篇一：直线与圆的方程及应用
第12讲 直线与圆的方程及应用
解析几何是江苏高考必考题之一，它包含两个C级考点，正常情况下，考一小(填空)一大(解答)．小题常涉及直线方程及应用，圆锥曲线方程及其性质，有一定的计算量；大题往往与圆有关，涉及到方程，位置关系、定点、定值、定线等．圆与圆锥曲线的综合考查，对数学思想方法要求比较高，能灵活使用待定系数法、定义法等求方程，能用配方法、换元法等，结合图形将问题进行转化，通过函数、方程、不等式等思想来解决问题．
1. 理解直线的斜率和倾斜角的概念；掌握过两点的直线斜率的计算公式；了解直线的倾斜角的范围；理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率．
2. 掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式)的特点与适用范围；能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线方程的斜截式与一次函数的关系．
3. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直．
4. 了解二元一次方程组的解与两直线的交点坐标之间的关系，体会数形结合思想；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．
5. 掌握两点间的距离公式和点到直线的距离公式及其简单应用；会求两条平行直线间的距离．
6. 掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化．
7. 能根据直线与圆的方程判断其位置关系(相交、相切、相离)；能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系(外离、外切、相交、内切、内含)．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
1. 与直线x3y－1＝0垂直的直线的倾斜角为________．
2.过点(2,1)且在两坐标轴截距相等的直线方程是________________．
3.直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m＝________.
4.在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
【例1】 已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所
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截得的弦长为22，求过圆心且与直线l垂直的直线的方程．
【例2】 如图，平面直角坐标系xOy中，△AOB和△COD为两等腰直角三角形，A(－2,0)，C(a,0)(a>0)．△AOB和△COD的外接圆圆心分别为M，
N.
(1) 若⊙M与直线CD相切，求直线CD的方程；
(2) 若直线AB截⊙N所得弦长为4，求⊙N的标准方程；
(3) 是否存在这样的⊙N，使得⊙N上有且只有三个点到直线AB2，若存在，求此时⊙N的标准方程；若不存在，说明理由．
【例3】 已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，一动直线l过点A(－1,0)与圆C相交于P、Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于点N.
(1) 求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；
(2) 当PQ＝3时，求直线l的方程；
→→
(3) 探索AM·AN的值是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．
x2y22
【例4】 已知椭圆E：1(a>b>0)的离心率为，且过点P(22)，设椭圆E
ab2的右准线l与x轴的交点为A，椭圆的上顶点为B，直线AB被以原点为圆心的圆O所截得4.
5
(1) 求椭圆E的方程及圆O的方程；
(2) 若M是准线l上纵坐标为t的点，求证：存在一个异于M的点Q，对于圆O上的MN
任意一点N，有为定值；且当M
在直线l上运动时，点Q在一个定圆上．
NQ
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1. (2011·安徽)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为________．
2.(2011·重庆)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．
3.(2011·湖北)过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则直线l的斜率为________．
4.(2010·江西)直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥3，则实数k的取值范围是________．
5.(2011·福建理) 已知直线l：y＝x＋m，m∈R.
(1) 若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程； (2) 若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2＝4y是否相切？说明理由．
6.(2011·陕西)如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上投影，M为PD4
上一点，且|MD|5
(1) 当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程； 4
(2) 求过点(3,0)C所截线段的长度．
5
(2011·南京三模)(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(－4,0)、1B(4,0)，动点P与A、B两点连线的斜率之积为－4
(1) 求点P的轨迹方程；
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(2) 设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C.半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得的弦长为3r.
① 求⊙M的方程；
② 当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由．
解：(1) 设P(x，y)，则直线PA、PB的斜率分别为k1＝yy1x2y2
由题意知＋1(x≠±4)．
4164x＋4x－4x2y2
所以动点P的轨迹方程是＋＝1(x≠±4)．(4分)
164
(说明：没有范围扣1分)
(2) ①由题意知C(0，－2)，A(－4,0)，
所以线段AC的垂直平分线方程为y＝2x＋3.(6分)
设M(a,2a＋3)(a＞0)，则⊙M的方程为(x－a)2＋(y－2a－3)2＝r2. 圆心M到y轴的距离d＝a，由r2＝d2＋?
r3r2
，得a＝.
2?2yy
、k2＝.(2分) x＋4x－4
r
x2＋(y－r－3)2＝r2.(10分) 所以⊙M的方程为??2② 假设存在定直线l与动圆M均相切．
当定直线的斜率不存在时，不合题意． 当斜率存在时，设直线l：y＝kx＋b， 则
?k×rr－3＋b??2?
1＋k
r对任意r＞0恒成立．(12分)
?k－1?r＋?b－3??＝r1＋k， 由???2??
k?22
－1r＋(k－2)(b－3)r＋(b－3)2＝(1＋k2)r2. 得??2?
k?2?1＝1＋k2，???2?
2
所以
??k－2??b－3?＝0，???b－3?＝0.
???k＝－3，?k＝0，?解得或??b＝3??
4
?b＝3.
所以存在两条直线y＝3和4x＋3y－9＝0与动圆M均相切．(16分)
第12讲 直线与圆的方程及应用
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1. 已知实数x，y满足2x＋y＋5＝0x＋y的最小值为________． 【答案】 5
2. 圆x2＋y2＝1与直线kx＋y－k＝0(k∈R为常数)的位置关系是________． 【答案】 相交
3. 若直线y＝x＋b与曲线y＝3－4x－x有公共点，则b的取值范围是________． 【答案】 [1－22，3] 解析：本题考查数形结合思想. 曲线方程可化简为(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)，即表示圆心为(2,3)半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y＝x＋b与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y＝x＋b距离等于2，解得b＝1＋2或1－22，因为是下半圆故可得b≠1＋22，当直线过(0,3)时，解得b＝3，故1－22≤b≤3.
4. 已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．
(1) 如果|AB|＝
2
，求直线MQ的方程； 3
(2) 求动弦|AB|的最小值． 解： (1)设Q(q,0)，
因为M(0,2)，所以|MQ|＝q＋2q＋4，而|MA|＝r＝1，
从而在Rt△AMQ中，|AQ|＝|MQ|－|MA|q＋4－1＝q＋3. 122
又由题意和对称性可得，Rt△AMQ斜边MQ边上的高为h|AB|＝.
232q＋4q＋3，解得q＝5，所以5，0)，
3
将M，Q的坐标代入直线的两点式方程整理得到直线MQ的方程为5y5＝0. 11
(2) 由(1)知，利用等面积法得q＋4＝q＋3|AB|22从而当q＝0时，动弦|AB|取到最小值3.
q
＋3
q＋4
11－，q＋4
5. (2011·盐城二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2
相接而成，两相接点M、N均在直线x＝5上．圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为13；圆弧C2过点A(29,0)．
(1) 求圆弧C2的方程； (2) 曲线C上是否存在点P，满足PA？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；
(3) 已知直线l：x－my－14＝0与曲线C交于E、F两点，当EF＝33时，求坐标原点O到直线l的距离．
解：(1) 圆弧C1所在圆的方程为x2＋y2＝169，令x＝5，解得M(5,12)，N(5，－12)． 则线段AM中垂线的方程为y－6＝2(x－17)， 令y＝0，得圆弧C2所在圆的圆心为O2(14,0)．
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篇二：专题十二 直线与圆的方程
1．(2012·浙江，4，易)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】 C 若a＝1，则直线l1为x＋2y－1＝0，所以l1∥l2，反之，若l1a2－1
∥l2，则1＝2≠4，所以a＝1，故选C.
2．(2013·广东，7，易)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是( )
A．x＋y－2＝0 B．x＋y＋1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋2＝0
【答案】 A 由题意可设圆的切线方程为y＝－x＋m，因为与圆相切于第|m|
一象限，所以m>0且d＝1，故m2，所以切线方程为x＋y－2＝0，故
2选A.
3．(2013·辽宁，9，中)已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有( )
A．b＝a3 1B．b＝a3＋a
?31b－a－a＝0 C．(b－a)???
1??
D．|b－a3|＋?b－a3－a?＝0
??
3
【答案】 C 若△OAB为直角三角形，则∠A＝90°或∠B＝90°. 当∠A＝90°时，有b＝a3；
b－a3a3－01
当∠B＝90°时，有1，得b＝a3＋a.
0－aa－01?
故(b－a3)?b－a3－a＝0，选C.
??
4．(2014·四川，9，难)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的取值范围是( )
A．[5，5] B．10，25] C．10，45] D．5，45]
【答案】 B 直线x＋my＝0过定点A(0，0)，直线mx－y－m＋3＝0过定点B(1，3)．
①当m＝0时，过定点A的直线方程为x＝0，过定点B的直线方程为y＝3，两条直线互相垂直，此时P(0，3)，
∴|PA|＋|PB|＝4.
1
②当m≠0时，直线x＋my＝0的斜率为－m直线mx－y－m＋3＝0的斜率为m.
1
∵－m＝－1，∴两条直线互相垂直，即点P可视为以AB为直径的圆上
m的点．当点P与点A或点B重合时，|PA|＋|PB|有最小值10.当点P不与点A，点B重合时，△PAB为直角三角形，且|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10.因为|PA|2＋|PB|2≥2|PA||PB|，所以2(|PA|2＋|PB|2)≥(|PA|＋|PB|)2，当且仅当|PA|＝|PB|时取等号，所以|PA|＋|PB|≤|PA|＋|PB|25，∴|PA|＋|PB|∈[10，25]． 2
综合①②得|PA|＋|PB|
∈10，5]．
5．(2011·浙江，12，易)若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.
121?2?【解析】 k12k2＝－m∵两直线互相垂直，∴k1·k2＝－1，即2·?－m?
??＝－1，∴m＝1.
【答案】 1
6．(2013·四川，15，难)在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－ 1)的距离之和最小的点的坐标是________．
6－25－（－1）
【解析】 由已知得kAC＝2，kBD＝1，
3－11－7∴AC的方程为y－2＝2(x－1)，
即2x－y＝0，①
BD的方程为y－5＝－(x－1)， 即x＋y－6＝0，② ?x＝2，
联立①②，解得?
?y＝4.
∴直线AC与直线BD的交点为P(2，4)，此点即为所求点． ∴|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝|AC|＋|BD|， 取异于P点的任一点P′， ∴|P′A|＋|P′B|＋|P′C|＋|P′D| ＝(|P′A|＋|P′C|)＋(|P′B|＋|P′D|) >|AC|＋|BD|＝|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|.
故点P就是到A，B，C，D的距离之和最小的点． 【答案】 (2，
4)
考向1 直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
(1)定义：在平面直角坐标系中，当直线l与x轴相交时(取x轴作为基准)，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角．
(2)范围：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角α为0°，故直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
2．直线的斜率
当α≠90°时，tan α表示直线l的斜率，用k表示，即k＝tan α.当α＝90°时，直线l的斜率k不存在．
每条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率；倾斜角和斜率都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度．
3．斜率公式
给定两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，经过P1，P2两点的直线的斜率公式y2－y1
为k＝.
x2－x1
4．方向向量
经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点的直线的方向向量是P→1P2，其坐标为(x2－x1，y2－y1)，若直线的斜率为k，则直线的方向向量是(1，k)．
①直线Ax＋By＋C＝0的一个方向向量为a＝(－B，A)； ②直线Ax＋By＋C＝0的一个法向量为n＝(A，B)．
(1)(2015·山西四校联考，5)直线l经过A(2，1)，B(1，m2)(m∈R)
两点，那么直线l的倾斜角α的取值范围是( )
ππ
A．0≤α<π B．0≤α≤4或2<α<π
ππππ
C．0≤α≤4 D.4α<22α<π
(2)(2014·辽宁沈阳联考，16)已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1，1)和Q(2，2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是________．
m2－1【解析】 (1)直线l的斜率k＝1－m2≤1.又直线l的倾斜角为α，则
1－2ππ
tan α≤1，又因为0≤α<π，所以2<α<π或0≤α≤4B.
3
(2)如图所示，直线l：x＋my＋m＝0过定点A(0，－1)，当m≠0时，kQA＝2，1
kPA＝－2，kl＝－m，
篇三：第八章 直线与圆的方程
【课题】8．1 两点间的距离与线段中点的坐标
【教学目标】
知识目标：
掌握两点间的距离公式与中点坐标公式； 能力目标：
用“数形结合”的方法，介绍两个公式．培养学生解决问题的能力与计算能力． 【教学重点】
两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用 【教学难点】
两点间的距离公式的理解 【教学设计】
两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何的基本公式，教材采用“知识回顾”的方式给出这两个公式．讲授时可结合刚学过的向量的坐标和向量的模的定义讲解，但讲解的重点应放在公式的应用上．
例1是巩固性练习题．题目中，两个点的坐标既有正数，又有负数．讲授时，要强调两点间的距离公式的特点特别是坐标为负数的情况．
例2是中点公式的知识巩固题目．通过连续使用公式（8.2），强化学生对公式的理解与运用．
例3是本节两个公式的综合性题目，是知识的简单综合应用．要突出 “解析法”，进行数学思维培养． 【教学备品】
教学课件． 【课时安排】
2课时．(90分钟) 【教学过程】
《直线与圆的方程ppt》出自：百味书屋
链接地址：http://www.850500.com/news/42277.html
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