篇一：常微分方程教程(丁同仁、李承治第二版)第四章 奇解
第四章 奇解
习题4-1
1．求解下列微分方程：
(1).2y?p2?4px?2x2,(p?解：y?
p22
dydx
);
?2px?x2
dp
p?pdp?2p?2x?2x
dp?(p?2x)dp?(p?2x)?0?(p?2x)(?1)?0.
a.p?2x?0?p??2x（特解）?y?2x2?4x2?x2??x2(特解）b.dp?1?0??
x2
2
dp??1?p??x?C?y?
(?x?C)?2(?x?C)x?x2?y?
2
?Cx?12C（通解）
dy
dx
(2).y?pxlnx?(xp)2,(p??(lnx?2xp)(xdp?p)?0.
);
dp22解：p?xlnxdp?p(lnx?1)?2xp?2xpxa.lnx?2xp?0?lnx??2xp?p??ln2xxlnx2lnx?y??lnxlnx?[x(?2x2x)]?y??2?
2
ln2x
4
x
??ln42
b.xxdp?p?0?p??y?Clnx?C2
C
?y?
C2
xlnx?(xC)
(3).2xp?2tany?p3cos2y.解：x?1tany?x?qtany?
cos2y2q2
p2cos2y
,令q?
1?
dx,
,
2cosy(?siny)
2q
2
2
2
q?tanydq?qsecy?2?tanydqdy?qtany?
y
?cos3
q
2
dq?cosysiny
q
22
y
?cos3
q
dqdy
?0
cosydq
?tany(dq?qtany)?(dy?qtany)?0dyq3cosy?(dq?qtany)(tany?q3)?0
2
a.dqdy?qtany?0?b.tany?
2
dq
dy
??qtany?q?Ccosy?x?Csiny?
3
cos3y2C2
cos2yq
?0?q?
2
2
?q?
cosy
ysin?x?
cosy
sintany?
cos2t2
cosysin3y
y
33
?sin3y?2siny?2siny
2．用参数法求解下列微分方程：
2
(1)2y2?5(dy)?4dx
解：令y?由p?
dy
2225cost,p?sint
dy
25
25
sint,y?2cost,p?
255
sint,???x???,
?
a.当sint?0?dx??y?2sint
?
d(2cost)
25
?
22sintdt
25
sint
??
dt?x??
dt?C
(?x?C)]?2cos[(?x?C)]
b当sint?0?cost??1?y??(2).x2?3(
dy2
)?1.dx
sht
et?e?tet?e?t
,cht?,sht?
22
解：令x?cht,p?
dyshtshtshtsh2t
??dy?dx?d(xht)?dtdx333故
y????
sh2t1
?C
81
2t?2t(e?e?2)d(2t)?C?
811t?(sh2t?)?C
24
22
(3).(dy)?y?x?0.dx
(e2t?e?2t?4t)?C
解：令x?u,p?v,y?u2?v2,dy?pdx2udu?2vdv?vdu?(2u?v)du?2vdv?
dv
du
?
2u?v2v
???
uv
2
2?u
v2u齐次方程
令v?t,u?vt,?
dv
?t?1?
2
2t?1
2t?1?
tdv?vdt?
2dvv
dt
?t?vdv?dt
?vdv?
2?2t2?t
2t?1
??
2t?12?2t2?t
dt
lnv??
2t?1
?C
2?2t2?t
2t?1
???2dt?C
2t?t?2
??
2t?112t
?dt??2t2?t?2?2t2?t?2dt2t2?t?2
1dt12tdt????222(t?2(t?4)?164)?16
2
)?171d[(t?11dt1dt]?????222171717
2(t?14?(t?12?(t?1
)?)?)?
11171dt
??ln(t?)???217
24164(t?1
)?
1dt1
?2?17
4?(t?14)?(t?4164?
??
dt
4)(t?4?
44
4
)
4
121
(
4?t?4?12ln|t?1?t??
1
4
?|
1t?4?
)dt
t?117
故??2t2dt??22ln(t?)?16??t?2
2
4
2ln|
t?1?t??
1
44
1
|.
v?e
C
1
t?4?
4
t?4?4
(
t?4?t?4?
)2
121?121?21?12
?C(t??)(t??)
4444
令???4?
1
2
4,???4?
144
?11
4
,v?C(t??)
1
44
?114?
1
?
1
22
?
1
,
v?C(t??)(t??)
?u
?C(??)4
v
14?
u
(??)4v
?C
(u??v)v
?
1
44
?
1
(u??v)v
1
44
?
1
11??
4411??
44?1
44
?11
1
44
?1
故
1
1?C(u??v)
(u??v)
1?44?1
(u??v)
?C(u??v)?C(u??v)?C(u??v)
1?44??141??44
(u??v)4(u??v)
1??44
(u??v)??C(u??v)?
?y?x2?p2
（通解）,???
?(x??p)?C(x??p)特解：2?2t2?t?0?t??y?x2?
1?u1?4
???v?u4v41?16162?2222
x?x(1?)?x22
(1?)(1?)18?21?9??1?22?2a.y?18x??2x2?
(1?)(9?)
x2
?
?8?8x2?
2?1?21
x2?1?x?ax222?21
b.y?18x??x?22
?y?1
?x,故?（特解）21
?y??x,dy3
(4).x?(dy)?4x.
dydy332(dy)?4x?x?x(4?x).dxdxdx
令p?
dy
dx
?xt,?x3t3?x2(4t?x),?xt3?4t?x,?x?1?t3
2
4t4t
dy?xtd(1?)?14?tt3d(1?),?y??(1?8?t3t3t3)24t
x?1?,??t3
故?（通解）821
y????C,?1?t3(1?t3)2?
21
1?t3
?C
习题4-2
1． 利用p-判别式求下列微分方程的奇解：
dydy2
?();dxdx
?F(x,y,p)?xp?p2?y?0x2解：?y???
4x?2p?0?(1).y?x而y??
"
pp
xdpdp’
2?x为(1)的解，而Fp?2p?1|x2??1?0x|y??y??4dydy44
'
2
py??x
4
2
F?2?0,F
|
x2
?x?x?0,故y??为(1)的奇解。
4
dydy2
?();dxdx
?F(x,y,p)?2xp?p2?y?0解：?y??x2不是(2)的解?
2x?2p?0?(2).y?2x
dy24)?y;dx9
4?
（?(y?1)2p2?y?0解：?y?0为(3)的解?9
2
??2(y?1)p?0(3).(y?1)2(Fp'?2(y?1)p2?
"Fpp|y?0
44
???0.99
2(y?1)2?2?0,Fp'|?0,
y?0
故y?0为(3)的奇解。
习题4-3
1．试求克莱洛方程的通解及其包络： y?xp??(p),(p?解：通解为y?Cx??(C),(?C)
特解为x???'(p),y???'(p)p??(p),p??(x),y?x?(x)??(?(x)).
判断y?x?(x)??(?(x))是否为奇解。（是）
?y?Cx??(C)?0,
?x???'(C)?C??(x)?y?x?(x)??(?(x))?
?x??'(C)?0.?
?:x?C,y?y?C?(C)??(?(C)),?；x???'(C),y??C?'(C)??(C)
dy
,1)?(0,0).dx
故通解为y?Cx??(C),(?C),特解为x???'(p),y???'(p)p??(p),?:x???'(C).其中(??"(C),??'(C))?(0,0),(?C?
dy
),?"(p)?0. dx
y??C?'(C)??(C)克莱洛方程的包络。2试求一微分方程，使它有奇解为y?sinx
解：领x?C,y?sinC,
?(x?C)2?y?sinC?0,dy
?y?sinx,(1,cosC)?(0,0),(2(x?C)??cosx,1)?(0,0).?
dx?2(x?C)?0,?
?(x?C)2?y?sinx?0,
(cosx??p)2(cosx?p)2?2
?(x?C)?,?y?sinx?.?y?dy?
?2(x?C)??cosx?0,44?dx?
xp?parccosp??p2
故微分方程y?xp?parccosp??p2有奇解为y?sinx.
篇二：试论常微分方程的奇解
试论常微分方程的奇解
摘要: 一阶微分方程拥有含有一个任意常数的通解,另外可能还有个别不含于通解的特解,即奇解,利用P-判别法和C-判别法可以求出奇解,而这两种判别法是否适用于求每一个一阶微分方程的奇解?此文中举了几个例子来说明这个问题.并给出另外三种求奇解的方法.
关键词: 一阶微分方程,奇解,P-判别式,C-判别式,C-P消去法,拾遗法,自然法.
Discussing Singular Solution about First Order
Differential Equation
ZHU Yong-wang
(Class 1, Grade 2006, College of Mathematics and Information Science)
Advisor: Professor LI Jian-min
Abstract: First order differential equation has a general solution which contains an arbitrary constant, but sometimes it has special solution that is singular solution, which can be solved by the P-judgment method and C-judgment method．While whether the two judgments can be applied to get every singular solution to the first order differential equation? This paper intends to illustrate this problem with several examples．
Key words: Singular solution, P-judgment, C-judgment, C-P elimination method, The supplement method, Natural method.
1．引言
一般来说一阶常微分方程拥有任意常数的通解,另外还有个别不含于通解的特解.这种特解可以理解为通解的一种蜕化现象.它在几何上往往表现为解的唯一性遭到破坏.早在1649年莱布尼兹就已经观察到解族的包络也是一个解.克莱络
和欧拉对奇解作了某些讨论,得出了P－判别式求奇解的方法.拉格朗日对奇解和通解的联系作了系统的研究,给出C－判别式求奇解的方法和奇解的积分曲线族的包络这一几何解释.
2．奇解、包络、C-判别式、P-判别式的定义及问题出
近几年许多学者对常微分方程这方面特别关注,在一阶常微分方程有奇解的条件、常微分方程奇解的求法、摆线的构成和奇解的联系、Cornwall不等式的应用及微分方程的奇解等方面有大量的文章发表,由此可见,人们对微分方程的奇解有了很深的认识.微分方程的奇解在常微分方程的解中具有特殊的地位.
奇解的定义:微分方程的某一个解称为奇解,如果在这个解的每一个点上至少还有方程的另外一个解存在,也就是说奇解是这样的一个解,在它上面的每一个点唯一性都不成立,或者说奇解对应的曲线上每一个点至少有方程的两条积分曲线通过.
包络的定义:设在平面上有一条连续可微的曲线?,q??.在曲线族V?x,y,C??0中都有一条曲线K?C*?通过q点并在该点与?相切,而且K?C*?在q点的某一邻域内不同与?,则称曲线?为曲线族V?x,y,C??0的一支包络.
从奇解和包络的定义容易知道一阶微分方程的通解的包络（如果它存在的话）一定是奇解;反之,微分方程的奇解（若存在的话）也是微分方程的通解的包络.因而,为了求微分方程的奇解,可以先求出它的通解,然后求通解的包络.
对于一阶微分方程,如果此方程有除了通解之外的奇解,则此奇解一定满足两个判别式,即P－判别式和C－判别式.
定理1?1?:设函数F(x,y,p)对(x,y,p)?G是连续的,而且对y和p有连续的偏微
?J)商F'
y和F'
p,若函数y= ?(x) (x是微分方程F(x,y,y')?0的一个奇解,并且?(x)?x. ?(x). ??'G(x?则奇解J)y=?(x)满足一个称之为P-判别式的联立方程F(x,y,p)?0 , F'
p?x,y,p??0其中p?y.
定理2:设微分方程
V(x,y,c)?0有?1?F(x,y,y)?0有通积分V(x,y,c)?0又设积分曲线y= ?(x)满足C－判别式的联y= ?(x) ?x?J?则
立方程 V(x,y,c)?0 ,V'
c(x,y,c)?0.
以上两个定理是奇解的必要条件,也就是说用C－判别式和P－判别式求出的解不一定是微分方程的解,如果是微分方程的解也不一定是奇解,但是在求一阶微分方程的奇解时通常都会采用这两个判别式.由?1?中奇解部分的定理2和定理5知,只要求解是微分方程的解,用P－判别式求出的解满足:
'?F?y(x,y,p)?0 ?'', ??Fpp(x,y,p)?0
用C-判别式求出的解满足非蜕化条件:
???'?C?,?'?C????0,0?? ?, ''???Vx,Vy???0,0?
则此解就是奇解,既然C－判别式和P－判别式是求奇解的方法,那么是不是这两个判别式（C－判别式和P－判别式）对所有一阶微分方程求奇解都有效?
3．几个例子
利用P－判别式和C－判别式对一些一阶微分方程进行求解的运算,看看会出现什么样的结果?
【例1】: 求的奇解?y'??y?x?0 2
解: 令y'?p,利用P－判别式:
?p2?y?x?0; ??2p?0
消去P得y?x,但y?x不是微分方程的解, 所以原方程无奇解.
我们可以发现利用P－判别式求出的解不一定是奇解.那么利用C－判别式所求出的解是不是一定是方程的奇解呢?我们接着看下一个例子.
3?2
【例2】: 求y?y3的奇解. 5'
解:原方程的通解为:y??x?c?
C－判别式为: 35
3??5?0?y??x? ? ; 23???x?c?3?0?5
消去C得y=0,但y=0不是方程的解,所以原方程无奇解.
以上两个例子充分说明了C－判别式和P－判别式是求奇解的必要条件.
xy【例3】: 求微分方程???y?1?y???ye的奇解. '2
解: 原方程的P－判别式为:
2?y?1p2?yexy?0???? ; 2??2p?y?1??0
消去P得y=0
易知y=0是微分方程的解.
而且:
'?F?y(x,y,p)??1?0 ?'' ??Fpp(x,y,p)?2?0
所以y=0是微分方程的奇解.
?1?
'?y?1y: 求??????2【例4】4y. 9
解: 首先我们不难求出微分方程的通积分:
?x?c??y?y?3??0 (?)
由C－判别式:
22?x?c?yy?3????0??（其中C为任意常数）????2?x?c??022
确定二支连续可微的曲线y?0和y?3,对他们分别作如下形式的参数表示式:
?1:x?c y?0????c???
?2: x?c y?3???? c???
容易验证?1满足相应的非蜕化条件:
???'?C?,?'?C????0,0??, ?''???Vx,Vy???0,0?
因此?1是积分曲线族(?)的一支包络,从而它是微分方程的奇解.
而?2不满足相应的非蜕化条件,所以还不能断言?2是否为包络,不过我们
可以利用简单的作图得知?2不是曲线族(?)的包络,因此它不是奇解,虽然它是
微分方程的解.
从例3、例4两题中,可以发现,如果利用P－判别式来求奇解可以直接从方程出发,而如果要用C－判别式需要求出通解,但是无论用哪一判别式要使求得的解为奇解,则此解一定满足:
用P－判别式时满足:
'??Fy(x,y,p)?0; ?''??Fpp(x,y,p)?0
用C－判别式时满足:
???'?C?,?'?C????0,0??. ?''???Vx,Vy???0,0?
对于一些微分方程既能用P－判别式又能用C－判别式求奇解,我们接着看一道例题.
dy?dy?【例5】: 求???x?y?0的奇解． dx?dx?
dy?p,则P-判别式: 解: 法一:令dx
?p2?xp?y?0 ;??2p?x?0?5?2
x2
消去P得y??. 4
法二:方程的通解为y?cx?c2
C－判别式:
篇三：复习计划
复习计划
一、专业课复习思路
1. 关于教材：
(1)选择哪个课本：北师大通常情况下会指定两本教材参考书，考生总是面临选择哪本参考书以及看一本还是看两本的问题，我的答案是根据自己的兴趣特点，在北师大指定的两本参考教材中选择其中一本为主，建议选择本科阶段使用过的那本教材，因为这本教材相对而言比较熟悉，也可以唤起课堂时的记忆，对于复习有极大地好处，如果条件允许另外一本参考教材最好也看一看，考生可以网上购买或者在图书馆借阅的方式，读另一本教材的好处是可以补充一下知识点，这样可以避免考题中出现没有复习到的情况， 在11年的考题中就出现过这样的情况，考题中知识点是一本教材上没有的，对于那些没有看这本教材的就吃了很大的亏，所以选择一本自己喜欢的教材为主线，另一本教材补充性的看看。
(2)课本的利用：很多考生复习时不知道该如何利用教材，更有考生把教材简单的视为例题或者辅导书书使用，这是大错特错的，正确的复习方法是复习过程中一定要以教材为主，因为北师大数学专业对考试内容不会制定大纲，这从某一种程度上增加了考试的难度，使得考生很难把我重点，今年的考题侧重这一块，明年这一块的内容不出现的情况也是有的，所以在复习过程中一定要全面，不要去预感考哪个知识点，但是对于某个知识点，考生可以猜想或者想象一下针对这个知识点可能出现什么题型，怎么考，我怎么答，考生复习过程中要注意一定把基础知识打牢、夯实，不要贪图速度而忽略复习的质量，对于考试要以不变的知识点应万变的题型，抓住课本中讲到的内容，不放过细节，不能存在侥幸心理，侥幸心理可能会使考生在考场上失败。
(3)如何熟悉课本：总会有考生会问我要看几遍课本，看几遍才能考上，请务必注意，考上与否不取决于看了几遍课本而取决于课本上的知识点掌握了多少掌握的怎么样，然而，不得不承认，课本看的次数多对于熟悉课本有很大的帮助，但是，不要贪图次数，要保证看的每一次都很认真，看完之后内容都很清楚，基本要求是这样的，第一遍看课本要求看懂所有的内容并对课后习题做出解答；第二遍看完课本要求对书上的定理足够熟练，明确知识点之间的内在联系，做相应的辅导书，逐块击破；第三遍看完课本要求能对书上的大部分定理给出证明过程并且熟练，能给出针对自身的知识点总结；如果有时间可以再看一遍课本，更加熟悉内容和知识点。
2. 关于辅导书：
辅导书可以分为以下几类：历年真题，针对教材的课外辅导书，下面详细说明数学专业
如何使用这两种辅导书。
(1)历年真题：北师大数学专业的真题公布到07年，也就是说07年后的真题很难弄到，细心的话就能发现为什么07后的真题开始不公布了呢，正是说明07年后考题出现了变化，而且这种变化某种程度上还是比较大的，那么心里就会出现这样的疑问，07年以前的真题岂不是没用了吗，答案当然是不，当然有用，用处就是知识点的覆盖面，因为没有大纲，所以很难知道那些很不重要的内容会不会考，有了真题，这个问题就不难了，如果没有出现在07年以前真题中的知识点，就可以放松警惕了，而把注意力集中在真题中出现过的知识点，如果有07年以后的真题，从这些知识点中可以参考的是考题的难度，不能参考的是知识点，因为今年的重难点明年很可能就不出现了，当然也是可以出现的，所以从07后的真题中只要把握住考题的难度就可以了。
(2)课外辅导书：首先说一下辅导书的选择，在备考的过程中不建议使用吉米多维奇数学分析习题集，辅导书上的题目不要太怪太偏僻，目的是考研，当然要选择适合考研的辅导书，我建议每一门功课都要有至少一本的课外辅导书，但是辅导书多也不是一件好事，众多的辅导书又如何使用呢，针对每一门课程，都要选择一本且仅选择一本参考书为主线，通过这本参考书熟悉知识点，对于这本参考书上的题目最好能够进行总结归类，得到启发，举一反三，最佳的状态就是自己能够通过参考书上题目的启发猜想出可能的考题，不得不说，很多参考书上的题目类型都大同小异，所以，对于其他的参考书遇到相同的类型的题目想完思路直接略过，不必多看，但是对于没出现的题型就要认真做，做好总结，为主线的参考书做补充，只做补充，题型归类在复习中也是很重要的。
二、专业课复习方法
此专业考察内容包括一下几门课程:数学分析、高等代数、常微分方程、概率论与数理统计，毋庸置疑，其中数学分析和高等代数式这些课程的基础，应该最先把握也要把握的最好，相对而言高等代数式比较容易掌握的，数学分析还是有些难度的，常微分方程和概率论数理统计也要得到重视，复习方法就是反复研读教材，在不离开教材的前提下争取多做些参考书。下面详细说明一下具体的复习方法。
首先，在北师大指定的教材参考书中选择一本为主线，另一本为补充，在第一遍复习教材的阶段要仔细研读教材，同时通过07年以前真题的覆盖知识点去判断哪些部分考哪些部分不考，对于每一章的内容都应该予以重视，复习过程中切记一定要全面，不要遗漏知识点，每一章复习结束都要相应做课后习题，并且进行总结，总结包括对知识点的总结、对题型及
解决方法总结，同时标记自己错的地方以及自己认为的重难点，在复习下一章时可以翻翻前面的内容，免得忘记，第一遍复习时要求熟悉知识点和书上的定理，但对于书上的证明过程要求看懂即可。
第二步，在复习完数学分析和高等代数的基础上，可以展开对常微分和概率论的复习了，但同时数学分析和高等代数可以开始看第二遍了，这就要求学员要安排好自己的时间，应对紧张的复习，常微分与概率论的第一遍复习方法与数学分析高等代数同，不过要注意课后习题要选择性的去做，第二遍复习数分高代时要求要更高些，对知识点要熟记，要主动思考知识点之间的内在联系，自己想象可能出现的题型，对于知识点要熟记，定理的证明要更加熟悉。
第三步，在第二遍复习教材过程中要选择参考书使用，在复习完一章或一个知识点后做相应的参考书，翻翻历年真题的难度和考察形式，注意参考书的内容不是所有都适合，选择性的去做，因为我们时间是有限的，不肯能做很多的参考书，只要选择代表性的题目就可以了，同时，要做好总结。
第四步，最后一遍系统的去看教材，这一遍看教材要求学员不仅要熟记知识点，还要熟记重要定理的证明过程，把握各章之间有着怎样的内在联系，教材看三遍以后可能还有些知识点不太熟悉，这时就针对这些知识点各个击破，目的就是熟悉不断的熟悉教材，同时要做相应的题目，看看那些做过的题目现在最有什么新的感受或者方法。
注意：
1.系统看完教材后，复习过程中或在做相关题目时凡是遇到不熟悉的知识点都要拿起课本去查阅；
2.我反复强调总结，事实上总结在复习过程中是非常重要的，它可以使知识点在我们脑海中形成一框架，加深我们的理解；
3.在心态上，千万不能存在侥幸心理，侥幸心理会让我们遗漏知识点，最终在考试中失败。
三、专业课复习重难点
1. 重点
本专业考查内容包括数学分析、高等代数、常微分方程、概率论与数理统计，下面分别介绍一下这几门课程的重点。
(1)数学分析：在数学分析考察中极限、连续、微分、积分、微分中值定理、积分中值
定理、泰勒公式的计算与证明、级数、函数项、函数项级数、级数敛散性判别法、多元函数偏导数、二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分的计算都毫无疑问的是重点，而多元函数极限、连续、梯度等问题也不能忽视，去年在这部分就有相关的题目出现。
(2)高等代数：高代第一章多项式虽然不是重点，但也不排除考察的可能性；行列式，线性方程组、矩阵去年都考察过，题目难度和课后题相近，因此也是重点，同时这几章重要性也在于它是后面几章的基础；二次型、线性空间、线性变换、欧式空间非常重要，同时要注意这几章中定理的证明过程，11年考题中出现过书上定理的证明；第八章07年以前考察过，近几年没有考察，考生还是要研读，不能掉以轻心；最后一章辛空间也要看看。
(3)常微分方程：去年常微分仿考题比较简单，覆盖面很全，重点很难把握，建议学员复习时要全面，比如一阶微分方程的常用解法，变量分离、恰当微分方程、伯努利方程、隐式微分方程、正交轨线、高阶微分方程、微分方程组求解方法、解的存在唯一性定理这些都是很重要的，知识点的应用要灵活。
(4)概率论与数理统计：这门课包括概率论与数理统计两部分，这两部分都很重要，概率论中随机变量分布函数的概念及其性质、离散型与连续型随机变量的概率分布、随机变量函数的分布、常见分布、二维离散型与连续型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布、随机变量的独立性和不相关性都是很重要的；数理统计中随机变量的数学期望、方差、标准差及其性质、随机变量函数的数学期望、切比雪夫不等式、矩、协方差、相关系数及其性质、总体、个体、简单随机样本、统计量、经验分布函数、样本均值、样本方差和样本矩、分位数、正态总体的常用抽样分布、点估计的概念、估计量与估计值 、矩估计法、最大似然估计法都是很重要的，总体来说这门课题目灵活，难度偏大，考生应该重视。
2. 难点
此专业备考复习中的难点就是很难抓住考题的趋势，考题也很灵活。这四门课程都是很难的，而至于今年考题中的难题会落在哪一门课程上市很难把握的，考生要注意对四门功课都应该重视起来。相对而言，数分和概率出题会灵活些，考生在复习过程中要做好准备，每一年题目的侧重点都不一样，这就增加了我们考生在复习过程中的难度，应对的方法就要全面的复习，在熟悉知识点的基础上都做些参考书，拓宽自己的思维，不同的参考书讲述的方式不一样，但是用到的方法可能是相同的，考生复习时要注意别被表相所迷惑，认认真真、踏踏实实的复习，就会取得最后的胜利。
四、专业课参考书目
1. 必需的备考资料
1． 《高等代数》作者：北大数学系几何与代数教研室前代数小组 高等教育出版社 第三版
2． 《高等代数》作者：张禾瑞 郝鈵新高等教育出版社 第四版
3. 《数学分析》作者：华师大 高等教育出版社
4. 《数学分析讲义》 作者：邝荣雨等 北师大出版社
5. 《常微分方程教程》作者：丁同仁、李承志 高等教育出版社
6. 《常微分方程》 作者：王高雄 高等教育出版社
7. 《概率论与数理统计》 作者：严士健、刘秀芳高等教育出版社
8. 《概率论与数理统计教程》 作者：魏宗舒 高等教育出版社
2. 考试资料的选择
本专业重要著作
1． 《数学分析中的典型问题与方法》作者：裴礼文高等教育出版社第二版
2. 《数学分析习题演练》 作者：周民强编著 北京-科学出版社
3． 《高等代数习题集》作者：杨子胥山东科学技术出版社
4. 《高等代数考研教案》 作者：徐仲 西北工业大学出版社 第二版
5. 《常微分方程学习辅导与习题解答》 作者：朱思铭高等教育出版社
6. 《常微分方程学习指导书》作者：王克, 潘家齐高等教育出版社
7. 《常微分方程习题解》 作者：庄万主编 山东科学技术出版社
8. 《概率论与数理统计典型题分析解集》作者：赵选民,师义民西北工业大学出版社
9. 《概率论与数理统计》 作者：李贤平，沈崇圣，陈子毅复旦大学出版社
五、专业课试卷结构
科目名称：专业基础（数学分析、高等代数）
考试时间：8:00—11:00
试卷分值：数学分析85分，高等代数65分
试卷题型：试卷第一部分：数学分析，均以大题形式出现，无选择题，无填空题。 试卷第二部分：高等代数，均以大题形式出现，无选择题，无填空题。
考试注意事项：答题过程中注意心态平稳，遇到不会问题是正常现象，如果没有遇到不会的问题则按顺序答题，如果遇到不会的问题则挑会的题目答题；答题过程中仔细思考，防止落
《常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案》出自：百味书屋
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