（2010至2011学年第一学期）
课程名称： 高等数学(上)(A卷)
考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日共 6 页
注意事项：
1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。
2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否
则视为废卷。
3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。
4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷
分别一同交回，否则不给分。
试 题
一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分）
1. lim
sin(x2?1)
x?1x?1
?() (A) 1； (B) 0；(C)2； (D)
1
2
2.若f(x)的一个原函数为F(x)，则?
e?xf(e?x
)dx为( )
(A) F(ex)?c； (B) ?F(e
?x
)?c；
(C) F(e?x
)?c； (D )
F(e?x )
x
?c 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A)
?
??
1??
??
sinxdx； (B)?
1
； ?x?1x
(C) ??1?x2； (D)?0x
??edx。 4. f(x)为定义在?a,b?上的函数，则下列结论错误的是( )
(A) f(x)可导，则f(x)一定连续；(B) f(x)可微，则f(x)不一定
1
可导；
(C) f(x)可积（常义），则f(x)一定有界；(D) 函数f(x)连续，则5. 设函数f(x)?lim
?
x
a
f(t)dt在?a,b?上一定可导。
1?x
，则下列结论正确的为( )
n??1?x2n
(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点x?1； (C) 存在间断点x?0； (D) 存在间断点x??1
二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分）
x2?1?1
1. 极限lim? _____.
x?0x
?x?1?t2
2. 曲线?在t?2处的切线方程为______. 3
?y?t
2x
3. 已知方程y???5y??6y?xe的一个特解为?
12
(x?2x)e2x，则该方程的通解2
为 .
f(x)
?2，则f?(2)?_____
x?2x?2
5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F（牛顿）与伸长量s成正比，即F?ks（k为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm时，所作的功为_________焦耳。
4. 设f(x)在x?2处连续，且lim
2
6．曲线y?x2上相应于x从3到8的一段弧长为3
2
3
2
三、设x?0时，ex?(ax2?bx?c)是比x高阶的无穷小，求常数a,b,c的值（6分）
2
x?e?xcos(3?2x),求dy.（6分）
xy?ey
?e确定,求
d2y
dx2
.（8分）
x?0
x)满足关系式f(x)?
?
3x
f(t
3
)dt?3x?3，求f(x).(83
七、 求下列各不定积分（每题6分，共12分） （1） ?(1?sin
3
?)d?.
（2） ?xarctan
xdx.
?x?1,x?1八、设f(x)??
?1?2 ?2
x,x?1
求定积分
?
2
f(x)dx.（6分）4
13
九、讨论函数f(x)?x?3x的单调区间、极值、凹凸区间和拐点坐标.（10分）
十、求方程
dyy
dx?x?y
4
的通解（6分）5
篇二：大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)
大一上学期高数期末考试
一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. 设f(x)?cosx(x?sinx),则在x?0处有(
).
（A）f?(0)?2（B）f?(0)?1（C）f?(0)?0 （D）f(x)不可导.
2. 设?(x)?1?x
1?x，?(x)?3?33x，则当x?1时（ ）
.
（A）?(x)与?(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）?(x)与?(x)是等价无穷小；
（C）?(x)是比?(x)高阶的无穷小；（D）?(x)是比?(x)高阶的无穷小.
3. 若
F(x)??x
(2t?x)f(t)dt
，其中f(x)在区间上(?1,1)二阶可导且
f?(x)?0，则（ ）.
（A）函数F(x)必在x?0处取得极大值； （B）函数F(x)必在x?0处取得极小值；
（C）函数F(x)在x?0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线y?F(x)的拐点；（D）函数F(x)在x?0处没有极值，点(0,F(0))也不是曲线y?F(x)的拐点。1
4.
设f(x)是连续函数，且 f(x)?x?2?0
f(t)dt , 则f(x)?(
x2x2
（A）2（B）2?2
（C）x?1 （D）x?2.
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 2
5. lim(sinx
x?0
1?3x)
?
.
6. 已知
cosx
x
是f(x)的一个原函数,则?f(x)?
cosx
x
dx?7.
nlim
?
??n
(cos2
?
n
?cos2
2?n???cos2n?1
n?)?.
12
2?
xarcsinx?1
－
11?x
2
dx?
8. 2
.
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
9. 设函数y?y(x)由方程
ex?y
?sin(xy)?1确定，求y?(x)以及y?(0). 1?x7
求10. ?x(1?x7
)dx.
)
?x
? 1?xe， x?0
设f(x)?? 求?f(x)dx．
?32
??2x?x，0?x?111.
1
012. 设函数f(x)连续，，且x?0
g?(x)并讨论g?(x)在x?0处的连续性.
g(x)??f(xt)dt
lim
f(x)
?Ax，A为常数. 求
13. 求微分方程xy??2y?xlnx满足
y(1)??
1
9的解.
四、 解答题（本大题10分）
14. 已知上半平面内一曲线y?y(x)(x?0)，过点(0,1)，且曲线上任一点
M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x?x0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）
15. 过坐标原点作曲线y?lnx的切线，该切线与曲线y?lnx及x 轴围
成平面图形D.
(1) 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
V.
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
16. 设函数f(x)在?0,1?上连续且单调递减，证明对任意的q?[0,1]，
q
1
?f(x)dx?q?f(x)dx
.
?
?
?17. 设函数f(x)在?0,??上连续，且
f(x)dx?0
?，
f(x)cosxdx?0
.
证明：在?0,??内至少存在两个不同的点?1,?2，使f(?1)?f(?2)?0.（提
x
F(x)?
示：设
?f(x)dx
）
解答
一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1、D 2、A 3、C 4、C
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
??1cosx2
()?c
e635. . 6.2x.7.2.8..
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导
x?y
??)coxys(xy)(y? ) e(1?y??
ex?y?ycos(xy)
y?(x)??x?y
e?xcos(xy)
x?0,y?0，y?(0)??1
7
7x6dx?du 10. 解：u?x
1(1?u)112
原式????(?)du
7u(1?u)7uu?1 1
?(ln|u|?2ln|u?1|)?c7 12
?ln|x7|?ln|1?x7|?C77
11.
解：??3
1
f(x)dx??xedx??
?3
?x
??xd(?e?x)??
?3
0?2
?x?x2??(令x?1?sin?)??xe?e???3???cos?d?
4
12. 解：由f(0)?0，知g(0)?0。
x
1
xt?u
?
?
?2e3?1
g(x)??f(xt)dt?
x
?f(u)du
x
(x?0)
g?(x)?
xf(x)??f(u)du
x
x0
2
(x?0)
g?(0)?lim
x?0
?f(u)du
x2
?lim
x?0x
f(x)A
? 2x2
?A?
AA
?
22，g?(x)在x?0处连续。
limg?(x)?lim
x?0
x?0
xf(x)??f(u)du
x
02
dy2
?y?lnx
13. 解：dxx
dxdx
y?e?x(?e?xlnxdx?C)
?2
2
11
xlnx?x?Cx?2
9 3
111
y(1)??C,?0y?xlnx?x
39 9 ，
四、 解答题（本大题10分）
?
14. 解：由已知且 ，
将此方程关于x求导得y???2y?y?
2
特征方程：r?r?2?0
y??2?ydx?y
x
解出特征根：r1??1,r2?2.
其通解为
y?C1e?x?C2e2x
代入初始条件y(0)?y?(0)?1，得
21y?e?x?e2x
33故所求曲线方程为：
五、解答题（本大题10分）
C1?
21,C2?33
1
y?lnx0?(x?x0)
x0
15. 解：（1）根据题意，先设切点为(x0,lnx0)，切线方程：
1y?x
e 由于切线过原点，解出x0?e，从而切线方程为：
1
则平面图形面积
A??(ey?ey)dy?
1
e?12
V1?
1
?e23
（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则
曲线y?lnx与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2
1
V2???(e?ey)2dy
6D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）
q
1
q
q
V?V1?V2?
?
(5e2?12e?3)
1
16. 证明：0
q
?f(x)dx?q?f(x)dx??f(x)dx?q(?f(x)dx??f(x)dx)
q
1q
?(1?q)?f(x)dx?q?f(x)dx
f(?1)?f(?2)
?1?[0,q]?2?[q,1]
?
q(1?q)f(?1)?q(1?q)f(?2)
1
?
故有：
q
?f(x)dx?q?f(x)dx
证毕。
x
17.
F(x)??f(t)dt,0?x??
0证：构造辅助函数：。其满足在[0,?]上连续，在(0,?)
上可导。F?(x)?f(x)，且F(0)?F(?)?0
由题设，有
?
0??f(x)cosxdx??cosxdF(x)?F(x)cosx|??sinx?F(x)dx
??
?
?
，
F(x)sinxdx?0?有，由积分中值定理，存在??(0,?)，使F(?)sin??0即
F(?)?0
综上可知F(0)?F(?)?F(?)?0,??(0,?).在区间[0,?],[?,?]上分别应用罗尔定理，知存在
?1?(0,?)和?2?(?,?)，使F?(?1)?0及F?(?2)?0，即f(?1)?f(?2)?0.
篇三：大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案 (1)
第一学期期末高等数学试卷
一、解答下列各题
(本大题共16小题，总计80分)
1、(本小题5分)
2、(本小题5分) x3?12x?16求极限 lim3x?22x?9x2?12x?4
xdx.(1?x2)2
1
x 求?3、(本小题5分) x??求极限limarctanx?arcsin
4、(本小题5分)
求?
5、(本小题5分) xdx.1?x
d求dx?x2
0?t2dt． 6、(本小题5分)
7、(本小题5分) 求?cot6x?csc4xdx.
求2
?1
?
8、(本小题5分) 11cosdx．xx2
9、(本小题5分)
3
0t2?dy?x?ecost设?确定了函数y?y(x),求．2tdx??y?esint 求?x?xdx．
10、(本小题5分)
求函数 y?4?2x?x2的单调区间
11、(本小题5分)
dy．dx sinxdx．28?sinx 12、(本小题5分) 求?13、(本小题5分) ?20设 x(t)?e?kt(3cos?t?4sin?t)，求dx． 设函数y?y(x)由方程y2?lny2?x6所确定,求14、(本小题5分)
15、(本小题5分) 求函数y?2ex?e?x的极值
16、(本小题5分) (x?1)2?(2x?1)2?(3x?1)2???(10x?1)2求极限limx??(10x?1)(11x?1)
求?
cos2xdx.1?sinxcosx 第1页，共9页
二、解答下列各题
(本大题共2小题，总计14分)
1、(本小题7分)
2、(本小题7分) 某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场,一边可用原来的石条围沿,另三边需砌新石条围沿,问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省.
x2x3
求由曲线y?和y?所围成的平面图形绕ox轴旋转所得的旋转体的体积.28 三、解答下列各题
( 本 大 题6分 )
设f(x)?x(x?1)(x?2)(x?3),证明f?(x)?0有且仅有三个实根.
一学期期末高数考试(答案)
一、解答下列各题
(本大题共16小题，总计77分)
1、(本小题3分)
2、(本小题3分) 3x2?12解:原式?lim2x?26x?18x?12 6x ?limx?212x?18 ?2
3、(本小题3分) x?(1?x2)2dx 21d(1?x)?2?(1?x2)2 11???c.221?x
因为arctanx??2而limarcsinx??1?0x
故limarctanx?arcsinx??
4、(本小题3分) 1?0x
5、(本小题3分)
x?1?xdx 1?x?1???dx1?x dx???dx??1?x ??x?ln1?x?c.
第2页，共9页
d求dx?x2
0?t2dt．
6、(本小题4分) 原式?2x?x4
264cotx?cscxdx?6???cotx(1?cotx)d(cotx)
7、(本小题4分) 11??cot7x?cot9x?c.79
求2?1
?11codx．xx2
211?原式??1cosd()xx ?
??1 8、(本小题4分) 1??six2??1
?x?etcost2dy?设?确定了函数y?y(x),求．2tdx??y?esint
9、(本小题4分)
3
0dye2t(2sint?cost)解： ?tdxe(cost2?2tsint2) et(2sint?cost) ?(cost2?2tsint2) 求?x?xdx．
令 ?x?u
原式?2?(u4?u2)du12
10、(本小题5分) uu2?)153 116?15 ?2(53
求函数 y?4?2x?x2的单调区间
(??,??) 解：函数定义域
y??2?2x?2(1?x)
当x?1，y??0 ???,1?当x?1， y??0函数单调增区间为
11、(本小题5分)
?1,??? 当x?1，y??0函数的单调减区间为求??
2
0sinxdx．28?sinx
?
0原式???2
dcosx9?cos2x 第3页，共9页
12、(本小题6分) 13?cosx2??ln63?cosx0 1?ln2 6 ?
设 x(t)?e?kt(3cos?t?4sin?t)，求dx．
解：dx?x?(t)dt
13、(本小题6分) ?e?kt?(4??3k)cos?t?(4k?3?)sin?t?dt
设函数y?y(x)由方程y2?lny2?x6所确定,求dy．dx
2yy??2y??6x5
y
14、(本小题6分) 3yx5y??2y?1
求函数y?2ex?e?x的极值
解：定义域(??，??),且连续
1y??2e?x(e2x?)2
11驻点：x?ln22
由于y???2ex?e?x?0
故函数有极小值,,y(
15、(本小题8分) 11ln)?2222
16、(本小题10分) (x?1)2?(2x?1)2?(3x?1)2???(10x?1)2求极限limx??(10x?1)(11x?1) 1111(1?)2?(2?)2?(3?)2???(10?)2原式?limx??11(10?)(11?)xx 10?11?21?6?10?117? 2
cos2xcos2xdx??1?sinxcosx11?sin2x
d(sin2x?1)??1?sin2x2
1?ln1?sin2x?c2 解:?
第4页，共9页
二、解答下列各题
(本大题共2小题，总计13分)
1、(本小题5分)
某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场,一边可用原来的石条围沿,另三边需砌新石条围沿,问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省. 设晒谷场宽为x,则长为
L?2x?512米,新砌石条围沿的总长为x
2、(本小题8分) 512 (x?0)x 512L??2?2 唯一驻点 x?16x 1024L???3?0 即x?16为极小值点x 512故晒谷场宽为16米,长为?32米时,可使新砌石条围沿16所用材料最省
x2x3求由曲线y?和y?所围成的平面图形绕ox轴旋转所得的旋转体的体积.28
x2x3
解: ?,8x2?2x3 x1?0,x1?4.28
244?x4xx3
2?x6
2Vx????()?()?dx???(?)dx008?464 ?2
三、解答下列各题
( 本 大 题10分 ) 1111??(?x5??x7)456470 11512??44(?)??57354
设f(x)?x(x?1)(x?2)(x?3),证明f?(x)?0有且仅有三个实根.
证明:f(x)在(??,??)连续,可导,从而在[0,3];连续,可导.
又f(0)?f(1)?f(2)?f(3)?0
则分别在[01,],[12,],[2,3]上对f(x)应用罗尔定理得,至少存在
?1?(01,),?2?(12,),?3?(2,3)使f?(?1)?f?(?2)?f?(?3)?0
,它至多有三个实根, 即f?(x)?0至少有三个实根,又f?(x)?0,是三次方程
由上述f?(x)有且仅有三个实根
高等数学（上）试题及答案
一、 填空题（每小题3分，本题共15分）
2
x1、lim(1?3x)x?0?______.。
第5页，共9页
《大一下高等数学期末试卷》出自：百味书屋
链接地址：http://www.850500.com/news/145450.html
转载请保留,谢谢!