篇一：高等代数(北大版)第3章习题参考答案
第三章 线性方程组
1． 用消元法解下列线性方程组： ?x1?x?1?1)?x1
?x?1??x1
?3x2?5x3?4x4?1?3x2?2x3?2x4??2x2?x3?x4?x5?4x2?x3?x4?x5?2x2?x3?x4?x5
?x1?2x2?3x4?2x5?1
x5??1?
?x1?x2?3x3?x4?3x5?2
?3 2)?
2x?3x?4x?5x?2x?72345?1
?3
?9x?9x?6x?16x?2x?25
2345?1
??1
x3?x7?0?3x1?4x2?5?x1?2x2?3x3?4x4?44
??
x3?x2?0?x2?x3?x4??3?2x1?3x2?34
3)?4)?
4x?11x?13x?16x?0x?3x??x?123424?1?1
??7x?3x?x??3?7x?2x?x?3x??0
234234??1?x1?2x2?3x3?x4?1?2x1?x2?x3?x4?1?
3x1?2x2?x3?x4?1????3x1?2x2?2x3?3x4?2
5)? 6)?2x1?3x2?x3?x4?1
?2x?2x?2x?x?1?5x1?x2?x3?2x4??1
234
?1?2x?x?x?3x?4
234?1
??5x1?5x2?2x3?2
解 1）对方程组得增广矩阵作行初等变换，有
?1
?1??1??1??1?1?0???0??0??0
33?2?420000?1
521112?3?20?1?4?2?11?1?1200101?1?1101000
1??1
???10??3???0??3??0
??1???01??1???20??0???0??0??0
?0???0
30?5?7?10000?1
5?3?4?4?400?200
?42358?12000
01?1?1101000
1?
??2?2? ?2??2??1???2?0? ?0?0??
因为
rank(A)?rank(B)?4?5，
所以方程组有无穷多解，其同解方程组为
?x1?x4?1?
?2x1?x5??2
， ?
?2x?03?
??x?x?0?24
解得
?x1?x?2??x3?x?4??x5
?1?k?k?0?k??2?2k
其中k为任意常数。
2）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有
?1?1??2??9
?1?0? ??
?0???0
2?1?3?9
2
0?346
?31?516
?3
2?322
1??1
??20???
?07???25??0
2
?
???????
2?3?7?27
1
2
0?346
?34111
0?
2?5?2?16
3
1?
?1? 5??16?
?1?
?3?34?51
?
2529?8?
011??
333
?
033?2529??72?1
?
0??334?51
?
2529? 8
001?1?
333
?
0000??01?
因为
rank(A)?4?rank(A)?3，
所以原方程无解。
3）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有
?1?0??1??0
?213?7
3?103
?4111
4??1???30???
?01????3??0
?215?7
3?1?33
?4151
4?
??3? ?3???3?
?1?0???0??0
0100
1?12?4
?2108
?2??1
???30
???
?012????24??0
0100
0020
0008
?8?
?3
?， 12??0?
因为
rank(A)?rank(A)?4，
所以方程组有惟一解，且其解为
?x1??x2??x3?x?4
??8?3?6?0
。
4）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有
?3?2??4??7?1?0???0??0
4?311?27?1717?34
?53?131?819?1938
7??1???22???
?416???3??79??1
???200
???
?020????40??0
7?311?2
7?1700?83?131?819009?
??2? 16??3?9???20
?， 0??0?
即原方程组德同解方程组为
?x1?7x2?8x3?9x4?0
， ?
??17x2?19x3?20x4?0
由此可解得
??x1???x2??x3?x?4
??
3171917
k1?k1?
13172017
k2k2，
?k1?k2
其中k1,k2是任意常数。
5）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有 ?2?3??5??2?2?7???10???10
1?21?11000?12?11?1000
1?32?31?100
1??2??27???
?3?1???4??41??2??47???
?102????3??0
10001000?1000?10001?11?21?1001?
?4? ?2??5?1??4? 2???1?
因为
rank(A)?4?rank(A)?3，
所以原方程组无解。
6）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有 ?1?3?
?2
??2??5
22325
3
11?11
1
1?
?1??1??1??2?
?
???????32245
55355
42132
0?
?0?1 ??0?0??
2122
2?12
??2?5?????1???1?0?
05000
22?15
00100
10
0??0??20??
?1?
????05??0???1
?00???
05000
07?65
00100
10
0?
?2?1???， 5?0?0??
即原方程组的同解方程组为
?5x2?7x3?2
?
1?6
， ?x?x???34
5?5
???x1?x3?0
解之得
?x1??x2???x3??x4?
?k?25?75k
?k??
15?65k
，
其中k是任意常数。
2.把向量?表成?1,?2,?3,?4的线性组合.。
1)??(1,2,1,1)
?1?(1,1,1,1),?2?(1,1,?1,?1)?3?(1,?1,1,?1),?4?(1,?1,?1,1)2)??(0,0,0,1)
?1?(1,1,0,1),?2?(2,1,3,1)?3?(1,1,0,0),?4?(0,1,?1,?1)解 1）设有线性关系
??k1?1?k2?2?k3?3?k4?4
代入所给向量，可得线性方程组
篇二：高等代数(北大版)第7章习题参考答案
第七章 线性变换
1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1） 在线性空间V中，A?????,其中??V是一固定的向量；
2） 在线性空间V中，A???其中??V是一固定的向量； 3） 在P中，A(x1,x2,x3)?(x1,x2?x3,x3)；
3
3
4） 在P中，A(x1,x2,x3)?(2x1?x2,x2?x3,x1)；
2
2
5） 在P[x]中，Af(x)?f(x?1) ；
6） 在P[x]中，Af(x)?f(x0),其中x0?P是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A???
n?n
n?n
。
8） 在P中，AX=BXC其中B,C?P是两个固定的矩阵. 解 1)当??0时,是;当??0时,不是。 2)当??0时,是;当??0时,不是。
3)不是.例如当??(1,0,0),k?2时,kA(?)?(2,0,0), A(k?)?(4,0,0), A(k?)? kA(?)。
4)是.因取??(x1,x2,x3),??(y1,y2,y3),有 A(???)= A(x1?y1,x2?y2,x3?y3)
=(2x1?2y1?x2?y2,x2?y2?x3?y3,x1?y1) =(2x1?x2,x2?x3,x1)?(2y1?y2,y2?y3,y1) = A?+ A?， A(k?)? A(kx1,kx2,kx3)
?(2kx1?kx2,kx2?kx3,kx1)?(2kx1?kx2,kx2?kx3,kx1)
3
= kA(?)，
故A是P上的线性变换。
5) 是.因任取f(x)?P[x],g(x)?P[x],并令 u(x)?f(x)?g(x)则
A(f(x)?g(x))= Au(x)=u(x?1)=f(x?1)?g(x?1)=Af(x)+ A(g(x))， 再令v(x)?kf(x)则A(kf(x))? A(v(x))?v(x?1)?kf(x?1)?kA(f(x))， 故A为P[x]上的线性变换。
6)是.因任取f(x)?P[x],g(x)?P[x]则.
A(f(x)?g(x))=f(x0)?g(x0)?A(f(x))?A(g(x))， A(kf(x))?kf(x0)?kA(f(x))。
7)不是，例如取a=1,k=I，则A(ka)=-i , k(Aa)=i, A(ka)?kA(a)。
8)是，因任取二矩阵X,Y?Pn?n，则A(X?Y)?B(X?Y)C?BXC?BYC?AX+AY， A(kX)=B(kX)?k(BXC)?kAX，故A是P
n?n
上的线性变换。
2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换，证明：A4=B4=C4=E,AB?BA,A2B2=B2A2，并检验(AB)2=A2B2是否成立。 解 任取一向量a=(x,y,z)，则有 1) 因为
Aa=(x,-z,y), A2a=(x,-y,-z)，A3a=(x,z,-y),A4a=(x,y,z)， Ba=(z,y,-x), B2a=(-x,y,-z)，B3a=(-z,y,x),B4a=(x,y,z)， Ca=(-y,x,z), C2a=(-x,-y,z)，C3a=(y,-x,z),C4a=(x,y,z)， 所以A4=B4=C4=E。
2) 因为AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y)，BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x)， 所以AB?BA。
3)因为A2B2(a)=A2(-x,y,-z)=(-x,-y,z)，B2A2(a)=B2(x,-y,-z)=(-x,-y,z)， 所以A2B2=B2A2。
4)因为(AB)2(a)=(AB)(AB(a))_=AB(z,x,y)=(y,z,x)，A2B2(a)=(-x,-y,z)， 所以(AB)2?A2B2。
3.在P[x] 中，Af(x)?f'(x),Bf(x)?xf(x)，证明:AB-BA=E。 证 任取f(x)?P[x]，则有
(AB-BA)f(x)=ABf(x)-BAf(x)=A(xf(x))-B(f(x))=f(x)?xf所以AB-BA=E。
4.设A,B是线性变换，如果AB-BA=E，证明：AkB-BAk=kAk?1 (k>1)。 证 采用数学归纳法。当k=2时
A2B-BA2=(A2B-ABA)+(ABA-BA2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2a，结论成立。 归纳假设k?m时结论成立，即AmB-BAm=mAm?1。则当k?m?1时，有 Am?1B-BA
m?1
m?1
'
;
(x)-xf
'
(x)=f(x)
=(Am?1B-AmBA)+(AmBA-BA
m?1
)=Am(AB-BA)+(AmB-BAm)A=AmE+mA
A=(m?1)Am。
即k?m?1时结论成立.故对一切k?1结论成立。 5.证明：可逆变换是双射。
证 设A是可逆变换，它的逆变换为A?1。
若a?b，则必有Aa?Ab，不然设Aa=Ab，两边左乘A?1，有a=b，这与条件矛盾。 其次，对任一向量b，必有a使Aa=b，事实上,令A?1b=a即可。因此,A是一个双射。 6.设?1,?2,?,?n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。证明：A是可逆变换当且仅当A?1,A?2,?,A?n线性无关。
证 因A(?1,?2,?,?n)=(A?1,A?2,?,A?n)=(?1,?2,?,?n)A，
故A可逆的充要条件是矩阵A可逆，而矩阵A可逆的充要条件是A?1,A?2,?,A?n线性无关，故A可逆的充要条件是A?1,A?2,?,A?n线性无关.。 7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:
1) 第1题4)中变换A在基?1=(1,0,0),?2=(0,1,0),?3=(0,0,1)下的矩阵；
2) [o; ?1,?2]是平面上一直角坐标系,A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂
直投影,B是平面上的向量对?2的垂直投影，求A,B,AB在基?1,?2下的矩阵； 3) 在空间P[x]n中，设变换A为f(x)?f(x?1)?f(x)， 试求A在基?i=x(x?1)?(x?i?1)
1i!
(I=1,2,?,n-1)下的矩阵A；
4) 六个函数 ?1=eaxcosbx,?2=eaxsinbx，?3=xeaxcosbx,?4=xeaxsinbx，
?1=
12
xeaxcosbx,?1=
2
12
eaxx2sinbx，的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空
间，求微分变换D在基?i(i=1,2,?,6)下的矩阵；
?1
?3
?5) 已知P中线性变换A在基?1=(-1,1,1),?2=(1,0,-1),3=(0,1,1)下的矩阵是?1
??1?
012
1??0?，1??
求A在基?1=(1,0,0),?2=(0,1,0),?3=(0,0,1)下的矩阵； 6) 在P3中，A定义如下：
?A?1?(?5,0,3)?
?A?2?(0,?1,6)， ?A??(?5,?1,9)
3?
其中
??1?(?1,0,2)?
??2?(0,1,1)， ???(3,?1,0)?3
求在基?1=(1,0,0),?2=(0,1,0),?3=(0,0,1)下的矩阵； 7) 同上，求A在?1,?2,?3下的矩阵。 解 1)
A?1=(2,0,1)=2?1+?3，A?2=(-1,1,0)=-?1+?2，A?3=(0,1,0)= ?2，
?110
0??1?。 0??
12
?2
?
故在基?1,?2，?3下的矩阵为?0
?1?
2）取?1=（1，0），?2=（0，1），则A?1=?1
?
故A在基?1，?2下的矩阵为A=?2
?1??2
?1+
12
?2，A?2=
12
?1+
12
?2，
1??2?。 1??2?
0?
?，另外，（AB）?2=A1??
?0
又因为B?1=0，B?2=?2，所以B在基?1，?2下的矩阵为B=??0
?
（B?2）=A?2=
12
?1+
12
?2，
1??2?。 1??2?
x(x?1)?[x?(n?2)]
(n?1)!
??0
所以AB在基?1，?2下的矩阵为AB=?
?0??
3）因为 ?0?1,?1?x,?2?
x(x?1)2!
,?,?n?1?
，
所以A?0?1?1?0，
A?1?(x?1)?x??0，
????
A?n?1?
(x?1)x?[x?(n?3)]
(n?1)!
?
x(x?1)?[x?(n?2)]
(n?1)!
=
x(x?1)?[x?(n?3)]
(n?1)!
{(x?1)?[x?(n?2)]}
=?n?2，
?0??
所以A在基?0,?1,?,?n?1下的矩阵为A=?
10
1?
?????。 ????
1???
0??
4）因为 D?1=a?1-b?2,
D?2=b?1-a?2,?6， D?3=?1+a?3-b?4, D?4=?2+b?3+a?4, D?5=?3+a?5-b?6, D?6=?4+b?5+a?6，
??ab1000???ba0100???所以D在给定基下的矩阵为D=?
0ab10???00?ba010。???0000ab????
00
?b
a??
?10?5）因为(???
?1
1,?2,3)=(?1,?2，?3)?1
01?
?，所以 ??1?1
1??
??11?1?(??
1,?2，?3)=(?1,?2,?3)?0
1?1?
?=(?1,?2,?3)X， ??
10
1??
故A在基?1,?2，?3下的矩阵为 ??1
10??1???1???1B=X?1
AX=??1
01??1
0??110???1
1??01?1?=?1??2
2??
1?1
1??
??
?12
1??
??
10
1????3
?2?
0??。2??
篇三：高等代数(北大版)第9章习题参考答案
第九章 欧氏空间
1.设??aij是一个n阶正定矩阵,而
??
??(x1,x2,?,xn),??(y1,y2,?,yn),
在R中定义内积(?,?)?????,
1) 证明在这个定义之下, 2) 求单位向量
n
Rn成一欧氏空间；
?1?(1,0,?,0),?2?(0,1,?,0),… ,?n?(0,0,?,1)，
的度量矩阵；
3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
?是Rn上的一个二元实函数，且 (?,?)????解 1)易见
(1) (2) (3) (4)
(?,?)??????(????)?????????????(?,?)， (k?,?)?(k?)????k(????)?k(?,?)，
(???,?)?(???)???????????????(?,?)?(?,?)，
(?,?)???????aijxiyj，
i,j
由于A是正定矩阵，因此
?axy
ijii,j
j
是正定而次型，从而(?,?)?0，且仅当??0时有
(?,?)?0。
2)设单位向量
?1?(1,0,?,0),?2?(0,1,?,0), … ,?n?(0,0,?,1)，
的度量矩阵为
B?(bij)，则
?a11a12
?
a?a
bij?(?i,?j)?(0,?,1,?0)?2222
(i)??
??a
?n1an2
?0?
?a1n???
????
?a2n???
1(j)=aij，(i,j?1,2,?,n)， ???????????ann????0?
因此有B?A。
4) 由定义，知
(?
,?)??aijxiyj
i,j
??，
??
，
故柯西—布湿柯夫斯基不等式为
?axy
ijii,j
j
?
ayy
ij
i
i,j
j
2.在R中,求?,?之间??,?1) 2) 3)
4
?(内积按通常定义)，设:
??(2,1,3,2), ??(1,2,?2,1)， ??(1,2,2,3), ??(3,1,?5,1)，
??(1,1,1,2), ??(3,2,?1,0)。
(?,?)?2?1?1?2?3(?1)?2?1?0，
解 1)由定义,得
所以
??,???
2)因为
?
2。
(?,?)?1?3?2?1?2?5?3?1?18， (?,?)?1?1?2?2?2?2?3?3?18， (?,?)?3?3?1?1?2?2?3?3?36，
cos??,???
所以
182
?
2，
??,???4。 3)同理可得
?
(?,?)?3, (?,?)?17,(?,?)?3, cos??,???
3，
?1
??,???cos所以
3
。
通常为?,?的距离，证明；
3.
d(?,?)???
d(?,?)?d(?,?)?d(?,?)。
证 由距离的定义及三角不等式可得
d(?,?)????(???)?(???)
4
???????
?d(?,?)?d(?,?)。
4在R中求一单位向量与解 设?
?1,1,?1,1?,?1,?1,?1,1?,?2,1,1,3?正交。
??x1,x2,x3,x4?与三个已知向量分别正交，得方程组 ?x1?x2?x3?x4?0?
?x1?x2?x3?x4?0， ?2x?x?x?3x?0
4?123
因为方程组的系数矩阵A的秩为3，所以可令 x3?1?x1
?4,x2?0,x4??3，即???4,0,1,?3?。
11
?4,0,1,?3?， ??
a再将其单位化，则??即为所求。
5．设?1,?2,???n是欧氏空间V的一组基，证明： 1） 如果?
?V使??,?i??0?i?1,2,??,n?,，那么??0。
?V使对任一??V有??1,?????2,??，那么?1??2。
2） 如果?1,?2
证 1)因为?1,?2,???n为欧氏空间V的一组基，且对?
?V，有
??,?i??0?1,2,??,n? ，
所以可设?且有
?k1?1?k2?2???kn?n，
??,?????,k1?1?k2?2????kn?n?
?k1??,?1??k2??,?2?????kn??,?n?
即证?
?0。
2)由题设，对任一??V总有
???????,??
11
2
，
?i
也有
???????
11
i
2
,?i?，或者??1??2,?i??0?i?1,2,??,n?，
?0，即证?1??2。
再由1)可得?1??26设?1,?2,?3是三
1
?2?1?2?2??3?31
?2??2?1??2?2?3?
31
?3???1?2?2?2?3?
3
?1?
也是一组标准正交基。 证 因为
91
???2?1,2?1???2?2,??2?????3,2?3??
91
??4?(?2)?(?2)??0，
9
同理可得 另一方面
??1,?2??1?2?1?2?2??3,2?1??2?2?3?
??1,?3????2,?3??0，
??1,?1??1?2?1?2?2??3,2?1?2?2??3?
91
??4??1,?1??4??2,?2?????3,??3?? 91
?(4?4?1)?1， 9
同理可得
??2,?2????3,?3??1，
即证?1,?2,?3也是三维欧氏空间中的一组标准正交基。
7.设?1,?2,?3,?4,?5也是五维欧氏V空间中的一组标准正交基, V1?L?2,?2,?3，其中
??
?1??1??5 , ?2??1??2??4 , ?3?2?1??2??3，
求V1 的一组标准正交基。
解 首先证明?1,?2,?3线性无关.事实上，由
?11?
?0?1
(?1,?2,?3)?(?1,?2,?3,?4,?5)?00
?
?01?10?
?11?
?0?1
其中 A??00
?
?01?10?
将正交化，可得
2??1?1?， ?0?0??
2?
?1?
1?的秩为3，所以?1,?2,?3线性无关。 ?0?0??
?1??1??1??5， ?2??2?
(?2,?2)11
??1??2??4??5
2， (?1,?1)2
单位化，有
?1?
2
(?1??5)， 2
(??2?2?2?4??5)， 10112
?2?
?3?(?1??2??3??5)，
则?1,?2,?3为V1 的标准正交基。 8. 求齐次线性方程组
?2x1?x2?x3?x4?3x5?0
?
x?x?x?x?0?1235
的解空间(作为R的子空间)的一组标准正交基。解 由
5
《高等代数(北大版第三版)习题答案I》出自：百味书屋
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