篇一：数学史和数学文化
数学史和数学文化
数学可能是中国所有上学的人爱恨交加的科目了吧，一方面苦于数学的枯燥和难懂，另一方面又应用于各个方面，可以说对它的感情很复杂了。而数学史和数学文化这门课却讲了不少数学史中有意思数学家和他们的故事以及数学文化，数学俨然给人一种活泼感，就好像是一个印象中“严肃刻板”的人，做出了一系列生动幽默的动作，发生了一连串的故事；而数学文化就像是人类其他形式的文化一样，它活跃在人类历史进程中，推进了人类的进步。
数学是美的，数学美把就是把数学溶入语言之中，人们自然会联想到令人心驰神往的优美而和谐的黄金分割；各种有趣的数字比如说：完全数、水仙花数、亲和数、黑洞数等等；雄伟壮丽的科学宫殿的欧几里得平面几何；数学皇冠上的明珠?哥德巴赫猜想。
数学美可以分为形式美和内在美。
数学中的公式、定理、图形等所呈现出来的简单、整齐以及对称的美是形式美的体现。数学中有字符美和构图美还有对称美，数学中的对称美反映的是自然界的和谐性，在几何形体中，最典型的就是轴对称图形。数学中的简洁美，数学具有形式简洁、有序、规整和高度统一的特点，许多纷繁复杂的现象，可以归纳为简单的数学公式。
数学的内在美有数学的和谐美，数量的和谐，空间的协调是构成数学美的重要因素。数学中的严谨美，严谨美是数学独特的内在美，我们通常用?滴水不漏?来形容数学。它表现在数学推理的严密，数学定义准确揭示概念的本质属性，数学结构系统的协调完备等等。总之，数学美的魅力是诱人的，数学美的力量是巨大的，数学美的思想是神奇的，数学是一个五彩缤纷的美的世界。
数学是好玩的，在北京举行国际数学家大会期间，91岁高龄的数学大师陈省身先生为少年儿童题词，写下了“数学好玩”4个大字。数是一切事物的参与者，数学当然就无所不在了。在很多有趣的活动中，数学是幕后的策划者，是游戏规则的制定者。玩七巧板，玩九连环，玩华容道，不少人玩起来乐而不倦，玩的人不一定知道，所玩的其实是数学。数学的好玩之处，并不限于数学游戏。数学中有些极具实用意义的内容，包含了深刻的奥妙，发人深思，使人惊讶。
早在2000多年前，人们就认识到数的重要。中国古代哲学家老子在《道德
经》中说：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”古希腊毕达哥拉斯学派的思想家菲洛劳斯说得就更加确定有力：“庞大、万能和完美无缺是数字的力量所在，它是人类生活的开始和主宰者，是一切事物的参与者。没有数字，一切都是混乱和黑暗的。”
数学是严谨的，从数学史上的三次数学危机来看，数学是一个不断完善，趋于严谨，合乎理性的科学，因而数学是需要与他人交流和互动的，只有这样才可以发现问题，解决问题。
数学是一门伟大的科学，它作为一门科学具有悠久的历史，与自然科学相比，数学更是积累性科学。它是经过上千年的演化发展才逐渐兴盛起来。同时数学也反映着每个时代的特征，美国数学史家克莱因曾经说过：“一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。这种关系在我们这个时代尤为明显。”数学已经广泛地影响着人类的生活和思想，是形成现代文化的主要力量。
德国数学家汉克尔也形象地指出过数学的这一特点：“在大多数学科里，一代人的建筑被下一代人所摧毁，一个人的创造被另一个人所破坏。惟独数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼。”所以研究数学史和数学文化，对于我们认识数学具有重大的作用。
数学史与数学文化作为一门课程一门学科，教授给我的绝不仅仅只停留在数学作为一门科学在不断发展演变的历程中不胜枚举的中外数学家以及数学发展史中具体事例和思想运动，更内涵而又丰满地是教授我一种数学的哲学思想、事物的发展规律、唯物理性客观的世界观和方法论，是对我们今后人生的指引和极大丰富。同时也是对身为理工科大学生人文情操和文化素养的磨练及沉淀，这才是我认为学习完数学史数学文化这门课程的精神内核。
经过数学史课程的学习，我被数学文化中深刻的哲学思想而深深吸引。通过老师课堂上的丰富举例；通过一个个生动、紧张、严肃、活泼的数学家形象和事例；通过数学史上一次次的猜想、命题、假设、证明，一次次地发展变革，更是引发了我对数学的发展规律和其本质哲学思想变革的不断思索。
篇二：数学史与数学文化学习体会
重庆三峡学院现代数学进展课程论文
数学史与数学文化学习体会
院系 数学与统计学院
专 业数学与应用数学（师范）
姓 名
年 级 2012级
学 号
指导教师
2015年5月
数学史与数学文化学习体会
姓名：张力丹
（重庆三峡学院数学与统计学院2012级数本2班）
摘要：通过实例叙述了中外数学发展进程中凝练出的数学哲学思想的变革和相互联系，概括了数学哲学思想的重要性、实用性以及数学和哲学水乳交融相辅相成的紧密联系。最后分五个方面对数学史和数学文化课程学习的感悟体会和学习意义进行了总结提炼。
关键词：数学史；哲学；思想；数学文化；感悟.
引言
我认为：数学史与数学文化作为一门课程一门学科，教授给我的绝不仅仅只停留在数学作为一门科学在不断发展演变的历程中不胜枚举的中外数学家以及数学发展史中具体事例和思想运动，更内涵而又丰满地是教授我一种数学的哲学思想、事物的发展规律、唯物理性客观的世界观和方法论，是对我们今后人生的指引和极大丰富。同时也是对身为理工科大学生人文情操和文化素养的磨练及沉淀，这才是我认为学习完数学史数学文化这门课程的精神内核。
数学史的离不开数学哲学，否则，就不能达到应有的深度。法国伟大的数学家亨利·庞加莱曾说：“如果我们想要预测数学的未来，那么适当的途径是研究这们学科的历史和现状”在谈到数学史对数学的重要性时，英国数学家格莱舍有一段经典名言：“ 任何一种企图将一个学科和它的历史割裂开来，我确信，没有哪一个学科比数学的损失更大。”无独有偶，德国数学家汉克尔也形象地指出过数学的这一特点：“ 在大多数学科里，一代人的建筑被下一代人所摧毁，一个人的创造被另一个人所破坏。惟独数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼。”数学是历史的科学，是由历史成果积累而成的。
经过数学史课程的学习，我被数学文化中深刻的哲学思想而深深吸引。通过老师课堂上的丰富举例；通过一个个生动、紧张、严肃、活泼的数学家形象和事例；通过数学史上一次次的猜想、命题、假设、证明，一次次地发展变革，更是引发了我对数学的发展规律和其本质哲学思想变革的不断思索。
中国早期的数学哲学思想
【1】《墨经》数学哲学思想的特点
纵观墨家的数学成就，只是一些分散的数学知识积累。既没有形成一个完整的公理体系，也没有使用任何数学符号、几何图形、公式方程来反映其数学思想，仅在文字上进行了高度 抽象的概括，却没有妨碍墨家科学思想在数学上体现。墨家科学思想的突出特点是将技术的应用与发展研究相结合，“巧传则求其故”。巧指工艺技巧，传指世代相传，求就是探索寻找，故就是原因、道理．即在世代相传的手工技巧中找寻出规律并将其总结成科学真理，从而达到“以往知来，以知见隐”．思格斯说：“数学的无限是从现实中借来的??，所以它不能从它自身、从数学的抽象来说明而只能从现实来说明．旧墨家的数学思想正是从社会生产与社会实践中产生的，“摹略万物之然，探究其所以然”的实证主义科学态度使得墨家的科学活动有了明确的指导思想，这种对待自然科学求真唯实的作风不但促进了战国时期科学技术的发展，而且逼近了近代科学发展的基础，为古代中国科学发展开辟出一条有可能走向近代科学
的道路。
【2】《九章算术注》的数学哲学思想
刘徽是我国古代伟大的数学家，所著《九章算术注》一书，是他毕生研究数学的结晶，在这本书里集中体现了刘徽对待数学的根本观点，即唯物数学观点唯物数学观点是刘徽数学哲学思想的重要方面．中国古代数学史上，对于数学来源和作用的认识，刘徽是持唯物观点的代表者．刘徽在思想上，作为算学的“九九之术”来源于观天察地的实践的思想是十分明确的。刘徽序言中的“庖牺氏始画八卦”，意在表明八卦，从而表明“九九之术”产生之远古，而并非宣扬神秘主义事实上，1977年在我国发现的“裴李岗文化”遗址表明：“伏羲—— 女蜗”时代的晚期，正值新旧石器时代的“过渡时期”，这时，农业的发展推动了天文学的发展，古人从观天察地的实中建立起八卦体系，后来这种八卦体系在《周易》中被记述下来，实际乃是我国古代科学数学发展的历史见证．
刘徽对于数学起源认识的唯物观点，更表现在他的“数学树”观念上他在《九章算术注原序》中论述数学是一棵大树的思想时指出：事类相推，各有所归故枝条虽多而同本干知，发其一端而已．即是说，《九章》所述的数学知识，犹如一株枝繁叶茂的大树，都发于空间形式的数量关系，故进一步说，刘数学树之端实际上乃是空间形式与数量关系的统一．且两者意义是相互联系的．例如，在用“矩”测物体时，就离不开“度”与“量”这种数形统一观向来在刘徽数学研究的实践中得到r充分体现例如，他用广、从两数乘积及广、袤、高三数乘积分别定义几何量——长方形面积和长方体体积，据此证明 《九章》中一系列面积、体积公式．与此同时，几何的原理和方法叉成功地被应用于诸如整勾股数等代数公式的证明中．刘徽对数学的唯物观点还表现在他在具体工作中的求实精神和对数学研究中附会阴阳奇偶说的批判在《九章算术》成书后，
在对数学作用的认识上，刘徽既肯定了数学在实践和理论上的作用．唯物地表达了数学在认识自然界方面的重要作用．虽然刘徽的唯物数学观相比同时期的西方数学哲学思想要先进得多．但是，由于中国传统文化是封建制度方法下的文化，而传统数学作为传统文化的一部分，也不免打上封建方法的烙印，表现出对圣贤的迷恋和膜拜．圣贤无所不能，无所不知，无论什么都要打出圣贤的招牌才最有力，几乎成为共识刘徽《九章算术注原序》中“周公制礼而九数”的说法，正是这种烙印的一种表现．因此，刘徽的唯物数学观具有时代的局限性． 综上所述，刘徽虽然生活在封建制度方法下的古代晋朝，却能客观地总结前人的实践经验，唯物地创造性地发展我国的数学科学，不失为我国和世界同时期的伟大数学家，“刘徽”这个名字在数学科学史上必将光照千秋．
西方数学哲学思想的演变历程及举例
数学史上产生过三次数学危机，而三次危机的产生与解决，客观上揭示了数学内在矛盾运动的过程，也就是数学史的一个缩影．事物的辩证本性和辩证联系常常是以悖论的形式出现的。三次数学危机正是由悖论引起的．悖论是科学发展的一种强有力的内在的逻辑力量，思维虽然不能完整地把握客观事物的辩证矛盾，但由于悖论的出现，却使人看到了旧的理论同客观事物的辩证性质之问的尖锐矛盾，在这种情况下，必然产生出新概念、新思想、新方法和新理论，悖论一旦得到解决，科学便随之得到突破性的发展．
【1】悖论，芝诺悖论—— 数学史中的第一次数学危机
公元前五世纪的毕达哥拉斯学派相信“宇宙问的一切现象都能归结为整数和整数比”，希帕索斯发现的“正方形一边与对角线不可通约”即 悖论，严重冲击了当时希腊人的普遍信条，在惊异不安之后，还是被迫努力寻求对“自然数及其比不能包括一切几何量”这一事实的理解。毕氏学派提出单子论概念去解决这一悖论。而单子论又受到芝诺悖论的否定．进一步促使人们从直觉、经验转向追求逻辑和理性，引导出柏拉图、亚里士多德、欧几里得的公理几
何体系和逻辑学的出现和发展。而无理数的理论直到十九世纪才完成。
【2】徽积分悖论——数学史中的第二次数学危机
微积分这门学科的莫基人，人们公认是牛顿和莱布尼兹，但在微积分理论初创时期，不论是牛顿还是莱布尼兹，都无法越过从有限到无穷小量的鸿沟．他们的证明都要依靠一个模糊的原理，即一个无穷小量既可以是一个极其微小的量，同时又可以是零，这就直接违反了最基本的逻辑规则．“什么是无穷小”引出的微积分悖论造成了第二次数学危机．宣称“存在就是被感知”的主观唯心主义者贝克莱呼之为“逝去量的鬼魂”，旨在挽救宗教、宣扬唯心主义，所有的数学家、自然科学家、哲学家都在各抒己见。在近两个世纪的争论、探讨中达朗贝尔、波尔查诺、柯西、阿贝尔、狄里克列、外尔斯特拉斯等人都做了大量的工作，建立了“一”的极限、连续定义，将导数、积分建立在严格的极限基础之上，最终以外尔斯特拉斯、戴德金、康托尔建立实数理论及由此的极限理论，消除了微积分理论中的悖论，克服了第二次数学危机。极限理论是微积分理论的基础，它的建立体现了人们对无穷小量认识的深化过程，在微积分的历史上，这个过程虽然是曲折的，但是人们的思想终于突破了形而上学的框框，掌握了无穷小量的辨证本质，这是唯物辩证法的一个胜利。徽积分悖论的消除还有重大的科学意义，它使得在微积分理论的基础上建设起来的高楼大厦，再也无需有基础下陷之忧虑了．进人二十世纪之后，它对社会生产和科学技术的许多领域都产生了更加巨大的推动作用．
【3】罗素悖论—— 数学史中的第三次数学危机
1900年正当庞加莱在国际数学家大会上宣称“数学已经被算术化了，现在的数学已经绝对严格”之时，罗素悖论导致了第三次数学危机，因为“集合的集合”究竟属于哪类集合的疑难，作为集合论基础的皮亚诺公理出现了漏洞，使现代数学大厦出现了一条裂缝。为解决这场危机，逻辑主义、直观主义和形式主义三学派开展了长达半个世纪的争论，至今虽以统一“数学基础”而使罗素悖论的震波渐趋平息，但彻底消除基础的裂痕已无可能．不过，人们还是获得了重大进步，如类型论、公理集合论等，对数学、逻辑、语言，乃至科学、哲学理论等都有了更加冷静、本质的认识，这是作为“智慧的人” 的一步重大的提高．
【4】微积分中蕴涵的丰富哲学思想
微积分中蕴涵着丰富的哲学思想，如“量变到质变”、“对立统一规律”、“特殊存在于一般之中”等。1．积分概念中蕴涵的哲学思想定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的产生是解决实际问题的需要，解决的基本方法是：①有限分割，②以直代曲或以匀代变的近似计算，③有限积累的求和，④极限转化 比如定积分的概念是由求曲边梯形的面积引出的，和式ni=lΣfi）△xi表示n个矩形面积之和；当0时，lim，ni=lΣf(i)△xi 则是曲边梯形的面积。马克思曾对微积分作过一番历史考察．他把这一时期称为“神秘的微积分”时期．并有这样的评论：“于是，人们自己相信了新发现的算法的神秘性。这种算法肯定是通过不正确的数学途径得出了正确的(而且在几何应用上是惊人的)结果.
【5】非欧几何的哲学思想
认识论的变革法国哲学家、数学家彭加莱说过：非欧几何的发现，是认识论一次革命的根源简单讲，人们可以说，这一发现已经胜利的打破了那个为传统逻辑所要求的．束缚住任何理论的两难论题：即科学的原理耍么是必然真理(先验综合的逻辑结论)；要么是断言的真理(感官观察的事实)．他指出：原理可能是简单的任意约定．但是这些约定决不是同我们的心灵和自然界无关的，它们只能靠着一切人的默契才能存在，它们并且紧密地依赖着我们所生活的环境中的实际外界条件，事实上正是由于这一点。对于探索未知或目前无法感知的事物．我们可以在哲学的领域里依靠我们对自然界的认识作某种“默契约定”，这是认识一切事物的开始和基础．另外，我们在理论评判中，放弃非彼即此的评判，爱时斯坦就说过：这种非彼即此的评判是不正确的．这些评判家、数学家的评判尤疑是非欧几何创立后，其对思
想、理论建立．特别是对认识论有最为直接的影响；更进一步的近代的理论和技术的进步均离不开它的内在影响，像“相对论”的产生、特别是对时空的进一步认识，集合论、现代分析基础、数理逻辑、量子力学等学科建立与发展均可以看成是非欧几何的直接结果．非欧几何的创立所产生的震荡至今余波未消限．
【5】潜无穷与实无穷中的辩证法
任何事物的内部都包含着互相对立又互相统一的两个方面，徐利治教授在谈到“潜在无限”和“实在无限”时明确提出“两种无限只不过是对同一对象的两个侧面的反映．”实际上既不存在没有潜在无限的实无限，也不存在没有实无限的潜无限，实无限都必须是某一潜无限基础上飞跃而完成的无限过程，潜无限都是某一个实无限的初始片断．可见，无穷观的发展过程中也蕴含着丰富的辩证法内涵.
显然，三次危机的产生和消除过程包含了丰富的哲学问题。每一次危机的消除都促进了学的发展，而哲学的发展也是数学得以突破的主要因素之一。学习这段历史的过程，也是我们历经人的认识在各个历史阶段中的局限性和相对性的过程．历史就是智慧，它横跨千年，把从原始的信仰到辩证地理性的分析之间那漫长曲折的历程都展现在我们面前．品味每个智慧的节点，从经验论到唯理论，再从形而上学到辩证法，不断的矛盾，不断的反思，促使我们逐步摒弃不正确的思想，树立健康的哲学观念，而随之提高的哲学修养必然导致我们对数学更深层次的思考．这样也必然会再次遇到矛盾，数学的发展又将在矛盾的解除中实现，哲学理论亦将再次走向深入.
一部数学史纵贯五千年，横亘东西方，其中蕴涵的哲学意义已是十分充盈，而现代数学还在迅猛发展，有许多问题亟待解决，这就需要我们在数学史教学中加强哲学观念的培养，对科学中最一般的、最深刻的价值、真、善、美抱以热烈的感情，去上下求索。因为：不论运用怎样的思维原则和思想方法，最终还是属于哲学.
渗透于实际生活中数学哲学思想
【1】特殊化思想
特殊化思想的意义在于当研究的对象比较复杂时，通过对其特殊情况的研究，将会使我们对研究的对象有个初步了解，并且帮助我们熟悉所面临的问题的类型，这对于进一步处理以至最终解决这个问题有很大好处。另外，事物的共性存在于个性之中。对个别的特殊情况的讨论，常常可以凸现问题的关键，从而揭示出问题的本质。只要我们寻找到题目蕴涵的特殊和一般之间的联系，运用特殊化思想能起到事半功倍的效果.
【2】转化思想
数学方法论中所论及的转化是指把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者解决比较容易解决的问题中去，正所谓正难则反的思想，最终求获原问题之解答的一种手段和方法。该方法在解题中被广泛用到。大学数学的学习中我们经常利用该方法，比如将多元函数的微分和积分相关问题转化为一元函数的微分和积分等.
【3】函数思想
函数的思想是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题转化问题，从而使问题获得解决。对于一些常见的实际问题的处理我们需要转化为数学问题，分析变量之间的联系，要构造函数，利用相关函数的思想借助导数等相关定理解决问题.
【4】数形结合的思想
“数缺形时少直觉 形缺数时难入微 数形结合万般好”说的就是数形结合的思想就是把问题中的数量关系与相应的图形结合起来，由数的性质得到相应图形的性质，或由图形的特征得出相应的数量关系，从而解决问题.在大学数学的解题中，根据题中“数”的结构特征，
篇三：数学史与数学文化论文
南昌师范学院
系别：
班级：
姓名：
学号：
指导老师：
数学史与数学文化学习体会 ———数学史中的哲学启示和学习感悟
【摘要】
通过实例叙述了中外数学发展进程中凝练出的数学哲学思想的变革和相互联系，概括了数学哲学思想的重要性、实用性以及数学和哲学水乳交融相辅相成的紧密联系。最后分五个方面对数学史和数学文化课程学习的感悟体会和学习意义进行了总结提炼。
【关键词】 数学史 哲学 思想 数学文化 感悟
【正文】
我认为：数学史与数学文化作为一门课程一门学科，教授给我的绝不仅仅只停留在数学作为一门科学在不断发展演变的历程中不胜枚举的中外数学家以及数学发展史中具体事例和思想运动，更内涵而又丰满地是教授我一种数学的哲学思想、事物的发展规律、唯物理性客观的世界观和方法论，是对我们今后人生的指引和极大丰富。同时也是对身为理工科大学生人文情操和文化素养的磨练及沉淀，这才是我认为学习完数学史数学文化这门课程的精神内核。
数学史的离不开数学哲学，否则，就不能达到应有的深度。法国伟大的数学家亨利·庞加莱曾说：“如果我们想要预测数学的未来，那么适当的途径是研究这们学科的历史和现状”在谈到数学史对数学的重要性时，英国数学家格莱舍有一段经典名言：“ 任何一种企图将一个学科和它的历史割裂开来，我确信，没有哪一个学科比数学的损失更大。”无独有偶，德国数学家汉克尔也形象地指出过数学的这一特点：“ 在大多数学科里，一代人的建筑被下一代人所摧毁，一个人的创造被另一个人所破坏。惟独数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼。”数学是历史的科学，是由历史成果积累而成的。
经过数学史课程的学习，我被数学文化中深刻的哲学思想而深深吸引。通过老师课堂上的丰富举例；通过一个个生动、紧张、严肃、活泼的数学家形象和事例；通过数学史上一次次的猜想、命题、假设、证明，一次次地发展变革，更是引发了我对数学的发展规律和其本质哲学思想变革的不断思索。
【一】中国早期的数学哲学思想
【1】《墨经》数学哲学思想的特点
纵观墨家的数学成就，只是一些分散的数学知识积累。既没有形成一个完整的公理体系，也没有使用任何数学符号、几何图形、公式方程来反映其数学思想，仅在文字上进行了高度
抽象的概括，却没有妨碍墨家科学思想在数学上体现。墨家科学思想的突出特点是将技术的应用与发展研究相结合，“巧传则求其故”。巧指工艺技巧，传指世代相传，求就是探索寻找，故就是原因、道理．即在世代相传的手工技巧中找寻出规律并将其总结成科学真理，从而达到“以往知来，以知见隐”．思格斯说：“数学的无限是从现实中借来的??，所以它不能从它自身、从数学的抽象来说明，而只能从现实来说明．旧墨家的数学思想正是从社会生产与社会实践中产生的，“摹略万物之然，探究其所以然”的实证主义科学态度使得墨家的科学活动有了明确的指导思想，这种对待自然科学求真唯实的作风不但促进了战国时期科学技术的发展，而且逼近了近代科学发展的基础，为古代中国科学发展开辟出一条有可能走向近代科学的道路。
【2】《九章算术注》的数学哲学思想
刘徽是我国古代伟大的数学家，所著《九章算术注》一书，是他毕生研究数学的结晶，在这本书里集中体现了刘徽对待数学的根本观点，即唯物数学观点唯
物数学观点是刘徽数学哲学思想的重要方面．中国古代数学史上，对于数学来源和作用的认识，刘徽是持唯物观点的代表者．刘徽在思想上，作为算学的“九九之术”来源于观天察地的实践的思想是十分明确的。刘徽序言中的“庖牺氏始画八卦”，意在表明八卦，从而表明“九九之术”产生之远古，而并非宣扬神秘主义事实上，1977年在我国发现的“裴李岗文化”遗址表明：“伏羲—— 女蜗”时代的晚期，正值新旧石器时代的“过渡时期”，这时，农业的发展推动了天文学的发展，古人从观天察地的实中建立起八卦体系，后来这种八卦体系在《周易》中被记述下来，实际乃是我国古代科学数学发展的历史见证．
刘徽对于数学起源认识的唯物观点，更表现在他的“数学树”观念上他在《九章算术注原序》中论述数学是一棵大树的思想时指出：事类相推，各有所归故枝条虽多而同本干知，发其一端而已．即是说，《九章》所述的数学知识，犹如一株枝繁叶茂的大树，都发于空间形式的数量关系，故进一步说，刘数学树之端实际上乃是空间形式与数量关系的统一．且两者意义是相互联系的．例如，在用“矩”测物体时，就离不开“度”与“量”这种数形统一观向来在刘徽数学研究的实践中得到r充分体现例如，他用广、从两数乘积及广、袤、高三数乘积分别定义几何量——长方形面积和长方体体积，据此证明 《九章》中一系列面积、体积公式．与此同时，几何的原理和方法叉成功地被应用于诸如整勾股数等代数公式的证明中．刘徽对数学的唯物观点还表现在他在具体工作中的求实精神和对数学研究中附会阴阳奇偶说的批判在《九章算术》成书后，
在对数学作用的认识上，刘徽既肯定了数学在实践和理论上的作用．唯物地表达了数学在认识自然界方面的重要作用．虽然刘徽的唯物数学观相比同时期的西方数学哲学思想要先进得多．但是，由于中国传统文化是封建制度方法下的文化，而传统数学作为传统文化的一部分，也不免打上封建方法的烙印，表现出对圣贤的迷恋和膜拜．圣贤无所不能，无所不知，无论什么都要打出圣贤的招牌才最有力，几乎成为共识刘徽《九章算术注原序》中“周公制礼而九数”的说法，正是这种烙印的一种表现．因此，刘徽的唯物数学观具有时代的局限性．
综上所述，刘徽虽然生活在封建制度方法下的古代晋朝，却能客观地总结前人的实践经验，唯物地创造性地发展我国的数学科学，不失为我国和世界同时期的伟大数学家，“刘徽”这个名字在数学科学史上必将光照千秋．
【二】西方数学哲学思想的演变历程及举例
数学史上产生过三次数学危机，而三次危机的产生与解决，客观上揭示了数学内在矛盾运动的过程，也就是数学史的一个缩影．事物的辩证本性和辩证联系常常是以悖论的形式出现的。三次数学危机正是由悖论引起的．悖论是科学发展的一种强有力的内在的逻辑力量，思维虽然不能完整地把握客观事物的辩证矛盾，但由于悖论的出现，却使人看到了旧的理论同客观事物的辩证性质之问的尖锐矛盾，在这种情况下，必然产生出新概念、新思想、新方法和新理论，悖论一旦得到解决，科学便随之得到突破性的发展．
【1】 数学史中的第一次数学危机
公元前五世纪的毕达哥拉斯学派相信“宇宙问的一切现象都能归结为整数和整数比”，希帕索斯发现的“正方形一边与对角线不可通约”即 悖论，严重冲击了当时希腊人的普遍信条，在惊异不安之后，还是被迫努力寻求对“自然数及其
比不能包括一切几何量”这一事实的理解。毕氏学派提出单子论概念去解决这一悖论。而单子论又受到芝诺悖论的否定．进一步促使人们从直觉、经验转向追求逻辑和理性，引导出柏拉图、亚里士多德、欧几里得的公理几何体系和逻辑学的出现和发展。而无理数的理论直到十九世纪才完成。
【2】徽积分悖论——数学史中的第二次数学危机
微积分这门学科的莫基人，人们公认是牛顿和莱布尼兹，但在微积分理论初创时期，不论是牛顿还是莱布尼兹，都无法越过从有限到无穷小量的鸿沟．他们的证明都要依靠一个模糊的原理，即一个无穷小量既可以是一个极其微小的量，同时又可以是零，这就直接违反了最基本的逻辑规则．“什么是无穷小”引出的微积分悖论造成了第二次数学危机．宣称“存在就是被感知”的主观唯心主义者贝克莱呼之为“逝去量的鬼魂”，旨在挽救宗教、宣扬唯心主义，所有的数学家、自然科学家、哲学家都在各抒己见。在近两个世纪的争论、探讨中达朗贝尔、波尔查诺、柯西、阿贝尔、狄里克列、外尔斯特拉斯等人都做了大量的工作，建立了“ε一δ”的极限、连续定义，将导数、积分建立在严格的极限基础之上，最终以外尔斯特拉斯、戴德金、康托尔建立实数理论及由此的极限理论，消除了微积分理论中的悖论，克服了第二次数学危机。极限理论是微积分理论的基础，它的建立体现了人们对无穷小量认识的深化过程，在微积分的历史上，这个过程虽然是曲折的，但是人们的思想终于突破了形而上学的框框，掌握了无穷小量的辨证本质，这是唯物辩证法的一个胜利。徽积分悖论的消除还有重大的科学意义，它使得在微积分理论的基础上建设起来的高楼大厦，再也无需有基础下陷之忧虑了．进人二十世纪之后，它对社会生产和科学技术的许多领域都产生了更加巨大的推动作用．
【3】罗素悖论—— 数学史中的第三次数学危机
1900年正当庞加莱在国际数学家大会上宣称“数学已经被算术化了，现在的数学已经绝对严格”之时，罗素悖论导致了第三次数学危机，因为“集合的集合”究竟属于哪类集合的疑难，作为集合论基础的皮亚诺公理出现了漏洞，使现代数学大厦出现了一条裂缝。为解决这场危机，逻辑主义、直观主义和形式主义三学派开展了长达半个世纪的争论，至今虽以统一“数学基础”而使罗素悖论的震波渐趋平息，但彻底消除基础的裂痕已无可能．不过，人们还是获得了重大进步，如类型论、公理集合论等，对数学、逻辑、语言，乃至科学、哲学理论等都有了更加冷静、本质的认识，这是作为“智慧的人” 的一步重大的提高．
【4】微积分中蕴涵的丰富哲学思想
微积分中蕴涵着丰富的哲学思想，如“量变到质变”、“对立统一规律”、“特殊存在于一般之中”等。1．积分概念中蕴涵的哲学思想定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的产生是解决实际问题的需要，解决的基本方法是：①有限分割，②以直代曲或以匀代变的近似计算，③有限积累的求和，④极限转化 比如定积分的概念是由求曲边梯形的面积引出的，和式ni=lΣf（ξi）△xi表示n个矩形面积之和；当λ→0时，limλ→0，ni=lΣf(ξi)△xi 则是曲边梯形的面积。马克思曾对微积分作过一番历史考察．他把这一时期称为“神秘的微积分”时期．并有这样的评论：“于是，人们自己相信了新发现的算法的神秘性。这种算法肯定是通
过不正确的数学途径得出了正确的(而且在几何应用上是惊人的)结果。
【5】非欧几何的哲学思想
认识论的变革法国哲学家、数学家彭加莱说过：非欧几何的发现，是认识论一次革命的根源简单讲，人们可以说，这一发现已经胜利的打破了那个为传统逻辑所要求的．束缚住任何理论的两难论题：即科学的原理耍么是必然真理(先验综合的逻辑结论)；要么是断言的真理(感官观察的事实)．他指出：原理可能是简单的任意约定．但是这些约定决不是同我们的心灵和自然界无关的，它们只能靠着一切人的默契才能存在，它们并且紧密地依赖着我们所生活的环境中的实际外界条件，事实上正是由于这一点。对于探索未知或目前无法感知的事物．我们可以在哲学的领域里依靠我们对自然界的认识作某种“默契约定”，这是认识一切事物的开始和基础．另外，我们在理论评判中，放弃非彼即此的评判，爱时斯坦就说过：这种非彼即此的评判是不正确的．这些评判家、数学家的评判尤疑是非欧几何创立后，其对思想、理论建立．特别是对认识论有最为直接的影响；更进一步的近代的理论和技术的进步均离不开它的内在影响，像“相对论”的产生、特别是对时空的进一步认识，集合论、现代分析基础、数理逻辑、量子力学等学科建立与发展均可以看成是非欧几何的直接结果．非欧几何的创立所产生的震荡至今余波未消限．
【5】潜无穷与实无穷中的辩证法
任何事物的内部都包含着互相对立又互相统一的两个方面，徐利治教授在谈到“潜在无限”和“实在无限”时明确提出“两种无限只不过是对同一对象的两个侧面的反映．”实际上既不存在没有潜在无限的实无限，也不存在没有实无限的潜无限，实无限都必须是某一潜无限基础上飞跃而完成的无限过程，潜无限都是某一个实无限的初始片断．可见，无穷观的发展过程中也蕴含着丰富的辩证法内涵。
显然，三次危机的产生和消除过程包含了丰富的哲学问题。每一次危机的消除都促进了学的发展，而哲学的发展也是数学得以突破的主要因素之一。学习这段历史的过程，也是我们历经人的认识在各个历史阶段中的局限性和相对性的过程．历史就是智慧，它横跨千年，把从原始的信仰到辩证地理性的分析之间那漫长曲折的历程都展现在我们面前．品味每个智慧的节点，从经验论到唯理论，再从形而上学到辩证法，不断的矛盾，不断的反思，促使我们逐步摒弃不正确的思想，树立健康的哲学观念，而随之提高的哲学修养必然导致我们对数学更深层次的思考．这样也必然会再次遇到矛盾，数学的发展又将在矛盾的解除中实现，哲学理论亦将再次走向深入。
一部数学史纵贯五千年，横亘东西方，其中蕴涵的哲学意义已是十分充盈，而现代数学还在迅猛发展，有许多问题亟待解决，这就需要我们在数学史教学中加强哲学观念的培养，对科学中最一般的、最深刻的价值、真、善、美抱以热烈的感情，去上下求索。因为：不论运用怎样的思维原则和思想方法，最终还是属于哲学。
【三】渗透于实际生活中数学哲学思想
【1】特殊化思想
《数学史与数学文化论文》出自：百味书屋
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