篇一：基本不等式及其应用
基本不等式及其应用
一、知识结构
二、重点叙述
1. 基本不等式模型 一般地,如果a>0,b>0,则
立。 我们常把
叫做正数a、b的算术平均数,把ab叫做正数a、b的几何平均数,
,或
,当且仅当a=b时等号成
即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,当且仅当两个正数相等时等号成立。 拓展:
若a、b∈R,则
2. 基本不等式证明方法
,当且仅当a=b时等号成立。
3.基本不等式的应用
①利用基本不等式证明不等式或比较大小; ②利用基本不等式求最值或求范围; ③利用基本不等式解决实际问题。 三、案例分析
案例1：(1)（2009天津·理）设
的最小值为
A 8 B 4 C 1D (2) （2007海南、宁夏·理7）已知
，
，
成等差数列，
若
成等比数列，则
Ａ．
Ｂ．
的最小值是（ ）
Ｃ．
Ｄ．
分析：（1）由是与的等比中项，得
。用“1代换法”，把
看成，进而利用基本不等式求得最小值。
（2）可用直接法解之。根据等差、等比数列的“等距离”性质，把多元函数
转化为x、y的二元函数，由二元的基本不等式求其最小值。也可以用
特殊值法解决。 解：（1）∵
是
与
的等比中项，∴
，得
。
∴，
当且仅当即时，“=”成立。故选择C。 成等差数列，
成等比数列，
（2）（直接法）∵
∴
∴，
∵，，∴，∴，当且仅当时，等号
成立。 ∴
。故选D。
成等差数列，
成等比数列分别都为
另解：
（特殊值法）令
，则
，故选D。
案例2：(1) （2009重庆·文）已知A．2
B．
，则C．4
的最小值是（ ） D．5
(2)（2007山东·理16）函数y=loga (x+3)-1(a>0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n＞0，则
的最小值为________________.
分析：(1)用基本不等式解之，由于两次使用基本不等式，两次的“等号”成立应该“同时”。
(2)抓住函数图象过定点，求得定点A的坐标，建立m、n的线性关系，两次应用基本不等式求得最小值，同样注意两次的“等号”成立是否“同时”？只有“同时”，最小值才存在。 (1)C；（2）8
解：(1)因为，
当且仅当(2)∵函数
。
∵点A在直线
，且，即时，取“=”号。故选C。 的图象恒过定点A，∴
的坐标为
上，∴。
∵m，n＞0，∴，
当且仅当，且，即时，等号成立。
所以的最小值为8。
的最大值。
，求ab的取值范围。
案例3：(1)求函数(2)已知正数a、b满足
(3)已知a,b＞0，，求的最大值。
分析：(1)对于无理函数，先平方，再用基本不等式“和定值积最大”求之，注意“等号”成立的条件；(2) 不等式
转化为
是a与b的和与积的等式，利用基本
的二次不等式，解二次不等式可得ab的取值范
围；(3)把化为，按的“和定值”的模型设计基
本不等式，可求得存在性。 解：(1)∵函数∴
的最大值，应用基本不等式都要注意“等号”成立的
的定义域为
，
，∴。
当且仅当所以函数(2)∵∵∴∴∵
，∴
，即时，等式成立。∵
的最大值是
。
，∴。
，∴
，令
，解得，即
，。
，当且仅当
，则。
，当且仅当
时，等号成立。 。
时，等号成立。
所以ab的取值范围是
(3) ∵a,b＞0，且，
∴，
当且仅当，且，
即时，取得最大值。
所以的最大值为。
案例4：（2009湖北·文17）
围建一个面积为360m2 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x，围建总费用为y(单位：元)。 （Ⅰ）将y表示为x的函数：
（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。 分析；画图，理解题意，建立总费用的函数
，显然
篇二：基本不等式及应用
基本不等式及应用
一、考纲要求：
1.了解基本不等式的证明过程．
2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 3．了解证明不等式的基本方法——综合法．
a＋b222
(1)a＋b≥2ab(a，b∈R) (2)ab≤((a，b∈R)
2a＋ba＋b2ba(3)≥()(a，b∈R) (4)≥2(a，b同号且不为零)
22ab上述四个不等式等号成立的条件都是a＝b. 四、算术平均数与几何平均数
a＋b设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正数的
2算术平均数不小于它们的几何平均数．
2
2
2ab
四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+
： ?
a?b当且仅当a＝
b时取等号.
五、利用基本不等式求最值：设x，y都是正数．
a?b
??2
(1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时和x＋y有最小值2P. 12
(2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时积xy有最大值
.
4
强调：1、在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件. 正：两项必须都是正数；
定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。 等：等号成立的条件必须存在.
2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性．）
3想一想:错在哪里？
(x?2)，２．已知函数f(x)?x?1 x?2１．已知函数f(x)?x?，求函数的
最小值和此时x
的取值．x求函数的最小值．
3 解：f(x)?x??21x?2 解:f(x)?x?x?2?2
?x?2
当且仅当x?1即x??1时函数?
当且仅当?3即x?3时，函数xx?? x?2?
取到最小值
2.
的最小值是6大家把x?2?最小值？
入看一看，会有
什么发现？用什么方法求该函数的
11
3、已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝(x＋＋)的最小值为________．
xy
111
解一：因为对a>0，恒有a＋≥2，从而z＝(x)(y＋)≥4，所以z的最小值是4.
axy2＋xy－2xy2
解二：z＝xy)－2≥2
xyxy
22
2
xy－2＝2(2－1)，所以z的最小值是2－1)． xy
【错因分析】 错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的．
2
111yx1?x＋y?－2xy2
【正确解答】 z＝(x)＝xy＋＋xy＋＋＋xy－2，
xyxyxyxyxyxy
x＋y212112
令t＝xy，则0<t＝xy≤()＝f(t)＝t(0]上单调递减，故当t＝时， f(t)＝t24t44t33125
x＝yz有最小值.
424
误区警示：
(1)在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件3
的满足，这是造成解题失误的重要原因．如函数y＝1＋2x＋(x<0)有最大值1－6而不是有最小值1＋
x26.
(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错． 课堂纠错补练：
π4
若0<xf(x)＝sinx＋________．
2sinx
π4
解析：令sinx＝t,0<t≤t∈(0,1]，此时y＝t＋在(0,1]单调递减，∴t＝1时ymin＝5.
2t答案：5
考点1 利用基本不等式证明不等式
1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是“由因导果”．
2．证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立．同时也要注意应用基本不等式的变形形式．
例1：（1）已知a,b,c均为正数，求证：ab?bc?ca?abc(a?b?c)
（2）已知a,b,c为不全相等的正数，求证：ab(a?b)?bc(b?c)?ac(c?a)?6abc
2
2
22
2
2
11
（3）已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋4.
ab
【证明】 (1)∵a>0，b>0，a＋b＝1， 11a＋ba＋bba∴＋2＋ ababab≥2＋ba1
·4(当且仅当a＝b＝时等号成立)． ab2
11
∴4.∴原不等式成立． ab
111
练习：已知a、b、c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：1)(－1)(1)≥8.
abc
证明：∵a、b、c均为正实数，且a＋b＋c＝1， 111
∴1)(－1)(－1) abc＝＝
?1－a??1－b??1－c?
abc
?b＋c??a＋c??a＋b?2bc·2ac·2ab
≥＝8.
abcabc
1
当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
3
考点2 利用基本不等式求最值
(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值．
(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．
例4： (1)设0<x<2，求函数y?
2x(2?x)的最大值．
【分析】 由和或积为定值从而利用基本不等式求最值，然后确定取得最值的条件
【解】 (1)∵0<x<2，∴2－x>0，
∴yx?4－2x2·x?2－x? x＋2－x
≤2·2，
2
当且仅当x＝2－x即x＝1时取等号，
∴当x＝1时，函数yx?4－2x2. 12
(2) x>0，求f(x)＝＋3x的最小值；
x
（3）已知:x>0,y>0.且2x+5y=20,求 xy的最大值.
（4）已知y?
4
a，求y的取值范围． a－2
4
a－2?＋2＝6， a－2
44
显然a≠2，当a>2时，a－2>0＋a＝＋(a－2)＋2≥2
a－2a－2
当且仅当a－2，即a＝4时取等号，
a－2当a<2时，a－2<0， ∴
444a＝(a－2)＋2＝－[＋(2－a)]＋2 a－2a－22－a
4
2－a?＋2＝－2， 2－a
≤－4
当且仅当2－a，即a＝0时取等号，
2－a∴
34
(5)已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求＋的最小值．
xy ∵x>0，y>0，且x＋y＝1， 3434
∴()(x＋y) xyxy3y4x
＝7≥7＋2
xy
3y4x
＝7＋43， xy
4
a的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)． a－2
3y4x
当且仅当，即2x＝3y时等号成立，
xy34
∴7＋3. xy
练习：
求下列各题的最值．
25
(1)已知x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，求z的最小值；
xy解：(1)由x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，可得xy＝10.
252y＋5x210xy则≥2.∴zmin＝2.当且仅当2y＝5x，即x＝2，y＝5时等号成立． xy101012
(2)x?0，求f(x)＝＋3x的最大值；
x12
∵x>0，∴f(x)＝＋3x≥2
x∴f(x)的最小值是12.
4
(3)x<3，求f(x)＝x的最大值．
x－3
44
∵x<3，∴x－3<0，∴3－x>0，∴f(x)＝x＝(x－3)＋3
x－3x－34
＝－＋(3－x)]＋3≤－2
3－x
4
3－x?＋3＝－1， 3－x
1212
3x＝123x，即x＝2， xx
当且仅当3－x，即x＝1时，等号成立．故f(x)的最大值为－1.
3－x（4）a?0,b?0,4a?b?1，求ab的最大值。
考点3 利用基本不等式求最值的解题技巧
1.代换：化复杂为简单，易于拼凑成定值形式。2．拆、拼、凑，目的只有一个，出现定值．
例3：（1）已知a,b?R?,a?b?3?ab，求ab的最小值。
（2）已知y?2x?x2(0?x?1)，求y的最大值。
b2
?1，求a?b2的最大值。 （3）已知a,b?R，a?2
?
2
（4）求函数y?
（5）设a>b>c>0，求2a＋
2
2x?1?5?2x的最大值。
112＋10ac＋25c的最小值。 aba?a－b?
A．2 B．4 C．5 D．5
【分析】 通过拆、拼、凑创造条件，利用基本不等式求最值，但要注意等号成立时的条件．
11222
【解析】 原式＝(a－10ac＋25c)＋＋ab＋a(a－b)＋a－ab－a(a－b)
aba?a－b?
112
＝(a－5c)＋＋ab＋＋a(a－b)
aba?a－b?≥0＋1
·ab＋ab
1
a?a－b?＝4，
a?a－b?
22
c时，等号成立．【答案】 B 25
ab＝1??
当且仅当?a?a－b?＝1
??a＝5c
，即a＝2，b＝
练习：
（1）(2011年浙江)设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．
2222
解析：4x＋y＋xy＝1，∴4x＋4xy＋y－3xy＝1
332x＋y22
∴(2x＋y)－1＝3xy＝·2x·y≤·()
22238222
∵(2x＋y)－1≤＋y) ∴(2x＋y)≤
85
篇三：基本不等式及其应用教案(精心整理)
基本不等式及其应用
一．知识结构（博闻强记，是一项很强的能力） a?b??(a?0，b?0)，当且仅当____________时，等号成立． 1.ab?2
a?b其中和ab分别称为正数a，b的______________和_______________． 2
2.基本不等式的重要变形：
a2?b2?_____________(a，b?R)?ab?_____________；
a?b?_____________(a，b?R?)?ab?_____________． 2
a?b222?a?b?? 2
经典例题：下列不等式在a、b>0时一定成立的是________．
2aba?
b2aba?
b （1） （2
≤ a?
b2a?b2a?b2ab2aba?b （3
≤ （4
2a?
ba?
b23．均值定理
已知x，y?R，则： ?
S2
（1）若x?y?S（和为定值），则当x?y时，积xy取得最____值； 4
（2）若x?y?P（积为定值），则当x?y时，和x?y取得最____值2P．
利用基本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。
二．题型选编(熟能生巧,在有限时间内提高解题效率的最佳方法)
题组一：利用不等式求最值
例1：求下列各题的最值：
4?x的最小值； x?3
52（2）x?R，求f(x)?sinx?1?的最小值； sin2x?1
4（3）0?x?，求f(x)?x(4?3x)的最大值； 3（1）x?3，求f(x)?
（4）已知x?0,y?0,且
变式练习：
1．设a,b?R，且a?b?3，则2?2的最小值是
第- 1 –页 ab19??1,求x?y的最小值。 xy
A．6 B．42 C．22D．26
2．下列不等式中恒成立的是
A． x2?214x2?4?2 B．x??2 C．?2 D．2?3x??2 xxx2?2x2?5
B．当x?0时,x?1?2 x3．下列结论正确的是 A．当x?0且x?1时,lgx?1?2 lgx
C．当x?2时,x?11的最小值为2 D．当0?x?2时,x?无最大值 xx
4．若x,y是正实数， 则(x?y)(?1
x4)的最小值为 y
A．6 B． 9 C． 12 D． 15
5．若正数a、b满足ab?a?b?3，则a?b的取值范围是
A．[9,??) Ｂ．[6,??) C．(0,9] D．(0,6)
6．设y?R，且4y2?4xy?x?6?0，则x的取值范围是
A．?3?x?3 B．?2?x?3C．x??2或x?3 D．x??3或x?2
7．下列函数中最小值是4的是
44 B．y?sinx? xsinx
12?3,x?0 C．y?21?x?21?x D．y?x?2x?1A．y?x?
8．若关于x的方程9?(4?a)?3?4?0有解，则实数a的取值范围是
A．(??,?8]?[0,??)B．(??,?4]C．(?8,4]D．(??,?8]
9．已知x?xx51，则函数y?4x?2?的最大值 。 44x?5
2a2?2a?110．已知a?2，p?，q?2?a?4a?2则 a?2
A．p?q B．p?q C．p?q D．p?q
11．已知函数f(x)?lg(5?x4?m)的值域为R，则m的取值范围是（ ） 5x
A.(?4,??) B. [?4,??)C.(??,?4)D. (??,?4]
xy12.设x,y?R,a?1,b?1，若a?b?
3，a?b?11?的最大值为。 xy
13．若a＞b＞1，P＝
lga?lgb，Q＝?lga?lgb?，R＝lg?第- 2 –页 12?a?b?，则P、Q、R的大小关系?）2??
是 ；
题组二：利用基本不等式解应用题
例2：某造纸厂拟建一座平 面图形为矩形且面积为162平
的 三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示), 如果
周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔
墙建造单价为248
池底建造单价为80元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计.
（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出
总造价； 方米池四元/米,最低
（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求 出
最低总造价.
变式练习：
1．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x的函数关系为y??(x?6)2?11(x?N?),则每辆客车营运多少年，其运营的年平均利润最大
2．一批货物随17列货车从A市以v km/h的速度匀速直达B市。已知两地铁路线长400 km，为了安全，两列货车的间距不得小于(v2)km （货车长度忽略不计），那么这批货物全部运到B市最快需要多20
少小时？
3．某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需
运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货时的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为
4．某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房
子侧面的长度x不得超过a米，房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用．
（1）把房屋总造价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域；
（2）当侧面的长度为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？
25．某校要建一个面积为392 m的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和4 m的小路（如图所
示）。问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小？并求出占地面积的最小值。
6速度?（千米/小时）之间的函数关系为：y?（1）在该时段内，当汽车的平均速度?0.1千
辆/小时）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/
7．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米，
第- 3 –页
（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内?
(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小?并求最小面积；
(3)若AN的长度不少于6米，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．
8．某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，
每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：
（1）仓库面积S的最大允许值是多少？
（2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
8．解：设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则顶部面积为S?xy
依题设，40x?2?45y?20xy?3200，由基本不等式得
3200?240x?90y?20xy?xy?20xy?S?20S，
?S?6S?160?0，即(S?10)(S?6)?0，故S?10，从而S?100
所以S的最大允许值是100平方米，
取得此最大值的条件是40x?90y且xy?100，求得x?15，即铁栅的长是15米。
第- 4 –页
《基本不等式及其应用》出自：百味书屋
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