篇一：大学数学习题三答案
习题三
1． 确定下列函数的单调区间：
(1) y?2x3?6x2?18x?7；
解：所给函数在定义域(??,??)内连续、可导，且
y??6x2?12x?18?6(x?1)(x?3)
可得函数的两个驻点：x1??1,x2?3,在(??,?1),(?1,3),(3,??)内，y?分别取+，–，+号，故知函数在(??,?1],[3,??)内单调增加，在[?1,3]内单调减少. (2) y?2x?8 (x?0)； x
8，则函数2x解: 函数有一个间断点x?0在定义域外，在定义域内处处可导，且y??2?
有驻点x?2，在部分区间(0,2]内，y??0；在[2,??)内y?>0，故知函数在[2,??)内单调增加，而在(0,2]内单调减少.
(3) y?ln(x?；
解: 函数定义域为(??,??
)，y???0,故函数在(??,??)上单调增加.
(4) y?(x?1)(x?1)3；
解: 函数定义域为(??,??),y??2(x?1)(2x?1)，则函数有驻点: x??1,x?21,在211(??,]内， y??0，函数单调减少；在[,??)内， y??0，函数单调增加. 22
(5) y?xe (n?0,n?0)；
解: 函数定义域为[0,??)，y??nxn?1?xn?xe?xne?x?e?xxn?1(n?x)
函数的驻点为x?0,x?n,在[0,n]上y??0，函数单调增加；在[n,??]上y??0，函数单调减少. (6) y?x?sin2x；
解: 函数定义域为(??,??),
?x?sin2x, x?[nπ,nπ?π
y???], n?Z,
?2
???x?sin2x, x?[nπ?π
2,nπ], n?Z.
1) 当x?[nπ,nπ?π
2]时， y??1?2cos2x，则
y??0?cos2x??1
2?x?[nπ,nπ?π
3]；
y??0?cos2x??ππ
2?x?[nπ?π
3,nπ?2].
2) 当x?[nπ?π
2,nπ]时， y??1?2cos2x，则
y??0?cos2x?1π
2?x?[nπ?π
2,nπ?6]
y??0?cos2x?1π
2?x?[nπ?6,nπ]. 综上所述，函数单调增加区间为[kπkππ
2,2?3] (k?z)， 函数单调减少区间为[kππkπ
2?3,2?π
2] (k?z).
(7) y?(x?2)5(2x?1)4.
解: 函数定义域为(??,??).
y??5(x?2)4(2x?1)4?4(x?2)5(2x?1)3?2
?(2x?1)3(18x?11)(x?2)4 函数驻点为x1??1
2,x11
2?18,x3?2, 在(??,?1
2]内， y??0,函数单调增加， 在[?1
2,11
18]上， y??0,函数单调减少， 在[11
18,2]上， y??0,函数单调增加，
在[2,??)内， y??0,函数单调增加.
故函数的单调区间为: (??,?1]，[?1
22,11
18]，[11
18,??).
2. 证明下列不等式:
(1) 当0?x?π时， sinx?tanx?2x; 2
(1?cosx)(cos2x?cosx?1)证明: 令f(x)?sinx?tanx?2x,则f?(x)?, cos2x
π时， f?(x)?0,f(x)为严格单调增加的函数，故f(x)?f(0)?0, 2
即sin2x?tanx?2x. 当0?x?
x2
. (2) 当0?x?1时， e?sinx?1?2?x
x2
证明: 令f(x)=e?sinx?1?,则f?(x)=?e?x?cosx?x, 2?x
f??(x)=e?x?sinx?1?e?x?(sinx?1)?0,则f?(x)为严格单调减少的函数,故f?(x)?f?(0)?0,即f(x)为严格单调减少的函数,从而f(x)?f(0?),0即
x2
e?sinx?1?. 2?x
3. 试证:方程sinx?x只有一个实根.
x)?cosx1?0,?证明:设f(x)?sinx?x，则f(f(x)为严格单调减少的函数，因此f(x)
至多只有一个实根.而f(0)?0，即x?0为f(x)的一个实根，故f(x)只有一个实根x?0，也就是sinx?x只有一个实根.
4. 求下列函数的极值:
(1) y?x?2x?3；
解: y??2x?2,令y??0，得驻点x?1.
又因y???2?0，故x?1为极小值点，且极小值为y(1)?2.
(2) y?2x?3x；
解: y??6x?6x,令y??0，得驻点x1?0,x2?1, 2322
y???12x?6,y??x?0?0,y??x?1?0,
故极大值为y(0)?0，极小值为y(1)??1.
(3) y?2x?6x?18x?7； 32
解: y??6x2?12x?18?6(x?3)(x?1),
令y??0，得驻点x1??1,x2?3.
y???12x?12,y??x??1?0,y??x?3?0,
故极大值为y(?1)?17，极小值为y(3)??47.
(4) y?x?ln(1?x)；
解: y??1?1?0，令y??0，得驻点x?0. 1?x
y???1,y??x?0?0,故y(0)?0为极大值. 2(1?x)
(5) y??x4?2x2；
解: y???4x3?4x?4x(1?x2)，
令y??0，得驻点x1??1,x2?0,x3?1.
y????12x2?4, y??x??1?0,y??x?0?0,
故y(?1)?1为极大值，y(0)?0为极小值.
(6) y?x
解
: y??13,令y??0，得驻点x1?,且在定义域(??,1]内有一不可导点x2?1，433335时， y??0;当x?时， y??0,故x1?为极大值点，且极大值为y()?. 44444因为函数定义域为x?1，故x?1不是极值点.
当x?
(7) y?；
解
: y??,令y??0，得驻点x?12. 5
当x?121212时， y??0；当x?，y??0,
故极大值为y()?5553x2?4x?4(8) y?； x2?x?1
解: y?3?x?1?x(
x2?x?1,y??x?2)
(x2?x?1)2,
令y??0，得驻点x1??2,x2?0. ???(?2x?2)(x2?x?1)?2(2x?1)(x2y?2x)
(x2?x?1)3
y??x??2?0,y??x?0?0,
故极大值为y(0)?4，极小值为y(?2)?8
3.
(9) y?excosx；
解: y??ex(cosx?sinx),
令y??0，得驻点xπ
k?kπ?4(k?0,?1,?2,?).
y????2exsinx，y??x?2kπ?π?0,y??x?(2k?1)π?π?0， 44
π2kπ?π
故x2k?2kπ?
4 为极大值点，其对应的极大值为y(x2k)?24; xk?1)π?
π(2k?1)π?π2k?1?(24
4 为极小值点，对应的极小值为y(x2k?1)??2. 1
(10) y?xx；
1
解: y??xx(111?lnx
xlnx)??xx
x2,
令y??0，得驻点x?e.
当x?e时， y??0，当x?e时， y??0, 1
故极大值为y(e)?ee.
(11) y?2ex?e?x；
解: y??2ex?e?x,令y??0，得驻点x??ln2
2.
y???2ex?e?x,y??x??ln2?0,
2
篇二：大学数学习题十一答案
阿习题十一
1．设L为xOy面内直线x=a上的一段，证明：?P?x,y?dx?0其中P(x,y)在L上连续．
L证：设L是直线x=a上由(a,b1)到(a,b2)这一段， 则 L：?
?x?a?y?t
b1?t?b2，始点参数为t=b1，终点参数为t=b2故
?
L
P?x,y?dx?
?
b2b1
?da?
P?a,t????dt?
dt??
?
b2b
P?a,t??0dt?0
2．设L为xOy面内x轴上从点(a,0)到点(b,0)的一段直线，证明：?P?x,y?dx?
L
?
ba
P?x,0?dx，
其中P(x,y)在L上连续． 证：L：?
?x?x?y?0
a?x?b，起点参数为x=a，终点参数为x=b．
故?P?x,y?dx?
L
?
ba
P?x,0?dx
3．计算下列对坐标的曲线积分：
(1)??x2?y2?dx，其中L是抛物线y=x2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；
L
222
(2)?其中L为圆周(x-a)+y=a(a>0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界xydx?
L
(按逆时针方向绕行)；
(3)?ydx?xdy，其中L为圆周x=Rcost，y=Rsint上对应t从0到的一段弧；
L
π
2
(4)??
?x?y?dx??x?y?dy
x?y
2
2
L
，其中L为圆周x2+y2=a2(按逆时针方向绕行)；
(5)?x2dx?zdy?ydz，其中Γ为曲线x=kθ，y=acosθ，z=asinθ上对应θ从0到π的
?
一段弧；
(6)?x3dx?3zy2???x2y?dz，其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线；
?
(7)?C依次为点（1,0,0），(0,1,0)，?dx?dy?ydz，其中Γ为有向闭拆线ABCA，这里A，B，
L
(0,0,1)；
(8)??x2?2xy?dx??y2?2xy?dy，其中L是抛物线y=x2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧．
L
解：(1)L：y=x，x从0变到2，
2
261
2
??x
2
2
L
?y
2
?dx??
2?x?x4
?dx??1
1?560
?x3?x5?3
5???
?015(2)如图11-1所示，L=L1+L2．其中L1的参数方程为
图11-1
?x?a?acost
?
0?t?π
?y?asint
L2的方程为y=0(0≤x≤2a)
故 ??L
xydx?
?Lxydx?
1?
Lxydx
2
??π0a?1+cost?asint??a?acost??dt??
2a0
0dx
?
?
π0
a
3
??sin2
t??1?cost?dt
??a3??
π2
sintdt?
?
π2
sintdsint
?
??
π2
a
3
π
(3)?ydx?xdy?
2L
?
0??Rsint??Rsint??RcostRcost??dt
π
?R
2
?
20
cos2tdt
π
?R2?1
?2?sin2t?2?
?0?0
(4)圆周的参数方程为：x=acost，y=asint，t:0→2π． 故 ??
?x?y?dx??x?y?dy
L
x2
?y
2
?1a2
?
2π0???acost?asint???asint???acost?asint?acost??dt
?
1
2π
2
a
2
?0
??a?dt
??2π
262
(5)
?2
?
xdx?zdy?ydz
??π
2
20
?k
??k?asin??a??sin???acos?acos??d?
?
?π
3
2
2
?k
??a
?d?
??1π
3?3?a2???k?3??0?13
3
kπ3
?a2
π
?x?3t
(6)直线Γ
的参数方程是?
?y?2t t从1→0．
??
z?t故
?3
2
2
?x
dx?3zydy???xy?dz
??0
?1?27t3?3?3t?4t2?2???9t2?2t???dt?
?
87t3
1
dt10?87?4
t
41
??
874
(7)??AB?BC?CA(如图11-2所示
)
图11-2
AB:?y?1?x
?
?
z?0，x从0→1 ?
AB
dx?dy?ydz?
?
1
??1???1???dx??2．
BC:?x?0
?
，z从0→1 ?
y?1?z 263
?
dx?dy?ydz?
1?zBC
?
1??0???1??????dz
?
?1
?2?z?dz
??
11
2??2z?z?2?
?0?3
2
CA:?y?0
?
，?
z?1?xx从0→1 ?
1
CA
dx?dy?ydz?
??1?0?0?dx?1．
故
??
dx?dy?ydz
L
?
??
?dx?dy?ydz
AB?
?BC?
CA
????2??
312
?1?
2
(8)
??x
2
?2xydx?2
xyL
??y?2?dy
??1
?2
?2x?x
2
2
2x??1??
x???x
4
?2x?x
???
dx?
?1
?x
2
?2x3
?2x5
?4x
4
?1
?dx
??
1415
4．计算??x?y?dx??y?x?dy，其中L是
L
(1)抛物线y2=x上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；
(2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段；
(3)先沿直线从(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线；(4)曲线x=2t2+t+1,y=t2+1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧．
解：(1)L：??
x?y2
，y：1→2，故
?y?y
?L
?x?y?dx??y?x?dy
??2
?y2
1
??
?y??2y??y?y2
??1??
dy?
?2
3
?y2
?y?dy
1
?2y
2
??141312?
?2y?y?y?32?
?1?343
(2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x=3y-2，y：1→2
264
故
??x?y?dx??y?x?dy
L
??
??3y?2?y??3??y?3y?2???dy??
1
2
??10y?4?dy
1
2
2
2
????5y?4y?1
?11
(3)设从点(1,1) 到点(1,2)的线段为L1，从点(1,2)到(4,2)的线段为L2，则L=L1+L2．且
L1：?
?x?1?y?y
，y：1→2；L2：?
?x?x?y?2
，x：1→4；
故
??x?y?dx??y?x?dy
L1
??
??1?y??0??y?1???dy??
1
2
?
2
1
?y2?
?y?1?dy???y?
?2?1
2
?
12
??x?y?dx??y?x?dy
L2
???
??x?2???2?x??0??dx??
1
4
?
4
1
2??1
?x?2?dx???x?2??
?2?1
4
272
从而
??x?y?dx??y?x?dy
L
??
??
12
L1
??
L2
??x?y?dx??y?x?dy
?14
?
272
(4)易得起点(1,1)对应的参数t1=0，终点(4,2)对应的参数t2=1，故
??x?y?dx??y?x?dy
L
2
??
3t????
1
2
?t?2??4t?1????t?t??2t?dt
??5t?9t?2?dt
2
1
??10t
1
3
?1045392???t?t?t?2t?
32?4?0?323
5．设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由(a,0)
沿椭圆移动到B(0,b)，求力所做的功．
265
篇三：大学数学习题七答案
习题七
1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A(1,2,3);B(-2,3,4);C(2,-3,-4); D(3,4,0);E(0,4,3); F(3,0,0).
解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；
点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.
2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？ 答: 在xOy面上的点，z=0;
在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0.
3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？ 答：x轴上的点，y=z=0;
y轴上的点，x=z=0;
z轴上的点，x=y=0.
4. 求下列各对点之间的距离：
（1） （0，0，0），（2，3，4）；（2） （0，0，0）， （2，-3，-4）； （3） （-2，3，-4），（1，0，3）； （4） （4，-2，3）， （-2，1，3）. 解：（1
）s?
(2) s?(3) s?(4) s?
?
?
?
?.
5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.
解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故
s0?
sx?
?
?
sy?
sz?
?
?5.
6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则
(?4)?1?(7?z)?3?5?(?2?z)
2
2
2
2
2
2
解得z?
149
149
即所求点为M（0，0，）.
153
7. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.
证明：因为|AB|=|AC|=7.且有
222
|AC|+|AB|=49+49=98=|BC|. 故△ABC为等腰直角三角形. 8. 验证：(a?b)?c?a?(b?c). 证明：利用三角形法则得证.见图
7-1
图7-1
9. 设u?a?b?2c, v??a?3b?c.试用a, b, c表示2u?3v. 解：
2u?3v?2(a?b?2c)?3(?a?3b?c)
?2a?2b?4c?3a?9b?3c?5a?11b?7c
10. 把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接，试
????????????????????????????
以AB?c，BC?a表示向量D1A,D2A,D3A和D4A.
??????????????1解：D1A?BA?BD1??c?a
5
??????????????2D2A?BA?BD2??c?a
5
??????????????3D3A?BA?BD3??c?a
5
??????????????4D4A?BA?BD4??c?a.
5
?????
11. 设向量OM的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影.
解：设M的投影为M?，则
??????????1
PrjuOM?OMcos60??4??2.
2
12. 一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A的坐标.
解：设此向量的起点A的坐标A(x, y, z)，则
????
AB?{4,?4,7}?{2?x,?1?y,7?z}
解得x=-2, y=3, z=0
故A的坐标为A(-2, 3, 0).
154
13. 一向量的起点是P1（4，0，5），终点是P2（7，1，3），试求：
??????????
（1） P1P2在各坐标轴上的投影；（2） P1P2的模；
??????????
（3） P1P2的方向余弦； （4） P1P2方向的单位向量. ?????
解：（1）ax?PrjxP1P2?3, ?????
ay?PrjyP1P2?1,
?????
az?PrjzP1P2??2.
?????(2) P1P2?
?
ax
(3) cos???
P1P2ay
cos???
P1P2
3
azcos??
?
P1P2
?????
P1P2(4) e0???P1P2
?
j?
.
14. 三个力F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R的大小和方
向余弦.
解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）
|R
|?cos??
? cos??
cos??
15. 求出向量a= i +j+k, b=2i-3j+5k和c =-2i-j+2k的模，并分别用单位向量ea,eb,ec来表达向量a, b, c.
解：|a
|??
|b
|?|c
|?
?
?3
a?
a, b?b, c?3ec.
155
16. 设m=3i+5j+8k, n=2i-4j-7k, p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量.
解：a=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k 在x轴上的投影ax=13,在y轴上分向量为7j.
17. 向量r与三坐标轴交成相等的锐角，求这向量的单位向量er. 解：因?????,故3cos2??
1 ,cos??
3
, cos???
3
（舍去）
则er?{cos?,cos?,cos?}?3
3
3
?
3
i?j?k).
????????????
18. 已知两点M1（2，5，-3），M2（3，-2，5），点M在线段M1M2上，且M1M?3MM2，求?????
向径OM的坐标.
?????
解：设向径OM={x, y, z}
??????
M1M?{x?2,y?5,z?3}
??????
MM2?{3?x,?2?y,5?z}
????????????
因为，M1M?3MM2
11?x??4x?2?3(3?x)??
1??
所以，?y?5?3(?2?y) ? ?y??
4?z?3?3(5?z)?
??z?3
??
?????111
故OM={,?,3}.
44
????236
19. 已知点P到点A（0，0，12）的距离是7，OP的方向余弦是,,，求点P的坐标.
777
????
2222
解：设P的坐标为（x, y, z）, |PA|?x?y?(z?12)?49
得x?y?z??95?
24z cos??
222
?
67
? z1?6, z2?
57049
又cos??
?
27
? x1?2, x2?
19049
156
cos??
?
37
? y1?3, y2?
28549
故点P的坐标为P（2，3，6）或P（20. 已知a, b的夹角??
2π3
190285570
）. ,,
494949
，且a?3,b?4，计算：
(1) a·b; (2) (3a-2b)·(a + 2b). 解：（1）a·b =cos??|a|?|b|?cos
2π3
?3?4??
12
?3?4??6
(2) (3a?2b)?(a?2b)?3a?a?6a?b?2b?a?4b?b
?3|a|?4a?b?4|b|
2
2
?3?32?4?(?6)?4?16
??61.
21. 已知a =(4,-2, 4), b=(6,-3, 2),计算：
（1）a·b; (2) (2a-3b)·(a + b)； （3）|a?b|2 解：（1）a?b?4?6?(?2)?(?3)?4?2?38 (2) (2a?3b)?(a?b)?2a?a?2a?b?3a?b?3b?b
?2|a|?a?b?3|b|
2
2
2
2
2
2
2
2
?2?[4?(?2)?4]?38?3[6?(?3)?2] ?2?36?38?3?49??113
(3) |a?b|?(a?b)?(a?b)?a?a?2a?b?b?b?|a|?2a?b?|b|
?36?2?38?49?9
222
????22. 已知四点A（1，-2，3），B（4，-4，-3），C（2，4，3），D（8，6，6），求向量AB在
????
向量CD上的投影.
????????
解：AB={3，-2，-6}，CD={6，2，3}
????????????AB?CD4????AB?PrjC???.
D7CD23. 设重量为100kg的物体从点M1(3, 1, 8)沿直线移动到点M2（1，4，2），计算重力所作
的功（长度单位为m）. 解：取重力方向为z轴负方向， 依题意有
f ={0,0, -100×9.8}
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