篇一:2016-2017学年新人教版九年级数学上册全册教案【新】
篇二:2016秋九年级数学上册(人教版)教案(全册)
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第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程
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1.通过类比一元一次方程,了解一元二次方程的概念及一般式ax+bx+c=0(a≠0),分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念.
2.了解一元二次方程的解的概念,会检验一个数是不是一元二次方程的解.
重点
通过类比一元一次方程,了解一元二次方程的概念及一般式ax+bx+c=0(a≠0)和一元二次方程的解等概念,并能用这些概念解决简单问题.
难点
一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别.
活动1 复习旧知
1.什么是方程?你能举一个方程的例子吗?
2.下列哪些方程是一元一次方程?并给出一元一次方程的概念和一般形式. 12
(1)2x-1 (2)mx+n=0 (3)+1=0 (4)x=1
x
3.下列哪个实数是方程2x-1=3的解?并给出方程的解的概念.
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A.0 B.1 C.2 D.3
活动2 探究新知 根据题意列方程. 1.教材第2页 问题1. 提出问题:
(1)正方形的大小由什么量决定?本题应该设哪个量为未知数?
(2)本题中有什么数量关系?能利用这个数量关系列方程吗?怎么列方程? (3)这个方程能整理为比较简单的形式吗?请说出整理之后的方程. 2.教材第2页 问题2. 提出问题:
(1)本题中有哪些量?由这些量可以得到什么?
(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系?如果有5个队参赛,每个队比赛几场?一共有20场比赛吗?如果不是20场比赛,那么究竟比赛多少场?
(3)如果有x个队参赛,一共比赛多少场呢?
3.一个数比另一个数大3,且两个数之积为0,求这两个数. 提出问题:
本题需要设两个未知数吗?如果可以设一个未知数,那么方程应该怎么列? 4.一个正方形的面积的2倍等于25,这个正方形的边长是多少? 活动3 归纳概念 提出问题:
(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点?
(3)归纳一元二次方程的概念.
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(2)类比一元一次方程,我们可以给这一类方程取一个什么名字?
1.一元二次方程:只含有________个未知数,并且未知数的最高次数是________,这样的________方程,叫做
一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式是ax+bx+c=0(a≠0),其中ax是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.
提出问题:
(1)一元二次方程的一般形式有什么特点?等号的左、右分别是什么? (2)为什么要限制a≠0,b,c可以为0吗? (3)2x-x+1=0的一次项系数是1吗?为什么?
3.一元二次方程的解(根):使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根). 活动4 例题与练习
例1 在下列方程中,属于一元二次方程的是________. 1122
(1)4x=81;(2)2x-1=3y;(3)2=2;
xx(4)2x-2x(x+7)=0.
总结:判断一个方程是否是一元二次方程的依据:(1)整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项,但是化简后二次项系数为0,这样的方程不是一元二次方程.
例2 教材第3页 例题.
例3 以-2为根的一元二次方程是( )
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A.x2+2x-1=0 B.x2-x-2=0 C.x2+x+2=0 D.x2+x-2=0
总结:判断一个数是否为方程的解,可以将这个数代入方程,判断方程左、右两边的值是否相等. 练习:
1.若(a-1)x+3ax-1=0是关于x的一元二次方程,那么a的取值范围是________. 2.将下列一元二次方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项. (1)4x=81;(2)(3x-2)(x+1)=8x-3. 3.教材第4页 练习第2题.
4.若-4是关于x的一元二次方程2x+7x-k=0的一个根,则k的值为________. 答案:1.a≠1;2.略;3.略;4.k=4. 活动5 课堂小结与作业布置 课堂小结
我们学习了一元二次方程的哪些知识?一元二次方程的一般形式是什么?一般形式中有什么限制?你能解一元二次方程吗?
作业布置
教材第4页 习题21.1第1~7题.
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21.2 解一元二次方程 21.2.1 配方法(3课时) 第1课时 直接开平方法
理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题.
提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax+c=0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex+f)+c=0型的一元二次方程.
重点
运用开平方法解形如(x+m)=n(n≥0)的方程,领会降次——转化的数学思想. 难点
通过根据平方根的意义解形如x=n的方程,将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)=n(n≥0)的方程.
一、复习引入
学生活动:请同学们完成下列各题. 问题1:填空
(1)x-8x+________=(x-________);(2)9x+12x+________=(3x+________);(3)x+px+________=(x+________).
p2p
解:根据完全平方公式可得:(1)16 4;(2)4 2;(3)( .
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问题2:目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元?一元二次方程与一元一次方程有什么不同?二次如何转化成一次?怎样降次?以前学过哪些降次的方法?
二、探索新知
上面我们已经讲了x=9,根据平方根的意义,直接开平方得x=±3,如果x换元为2t+1,即(2t+1)=9,能否也用直接开平方的方法求解呢?
(学生分组讨论)
老师点评:回答是肯定的,把2t+1变为上面的x,那么2t+1=±3 即2t+1=3,2t+1=-3 方程的两根为t1=1,t2=-2
例1 解方程:(1)x+4x+4=1 (2)x+6x+9=2
分析:(1)x+4x+4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x+2)=1. (2)由已知,得:(x+3)=2 直接开平方,得:x+32 即x+3=2,x+3=-2
所以,方程的两根x1=-3+2,x2=-3-2 解:略.
例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m提高到14.4 m,求每年人均住房面积增长率. 分析:设每年人均住房面积增长率为x,一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)
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解:设每年人均住房面积增长率为x, 则:10(1+x)=14.4 (1+x)=1.44
直接开平方,得1+x=±1.2 即1+x=1.2,1+x=-1.2
所以,方程的两根是x1=0.2=20%,x2=-2.2
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因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=-2.2应舍去. 所以,每年人均住房面积增长率应为20%.
(学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么?
共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想”. 三、巩固练习 教材第6页 练习. 四、课堂小结
本节课应掌握:由应用直接开平方法解形如x=p(p≥0)的方程,那么x=±p转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)=p(p≥0)的方程,那么mx+n=±p,达到降次转化之目的.若p<0则方程无解.
五、作业布置
教材第16页 复习巩固1.
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第2课时 配方法的基本形式
理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程,并能熟练应用它解决一些具体问题.
通过复习可直接化成x=p(p≥0)或(mx+n)=p(p≥0)的一元二次方程的解法,引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤.
重点
讲清直接降次有困难,如x+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤. 难点
将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.
一、复习引入
(学生活动)请同学们解下列方程:
(1)3x-1=5 (2)4(x-1)-9=0 (3)4x+16x+16=9 (4)4x+16x=-7 老师点评:上面的方程都能化成x=p或(mx+n)=p(p≥0)的形式,那么可得 x=±p或mx+np(p≥0).
如:4x+16x+16=(2x+4),你能把4x+16x=-7化成(2x+4)=9吗? 二、探索新知
列出下面问题的方程并回答:
(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢? (2)能否直接用上面前三个方程的解法呢?
问题:要使一块矩形场地的长比宽多6 m,并且面积为16 m,求场地的长和宽各是多少?
(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是:前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有此特征.
既然不能直接降次解方程,那么,我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程,下面,我们就来讲如何转化:
x+6x-16=0移项→x+6x=16
两边加(6/2)使左边配成x+2bx+b的形式→x+6x+3=16+9
左边写成平方形式→(x+3)=25降次→x+3=±5即x+3=5或x+3=-5 解一次方程→x1=2,x2=-8
可以验证:x1=2,x2=-8都是方程的根,但场地的宽不能是负值,所以场地的宽为2 m,长为8 m. 像上面的解题方法,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫配方法. 可以看出,配方法是为了降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解. 例1 用配方法解下列关于x的方程: 122
(1)x-8x+1=0 (2)x-2x-=0
2三、巩固练习
教材第9页 练习1,2.(1)(2).
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