篇一：08-15年河南中考数学第23题
23.(11分）（2014河南）如图，抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于
3
A(-1,0),B(5,0）两点，直线y=－x+3与y轴交于点C，，与x轴交于
4
点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m。 （1）求抛物线的解析式； （2）若PE =5EF,求m的值；
（3）若点E/是点E关于直线PC的对称点、是否存在点P，使点E/落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由。
23.（2014河南）(1)∵抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A (-1,0) , B(5,0)两点，
2
?0=?（?1）?b+c?b=4 ∴?∴? 2
c=50=?5?5b+c??
∴抛物线的解析式为y=-x+4x+5．………………………………………………3分（2）点P横坐标为m，则P(m,－m2＋4m＋5）,E(m,－
2
3
m+3)，F(m,0), 4
∵点P在x轴上方，要使PE=5EF,点P应在y轴右侧，∴ 0＜m＜5. PE=-m2＋4m＋5－(-分两种情况讨论：
319m＋3)= -m2＋m＋2……………………………4分 44
3
m＋3. 4
193
∵PE=5EF，∴-m2＋m＋2=5(-m＋3)
44
132
即2m－17m＋26=0，解得m1=2，m2=（舍去）………………………………6分
23
②当点E在点F下方时，EF=m－3.
4
193
∵PE=5EF，∴-m2＋m＋2=5(m－3)，
44
①当点E在点F上方时，EF=－即m－m－17=0，解得m3
2
，m4
（舍去）， ∴m的值为2
或
1………………………………………………………………8分 2
111
，),P2(4，5), P3(
，
-3).……………………11分 24
(3),点P的坐标为P1(-
【提示】∵E和E/关于直线PC对称，∴∠E/CP=∠ECP;
又∵PE∥y轴，∴∠EPC=∠E/CP=∠PCE, ∴PE=EC, 又∵CE＝CE/，∴．四边形PECE/为菱形．
1
过点E作EM⊥y轴于点M,∴△CME∽△COD，∴CE=
5m. 4
∵PE=CE,∴-m2＋解得m1=-
195195m＋2=m或-m2＋m＋2=-m， 4444
1
，m2=4， m3
，m4
（舍去） 2
111
可求得点P的坐标为P1(-，),P2(4，5), P3(
，
-3)。
24
1
23.（11分）（2013河南）如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线y?x?2交于C、D两点，其中点C在y轴上，
2
7
点D的坐标为(3). 点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F.
2
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由. （3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标. ．．．．
备用图
2
3
23（11分）（2012河南）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线
y?
1
x?12
y?ax2?bx?3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的
纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P做x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D． （1）求a，b及sin?ACP的值； （2）设点P的横坐标为m，
①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在合适的m的值，使这两个三角形的面积之比为9:10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．
1
x?1?0,得x??2,∴A(?2,0)．23．（2012河南）解：（1）由 2
2
1∵y=ax+bx-3经过A、B两点， 由x?1?3,得x?4,∴B(4,3)．2
2 ?11?(?2)?a?2b?3?0,∴?2 ∴a?,b??． ....................................................（3分）
22??4?a?4b?3?3．
设直线AB与y轴交于点E，则E（0,1）． ∵PC∥y轴，∴∠ACP=∠AEO．
OA ..................................................（4分）∴sin∠ACP=sin∠AEO
=AE5 121
y?x?x?3．（2）①由（1）知，抛物线的解析式为
22
111
∴P(m,m2?m?3),C(m,m?1)．
222
1111
PC?m?1?(m2?m?3)??m2?m?4． ...........................................（
6分）
2222
在Rt△PCD中，PD?PC?sin?ACP
1?(?m2?m?4)?
2
??(m?1)2?5
∵0,∴当m?1时，PD .................................................（8分）
4
②存在满足条件的m值．m?【提示】
532
或．………（11分） 29
如图，分别过点D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为F、G． 在Rt△PDF中，DF
1
PD??(m2?2m?8)．
5
x
又BG=4-m,
S∴?PCD
S?PBC
1
?(m2?2m?8)DFm?2 ???． BG4?m5
Sm?295当?PCD??时,解得m?；S?PBC5102当
S?PCDm?21032
??时,解得
m?．S?PBC599
23.（11分）（2011河南）如图，在平面直角坐标系中，直线y?物线y??
33
x?与抛42
12
x?bx?c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－4
8.
（1）求该抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P．．作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E.
①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；
②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标.
1533
x?，当y=0，x=2.当x=-8时，y=-.
242
15
∴A点坐标为（2，0），B点坐标为(?8,?).………………………1分
2
12
由抛物线y??x?bx?c经过A、B两点，得
4
23.（2011河南）（1）对于y?
?0??1?2b?c,?
?15
???16?8b?c.??2
解得b??，c?
5 345135
.?y??x2?x?.…………………………………………3分
2442
篇二：河南省中考数学23题汇总
2008-2013年河南省中考数学第23题汇总
（2008年）23．（12分）如图，直线y=?4x?4和x轴、y轴的交点分别为B，C。 3
点A的坐标是（－2,0）
（1） 试说明△ABC是等腰三角形；
（2） 动点M从点A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，
运动的速度均为每秒1个单位长度，当其中一个动点到达终点时，它们都停止运动，设点运动t秒时，△MON的面积为s。
① 求s与t的函数关系式；
② 当点M在线段OB上运动时，是否存在s=4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在，说明理由；
③ 在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值。
(2009年)23.（11分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形
2ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax+bx过A、C两点.
(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD 向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E
①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长? ②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形? 请直接写出相应的t值.
（2010年）23．（11分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(?4,0)，B(0,?4)，C(2,0)三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y??x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
（2011年）23. （11分）如图，在平面直角坐标系中，直线y?33x?与抛物线42
1y??x2?bx?c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8. 4
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂．．
线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E.
①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；
②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标.
2012
（2013年）23．（11分）如图，抛物线y??x?bx?c与直线y?
其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，
P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，
以O、C、P、F为顶点的四边形是平形四边形？
请说明理由．
（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写 ．．．
出相应的点P的坐标． ．21x?2交于C、D两点，27），点P是y轴右侧的抛物线上的一动点，过点2
答案
2008年
解：（1）将y=0代入y=?
将x=0,代入y=?4； x?4,得到x=3,∴点B的坐标为（3,0）34x?4,得到y=4, ∴点C的坐标为（0,4） …………2分 3
在Rt△OBC中，∵OC＝4，OB＝3，∴BC＝5。
又A（－2,0），∴AB＝5，∴AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形。………………4分
（2）∵AB=BC=5，故点M、N同时开始运动，同时停止运动。
过点N作ND⊥x轴于D ，
则ND＝NB●sin∠OBC＝4t， 5
① 当0＜t＜2时（如图甲）
OM＝2－t,
114OM?ND=(2?t)?t 225
224=?t?t ……………………7分 55∴s=
当2＜t≤5时（如图乙），OM＝t－2,
114OM?ND=(t?2)?t 225
224=t?t …………………………8分 55∴s=
（注：若将t的取值范围分别写为0≤t≤2和2≤t≤5,不扣分）
② 存在s＝4的情形。
当s＝4时，224t?t＝4 55
解得t1=1+, t2=1-秒。 …………………………10分
③ 当MN⊥x轴时，△MON为直角三角形，
3
5
325∴t=5-t, ∴t=………………11分 58MB＝NB●COS∠MBN＝t，又MB＝5－t. 当点M，N分别运动到点B，C时，△MON为直角三角形，t=5.
故△MON为直角三角形时，t=25秒或t＝5秒 …………12分 8
2009年
23.(1)点A的坐标为（4，8） …………………1分 将A (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx
8=16a+4b
得
0=64a+8b
1,b=4 2
12∴抛物线的解析式为：y=-x+4x …………………3分 2
PEBCPE4（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE==,即= APABAP8
11∴PE=AP=t．PB=8-t． 22
1∴点Ｅ的坐标为（4+t，8-t）. 2
111122∴点G的纵坐标为：-（4+t）+4(4+t）=-t+8. …………………5分 2228
12∴EG=-t+8-(8-t) 8
12 =-t+t. 8
1∵-＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2. …………………7分 8 解 得a=-
②共有三个时刻. …………………8分 t1=
1640， t2=，t3． …………………11分 313
篇三：07-10年河南省中考数学试题第23题
(07年)（11分）如图，对称轴为直线x＝
7
的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）． 2
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存
在，请说明理由．
（08年）（本题满分11分）
如图，抛物线y?ax?bx?c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=O和x=4时，y的值相等。直线y=4x-16与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是3，另一点是这条抛物线的顶点M。 (1)求这条抛物线的解析式；
(2)P为线段OM上一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q。若点P在线段OM上运动（点P不与点O重合，但可以与点M重合），设OQ的长为t，四边形PQCO的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围； (3)随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值吗？如果S有最大值，请求出S的最大值并指出点Q的具体位置和四边形PQCO的特殊形状；如果S没有最大值，请简要说明理由； (4)随着点P的运动，是否存在t的某个值，能满足PO=OC？如果存在，请求出t的值。
2
（09年）11分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.
(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD 向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E ①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?
②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形? 请直接写出相应的t值.
(10年)．（11分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(?4,0)，B(0,?4)，C(2,0)三点． （1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y??x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
x?
（07年）解：（1）由抛物线的对称轴是
把A、B两点坐标代入上式，得
77
y?a(x?)2?k
2，可设解析式为2．
72?
a(6?)?k?0,??2?
225?a(0?7)2?k?4.a?,k??.
??236解之，得
y?
故抛物线解析式为
2725725
(x?)2?(,?).326，顶点为26
（2）∵点E(x,y)在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合
y?
2725(x?)2?326，
∴y<0，即 －y>0,－y表示点E到OA的距离． ∵OA是OEAF的对角线，
S?2S
∴
OAE
17
?2??OA?y??6y??4(?)2?25
22．
因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x的 取值范围是1＜x＜6．
7
?4(x?)2?25?24
2根据题意，当S = 24时，即．
71
(x?)2?.
24 解之，得x1?3,x2?4. 化简，得
故所求的点E有两个，分别为E1（3，－4），E2（4，－4）． 点E1（3，－4）满足OE = AE，所以OEAF是菱形； 点E2（4，－4）不满足OE = AE，所以OEAF不是菱形．
当OA⊥EF，且OA = EF时，OEAF是正方形，此时点E的 坐标只能是（3，－3）．
而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E， 使OEAF为正方形．
（08年）.(本小题满分11分)
解：（1）∵当x?0和x?4时，y的值相等，∴c?16a?4b?c，……1分
b－4a
??2 2a2a
将x?3代入y?4x?16，得y??4，
将x?2代入y?4x?16，得y??8………………………………………….2分
∴b??4a，∴x??
∴设抛物线的解析式为y?a(x?2)2?8
将点(3,?4)代入，得?4?a(x?2)2?8，解得a?4.
∴抛物线y?4(x?2)2?8，即y?4x2?16x?8……………………………..3分 (2)设直线OM的解析式为y?kx，将点M(2,?8)代入，得k??4，
∴y??4x……………………………………………………………………..4分 则点P(t,?4t),PQ?4t,而OC?8,OQ?t.
11
S?S?COQ?S?OPQ=?8?t??t?4t?2t2?4t.......................5分
22
t的取值范围为：0＜t≤2.......................................6分
(3)随着点p的运动，四边形PQCO的面积S有最大值.
从图像可看出，随着点p由O→M运动，?COQ的面积与?OPQ的面积在不断增大,即S不断变大，显当然点P运动到点M时，S最值...............7分 此时t?2时，点Q在线段AB的中点上............. ................8分
11
因而S??2?8??2?8?16.
22
当t?2时，OC?MQ?8,OC∥MQ,∴四边形PQCO是平行四边形. ..9分
8
，能满足PO?OC.................10分 (4)随着点P的运动，存在t?17
设点P(t,?4t)，PQ?4t，OQ?t. 由勾股定理，得OP2?(4t)2?t2?17t2.
88＜2，t2??(不合题意) ∵PO?OC,∴17t2?82，t1?1717
8
时，PO?OC...................................11分 ∴当t?17
（09年）.(1)点A的坐标为（4，8） …………………1分 将A (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx
8=16a+4b
得 0=64a+8b
1
解 得a=-2,b=4
12
∴抛物线的解析式为：y=-2x+4x …………………3分
PEBCPE4
（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=AP=AB,即AP=8 11
∴PE=2AP=2t．PB=8-t． 1
∴点Ｅ的坐标为（4+2t，8-t）.
1111
22
∴点G的纵坐标为：-2（4+2t）+4(4+2t）=-8t+8. …………………5分
12
∴EG=-8t+8-(8-t) 12
=-8t+t.
1
∵-8＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2. …………………7分
②共有三个时刻. …………………8分
4016
t1=，3 t2=13，t3
． …………………11分
《08-15年河南中考数学第23题》出自：百味书屋
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