篇一：线代第四章习题解答
第四章 空间与向量运算
习题4.1
4-1-1、已知空间中三个点A,B,C坐标如下：A?2,?1,1?,B?3,2,1?,C??2,2,1? （1）求向量,,的坐标，并在直角坐标系中作出它们的图形； （2）求点A与B之间的距离．
解：(1) (1,3,0), (?5,0,0), (4,?3,0)
(2)
AB?
?4-1-2．利用坐标面上和坐标轴上点的坐标的特征，指出下列各点的特殊位置： A?3,4,0?; B?0,4,3? ； C?3,0,0? ；D?0,?1,0? 解： A (3，4，0) 在xoy面上 B（0，4，3）点在yoz面上
C（3，0，0）在x轴上 D（0，－1，0）在y轴上 4-1-6. 设u?a?b?2c,v??3b?c，试用a、b、c表示3u?3v．
解：3u－2v＝3（a－b＋2c）－2（－3b－c）＝3a＋3b＋8c
4-1-7. 试用向量证明：如果平面上的一个四边形的对角线互为平分，那么这个四边形是平行四边形． 解：
设四边形ABCD中AC与DB交于O，由已知AO＝OC，DO＝OB 因为AB＝AO＋OB＝OC＋DO＝DC,AD=AO+OD=OC+BO=BC 所以ABCD为平行四边形。
4-1-8. 已知向量a的模是４，它与轴u的夹角60，求向量a在轴u上的投影．
?
解：.
p
rju
?u)?4*cos60＝4?r?rcos(r
。
3
＝23 2
4-1-9. 已知一向量的终点在点B?2,?1,7?，它在x轴、y轴、z轴上的投影依次为4、-4、7，求这向量起点A的坐标 解： 设起点A为（
x,y,z
）
p
rjx
AB?(2?x0)?4
p
rjy
AB?(?1?
y)??4 p
rjz
AB?(7?z0)?7
解得：
x
??2y?3z0?0
4-1-12. 求下列向量的模与方向余弦，并求与这些向量同方向的单位向量：
（1）a??2,?1,1? ； （2）b??4,?2,2? ； （3）c??6,?3,3? ； （4）d???2,1,?1? ． 解：（1）a＝（2，－1，1）a?
2
2
?(?1)?1
2
2
cos??
22 ??
a36
cos??
?1?26
?? cos?? a6a6
（2）b=(4,-2,2) b?
4
2
?(?2)?2 cos??
2
2
26
? b3
cos??
26?2?b666
? cos?? b0???,?, b6b6b366
（3）c=(6,-3,3) c?
b
2
?(?4)?3 cos??
2
2
236
?
3
cos??
?33?
? 6
cos??
2
336
2
?
6 6
2
（4）d=(-2,1,-1)d?
(?2)?1?(?1)?6
cos??
?2??
6
3
cos??
16
?
d6
cos???d0??{?,,?
66d366
与前三向量单位同的d??{?
6,,?。 366
4-1-13. 设向量的方向余弦满足下列条件：
（1）cos??0； （2） cos??1 ； （3） cos??cos??0 指出这些向量与直角坐标系的坐标轴或坐标平面的关系．
解：
(1)cos??0(2)cos??1
表明向量与x轴垂直；表明向量与y轴平行；
(3)cos??cos??0
量的方向余弦． 解：
表明向量既和x轴垂直又与y轴垂直，即垂直于xoy面。
4-1-14. 设一向量与x轴及y轴的夹角相等，而与z轴的夹角是与x轴夹角的两倍，求这向
设向量的方向余弦为cos?.cos?.cos?。由已知?????2?，又?cos2??cos2??cos2??1
1
2
即cos2??cos2??cos22??1?2cos2??(2cos2??1)2?1?cos??0或cos???111
?方向余弦为{0，0，?1},{?,?,?}。
222
习题 4.2
4-2-1.已知向量a与b的夹角为
?
3
,a?3,b?4，求下列各值：
（1）a?b ； （2）b?b ； （3）?a?b???a?b?； （4）(a?2b)?(3a?b) ；（5）?a?a??b?b?.
解： (1)a?b?abcos??3?4?cos
?
3 (2)b?b?bbcos??4?4?1?16；
2
2
?6；
(3) (a?b)?(a-b)?a?b?9?16??7；
(4) (a-2b)?(3a?b)?3a2?5ab?2b2?27?30?32??35；(5)(a?a)(b?b)?9?16?144；
4-2-2.试在点P?0,1,1?与Q??1,1,2?的联线上确定一点R，使点A?1,0,1?与R的联线垂直于
PQ.
????
解：PQ???1,0,1?，设R坐标为?x,y,z?即??1,0,1???x?1,y,z?1??0
?????????PQ?AR,?????????PQ?AR
?1?x,y,z?1??0 ?R坐标为?1,y,1?。
4-2-3.已知向量a??e1?e2,b?e1?2e2?2e3求a与b的夹角. 解：
a???1,1,0?cos(a?b)?
b??1,?2,2?
a?b?1?1?1?(?2)?0?22
??? ab22?3
?a,b夹角为135?。
4-2-4.试用向量证明三角形的余弦定理.
证明：在?ABC中，建立向量如图，又c?a?b,c2??a?b??a2?b2?2ab.
2
c?a?b?2abcosc
222
4-2-5.已知向量a??1,0,?1?,b???1,?2,1?，求a?b.
?a??1,0,-1
i
a?b?1
j0
b???1,?2,1`?k
?1??2k?2i1
?1?2
4-2-6.已知向量a?2e1?3e2,b?3e2?2e3，求a?b. .解.
a??2,3,0?b??0,3,2?
ijk
a?b?230?6i?4j?6k
032
a?b?62?(?4)2?6?222
、B(1,0,6)、C(4,5,-2)4-2-7.求以A(7,3,4)为顶点的三角形的面积
.
解：由向量积定义，知S?ABC
??????????1???1???
?ABACsin?A?AB?AC22
ijk
????????
?AB?AC??6?32?14i?42j?21k
?3
?S?ABC?
2
6
49??2
4-2-8.设a、b为互相垂直的单位向量，求以c?2a?3b,d?a?4b为邻边的平行四边形面积.
c?dc、d为邻边的平行四边形面积，即
4-2-9.已知向量a、b、c满足a?b?c?0，求证a?b?b?c?c?a.
S?c?d??2a?3b???a?4b?2a?a?8a?b?3b?a?12b?b?a?b?11
证：a?b?a???a?c???a?a?a?c?c?a
4-2-10.已知向量a、b、c、d满足a?b?c?d,a?c?b?d,，求证向量a?d与b?c平行.
?a?d???b?c??a?b?a?c?d?b?d?c?a?b?c?d?a?c?b?d?0证：
故a?b与b?c共线。
、B(1,2,1)、C(2,3,0)与D(5,0,6)在同一平面上. 4-2-11.证明点A(2,-1,-2)
证：???1,3,3???0,4,2???3,1,?4?
?422004?
???,,????18,6,?12? ?2?4?4331?AB?AC?AD???1,3,3????18,?6,?12??0故A、B、C、D四点共面。
4-2-12.证明向量a??e1?3e2?2e3,b?2e1?3e2?4e3与c??3e1?12e2?6e3是共面的.
?
?e1?
??
证：a???1,3,2???e2?
?e??3??e1???
b??2,?3,?4???e2?
?e??3??e1???
c???3,12,6???e2?
?e??3?
??1?
?a?b??c?b??2
??3c?
故a、b、c共面。
a3?312
2??e1??1???
?4??e2??2
??6??3??e3?
3?312
2?4?06
4-2-13.如果a?b?b?c?c?a?0，证明向量a、b、c共面.
证：a?b?c???b?c?c?a??c???b?c??c??c?a??c?0故a、b、c共面。
4-2-14.设向量a??1,0,?1?,b??2,1,0?,c??0,0,1?，计算下列各式：
（1）?a?b??c ； （2）?a?b???a?c?
解：?1??a?b??c
10?1
?210?1001
?2??a?b???a?c?
?0?1?1110??0?1?110???,,,,?????210022101100????
、B（1,2,2)与C?3,?1,4?，4-2-15.四面体的三条棱从点O?0,0,0?连至点A(2,3,1)求四面体
OABC的体积.
解：
篇二：线性代数第四章习题答案
习题四答案
(A)
1． 求下列矩阵的特征值与特征向量:
?3??1
?1??3??
(1) ??
?1
?
(2) ?2
??2?0???1???2?(4) ??4
?10???1??1
???1? (6)?2
??30???
21?2130?14
2?
??2? 1??0??0? 2??
?2
?(3) ??2
?0??4?(5) ??2
?1?
?21?2201
?3
1???2? 5??
解 （1）矩阵A的特征多项式为
?E?A?
??3
1
1
??3
?(??2)(??4)，
所以A的特征值为?1?2,?2?4．
对于?1?2，解对应齐次线性方程组(2E?A)X?O，可得它的一个基础解系为?1?(1,1)
T
，所以A的属于特征值2的全部特征向量为k1?1?k1(1,1)
T
(k1?0为任意常数)．
对于?2?4，解对应齐次线性方程组(4E?A)X?O，可得它的一个基础解系为?2?(1,?1)T，所以A的属于特征值4的全部特征向量为k2?2?k2(1,?1)T (k2?0为任意常数)．
（2）矩阵A的特征多项式为
??1?2?22
?(??1)(??1)(??3)，
?E?A??2
2
??12
??1
所以A的特征值为?1??1，?2?1，?3?3．
对于?1??1，解对应齐次线性方程组(?E?A)X?O，可得它的一个基础解系为?1?(1,?1,0)k1?1?k1(1,?1,0)
T
T
，所以A的属于特征值-1的全部特征向量为
(k1?0为任意常数)．
对于?2?1，解对应齐次线性方程组(E?A)X?O，可得它的一个基础解系为?2?(1,?1,1)k2?2?k2(1,?1,1)
T
，所以A的属于特征值1的全部特征向量为
T
(k2?0为任意常数)．
对于?3?3，解对应齐次线性方程组(3E?A)X?O，可得它的一个基础解系为?3?(0,1,?1)
k3?3?k3(0,1,?1)
TT
，所以A的属于特征值3的全部特征向量为
(k3?0为任意常数)．
(3) 矩阵A的特征多项式为
??220
2?(??2)(??1)(??4)，
?E?A?20
??12
?
所以A的特征值为?1?1，?2?4，?3??2．
对于?1?1，解对应齐次线性方程组(E?A)X?O，可得它的一个基础解系为?1?(2,1,?2)k1?1?k1(2,1,?2)
T
，所以A的属于特征值1的全部特征向量为 (k1?0为任意常数)．
T
对于?2?4，解对应齐次线性方程组(4E?A)X?O，可得它的一个基础解系为?2?(2,?2,1)k2?2?k2(2,?2,1)
TT
，所以A的属于特征值4的全部特征向量为
(k2?0为任意常数)．
对于?3??2，解对应齐次线性方程组(?2E?A)X?O，可得它的一个基础解系为?3?(1,2,2)
k3?3?k3(1,2,2)
T
T
，所以A的属于特征值-2的全部特征向量为
(k3?0为任意常数)．
(4)矩阵A的特征多项式为
??4?2?3
?2?(??1)(??3)，
2
?E?A??21
??12
?
所以A的特征值为?1,2?1（二重），?3?2．
对于?1,2?1，解对应齐次线性方程组(E?A)X?O，可得它的一个基础解系为?1?(1,2,?1)k1?1?k1(1,2,?1)
T
T
，所以A的属于特征值1的全部特征向量为
(k1?0为任意常数)．
对于?3?2，解对应齐次线性方程组(2E?A)X?O，可得它的一个基础解系为?2?(0,0,1)k2?2?k2(0,0,1)
T
T
，所以A的属于特征值2的全部特征向量为
(k2?0为任意常数)．
(5)矩阵A的特征多项式为
??4?2?1
1??(??2)，
2
?E?A?2?1
??3?1
?
所以A的特征值为?1?0，?2,3?2（二重）．
对于?1?0，解对应齐次线性方程组(0E?A)X?O，可得它的一个基础解系为?1?(1,?1,?2)
T
，所以A的属于特征值0的全部特征向量为
T
k1?1?k1(1,?1,?2) (k1?0为任意常数)．
对于?2,3?2，解对应齐次线性方程组(2E?A)X?O，可得它的一个基础解系为?2?(1,?1,0)k2?2?k2(1,?1,0)
T
T
，所以A的属于特征值2的全部特征向量为
(k2?0为任意常数)．
(6)矩阵A的特征多项式为
??4?2?3
?2?(??1)(??3)，
2
?E?A??21
??12
?
所以A的特征值为?1?6，?2,3?2（二重）．
对于?1?6，解对应齐次线性方程组(6E?A)X?O，可得它的一个基础解系为?1?(1,?2,3)k1?1?k1(1,?2,3)
T
T
，所以A的属于特征值6的全部特征向量为
(k1?0为任意常数)．
对于?2,3?2，解对应齐次线性方程组(2E?A)X?O，可得它的一个基础解系为?2?(1,?1,0)
T
，?3?(1,0,1)
T
T
，所以A的属于特征值2的全部特征向量
T
为k2?2?k3?3?k2(1,?1,0)
2． 设A为n阶矩阵，
?k3(1,0,1) (k2,k3为不全为零的任意常数)．
k
(1) 若A?O，且存在正整数k，使得A?O(A称为幂零矩阵)，证明:A的
特征值全为零；
(2) 若A满足A2?A(A称为幂等矩阵)，证明:A的特征值只能是0或1；
(3) 若A满足A2?E(A称为周期矩阵)，证明: A的特征值只能是1或?1． 证明：设矩阵A的特征值为?，对应的特征向量为?，即A????. （1）因Ak???k?，而Ak?O,故?k??O.又因??O，故?k?0，得??0.
（2）因A2???2?，而A2?A,故???A??A2???2?，即
22
(???)??O.又因??O，故????0，得??0或1.
（3）同（2）可得??A??A2???2?，即(?2?1)??O.又因??O，故
2
??1?0，得??1或?1.
3． 设?1,?2分别为n阶矩阵A的属于不同特征值?1和?2的特征向量，证明:?1??2不是A的特征向量．
证明：反证法.若?1??2是A的特征向量，相应的特征值为?，则有
A(?1??2)??(?1??2)，
即A?1?A?2???1???2.又因?1,?2分别为矩阵A的属于特征值?1和?2的特征向量，即A?1??1?1，A?2??2?2，则
??1???
2
???1???2，即(???1)?1?(???2)?2?O.
因?1,?2是矩阵A的属于不同特征值的特征向量,故?1,?2线性无关，于是可得
???1?0,???2?0，即???1??2，矛盾.
4． 证明定理4.4.
若?是n阶矩阵A的特征值，则
m
(1)设f(x)?a0?a1x???amx，则f(?)是f(A)的特征值，其中
f(A)?a0E?a1A???amA
m
(m?N)；
篇三：同济版线性代数第四章习题全解
第四章 向量组的线性相关性
1．设v1?(1,1,0)T,v2?(0,1,1)T,v3?(3,4,0)T, 求v1?v2及3v1?2v2?v3.
解 v1?v2?(1,1,0)T?(0,1,1)T
TT
?(1?0,1?1,0?1)?(1,0,?1)
3v1?2v2?v3?3(1,
?(0,
1,1,
0)?2(0,2)
TT
1,1)?(3,
T
4,
0)
T
T
?(3?1?2?0?3,3?1?2?1?4,
3?0?2?1?0)
2．设3(a1?a)?2(a2?a)?5(a3?a)其中a1?(2,5,1,3)T,
TT
a2?(10,1,5,10),a3?(4,1,?1,1),求a
解由3(a1?a)?2(a2?a)?5(a3?a)整理得
a?
16
(3a1?2a2?5a3)?
T
16
[3(2,5,1,3)
T
?2(10,1,5,10)
T
?5(4,1,?1,1)]
T
?(1,2,3,4)
3．举例说明下列各命题是错误的:
(1)若向量组a1,a2,?,am是线性相关的,则a1可由a2,?am,线性表示. (2)若有不全为0的数?1,?2,?,?m使 ?1a1????mam??1b1????mbm?0
成立,则a1,?,am线性相关, b1,?,bm亦线性相关. (3)若只有当?1,?2,?,?m全为0时,等式 ?1a1????mam??1b1????mbm?0
才能成立,则a1,?,am线性无关, b1,?,bm亦线性无关.
(4)若a1,?,am线性相关, b1,?,bm亦线性相关,则有不全为0的数, ?1,?2,?,?m使?1a1????mam?0,?1b1????mbm?0 同时成立.
解 (1) 设a1?e1?(1,0,0,?,0) a2?a3???am?0
满足a1,a2,?,am线性相关,但a1不能由a2,?,am,线性表示.
(2) 有不全为零的数?1,?2,?,?m使
?1a1????mam??1b1????mbm?0 原式可化为
?1(a1?b1)????m(am?bm)?0
取a1?e1??b1,a2?e2??b2,?,am?em??bm 其中e1,?,em为单位向量,则上式成立,而
a1,?,am,b1,?,bm均线性相关
(3) 由?1a1????mam??1b1????mbm?0 (仅当?1????m?0) ?a1?b1,a2?b2,?,am?bm线性无关 取a1?a2???am?0 取b1,?,bm为线性无关组
满足以上条件,但不能说是a1,a2,?,am线性无关的. (4) a1?(1,0)T a2?(2,0)T b1?(0,3)T b2?(0,4)T
?1a1??2a2?0??1??2?2?
?
? ??1??2?0与题设矛盾. 3
?1b1??2b2?0??1???2?
?4
4．设b1?a1?a2,b2?a2?a3,b3?a3?a4,b4?a4?a1,证明向量组 b1,b2,b3,b4线性相关.
证明设有x1,x2,x3,x4使得 x1b1?x2b2?x3b3?x4b4?0则
x1(a1?a2)?x2(a2?a3)?x3(a3?a4)?x4(a4?a1)?0 (x1?x4)a1?(x1?x2)a2?(x2?x3)a3?(x3?x4)a4?0
(1) 若a1,a2,a3,a4线性相关,则存在不全为零的数k1,k2,k3,k4, k1?x1?x4;k2?x1?x2;k3?x2?x3;k4?x3?x4;
由k1,k2,k3,k4不全为零,知x1,x2,x3,x4不全为零,即b1,b2,b3,b4线性相 关.
?x1??x1
(2) 若a1,a2,a3,a4线性无关,则?
?x2?x?3
?x4?0
?1?
?x2?0?1
??
0?x3?0
??
?x4?0?0
0110
0011
1??
??0??0??????1??x1??x2?
?0 ?x3?x4??
10110
0011
1001
?0知此齐次方程存在非零解
由
100
则b1,b2,b3,b4线性相关.
综合得证.
5．设b1?a1,b2?a1?a2,?,br?a1?a2???ar,且向量组 a1,a2,?,ar线性无关,证明向量组b1,b2,?,br线性无关. 证明 设k1b1?k2b2???krbr?0则
(k1???kr)a1?(k2???kr)a2???(kp???kr)ap???krar?0
因向量组a1,a2,?,ar线性无关,故
?k1?k2???kr?0?1
??
k2???kr?0??0
???
???????????k?0?0?r
?1??
???0
1??k1
??1??k2????????1??kr??0??????0?????? ????????0?
1?1??
???0
11?1
?1?0故方程组只有零解
因为
0?0
则k1?k2???kr?0所以b1,b2,?,br线性无关
6．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:
?25??75(1) ?
75???25
31949432
17535420
43?
?132?
;(2) ?134??48?
?1??0?2???1
1201
2130
25?1431111
1???1?
. ?3???1?17233
43??3?
?5??5?
?25??75
解 (1) ?
75???25?25
r4?r3?
?0~?r3?r2?0
??0
3194943231100
1753542017210
43??25
?r?3r?
1132?2?0 ?~?134r3?3r10
????48?r4?r1?043??3?
?3??0?
所以第1、2、3列构成一个最大无关组.
?1??0(2) ?
2???1
1201
21301200
25?14
21
1??1?r?2r?
1?1?3?0~??03r?r1??4
???1??0
2520
1?
??1?
， ??2??0?
12?20
21?1?2
25?52
1???1?
?1???2?
?1
r3?r2?0
?~?r3?r4?0
??0
?20
所以第1、2、3列构成一个最大无关组．
7．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:
?1??9???2????????2??100???4?
(1) a1??,a2??,a3??; ????1102
????????????44?8??????
TTT
(2) a1?(1,2,1,3),a2?(4,?1,?5,?6),a3?(1,?3,?4,?7). 解 (1) ?2a1?a3?a1,a3线性相关. T?a1?T
由?a2
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秩为2,一组最大线性无关组为a1,a2.
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(2) ?a2
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213??1??~?0?9?9?18? ?0?000??
2?9?5
1?9?5
T
秩为2,最大线性无关组为a1T,a2. 8．设a1,a2,?,an是一组n维向量,已知n维单位坐标向量e1,e2,?,en能 由它们线性表示,证明a1,a2,?,an线性无关. 证明 n维单位向量e1,e2,?,en线性无关
不妨设:
e1?k11a1?k12a2???k1nane2?k21a1?k22a2???k2nan????????????en?kn1a1?kn2a2???knnan
T?e1?T?e2
所以 ?
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????
k12k22?kn2
????
T
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knn???an
?
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TT
两边取行列式，得
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TTT
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T
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k2na2
e1
TT
e2
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由
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a2?
?0
T
knnan
en
T
an
T
即n维向量组a1,a2,?,an所构成矩阵的秩为n 故a1,a2,?,an线性无关.
9．设a1,a2,?,an是一组n维向量,证明它们线性无关的充分必要条件 是：任一n维向量都可由它们线性表示.
证明 设?1,?2,?,?n为一组n维单位向量，对于任意n维向量
a?(k1,k2,?,kn)则有a??1k1??2k2????nkn即任一n维向量都
T
可由单位向量线性表示.
必要性
?
a1,a2,?,an线性无关，且a1,a2,?,an能由单位向量线性表示，即
?1?k11?1?k12?2???k1n?n?2?k21?1?k22?2???k2n?n
????????????
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T?a1?T?a2故?
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两边取行列式，得
《线性代数练习册第四章习题及答案》出自：百味书屋
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