篇一：因式分解比过知识点和经典习题(含答案)
因式分解比过知识点和经典习题（含答案）
第二模块——必过知识点梳理
知识点:
一. 分解因式
1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,.
2. 因式分解与整式乘法是互逆关系.
因式分解与整式乘法的区别和联系:
(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;
(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.
二. 提公共因式法
1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.
如: ab?ac?a(b?c)
2. 概念内涵:
(1)因式分解的最后结果应当是“积”;
(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;
(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: ma?mb?mc?m(a?b?c)
3. 易错点点评:
(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;
(2)公因式是否提“干净”;
(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.
三. 运用公式法
1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.
2. 主要公式:
(1)平方差公式: a?b?(a?b)(a?b)
(2)完全平方公式: a?2ab?b?(a?b) 22222
a2?2ab?b2?(a?b)2
3. 易错点点评:
因式分解要分解到底.如x4?y4?(x2?y2)(x2?y2)就没有分解到底.
4. 运用公式法:
(1)平方差公式:
①应是二项式或视作二项式的多项式;
②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;
③二项是异号.
(2)完全平方公式:
①应是三项式;
②其中两项同号,且各为一整式的平方;
③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍.
5. 因式分解的思路与解题步骤:
(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;
(2)再看能否使用公式法;
(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;
(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;
(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.
四. 分组分解法:
1. 分组分解法:.
如: am?an?bm?bn?a(m?n)?b(m?n)?(a?b)(m?n)
2. 概念内涵:
分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.
3. 注意: 分组时要注意符号的变化.
五. 十字相乘法:
1.对于二次三项式ax?bx?c,将a和c分别分解成两个因数的乘积,a?a1?a2 , c?c1?c2, 且满足
ac1
c22b?a1c2?a2c1,往往写成
2a2 的形式,将二次三项式进行分解. 如: ax?bx?c?(a1x?c1)(a2x?c2)
2. 二次三项式x2?px?q的分解:
p?a?b
3. 规律内涵: q?ab1 a 1bx2?px?q?(x?a)(x?b)
(1)理解:把x2?px?q分解因式时,如果常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p的符号相同.
(2)如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p.
4. 易错点点评:
(1)十字相乘法在对系数分解时易出错;
(2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.
第二模块——典型例题精讲
例1. x?16y
例2. (x?3y)?4x
2244
1221x?xy?y2
33 例3. 3
例4. 25m?20m(m?3n)?4(m?3n)
例5. 分解因式16a?4b?12bc?9c
精析：后三项提负号后是完全平方式。和原来的16a2正好可继续用平方差公式分解因式。
解：16a?4b?12bc?9c
22222222
?16a?(4b?12bc?9c)
?(4a)?(2b?3c)
?(4a?2b?3c)(4a?2b?3c)
点评：分组时，要注意各项的系数以及各项次数之间的关系，这一点可以启示我们对下一步分解的预测是提公因式还是应用公式等。
b. 用整体思想分解因式
在分解因式时，要建立一种整体思想和转化的思想。 22222
篇二：4.16.1因式分解知识点和经典习题(含答案)
因式分解知识点和经典习题（王一恒专用）
知识点:
一. 分解因式
1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.
2. 因式分解与整式乘法是互逆关系.
因式分解与整式乘法的区别和联系:
(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;
(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.
二. 提公共因式法
1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.
如: ab?ac?a(b?c)
2. 概念内涵:
(1)因式分解的最后结果应当是“积”;
(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;
(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: ma?mb?mc?m(a?b?c)
3. 易错点点评:
(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;
(2)公因式是否提“干净”;
(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.
三. 运用公式法
1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式..
2. 主要公式:
(1)平方差公式: a?b?(a?b)(a?b)
(2)完全平方公式: a?2ab?b?(a?b) 22222
a2?2ab?b2?(a?b)2
3. 易错点点评:
因式分解要分解到底.如x?y?(x?y)(x?y)就没有分解到底.
442222
4. 运用公式法:
(1)平方差公式:
①应是二项式或视作二项式的多项式;
②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;
③二项是异号.
(2)完全平方公式:
①应是三项式;
②其中两项同号,且各为一整式的平方;
③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍.
5. 因式分解的思路与解题步骤:
(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;
(2)再看能否使用公式法;
(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;
(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;
(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.
四. 分组分解法:
1. 分组分解法:.
如: am?an?bm?bn?a(m?n)?b(m?n)?(a?b)(m?n)
2. 概念内涵:
分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.
3. 注意: 分组时要注意符号的变化.
五. 十字相乘法:
1.对于二次三项式ax?bx?c,将a和c分别分解成两个因数的乘积,a?a1?a2 , c?c1?c2, 且满足
ac1
c22b?a1c2?a2c1,往往写成
2a2 的形式,将二次三项式进行分解. 如: ax?bx?c?(a1x?c1)(a2x?c2)
2. 二次三项式x?px?q的分解: 2
p?a?b
3. 规律内涵: q?ab1 a 1bx2?px?q?(x?a)(x?b)
(1)理解:把x2?px?q分解因式时,如果常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p的符号相同.
(2)如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p.
4. 易错点点评:
(1)十字相乘法在对系数分解时易出错;
(2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.
典型例题精讲
44x?16y例1.
例2. (x?3y)?4x
22
1221x?xy?y2
33 例3. 3
例4. 25m?20m(m?3n)?4(m?3n)
222分解因式16a?4b?12bc?9c例5. 22
点评：分组时，要注意各项的系数以及各项次数之间的关系，这一点可以启示我们对下一步分解的预测是提公因式还是应用公式等。
b. 用整体思想分解因式
在分解因式时，要建立一种整体思想和转化的思想。
巩固提升
一. 填空题
1. 12xy?18xy的公因式是___________
2. 分解因式：2x?18x?__________
22 3. 若A?3x?5y，B?y?3x，则A?2A?B?B?_________ 3323
4. 若x?6x?t是完全平方式，则t＝________
5. 因式分解：9a?4b?4bc?c?_________
6. 分解因式：ac?4abc?4abc?_________ 3222222
7. 若|x?2|?x2?xy?12y?04，则x＝_______，y＝________
22 8. 若a?99，b?98，则a?2ab?b?5a?5b?_________
.?0125.?0125.?4798.?________9. 计算12798
10. 运用平方差公式分解：a－_______＝（a＋7）（a－_____）
24x? 11. 完全平方式2?9y2?()2
222 12. 若a、b、c，这三个数中有两个数相等，则a(b?c)?b(c?a)?c(a?b)?_________
13. 若a?b?5，ab??14，则a?ab?ab?b?__________ 3223
二. 选择题
14. 下列各式从左到右的变形为分解因式的是（ ）
A. 18xy?3xy?6B. (m?2)(m?3)?m?m?6
C. x?8x?9?(x?3)(x?3)?8xD. m?m?6?(m?2)(m?3)
15. 多项式?3xy?6xy?3xy提公因式?3xy后另一个多项式为（ ）
A. x?2y B. x?2y?1 C. x?2y D. x?2y?1
16. 下列多项式中不含有因式(x?1)的是（ ）
A. 2x?3x?1B. x?4x?5 C. x?8x?7 D. x?x?6
3222323222222
篇三：初三6-2-因式分解知识点、经典例题及练习题带答案
环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义
讲义编号： GE—ZBM 副校长/组长签字： 签字日期：
【考纲说明】
1、掌握因式分解的几种常用方法。
2、本部分在中考中占3分左右。
【趣味链接】
托尔斯泰割草问题
割草队要割两块草地，其中一块比另一块大一倍．全队在大块草地上割了半天后，分为两半，一半继续留在大块
草地上，另一半转移到小块草地上．留下的人到晚上就把大块草地全割完了，而小块草地上还剩一小块未割．第二天，这剩下的一小块，一个人花了一整天时间才割完．问割草队共有多少人？
【知识梳理】
一、基本概念
1、因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
注： (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形.
(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.
2、公因式：
1
一个多项式中各项都含有的相同的因式,叫做这个多项式的公因式.
3、提公因式法： 把一个多项式中的公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法.
二、因式分解方法总结
1. 方法规律：
一个多项式各项的公因式必须由三部分组成：
(1)、各项整数系数的最大公约数；
(2)、各项相同的字母；
(3)、相同因式的指数取最小次数. 2. 解题方法：
(1)、用提公因式法分解因式后，剩下因式不能再有公因式；
(2)、公因式提出后，剩下的因式的求法：用公因式去除多项式各项，所得商即为另一个因式.
3. 方法技巧：
(1)、用提公因式法分解因式的一般步骤：
○1 确定公因式
○2 把公因式提到括号外面后，用原多项式除以公因式所得商作为另一个因式.
(2)、为了检验分解因式的结果是否正确，可以用整式乘法运算来检验.
三、公式法
1．因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式
分解因式，它与整式乘法互为逆运算.
2．提公因式法；
（1）多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.
（2）公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；
②字母：各项都含有的相同字母；
③指数：相同字母的最低次幂.
3．公式法：
（1）常用公式 平 方 差： a?b?(a?b)(a?b)
完全平方： a?2ab?b?(a?b)
（2）常见的两个二项式幂的变号规律：
①(a?b)
四、十字相乘法 2n22222?(b?a)2n； ②(a?b)2n?1??(b?a)2n?1．（n为正整数）
2
（1）二次项系数为1的二次三项式x
一次项系数2?px?q中，如果能把常数项q分解成两个因式a、b的积，并且a?b等于p的值，那么它就可以把二次三项式x2?px?q分解成
x2?px?q?x2??a?b?x?ab??x?a??x?b?
（2）二次项系数不为1的二次三项式ax2?bx?c中，如果能把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积，把常数
?a2c1等于一次项系数b的值，那么它就可以把二次三项式项c分解成两个因数c1,c2的积，并且a1c2
ax2?bx?c分解成：
ax2?bx?c?a1a2x2??a1c2?a2c1?x?c1c2??a1x?a??a2x?c2?.
五、分组分解法
（1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如a2?b2?a?b，既没有公因式，又不能直接利用公式法分
解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。
例如：
a2?b2?a?b=(a?b)?(a?b)?(a?b)(a?b)?(a?b)?(a?b)(a?b?1)，
这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
（2）原则：分组后可提取公因式或可以直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。
（3）注意：有些多项式在用分组分解法时，分组的方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。 22
【经典例题】
【例1】（2011银川）下列从左到右的变形，属于因式分解的有（ ）
A、（x+3）(x－2)=x2+x－6
C、8a2b3=2a2·4b3B、ax－ay－1=a（x－y）－1 D、x2－4=（x+2）（x－2）
【例2】（2012重庆）把－4a3b2+6a2b－2ab分解因式
【例3】（2010西安）把5（x－y）2－10（y－x）3分解因式
【例4】（2010长沙）把下列各式分解因式：（1）1－x2+4xy－4y2
（2）x2－4xy+4y2－3x+6y
3
【例5】（2009贵阳）分解因式：x2－2xy+y2－2x+2y+1
【例6】（2013大庆）已知ab=-3，a+b=2．求代数式a3b+ab3的值．
【例7】（20112昆明）若4x2?kx?25是完全平方式，求k的值.
【例8】（2010福州）求证：对于任意自然数n，3n?2?2n?3?3n?2n?1一定是10的倍数.
【例9】（2010台北）将m2x2?2mx?35分解因式
【例10】（2009北京）分解因式a3?7a?6
【课堂练习】
1．（2010拉萨）下列变形属于分解因式的是（ ）
A．2x2－4x+1=2x（x－2）+1 B．m（a+b+c）=ma+mb+mc
C．x2－y2=（x+y）（x－y） D．（m－n）（b+a）=（b+a）（m－n）
2．（2012上海）分解因式mx+my+mz=（ ）
A．m（x+y）+mz B．m（x+y+z） C．m（x+y－z） D．m3abc
3．（2010广州）20052－2005一定能被（ ）整除
A．2 008 B．2 004C．2 006 D．2 009
4
4．（2012海口）观察下列各式，其中可以直接用提公因式法分解因式的有（ ）
（1）abx－cdy （2）3x2y+6y2x （3）4a3－3a2+2a－1 （4）（x－3）2+（3x－9）
（5）a2（x+y）（x－y）+12（y－x） （6）－m2n（x－y）n+mn2（x－y）n+1
A．（1）（3）（5）B．（2）（4）（5）
C．（2）（4）（5）（6）D．（2）（3）（4）（5）（6）
5、（2012廊坊）分解下列因式：
（1）56x3yz－14x2y2z+21xy2z2
（2）（m－n）2+2n（m－n）
（3）m（a－b+c）－n（a+c－b）+p（c－b+a）
（4）a（a－x）（a－y）+b（x－a）（y－a）
【课后作业】
1．若x2（x+1）+y（xy+y）=（x+1）·B，则B=_______．
2．已知a－2=b+c，则代数式a（a－b－c）－b（a－b－c）－c（a－b－c）=______
3．（2009南充）利用分解因式计算：1 297的5%，减去897的5%，差是多少？
4．（2010西宁）利用因式分解计算：
（1）2 0042－4×2 004;（2）39×37－13×34
（3）121×0.13+12.1×0.9－12×1.21
（4）20 062 006×2 008－20 082 008×2 006
n?4n2?2?25．（2012武汉）计算：2?2n?3
5
《因式分解比过知识点和经典习题(含答案)》出自：百味书屋
链接地址：http://www.850500.com/news/18269.html
转载请保留,谢谢!