篇一：指数与指数幂的运算(例题讲解加同步练习)
指数与指数幂的运算
知能点全解：
知能点1：有理数指数幂及运算性质 1、有理数指数幂的分类 （1）正整数指数幂an
n个
?????
?0
?a?a?a???a(n?N)； （2）零指数幂a?1(a?0)；
（3）负整数指数幂a?n?
1a
n
?a?0,n?N??
（4）0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。 2、有理数指数幂的性质 （1）aa?a
m
m
n
m?n
?a?0,m,n?Q?（2）?a?
m
n
?amn?a?0,m,n?Q?
（3）?ab??ambm?a?0,b?0,m?Q?
例 1：把下列各式中的a写成分数指数幂的形式
（1）a5?256；（2）a?4?28；（3）a?7?56；（4）a?3n?35m?m,n?N??
1
解：（1）a?256；（2）a?28
5
?
14
；（3）a?5
?32
?
67
；（4）a?3
?
5m3n
例 2:计算 （1）9
3
32
； （2）16
2?32
?32
解：（1）9??3
2
2
?
32
?3?3?27
3
；（2）16
??4
2
?
?
32
?4
?3
?64
?1
?
1
若a＞0，P是一个无理数，则ap表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用。
例 3: 化简（式中字母都是正数）
（1）?解：（1） （2）?2?3y
??2?3y
? （3）42
?3x
???y
?
??
???x
（2）?2?3y
2?3y
??2???3y1
2
?4x
?9y
?
（3
）4?3x
?
??y
??12??12x0
??12
知能点3：根式
1、根式的定义：一般地，如果xn?a，那么x叫做a的n次方根，其中?n?1,n?N??，na叫做根式，n叫做根指数，a叫被开方数。2
、对于根式记号
n?N，（1）且n?1； （2）当n是奇数，则an?a；当n是偶数，则an?a??
?a??a
a?0a?0
；
（3）负数没有偶次方根； （4）零的任何次方根都是零。 3、我们规定：
m
（1
）an?
a?0,m,n?N
?
,n?1?
； （2
）a
m?n
?
1
m
?
a
n
a?0,m,n?N?,n?1?
例 4: 求下列各式的值
（1）
； （2
； （3
；
（4 解：（1
）??2； （2
?2； （3
?3?????3
（4
）?
??x?y ?x?y?0?
?x?y??
???x?y ?x?y?0?
例 5: 用分数指数幂的形式表示下列各式：
（1）a2?
（2） a3?（3
1
(式中a＞解：
（1）a2??a2?a2?a
2?
1252
3
?a2；
（2）a?
?a?a3?a
3
3?
23
11
?a3
题型一： 求值：（1?； （2?解：（1）?
??
?
??
?|?|2?
?|2
|?|2?
??2??(2??。
2
注意：此题开方后先带上绝对值，然后根据正负去掉绝对值符号
（2
）令??t，两边同时立方得：
t?
3
3
?3
2
?3
?2??2?? ?4?3t
?
?3
即 ：t3?3t?4?0??t3?t??4?t?1??0?t?t?1??t?1??4?t?1???t?1??t2?t?4??0
（1） 解：（1）
2
a?0) （2）?
2?
?
a
1
2
3
?a
2
12
2 ? ?
23
5
?a6
1
2
1
3
1
2
14
3
14
5
5
a2?a2
3
?
（2）???(53?52)?54?53?54?52?54?53?52
?
?512?54?
1
已知=3,求下列各式的值：(1)x2?x2, (2)x2?x2.
1
?
13
?
3
解：（1）?x2?x
1
?
12
1
2
1
?(x2)?2?x2x
?
12
?(x
?1
?
12
)?x?x
21?1
?2?3??5
1
?12
∴x2?x
?
12
?又由x?x?3得x?0 所以x2?x
3
?
3
（2）x2?x2＝（x2)?(x2)?(x2?x2)[(x2)?x2?x
3
3
2
?
31
?
11
?
111
?
12
?(x?
12
)]
2
4
篇二：示范教案(2.1.1 指数与指数幂的运算 第1课时)
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
2.1.1 指数与指数幂的运算 第1课时
本章教材分析
教材把指数函数、对数函数、幂函数当作三种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图象的直观,揭示这三种函数模型增长的差异及其关系,从而让学生体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法,学会运用具体的函数模型解决一些实际问题.
本章总的教学目标是:了解指数函数模型的实际背景,理解有理数指数幂的意义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念和意义,掌握f(x)=ax的符号及意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）,通过应用实例的教学,体会指数函数是一种重要的函数模型;理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用;通过具体函数,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,掌握f(x)=logax的符号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）;知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数（a＞0,a≠1）,初步了解反函数的概念和f-1(x)的意义;通过实例了解幂函数的概念,结合五种具体函数y=x,y=x,y=x,y=x,y=x的图象,了解它们的变化情况.
本章的重点是三种初等函数的概念、图象及性质,要在理解定义的基础上,通过几个特殊函数图象的观察,归纳得出一般图象及性质,这种由特殊到一般的研究问题的方法是数学的基本方法.把这三种函数的图象及性质之间的内在联系及本质区别搞清楚是本章的难点.
教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情境创设.在学习对数函数的图象和性质时,教材将它与指数函数的有关内容作了比较,让学生体会两种函数模型的增长区别与关联,渗透了类比思想.建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.教材对反函数的学习要求仅限于初步的知道概念,目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习,教学中不宜对其定义做更多的拓展.教材对幂函数的内容做了削减,仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数,并且安排的顺序向后调整,教学中应防止增加这部分内容,以免增加学生的学习负担.通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能.教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.
2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
整体设计
教学分析
我们在初中的学习过程中,已了解了整数指数幂的概念和运算性质.从本节开始我们将在回顾23-112
平方根和立方根的基础上,类比出正数的n次方根的定义,从而把指数推广到分数指数.进而推广到有理数指数,再推广到实数指数,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂. 教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:GDP的增长问题和碳14的衰减问题.前一个问题,既让学生回顾了初中学过的整数指数幂,也让学生感受到其中的函数模型,并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫.
本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时,充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值.
根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持.
三维目标
1.通过与初中所学的知识进行类比,理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质.掌握分数指数幂和根式之间的互化,掌握分数指数幂的运算性质.培养学生观察分析、抽象类比的能力.
2.掌握根式与分数指数幂的互化,渗透“转化”的数学思想.通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯,让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.
3.能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.
4.通过训练及点评,让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美.
重点难点
教学重点：
(1)分数指数幂和根式概念的理解.
(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质.
(3)运用有理指数幂性质进行化简、求值.
教学难点:
(1)分数指数幂及根式概念的理解.
(2)有理指数幂性质的灵活应用.
课时安排
3课时
教学过程
第1课时 指数与指数幂的运算(1)
导入新课
思路1.同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化,又怎样判断它们所处的年代?(考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的,第二个问题我们不太清楚)考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的.教师板书本节课题:指数函数——指数与指数幂的运算.
思路2.同学们,我们在初中学习了平方根、立方根,那么有没有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的,这就是我们本堂课研究的课题:指数函数——指数与指数幂的运算. 推进新课
新知探究
提出问题
(1)什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个,立方根呢？
(2)如x4=a,x5=a,x6=a根据上面的结论我们又能得到什么呢?
(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗?
(4)可否用一个式子表达呢?
活动：教师提示,引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的,对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子,对问题②的结论进行引申、推广,相互交流讨论后回答,教师及时启发学生,具体问题一般化,归纳类比出n次方根的概念,评价学生的思维. 讨论结果：
(1)若x2=a,则x叫做a的平方根,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如:4的平方根为±2,负数没有平方根,同理,若x3=a,则x叫做a的立方根,一个数的立方根只有一个,如:-8的立方根为-2.
(2)类比平方根、立方根的定义,一个数的四次方等于a,则这个数叫a的四次方根.一个数的五次方等于a,则这个数叫a的五次方根.一个数的六次方等于a,则这个数叫a的六次方根.
(3)类比(2)得到一个数的n次方等于a,则这个数叫a的n次方根.
(4)用一个式子表达是,若xn=a,则x叫a的n次方根.
教师板书n次方根的意义:
一般地,如果xn=a,那么x叫a的n次方根(n-throot),其中n＞1且n∈N*.
可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例.
提出问题
(1)你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗?(多媒体显示以下题目).
①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根.
(2)平方根,立方根,4次方根,5次方根,7次方根,分别对应的方根的指数是什么数,有什么特点?4,±8,16,-32,32,0,a6分别对应什么性质的数,有什么特点?
(3)问题（2）中,既然方根有奇次的也有偶次的,数a有正有负,还有零,结论有一个的,也有两个的,你能否总结一般规律呢?
(4)任何一个数a的偶次方根是否存在呢?
活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念,求一个数a的n次方根,就是求出的那个数的n次方等于a,及时点拨学生,从数的分类考虑,可以把具体的数写出来,观察数的特点,对问题
（2）中的结论,类比推广引申,考虑要全面,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
讨论结果：
（1）因为±2的平方等于4,±2的立方等于8,±2的4次方等于16,2的5次方等于32,-2的5次方等于-32,0的7次方等于0,a2的立方等于a6,所以4的平方根,±8的立方根,16的4次方根,32的5次方根,-32的5次方根,0的7次方根,a6的立方根分别是±2,±2,±2,2,-2,0,a2.
（2）方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数.总的来看,这些数包括正数,负数和零.
（3）一个数a的奇次方根只有一个,一个正数a的偶次方根有两个,是互为相反数.0的任何次方根都是0.
（4）任何一个数a的偶次方根不一定存在,如负数的偶次方根就不存在,因为没有一个数的偶次方是一个负数.
类比前面的平方根、立方根,结合刚才的讨论,归纳出一般情形,得到n次方根的性质:
①当n为偶数时,a的n次方根有两个,是互为相反数,正的n次方根用a表示,如果是负数,负的n次方根用?a表示,正的n次方根与负的n次方根合并写成a(a＞0).
②n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时a的n次方根用
符号a表示.
③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零.
上面的文字语言可用下面的式子表示:
??n为奇数,a的na,a为正数:? n??n为偶数,a的n次方根有两个为?a.
?a,?n为奇数,a的na为负数:? ?.?n为偶数,a的n次方根不存在
零的n次方根为零,记为0=0.
可以看出数的平方根、立方根的性质是n次方根的性质的特例.
思考根据n次方根的性质能否举例说明上述几种情况?
活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握,即正数的奇偶次方根,负数的奇次方根,零的任何次方根,这样才不重不漏,同时巡视学生,随机给出一个数,我们写出它的平方根,立方根,4次方根等,看是否有意义,注意观察方根的形式,及时纠正学生在举例过程中的问题.
解答：答案不唯一,比如,64的立方根是4,16的四次方根为±2,-27的5次方根为?27,而-27的4次方根不存在等.其中?27也表示方根,它类似于a的形式,现在我们给式子a一个名称——根式.
根式的概念: 式子a叫根式,其中a叫被开方数,n叫根指数. 如?27中,3叫根指数,-27叫被开方数.
思考
an表示an的n次方根,等式an=a一定成立吗？如果不一定成立,那么an等于什么？ 活动：教师让学生注意讨论n为奇偶数和a的符号,充分让学生多举实例,分组讨论.教师点拨,注意归纳整理. 34〔如(?3)=3?27=-3,(?8)=|-8|=8〕.
解答：根据n次方根的意义,可得:(a)n=a.
通过探究得到：n为奇数,an=a.
a?0,?a,n为偶数,a=|a|=? ?a,a?0.?n
因此我们得到n次方根的运算性质：
①(a)n=a.先开方,再乘方（同次）,结果为被开方数.
②n为奇数,an=a.先奇次乘方,再开方（同次）,结果为被开方数.
n为偶数,an=|a|=a,?
应用示例
思路1
例1求下列各式的值: 4322(1)(?8);(2)(?10);(3)(3??);(4)(a?b)(a>b). a?0,?a,先偶次乘方,再开方（同次）,结果为被开方数的绝对值. ??a,a?0.
活动：求某些式子的值,首先考虑的应是什么,明确题目的要求是什么,都用到哪些知识,关键是啥,搞清这些之后,再针对每一个题目仔细分析.观察学生的解题情况,让学生展示结果,抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药.求下列各式的值实际上是求数的方根,可按方根的运算性质来解,首先要搞清楚运算顺序,目的是把被开方数的符号定准,然后看根指数是奇数还是偶数,如果是奇数,无需考虑符号,如果是偶数,开方的结果必须是非负数.
3解：(1)(?8)=-8; 2(2)(?10)=10; 4(3)(3??)=π-3; 2(4)(a?b)=a-b(a>b).
点评：不注意n的奇偶性对式子an的值的影响,是导致问题出现的一个重要原因,要在理解的基础上,记准,记熟,会用,活用.
变式训练
求出下列各式的值: 7(1)(?2); 3(2)3(3a?3)(a≤1); 4(3)(3a?3).
7解：(1)(?2)=-2, 3(2)(3a?3)(a≤1)=3a-3, ?3a?3,a?1,(3)(3a?3)=? 3?3a,a?1.?4
点评：本题易错的是第(3)题,往往忽视a与1大小的讨论,造成错解.
思路2
例1下列各式中正确的是( )
篇三：指数与指数幂的运算(课后习题)
指数与指数幂的运算练习题
一、课堂演练
1．将532( ) A.35 B.35 C.525
2．根式 14aa式中a＞0)的分数指数幂形式为( ) A．a－4
3 B．a3C．a－33
4D．a43.?a－b?＋5?a－b?的值是( )
A．0B．2(a－b)
C．0或2(a－b)D．a－b
4．计算：(π)0＋2－2×(211
42＝________.
二、课后测验
1．下列各式正确的是( ) A.?－3?＝－3B.4a＝a
C.2＝2D．a0＝1
2．若(x－5)0有意义，则x的取值范围是( )
A．x>5B．x＝5
C．x<5D．x≠5
3．若xy≠0，那么等式 4xy＝－2xyy成立的条件是(
A．x>0，y>0B．x>0，y<0
C．x<0，y>0D．x<0，y<0
?2n＋1?2?1?2n＋1
42
4·8－(n∈N*)的结果为( )
A.1
6B．22n＋5
C．2n2－2n＋6D．(1
22n－7
5．化简 23－610－43＋22得( )
A．3＋2B．2＋3
C．1＋2D．1＋23 )
a2＋16．设a2a2＝m，则a＝( )
A．m2－2B．2－m2
C．m2＋2D．m2
7．根式a－a化成分数指数幂是________． 1－1811＋62＋11－62＝________.
9．化简3＋2)201032)2011＝________.
10．化简求值：
13110－(1)0.0643(－)＋1640.252； 8
－－a1＋b1
(2)(a，b≠0)． －?ab?
11
xy11．已知x＋y＝12，xy＝9，且x<y的值．
x＋
a3n＋a3n
12．已知a＝2＋1，求 a＋a
－2n
《指数与指数幂的运算》出自：百味书屋
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