?.
4. 设函数f(0.8)??1.2,f(0.9)??1.4,f(1)??1.0,f(1.1)?0.2,f(1.2)?0.5, 步长
h?0.2，则用三点数值微分公式计算f?(1)的近似值为.
5. 设函数f(x)是最高次项系数为?1的3次多项式，的Lagrange插值多项式, 则余项f(x)?
*
p2(x)是f(x)在节点?1,0,1上
p2(x)?*
三(本题满分8分)
的近似值x的相对误差限是0.01%，求x至少应具有几位有效数字？
四(本题满分10分) 对下列方程组分别建立收敛的Jacobi和Gauss-Seidel迭代格式，并说明理由。
?3x1?2x2?10x3?15,
?
??10x1?4x2?x3?5, ?2x?10x?7x?8.
23?1
五(本题满分10分) 用下列表中的数据求插值多项式
p(x)，使之满足p(xi)?f(xi)，
i?0,1,2，和p?(x0)?f?(x0),p?(x0)?f?(x0).
六(本题满分12分) (1) 确定x1,x2,A1,A2，使下面的求积公式为Gauss型求积公式
?
1
?1
f(x)dx?A1f(x1)?A2f(x2).
(2) 用(1)中的两点Gauss公式计算I?
?
1
xcos2xdx的近似值。
*
x是方程f(x)?0的单根。七(本题满分12分) (1) 设f?C2[a,b]，写出求x的Newton
迭代格式；并证明求x的Newton迭代法至少是平方收敛的。
(2) 取初值x0?1.5,x1?1.6，用弦截法求方程x?2x?1?0在x0?1.5附近的实根
3
*
*
x*.（只迭代两次）。
八(本题满分10分) 求拟合下列表中数据的1次最小二乘多项式p1(x)，取权?i?1，
i?0,1,2,3，并计算总误差Q.
九(本题满分12分) (a) 证明Euler方法具有1阶精度。
(b) 用改进的Euler方法求解下列初值问题，取步长h?0.5，
y?dy?1?,?dtt?
?y(1)?2.?
1?t?2,
.
篇二：研究生《数值分析》考卷参考答案
2010-2011学年研究生《数值分析》
参考答案与评分标准
一、（10分）（1）误差产生的来源主要是哪几方面？
（2）设x?10?5%，求函数f(x)?x的相对误差界。
解： （1）误差产生的来源主要是模型误差、观测误差、舍入误差、截断误差。
（2）近似数x?10，绝对误差限?*(x*)?0.05，自变量的相对误差限为?r(x)?
函数值的绝对误差 ***0.05?0.005。 10
1f(x)?f(x)?f?(x)(x?x)?x*
n***?1?1nx*(x?x)?*(x?x*)， nx*所以函数值的相对误差
e?*
rf(x)?f(x*)f(x*)?x*
nx*?x*(x?x*)
*x?x11**???r(x) *nxn
**代入?r(x)得数据，可取函数值f(x)相对误差限为：
?r(f(x))?
**1**1??r(x)??0.005。 nn
二、（10分）设l0?x?，l1?x?，?,ln?x?是以x0,x1,?,xn为节点的Lagrange插值基函数，试证：
k?0,?1,?(1) ?lj?0?xk?k?1,2,?n, ?0,j
j?0???1?nxx?x,k?n?1;01n?n
(2) 设p(x)为任意首项次数为1的(n?1)次多项式，则
p(x)??p(xj)lj?x???(x)，
j?0n
其中?(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn)。
k证明： （1）考虑函数f(x)?x（其中k?0,1,2,?,n?1），利用Lagrange插值余项
公式有
f(n?1)(?) f(x)?Ln(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn) (n?1)!
即
f(n?1)(?)f(x)??xl?x??(x?x0)(x?x1)?(x?xn)， ① (n?1)!j?0nkjj
其中?介于x，x0,x1,?,xn之间。
当k?0时，f(x)?1，f
nk
jj(n?1)(x)?0，于是由式①得， f(n?1)(?) 1??xl?x??(x?x0)(x?x1)?(x?xn)?0 (n?1)!j?0
取x?0既得?xl?0??1； k
jj
j?0n
当k?1,2,?,n时，f(x)?xk，f
knk
jj(n?1)(x)?0，于是由式①得， f(n?1)(?) x??xl?x??(x?x0)(x?x1)?(x?xn)?0 (n?1)!j?0
取x?0既得?xl?0??0； k
jj
j?0n
n?1当k?n?1时，f(x)?x，f(n?1)(x)?(n?1)!，于是由式①得，
xn?1f(n?1)(?)??xl?x??(x?x0)(x?x1)?(x?xn)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn) (n?1)!j?0nn?1jj
kn??xl0?(?1)x0x1?xn。 ?jj
j?0n取x?0既得
(n?1)(2) 若p(x)为任意首项次数为1的(n?1)次多项式，则p(x)?(n?1)!，则利用
Lagrange插值余项公式有
p(n?1)(?) p(x)?Ln(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn) (n?1)!
即p(x)??p(x
j?0nj)lj?x???(x)。
三、（15分）1、叙述3次样条的定义；
2、确定参数a、b、c、d、e的关系，使得函数s(x)是3次样条函数，其中
?a(x?2)2?b(x?1)3,x?(??,1)?2x?[1,3) s(x)??c(x?2),
?d(x?2)2?e(x?3)3,x?[3,?)?
为了使函数s(x)满足条件
s(0)?26，s(1)?7，s(4)?25
求确定参数a、b、c、d、e的值。
解： 1、若函数s(x)在定义区间[a,b]（也可以是开区间）上二阶导数连续，且在在每个小区间[xj,xj?1]（?0,1,2,?,n）上是三次多项式，其中a?x0?x1???xn?b是给定的节点，则称s(x)是节点x0,x2,?,xn上的3次样条函数。
2、由
?a(x?2)2?b(x?1)3,x?(??,1)?s(x)??c(x?2)2, x?[1,3)
?d(x?2)2?e(x?3)3,x?[3,?)?
可得
s(1)???s(1?0)?a,?s(3?0)?c, s(3)?? s(1?0)?c,s(3?0)?d,??
s?(1)???s?(1?0)??2a,?s?(3?0)?2c, s?(3)?? ?s?(1?0)??2c,?s?(3?0)?2d,
?s??(1?0)?2a,?s??(3?0)?2c, s??(3)?? s??(1)??????s(1?0)?2c,s(3?0)?2d,??
为了使函数s(x)是3次样条函数，当且仅当
a?c，c?d
即a?c?d，b，d可以任意取值。
为了使函数s(x)满足条件s(0)?26，s(1)?7，s(4)?25，根据上面推导过程，可得
?s(0)?4a?b?26,?s(1)?a?7,?
?s(4)?4d?e?25,?
结合a?c?d，可得
a?c?d?7，b?2，e??3。
四、（15分）设f(x)、g(x)?C[a,b]，分别定义
（1）(f,g)?
（2）(f,g)??baf?(x)g?(x)dx； ?b
af?(x)g?(x)dx?f(a)g(a)；
b问这两种定义是否构成内积？ 解： （1）由(f,g)??af?(x)g?(x)dx结合定积分线性性，可得
(f,g)?(g,f)，
(?f,g)??(f,g) ，其中?为常数，
(f1?f2,g)?(f1,g)?(f2,g)，
但不满足“(f,f)?0，当且仅当f?0时(f,f)?0”，这是因为
(f,f)??(f?(x))ab2dx?0
b
a只能推出f?(x)?0，即f(x)为常数，但不一定为0，故(f,g)??f?(x)g?(x)dx不构成
内积。
（2）由(f,g)?
则，可得
(f,g)?(g,f)，
(?f,g)??(f,g) ，其中?为常数，
(f1?f2,g)?(f1,g)?(f2,g)，
下面考察第4条“(f,f)?0，当且仅当f?0时(f,f)?0”。由于 b?af?(x)g?(x)dx?f(a)g(a)，结合定积分线性性和四则运算法
(f,f)??(f?(x))2dx?f2(a)， ab
当f?0时，则有
(f,f)?
反之，若(f,f)??0ab2dx?02?0； ?(f?(x))ab2dx?f2(a)?0，则必有f?0，即
(f,g)??b
af?(x)g?(x)dx?f(a)g(a)
满足内积公理的四个条件，所以它构成内积。
五、（10分）确定参数a、b、c，构造下面积分公式，使其代数精度尽可能高，并指出其代数精度
?h
?hf(x)dx?h[af(0)?b(f(?h)?f(h))?c(f(?2h)?f(2h))]。
解： 由于对称性，上述积分公式对于奇次幂函数显然成立。求积公式有三个待定参数，即a、b、c，将f(x)?1,x2,x4，分别代入求积公式，令其左右相等，拟解得三个待定参数。
设积分公式对f(x)?1成立，得
h[a?1?b(1?1)?c(1?1)]?2h
即
a?2b?2c?2；
类似，设积分公式对f(x)?x2成立，得
b?4c?
设积分公式对f(x)?x4成立，得
b?16c?
解联立方程组 1； 31。 5
a?2b?2c?2,
1 b?4c?, 31b?16c?,5
1921得a?，b?，c??，于是积分公式为 154590
?h
?h21?19?f(x)dx?h?f(0)?(f(?h)?f(h))?(f(?2h)?f(2h))?。 4590?15?
56对于f(x)?x积分公式显然成立。对于f(x)?x，
2h7
左边=?xdx?， ?h7h6
右边=h?21?19?f(0)?(f(?h)?f(h))?(f(?2h)?f(2h))? 4590?15?
篇三：硕士生数值分析试卷答案2013
湖北工业大学
2013级硕士学位研究生试题
科目代号 考试时间
2013.12.26上午8:30-10:30
科目名称
考试地点 2-007;2-008
数值分析
1、答案请写在答题纸上，在此试卷上答题无效。 2、允许使用计算器
一、填空题（每小题2分，共20分）
(1) 设x的相对误差为2%，则x的相对误差是(2) 设f(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn)，则差商f[x0,x1]，f[x0,x1,x2](3) 设lj(x)(j?0,1,2?n)是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，xj为互异节点，则
n
?l(x)??(x
jj?0
nn
j
?x)klj(x)?.
b
j?0
(4) 插值型求积公式.
?
b
a
f(x)dx??Akf(xk)的求积系数Ak?
k?0
n
?l(x)dx,k?0,1,?,n，至少具有
ak
(5) 梯形求积公式具有,辛普生求积公式具有次代数精度. (6) 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、. (7) 非线性方程f(x)=0的牛顿迭代格式为xn?1?xn?处是2 阶收敛，在重根处是1 阶收敛. (8) .设A??
f(xn)f(xn)
使用该迭代格式在单根(n?0,1,2,?)，
?0.60.5?
?，则A?= ，A1= .
0.10.3??
(9) 已知实对称矩阵的全部特征值为?1,?2,?,?n, 则条件数Cond2(A)=
?max
. ?min
(10) 对任意初始向量X(0)及任意向量g，线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,…)收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是?(B)<1.
二、(10分) 取的6位有效数9. 94987，则以下两种算法各有几位有效数字？(要误差分析过程，
不要直接计算的结果！)
1
10?99?10?9.94987?0.05013
?
111
???0.0501256399? ?
10?9910?9.9498719.94987
解：记x?99,x*?9.94987,e(x)?x?x*，则
e(x)?
由e(10?x)??e(x)得
1
?10?5 2
e(10?x)?e(x)?
因而算式?
1
?10?5 2
10?99?10?9.94987?0.05013
至少具有4位有效数字. 又由
e(10?x)e(x)?1?
e??????22
10?x(10?x)(10?x)??
得
1
?10?5
e(x)?1??7e????0.1256?10 ?22
(10?9.94987)?10?x?(10?x)
因而算式?
111
???0.0501256399?
10?10?9.9498719.94987
至少具有7位有效数字.
三、(10分)求经过A(0，1)，B(1，2)，C(2，3)三个样点的插值多项式. 解：由Lagrange插值公式得
?2x?xj?
?ykL2(x)??????k?0?j?0,j?kxk?xj?
(x?1)(x?2)(x?0)(x?2)(x?0)(x?1)??1??2??3 (0?1)(0?2)(1?0)(1?2)(2?0)(2?1)?x?1.
2
四、(10分) 设M2?span{1,x2}，试在M2中求f(x)?x在区间[-1，1]上的最佳平方逼近元.
2
解：设?0(x)?1,?1(x)?x2，则f(x)在M2中的最佳平方逼近多项式为
P(x)?a0?0(x)?a1?1(x)
则有如下正则方程组
?(?0,?0)(?0,?1)??a0??(?0,f)???a?????(?,f)?? ?(?,?)(?,?)???
11??1??1??10
即
??2??2??3
解得a0?
2?
?a??1?03??????1? ??2??a1???
?2??
5?
315,a1? 1616
3152
?x. 1616
故最佳平方逼近多项式为P(x)?
五、(10分)给定求积公式
?
1
f(x)dx?Af(0)?Bf(0.5)?Cf?(0)，试确定A,B,C，使其代数精度尽
可能的高，并指明此时求积公式的代数精度,然后估计求积公式的误差. 解：分别将f(x)?1,x,x2，代入求积公式，可得
1?
?A?B??01?dx?1,?11?B?C?xdx?, ??0
2?1
?B?x2dx?1.
?0?3?
解得A?
211
,B?,C?，求积公式为 336
?
3
1
f(x)dx?
211
f(0)?f(0.5)?f?(0). 336
令f(x)?x时求积公式不精确成立，从而精度为2.
3
由于此求积公式的代数精度为2，故余项表示式为R[f]?Kf???(?),令f(x)?x，得f???(?)?3!,
于是
111?2?
Kf???(?)??x3dx??f(0)?f(0.5)?f?(0)?,
036?3?
从而
K?
1?13111?2??
??0xdx??f(0)?f(0.5)?f?(0)????. 3!?3672?3??
3
故得R[f]??
1
f???(?),??(0,1). 72
六、(10分)证明解y??f(x,y)的梯形格式
h
yn?1?yn?[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)]
2
是二阶的，并求出局部截断误差的主项. 证：局部截断误差为 Tn?1?y(xn?1)?y(xn)?
h
[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)] 2
h2h3h
?hy?(xn)?y??(xn)?y???(xn)?[y?(xn)?y?(xn?1)]?O(h4)
23!2
h2h3hh2
?hy?(xn)?y??(xn)?y???(xn)?[y?(xn)?y?(xn)?hy??(xn)?y???(xn)]?O(h4)
23!22h3
??y???(xn)?O(h4)
12
h3
y???(xn). 所以梯形方法是二阶方法，其局部截断误差的主项为?12
n
七、(10分)应用牛顿法于方程f(x)?x?a?0和f(x)?1?
a
?0，分别导出求a的迭代公式. nx
解：
八、(10分)用直接三角分解(Doolittle分解，LU分解)求解下列线性方程组：
11?1x?x??41526x3?9,?11?1
?x1?x2?x3?8,
45?3
?1x?x?2x?0.
123
??2
4
解：
?1??4?1?3?1??2
从而
15141
1??1?r2?4r1?
36??44
1?r3?2r1???0??5??2??0??11??1
??
56??4113?36r2????r????0
?6045?
?35?
??0
53??11?
?
56?11??? 6045?
13?0?
15?
?1?4L??
?3?2?
先求解Ly=b,得
再求解Ux=y，得 九、(10分)对方程组??
?1
?
??4?
?,U??01
??
???361?
?0?11?
?
56?11??? 6045?
13?0?
15?
?32??x1??3?
????，若用迭代法 ???????
?12??x2???1?
x(k?1)?x(k)??(Ax(k)?b),k?0,1,?
求解，首先写出迭代格式的迭代矩阵，再讨论?在什么范围内取值可使迭代收敛，?取什么值可使迭代收敛最快？
解：迭代矩阵B?E??A，
A的特征值为1,4，故B的特征值为1??,1?4?. 谱半径?(B)???,?4?}. 要使迭代收敛，则?(B)?1,从而当?当???0.4,?(B)最小，收敛最快.
1
???0时收敛， 2
5
《2017级硕士研究生《数值分析》试卷(A)与参考答案》出自：百味书屋
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