篇一：数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第八章
第八章 不定积分
一. 填空题
x
1．若f?(e)?1?x，则f(x)?___________
2．设f(x)的一个原函数为xe，则?xf?(x)dx?_____________ 3．若e
?x
x
是f(x)的一个原函数，则?xf(x)dx?________________
4．若f(x)?1，则f(x)?____________ 5．?max(x,x)dx?___________________
6．若f(x)有原函数xlnx，则?xf??(x)dx?_______________ 7．?
ln(sinx)sin
2
?
3
??
2
x
dx?________________
8．若?
dx(1?2cosx)
2
?
Asinx1?2cosx
?B?
dx1?2cosx
，则A?__________，B?__________
9．设?xf(x)dx?arcsinx?C，则?
dxx(4?x)
lnx?1x
2
dxf(x)
?_________
10．?
?_________________
11．?
dx?_________________
12．?13．?14．?
?a?sin(lnx)?cos(lnx)
n
x
?________________
?f(x)?xf?(x)?dx
dx1?e
x
?________________
?_____________
15．?16．?
xe
x2
(1?x)
dx?_____________________
4sinx?3cosxsinx?2cosx
dx?______________
2
17．已知f?(2?cosx)?sinx?tan
2
x，则f(x)?_______________
18．?
f?(x)1??f(x)?
2
dx?______________
19. 若?f(x)dx?F(x)?C,而u??(x),则?f(u)du?___________. 20设函数f(x)的二阶导数f??(x)连续,那么?xf??(x)dx?__________. 21设f(x)的原函数是
sinxx
,则?xf?(x)dx?__________.
112
22已知曲线y?f(x)上任一点的切线斜率为3x2?3x?6,且x??1时,y?则f(x)?__________;f(x)的极小值是__________.
1?x
2
是极大值,
23已知一个函数的导数为f(x)?,并且当x?1时,这个函数值等于
32
?,则这个函
数为F(x)?__________. 24 设f?(sin
2
x)?cosx(x?1),则f(x)?__________.
2
25 若f(x)为连续函数,且f?(x)?f(x),则?f(x)dx?__________. 26 若(?f(x)dx)??lnx,则f(x)?__________. 27 已知e28
?x
2
是f(x)的一个原函数,则?f(tanx)secxdx?__________.
2
2?f()dx?__________. 2
xx
1?x
29 设f(x)dx??C,则f(x)?__________.
1?x
?
1
?
30 在积分曲线族?二、选择填空题 1．设I?
1xx
dx中,过(1,1)点的积分曲线是y?__________.
?
x
e?1e?1
x
x
，则I?()
A.ln(1?e)?C B.2ln(1?e)?x?C C.x?2ln(1?e)?C D.ln(e?1)?C
2．设f(x)是连续的偶函数，则期原函数F(x)一定是() A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数 D.有一个是奇函数
x
x
x
3．设I1?
?
1?xdx,I2?
?
du，则存在函数u?u(x)，使()
x(1?xex
)
u(1?u)
A.I1?I2?x B.I1?I2?x C.I2??I1 D.I2?I1 4．当n??1时，?xn
lnxdx?() n
n?1
A.x
n
(lnx?
1n
)?C B.
x
n?1(lnx?
1n?1
)?C
n?1
C.1?1
x
n?1
x
n(lnx?
1n?1
)?CD.
n?1
lnx?C
7．?(cosx2
?sin
x2
)dx?()
A.2(sinx?cos
x)?C B.2(cos
xx2
2
2?sin
2)?C
C.sinx?cosx
xx22?C D.cos2
?sin2?C
8．?
x?sinx
1?cosx
dx?()
A.xcotxxxx2?CB.xtan2?CC.x
2cotx?CD.2tan2
?C
9．若f(x)的导函数是e?x
?cosx，则f(x)的一个原函数为()
A.e
?x
?cosxB.?e
?x
?sinxC.?e?x
?cosxD.e
?x
?sinx
10．若f(x)是以l为周期的连续函数，则其原函数()。 A.是以l为周期的函数B.是周期函数，但周期不是l C.不是周期函数D.不一定是周期函数
12．已知函数y?3x2
的一条积分曲线过(1,1)点，则其积分曲线的方程为() A.y?x3
B.y?x3
?1C.y?x3
?2 D.y?x3
?C 13．?xf??(x)dx?() A.xf'(x)?
?
f(x)dx B.xf'(x)?f'(x)?C
C.xf'(x)?f(x)?C D.f(x)?xf'(x)?C 14．sin2x的原函数是()
A.2cos2xB.
12
cos2xC.?cos
2
xD.
12
sin2x
15．若f'(x)为连续函数，则?f'(2x)dx?() A.f(2x)?CB.f(x)?CC.
12
f(2x)?CD.2f(2x)?C
16. 一个函数的原函数如果有的话有( ).
(A) 一个 ； (B) 两个 ； (C) 无穷多个 ； (D) 都不对 .
17. 若?f(x)dx?F(x)?C,且x?at?b,则?f(t)dt?( ). (A) F(x)?c; (B) F(t)?c ;(C)
1a
F(at?b)?C; (D) F(at?b)?C.
18. 设f(x)为可导函数,则( ). (A)
?
f(x)dx?f(x);(B)
?f?(x)dx?
f(x); f(x)?C.
(C) (
?f(x)dx)??
f(x) ;(D) (
?f(x)dx)??
19. 若u,v都是x的可微函数,则?udv?( ). (A) uv?(C) uv?
?vdu ;(B) uv??u?vdu; ?v?du; (D) uv??uv?du.
?x
2
20． 已知f(x)的一个原函数是e(A) ?2xe(C) e
?x
2
,求?xf?(x)dx?( ).
?2xe
2
?x
2?x
2
?C; (B)
2
; f(x)dx..
(?2x?1)?C;(D) xf(x)?
?
21. 已知曲线上任意点的二阶导数y???6x,且在曲线上(0,-2)处的切线为2x?3y?6,则这条曲线的方程为( ).
(A) y?x?2x?2; (B) 3x?2x?3y?6?0; (C) y?x; (D) 以上都不对.
33
3
22. 若f(x)的一个原函数是ln(2x),则f?(x)?( ). (A) ?
1x
2
;(B)
1x
;(C) ln(2x); (D) x?ln2x.
23. 若?df(x)??dg(x),则下列各式中不成立的是( ).
(A) f(x)?g(x); (B) f?(x)?g?(x); (C)df(x)?dg(x); (D) d
?f?(x)dx?d?g?(x)dx.
24. 若f?(x2)?
1x
(x?0),则f(x)?( ).
1x
(A) 2x?C;(B) lnx?C; (C) 2x?C;(D)
f?(lnx)x
?C
25. 若f(x)?e?2x,则?(A)
1x
2
dx?( ).
?C; (B) ?
1x
2
?C; (C) ?lnx?C; (D) lnx?C.
?x
26. 设?f(x)dx?F(x)?C,则?e(A) F(e)?C;(B) F(e
x
f(e
?x
)dx?( ).
?x
)?C;(C)
F(ex
?x
)
?C;(D) ?F(e
?x
)?C.
27. 设sinx是f(x)的一个原函数,则?xf(x)dx?( ).
(A) xsinx?cosx?C; (B) xsinx?cosx?C; (C) xcosx?sinx?C; (D) xcosx?sinx?C.
28. 设f(x)?cosx,则f(x)在区间( )是可积的.
(A) (??,??);(B) [0,??);(C) [??,?];(D) [?1,0.
29. 在计算积分?x
2?xdx时,为使被积函数有理化,可做变换( ).
(A) x?sint; (B) x?tant;
(C) x?sect; (D) t?
3
?x.
30.
?x
2x
2
?2x?5
dx?
?(x?1)
2x?2?2
2
?4
dx?( ).
x?1x?122
?c;(B) lnx?2x?5?arcta?c; (A) lnx?2x?5?2arcta22x?11x?122
?c;(D) lnx?2x?5?arcta?c. (C) lnx?2x?5?2arcta424
三、计算题
1. 求一曲线y=f(x),使它在点(x、f(x))处的切线的斜率为2x,且通过点(2、5). 2. 求下列不定积分:
篇二：数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第二十二章
第二十二章 曲面积分
一、证明题
1.证明:由曲面S所包围的立体V的体积等于
V=
余弦.
2.若S为封闭曲面,L为任何固定方向,则cos?n,L?ds=0
S1?xcos??ycos??zcosr?ds其中cos?,cos?, cpsr3S为曲面S的外法线方向
其中n为曲面S的外法线方向.
3. 证明 公式
???
Vdxdydzr=1cos?r,n?ds 2S
其中S是包围V的曲面,n为S的外法线方向. r=x2?y2?z2,r=(x,y,z).
4.证明: 场A=?yz?2x?y?z?,zs?x?2y?z?, xy?x?y?2z??是有势场并求其势函数.
二、计算题
1.计算下列第一型曲面积分:
(1) ???x?y?z?ds,其中S为上半球面
S
2222x?y?z=az?0;
(2) ???x
S2?y2?ds,其中S为主体x?y22?z?1的边界曲面;
(3) ??
S1x?y22ds,其中S为柱面x2?y2?R2被平面Z=0,Z=H所截取的P分;
(4) ??xyzds
S,其中S为平面在第一卦限中的部分.
2.计算??zds,其中S为圆锥表面的一部分.
S2
?x?rcos?sin??0?r?a?S:?y?rsin?sin? D:? 0???2???z?rcos??
这里θ为常数(0<θ<?
2).
3.计算下列第二型曲面积分
(1)??y?x?z?dydz+x2dzdx+?y2?xz?dxdy,其中S为x=y=z=0,x=y=z=a平成所围成
S
的正方体并取处侧为正向;
(2)???x?y?dydz??y?z?dzdx??z?x?dxdy,其中S是以原点中心,边长为2的正方体
S
表面并取外侧正向;
(3)??xydydz?yzdzdx?zxdxdy,其中S是由平面x=y=z=0和x+y+z=1所围的四面体
S
表面并取外侧为正向;
(4)??yzdzdx,其中S是球面,x2?y2?z2=1的上半部分并取外侧为正向;
S
2(5)??xdydz?ydzdx?zdxdy,其中S是球面?x?a? +?y?b?+?x?c?=R并取222222
S
外侧为正向.
4.设某流体的流速为V=(x,y,0),求单位时间内从球面x2+y2 +z2=4的内部流过球面的流量
5.计算第二型曲面积分
I=??f?x?dydz+g?y?dzdx+h?z?dxdy
S
其中S是平行分面体(0?x?a,0?y?b,0?z?c)表面并取外侧,f(x),g(y),h(z)为S上的连续函数,
6.设磁场强度为E(x,y,z),求从球内出发通过上半球面x2+y2 +z2=a2,z=0的磁通量,
7.应用高斯公式计算下列曲面积分:
(1)
(2) Syzdydz?zxdzds?sydxdy,其中S为单位球面x2+y2+z2=1的外侧; xdydz?ydzds?zdxdy,其中S是立方体0?x,y,z?a的表面取外侧;
xdydz?ydzds?zdxdy,其中S为锥面x2+y2 =z2与平面z=h所围的空间区222222S
S(3)域(0?z?h)的表面方向取外侧;
(4) x
S2dydz?ydzds?zdxdy,其中S是单位球面x2+y2+z2=1的外侧; 33
(5) xdydz
S?ydzds?2dxdy ,其中S为上半球面Z=a2?x2?y2的外侧.
8.应用高斯公式计算三重积分
????xy?yz?zx?dxdydz
V
其中v是由x?0,y?0,0?z?1与x2?y2?所确定的空间区域.
9.应用斯托克斯公式计算下列曲线积分
(1)?y?z?dx+?x2?z2?dy+?x2?y2?dz,其中L为x+y+z=1与三坐标面的交线,它22
L
的走向使新围平面区域上侧在曲线的左侧; (2)xydx?dy?zdz,其中为y2?z2=1,x=y所交的椭圆的正向; L22
(3)?z?y?dx+?x?z?dy+?y?x?dz,其中L是以A(a,0, 0),B(0,a,0),C(0,0,a)为顶点的三角形L
沿ABCA的方向.
10.若L是平面xcos?+ycos?+zcosr－p=0上的闭曲线,它所包围区域的面积为S,求
dx dy dz
Lcos? cos? cosr
x yz
其中L依正向进行.
11.若r=x2?y2?z2,计算?r2,?1
r,?f?r?,?rn(n=3)
12.求u=x2?2y2?3z2+2xy－4y+2y－4z在点0(0,0,0),A(1, 1,1),B(―1,―1,―1)的梯度,并求梯度为零之点.
13.计算下列向量场A的散度和旋度:
(1)A=?y?z,z?x,x?y222222?;
(2)A=?xyz,xyz,xyz222?; (3)A=???x?yzzx,y,z??. xy??
22214.流体流速A=?x,y,z
流量. ?求单位时间内穿过1球面x82+ y+z2=1(x>1,y>0,z>0)的2
15.设流速A=??y,x,c?(c为常数)求环流量
(1)沿圆周x?y=1,z=0;
2(2)沿圆周?x?2??y=1,z=0. 222
三、考研复习题
?u
?x221.证明:若?u=+?u?y22+?u?z22,S为包围区域V的同面的外例,则
(1)????udxdydz=VS?u?nds; (2)u
S?u?nds=??????udxdydz+???u??udxdydz VV
2.设S为光滑闭曲面,V为S所围的区域,在V上与S上函数u(x,y,z)二阶偏导连续,函数W(x,y,z)偏导连续,证明: ?u
?x?w?x(1)???WVdxdydz=uwdydz?
S???Vudxdydz;
(2)???W??udxdydz=WVS?u?nds?????uV??Wdxdydz.
3.设A=r
r3S为一封闭曲面,r=(x,y,z).证明当原点在曲面S外,上,内时分别有
Ads
S=0.2π,4π.
4.证明公式:
f?msin?cos??nsin?sin??Pcos??sin?d?d?
D
=2??fum?u?p?11?222?du
篇三：《数学分析》(华师大二版)课本上的习题6
P.124 习题
1．试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点?，使f?(?)?0：
1??xsin
（1）f(x)??x
??0
解 （1）因为f在[0,理，???(0,
0?x?x?0
1
?， （2）f(x)?|x|?1?x?1
1
1
?
]连续，在([0,
?
1
)可导，且f(0)?f()，所以由Rolle定
?
1
?
)，使得f?(?)?0。
?1x?0
，且f?(0)不存在，故不存在一点?，使f?(?)?0
?1x?0?
3
（2）因为f?(x)??
2．证明：（1）方程x?3x?c?0（这里c为常数）在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根；
32
证明 设f(x)?x?3x?c，由于方程f?(x)?3x?3?0在(0,1)内没有根，所以
（由P.120，例1）方程x?3x?c?0在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根。
（2）方程x?px?q?0（n为正整数）当n为偶数时至多有两个实根；当n为奇数时至多有三个实根。
证明 设f(x)?x?px?q，于是f?(x)?nx奇数，故方程f?(x)?nx
n
n?1n
n?1
n
3
?p?0。当n为偶数时，n-1为
?p?0至多有一个实根（因为幂函数nxn?1?p严格递增），
从而方程x?px?q?0至多有两个实根；
当n为奇数时，n-1为偶数，故由上述证明的关于偶数的结论有：方程
nf?(x)?nxn?1?p?0至多有两个实根，从而方程x?px?q?0当n为奇数时至多有三
个实根。
3．证明：若函数f和g均在区间I上可导，且f?(x)?g?(x)，x?I，则在区间I上
f和g只相差一常数，即f(x)?g(x)?c（c为某一常数）
证明 令F(x)?f(x)?g(x)，则F在区间I上可导，且F?(x)?f?(x)?g?(x)?0，由推论1，存在常数c，使得F(x)?c，即f(x)?g(x)?c
4．证明 （1）若函数f在[a,b]上可导，且f?(x)?m，则f(b)?f(a)?m(b?a) （2）若函数f在[a,b]上可导，且|f?(x)|?M，则|f(b)?f(a)|?M(b?a) （3）对任意实数x1,x2，都有|sinx1?sinx2|?|x2?x1|
证明 因为f在[a,b]上可导，所以f在[a,b]上满足Lagrange中值定理的条件，于是???(a,b)，使得f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)
（1）因为f?(x)?m，所以f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)?m(b?a)，从而有
f(b)?f(a)?m(b?a)
（2）因为|f?(x)|?M，所以|f(b)?f(a)|?|f?(?)|?|b?a|?M(b?a) （3）不妨设x1?x2，正弦函数f(x)?sinx在[x1,x2]上连续，在(x1,x2)可导，于是???(a,b)，使得|sinx1?sinx2|?|cos?|?|x1?x2|?|x2?x1|
5．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式： （1）
b?abb?a
，其中0?a?b ?ln?
baa
证明 设f(x)?lnx，则f在[a,b]上连续且可导，所以f在[a,b]上满足Lagrange中值定理的条件，于是???(a,b)，使得ln
b1
?lnb?lna?f?(?)(b?a)?(b?a)，a?
因为0?a???b，所以
b?ab?ab?ab?abb?a，从而 ???ln?
b?abaa
h2
?arctanh?h，其中h?0 （2）2
1?h
证明 设f(x)?arctanx，则f在[0,h]上满足Lagrange中值定理的条件，于是
???(0,h)，使得arctanh?arctanh?arctan0?f?(?)(h?0)?
h
。因为 2
1??
h2hh
??h，从而?arctanh?h。 0???h，所以2
1?h21??21?h
6．确定下列函数的单调区间：
（1）f(x)?3x?x （2）f(x)?2x?lnx
2
2
x2?1
（3）f(x)?2x?x （4）f(x)?
x
2
解 （1）f?(x)?3?2x，令f?(x)?0，得x?当x?
3 2
33
时，f?(x)?0，f递增；当x?时，f?(x)?0，f递减。 22
14x2?11（2）f的定义域为x?0。f?(x)?4x??，令f?(x)?0，得x?
xx2
当0?x?
11
时，f?(x)?0，f递减；当x?时，f?(x)?0，f递增。
22
1?x2x?x
2
（3）f的定义域为0?x?2。f?(x)?，令f?(x)?0，得x?1
当0?x?1时，f?(x)?0，f递增；当1?x?2时，f?(x)?0，f递减。
1x2?1
?0，故f在其定义域 （4）f的定义域为x?0。f?(x)?1?2?2
xx(??,0)?(0,??)递增。
7．应用函数的单调性证明下列不等式：
x3?
（1）tanx?x?，x?(0,)
33
x3
证明 设f(x)?tanx?x?，则f在x?0连续，且f(0)?0。因为
3f?(x)?sec2x?1?x2?tan2x?x2?0，x?(0,
?
3
)，故f在(0,
?
3
)严格单调递
x3?
增，又因f在x?0连续，于是f(x)?f(0)?0，从而tanx?x?，x?(0,)。
33
（2）
2x
?
?sinx?x，x?(0,2x
?
2
)
2sinxsnix2?
?。设f(x)?则f在x??sinx，?，
??xx?2?xcosx?sinx(x?tanx)cosx?
连续，且f()?0。因为f?(x)?，??0x?(0,)。22
22xx??sinx2?
所以f在(0,)严格单调递减，于是f(x)?f()?0，从而?，x?(0,)。
22x?2
证明 先证
其次证明：sinx?x。设f(x)?x?sinx，则f在x?0连续，且f(0)?0。因为
f?(x)?1?cosx?0，x?(0,
?
2
)。所以f在(0,
?
2
)严格单调递增，又因f在x?0连
续，于是f(x)?f(0)?0，从而x?sinx，x?(0,
?
2
)。
x2x2
?ln(1?x)?x?（3）x?，x?0 22(1?x)
x2x2
?ln(1?x)，x?0。?nl(1?x)，证明 先证：x?令f(x)?x?则f在x?0221?x2
??0，x?0。所以f在x?0严格连续，且f(0)?0。因为f?(x)?1?x?
1?x1?xx2
?ln(1?x)，x?0。单调递减，又因f在x?0连续，于是f(x)?f(0)?0，从而x? 2
x2x2
?ln(1?x)，则其次证明：ln(1?x)?x?，x?0。令f(x)?x?
2(1?x)2(1?x)
2x?x21x2
???0，x?0。且f(0)?0。因为f?(x)?1?f在x?0连续，
2(1?x)21?x(1?x)2
所以f在x?0严格单调递增，又因f在x?0连续，于是f(x)?f(0)?0，从而
x2
ln(1?x)?x?，x?0。
2(1?x)
8．以S(x)记由(a,f(a)), (b,f(b)), (x,f(x))三点组成的三角形面积, 试对S(x)应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理.
证明 因为S(x)?
1?b2x
af(a)1
f(b)1, 若f(x)在[a,b]连续, 在(a,b)可导, 则易见f(x)1
S(x)也在[a,b]连续, 在(a,b)可导, 且S(a)?S(b)?0. 故由罗尔定理知, 存在
??(a,b), 使得S?(?)?0. 而
1?b21a
1
f(b)1?[f?(x)(b?a)?(f(b)?f(a))], 故
2
f?(x)0f(a)
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S?(x)?
f(b)?f(a)?f?(?)(b?a).
P.132习题
1．试问函数f(x)?x,g(x)?x在区间[-1, 1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什么？
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解 因为f?(x)?2x,g?(x)?3x，故当x?0时，f?(0)?0,g?(0)?0，不满足柯
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西中值定理的条件，所以在区间[-1, 1]上不能用柯西中值定理。
2．设函数f在[a,b]上可导，证明：存在??(a,b)，使得
2?[f(b)?f(a)]?(b2?a2)f?(?)
证明 设F(x)?x[f(b)?f(a)]?(b?a)f(x)，则F(x)在[a,b]上连续并可
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《数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第四章》出自：百味书屋
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