篇一：概率论与数理统计教程答案(徐建豪版)
习题1.1
1、写出下列随机试验的样本空间.
（1）生产产品直到有4件正品为正，记录生产产品的总件数.
（2）在单位园中任取一点记录其坐标.
（3）同时掷三颗骰子，记录出现的点数之和.
解：（1）??{4,5,6,7,8?}
（2）??{(x.y)x2?y2?1}
（3）??{3,4,5,6,7,8,9,10,?,18}
2、同时掷两颗骰子，x、y分别表示第一、二两颗骰子出现的点数，设事件A表示“两颗骰子出现点数之和为奇数”，B表示“点数之差为零”，C表示“点数之积不超过20”，用样本的集合表示事件B?A，BC，B?C.
解：B?A?{(1.1),(2.2),(3.3),(4.4),(5.5),(6.6)}
BC?{(1.1),(2.2),(3.3),(4.4)}
B?C?{(1.1),(2.2),(3.3),(4.4),(5.5),(6.6),(4.6),(6.4),(5.6),(6.5)}
3、设某人向靶子射击3次，用Ai表示“第i次射击击中靶子”（i?1,2,3），试用语言描述下列事件.
（1）A1?A2 （2）(A1?A2)A3 （3）A1A2?A2A2
解：（1）第1，2次都没有中靶
（2）第三次中靶且第1，2中至少有一次中靶
（3）第二次中靶
4．设某人向一把子射击三次，用Ai表示“第i次射击击中靶子”（i=1，2，
3），使用符号及其运算的形式表示以下事件：
（1）“至少有一次击中靶子”可表示为 ；
（2）“恰有一次击中靶子”可表示为 ；
（3）“至少有两次击中靶子”可表示为 ；
（4）“三次全部击中靶子”可表示为 ；
（5）“三次均未击中靶子”可表示为 ；
（6）“只在最后一次击中靶子”可表示为 . 解：（1）A1?A2?A3; (2) A123?1A23?12A3;
(3)A1A2?A1A3?A2A3; (4) A1A2A3; (5) 123(6) 12A3
5.证明下列各题
（1）A?B?A （2）A?B?(A?B)?(AB)?(B?A)
证明：（1）右边=A（??B）?A?AB=???A且??B??A?B=左边
（2）右边=（AB)?(AB)?(BA）=????A或??B??A?B
习题1.2
1.设A、B、C三事件，P(A)?P(B)?P(C)?1
4
P(AC)?P(BC)?1
8,P(AB)?0，求A、B、C至少有一个发生的概率.
解：?P(AB)?0?P(ABC)?0
P(A?B?C).?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC) =3?11
4?2?8?1
2
2.已知p()?0.5 ，P(B)?0.2 ， P(B)?0.4，求 （1）P(AB)
(2)P(A?B)，(3)P(A?B)， (4)P(AB).
解：（1）
?A?B,?AB?A
?P(AB)?P(A)?0.1
（2）
?A?B,?A?B?B
?P(A?B)?P(B)?0.5
3.设P(A)=0.2P(A?B)=0.6 A.B互斥，求P(B).
解：?A,B互斥，P(A?B)?P(A)?P(B)
, ，
故P(B)?P(A?B)?P(A)?0.6?0.2?0.4
4.设A、B是两事件且P(A)=0.4,P(B)?0.8
（1）在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？
（2）在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？
解：由加法公式P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)=1.2?P(A?B)
（1）由于当A?B时A?B?B，P(A?B)达到最小， 即P(A?B)?P(B)?0.8，则此时P(AB)取到最大值，最大值为0.4
（2）当P(A?B)达到最大， 即P(A?B)?P(?)?1，则此时P(AB)取到最小值，最小值为0.2
5.设
P(A)?P(B)?P(C)?1115,P(AB)?P(BC)?P(AC)?,P(??)?, 4816求P(A?B?C). 解：P(ABC)?1?P(ABC)?1?P(??)?1?151?, 1616
P(A?B?C).?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC) =3?1117?3??? 481616
习题1.3
1.从一副扑克牌（52张）中任取3张（不重复）求取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率.
解：设事件A={3张中至少有2张花色相同} 则A={3张中花色各不相同}
3111C4C13C13C13P(A)?1?P(A)?1??0.602 3C52
2.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率.
3解法一 随机试验是从50只铆钉随机地取3个，共有C50种取法，而发生“某
3C31一个部件强度太弱”这一事件只有C这一种取法，其概率为3?，而10C501960033
个部件发生“强度太弱”这一事件是等可能的，故所求的概率为
p??pi?
i?110101 ?196001960
3解法二 样本空间的样本点的总数为C50，而发生“一个部件强度太弱”这
13一事件必须将3只强度太弱的铆钉同时取来，并都装在一个部件上，共有C10C3
种情况，故发生“一个部件强度太弱”的概率为
13C10C31 p??31960C50
3.从1至9的9个整数中有放回地随机取3次，每次取一个数，求取出的3个数之积能被10整除的概率.
解法一 设A表示“取出的3个数之积能被10整除”，
， A1表示“取出的3个数中含有数字5”
， A2表示“取出的3个数中含有数字偶数”
P(A)?P(A1A2)?1?P(A1A2)
?1?P(A1?A2)?1?P(A1)?P(A2）?P(A1A2)
?8??5??4??1??????????1?0.786?0.214?9??9??9?
解法二设Ak为“第k次取得数字，Bk为“第k次取得偶数”，5”k?1,2,3。 则A?(A1?A2?A3)(B1?B2?B3) 333
A?(A1A2A3)?(B1B2B3)
P(A)?P(A1A2A3)?P(B1B2B3)?P(A1A2A3B1B2B3)
由于是有放回地取数，所以各次抽取结果相互独立，并且
P(A1)?P(A2)?P(A3)?85，P(B1)?P(B2)?P(B3)? 99
P(A1B1)?P(A2B2)?P(A3B3)?4 9
33?8??5??4?因此P?A??1?PA?1?[????????]?1?0.786?0.214 ?9??9??9?
4.袋内装有两个5分，三个2分，五个1分的硬币，任意取出5个，求总数超过1角的概率.
5解 共10个钱币，任取5个，基本事件的总数N?C10，有利的情况，即5?3
个钱币总数超过一角的情形可列举6种（1）5，5，2，2，2；（2）5,5,2,2,1;(3)5,5,2,1,1;(4)5,5,1,1,1;(5)5,2,2,2,1;(6)5,2,2,1,1.故包含的基本事件数为
2322121223131122N(A)?C2C3?C2C3C3?C2C3C5?C2C5?C2C3C5?C2C3C5
?1?3?5?3?10?10?2?5?2?3?10?126 故所求概率为P?1261? 5C102
5.设有N件产品，其中M件次品，今从中任取n件，
（1）求其中恰有k(k?min(M,n))件次品的概率；
（2）求其中至少有2件次品的概率.
kn?knn?1CMCNCN?M?M?MCN?M解：（1） （2）1- nnCNCN
6．设n个朋友随机的围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：
（1）甲乙两人坐在一起，且乙在甲的左边；
（2）甲、乙、丙三人坐在一起；
（3）如果n个人并列坐在一张长桌的一边，再求上述事件的概率.
（n?1）! 解（1）n个朋友随机的围绕圆桌而坐，样本空间样本点总数为
而事件A为甲乙两人坐在一起，且乙在甲的左边，可将两人“捆绑”在一起，看成是“一个”人占“一个”座位，有利于事件A发生的样本点个数为(n?2)! 于是P(A)?(n?2)!1? (n?1)!n?1
（n?1）!，而事（2）n个朋友随机的围绕圆桌而坐，样本空间样本点总数为
篇二：概率论与数理统计教程(茆诗松)
2004年7月第1版
2008年4月第10次印刷
第一章 随机事件与概率
1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象
在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.在相同条件下可以重复的随机现象又称为随机试验.
1.1.2 样本空间
随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为??={??}，其中??表示基本结果，又称为样本点.样本点是今后抽样的最基本单元.
1.1.3 随机事件
随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件.
1.1.4 随机变量
用来表示随机现象结果的变量称为随机变量.
1.1.7 事件域
定义1.1.1 设??为一样本空间，?为??的某些子集所组成的集合类.如果?满足：
(1) ??∈?；
(2)若??∈?，则对立事件??∈?；
(3)若????∈?,??=1,2,…，则可列并 ∞??=1????∈?.
则称?为一个事件域，又称为??代数.
在概率论中，又称(??,?)为可测空间.
1.2 概率的定义及其确定方法
1.2.1 概率的公理化定义
定义1.2.1设??为一样本空间，?为??的某些子集所组成的一个事件域.若对任一事件??∈?，定义在?上的一个实值函数??(??)满足：
(1)非负性公理 若??∈?，则?? ?? ≥0；
(2)正则性公理 ?? ?? =1；
(3)可列可加性公理 若??1,??2,…,????互不相容，有
∞∞
?? ???? = ?? ????
??=1??=1
则称??(??)为事件??的概率，称三元素(??,?,??)为概率空间.
第二章 随机变量及其分布
2.1 随机变量及其分布
2.1.1 随机变量的概念
定义2.1.1 定义在样本空间??上的实值函数??=??(??)称为随机变量.
2.1.2 随机变量的分布函数
定义2.1.2 设??是一个随机变量，对任意实数??，称
?? ?? =??(??≤??)
为随机变量??的分布函数.且称??服从?? ?? ，记为??~?? ?? .
2.1.4 连续随机变量的概率密度函数
定义2.1.4 设随机变量??的分布函数为?? ?? ，如果存在实数轴上的一个非负可积函数??(??)，使得对任意实数??有
?? ?? = ??(??)????
则称??为连续随机变量，称??(??)为??的概率密度函数，简称为密度函数. 密度函数的基本性质
(1)非负性 ?? ?? ≥0；
(2)正则性 ?∞??(??)????=1.
第三章 多维随机变量及其分布
3.1 多维随机变量及其联合分布
3.1.1 多维随机变量
定义3.1.1 如果??1 ?? ,…,???? ?? 定义在同一个样本空间??={??}上的??个随机变量，则称
?? ?? =(??1 ?? ,…,???? ?? )
为??维(或??元)随机变量或随机向量.
3.1.2 联合分布函数
定义3.1.2 对任意的??个实数??1,…,????，则??个事件 ??1≤??1 ,…, ????≤???? 同时发生的概率
?? ??1,…,???? =??(??1≤??1,…,????≤????)
称为??维随机变量(??1,…,????)的联合分布函数.
3.4 多维随机变量的特征数
3.4.5 随机向量的数学期望与协方差阵
定义3.4.3 记??维随机向量为??=(??1,…,????)′，若其每个分量的数学期望都存在，则称
?? ?? =(??(??1),…,??(????))′
为??维随机向量??的数学期望向量，简称为??的数学期望，而称
??????(??1)??????(??1,??2)…??????(??1,????)
′??????(??2,??1)??????(??2)…??????(??2,????)?? ????? ??????? ??=…………??????(????,??1)??????(????,??2)…??????(????)
为该随机向量的方差—协方差阵，简称协方差阵，记为??????(??).
例3.4.12(??元正态分布) 设??维随机变量??=(??1,…,????)′的协方差阵为??=??????(??)，数学期望向量为??=(??1,…,????)′.又记??=(??1,…,????)′，则由密度函数
?? ??1,…,???? =?? ?? =1(? ????? ′???1(?????)) ??????? 2?? (????????)1+∞?∞??
定义的分布称为??元正态分布，记为??~?? ??,?? .
第四章 大数定律与中心极限定理
4.1 特征函数
4.1.1 特征函数的定义
定义4.1.1 设??是一个随机变量，称
?? ?? =?? ???????? ,?∞<??<+∞
为??的特征函数.设??(??)是随机变量??的密度函数，则
?? ?? = +∞
??????????(??)????
?∞
4.2 大数定律
4.2.1伯努利大数定律
定理4.2.1(伯努利大数定律) 设????为??重伯努利试验中事件??发生的次数，??为每次试验中??出现的概率，则对任意的??>0，有
????????????{ ??? <??}=1 ??→+∞4.2.2 常用的几个大数定律
4.3 随机变量序列的两种收敛性
4.3.1 依概率收敛
定义4.3.1(依概率收敛) 设{????}为一随机变量序列，??为一随机变量，如果对任意的??>0，有
??→+∞????????{ ??????? <??}=1
??则称{????}依概率收敛于??，记作????→??.
4.4 中心极限定理
4.4.2 独立同分布下的中心极限定理
定理4.4.1(林德贝格—勒维中心极限定理) 设{????}是独立同分布的随机变量序列，且?? ???? =??,?????? ???? =??2>0.记 ??+?+????????????=则对任意实数??有 ????21??????????(????≤??)=?? ?? =??2???? ??→+∞?∞
第五章 统计量及其分布
第六章 参数估计
第七章 假设检验
第八章 方差分析与回归分析
篇三：概率论与数理统计教程习题答案
第一章 事件与概率
1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。
(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。 解 (1)记9个合格品分别为 正1,正2，?，
正9，记不合格为次，则
(正2，正4)，?，(正2，正9)，(正2，次)，??{(正1，正2)，(正1，正3)，?，(正1，正9)，(正1，次)，(正2，正3)，
(正3，正4)，?，(正3，正9)，(正3，次)，?，(正8，正9)，(正8，次)，(正9，次)}
A?{(正1，次)，(正9，次)} (正2，次)，?，
(2)记2个白球分别为?1，3个黑球分别为b1，4个红球分别为r1，则??{?1，r3，b3，?2，b2，r4。r2，
?2，b1，b2，b3，r1，r2，r3，r4}
(ⅰ) A?{?1，?2}(ⅱ) B?{r1，r2，r3，r4}
1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年
级学生，事件C表示该生是运动员。
(1) 叙述ABC的意义。
(2)在什么条件下ABC?C成立？ (3)什么时候关系式C?B是正确的？ (4) 什么时候A?B成立？
解 (1)事件ABC表示该是三年级男生，但不是运动员。
(2) ABC?C 等价于C?AB，表示全系运动员都有是三年级的男生。 (3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
1.3 一个工人生产了n个零件，以事件Ai表示他生产的第i个零件是合格品（1?i?n）。用Ai表示下列事件：
(1)没有一个零件是不合格品； (2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。
n
nnn
i
n
解 (1) ?Ai;(2) ?Ai?
i?1
?A
i?1
; (3) ?[Ai(?Aj)];
i?1
j?1j?i
n
i?1
(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为?AiAj；
i,j?1
i?j
1.4 证明下列各式： (1)A?B?B?A; (2)A?B?B?A
(3)(A?B)?C(4)(A?B)?C
?A?(B?C);
?A?(B?C)
(5)(A?B)?C(6)
n
n
?(A?C)?(B?C)
?
i?1
Ai?
?A
i?1
i
证明 （1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。
1.5 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。
解 样本点总数为A82?8?7。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事件A“所得分数为既约分数”包含
A3?2A3?A5?2?3?6个样本点。于是
2
1
1
P(A)?
2?3?68?7
?
914
。
1.6 有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。
解 样本点总数为?????10。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必须是3、5、7或3、7、
?3??5?
9或多或5、7、9。所以事件A“所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点，于是P(A)?
310
。
1.7 一个小孩用13个字母A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？
解 显然样本点总数为13!，事件A“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含3!2!2!2!个样本点。所以
P(A)?
3!2!2!2!13!
?4813!
1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。 解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于9?10?1?89个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的9?8?17个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为
P(A)?
1789
1.9 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。
解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为97。事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含A个样本点，于是P(A)?
7
9
A99
7
7
。
1.10 某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？
?9?
解 用A表示“牌照号码中有数字8”，显然P(A)????，所以
10000?10??9?
P(A)?1-P(A)?1??1???
1000010??
9
4
4
9
4
4
1.11 任取一个正数，求下列事件的概率：
(1)该数的平方的末位数字是1； (2)该数的四次方的末位数字是1；
(3)该数的立方的最后两位数字都是1； 解 (1) 答案为。
51
(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是1，所以答案为
410
?
25
(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含102个样本点。用事件A表示“该数的立方的最后两位数字都是1”，则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字为a，则该数的立方的最后两位数字为1和3a的个位数，要使3a的个位数是1，必须a?7，因此A所包含的样本点只有71这一点，于是
。
1.12 一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到2n根草的情形。
解 (1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有5?3?1种接法，同样对尾也有5?3?1种接法，所以样本点总数为(5?3?1)2。用A表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有5?3?1种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为4?2。所以A包含的样本点数为(5?3?1)(4?2)，于是P(A)?
(5?3?1)(4?2)(5?3?1)
2
?
815
(2) 2n根草的情形和(1)类似得
1.13 把n个完全相同的球随机地放入N个盒子中（即球放入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的）。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有k
?N?n?k?2?
????n?k个球的概率为???N?n?1?????n??
??n?1?
????N?m?1?????
，0?k?n
(2)恰好有m
?N?
个盒的概率为??m
，N?n?m?N?1
?N?n?1?
????n??
(3)指定的m个盒中正好有j
?m?j?1??N?m?n?j?1????????m?1n?j个球的概率为?????
?N?n?1?????n??
，1?m?N,0?j?N.
解 略。
1.14 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。
解 所求概率为P(A)?
35
n?1n
1.15 在?ABC中任取一点P，证明?ABP与?ABC的面积之比大于解 截取CD??
1nCD
的概率为
1n
2
。
n?1n
，当且仅当点P落入?CA?B?之内时?ABP与?ABC的面积之比大于
2
，因此
1?n
2
所求概率为P(A)?
?A?B?C有面积?ABC的面积
?
CD?CD
CD?
2
2
2
?
1n
2
。
CD
1.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。
解 分别用x,y表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当
24
0?x?y?2,0?y?x?1。因此所求概率为P(A)?
2
?
1?23?24
2
2
1?22
2
?0.121
1.17 在线段AB上任取三点x1,x2,x3，求： (1) x2位于x1与x3之间的概率。
(2) Ax1,Ax2,Ax3能构成一个三角形的概率。 解 (1) P(A)?
13
(2) P(B)?
1?3?
1
13
?
12?12
1.18 在平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，该三角形的边长为a,b,c（均小于d），求三角形与平行线相交的概率。
解 分别用A1,A2,A3表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然P(A1)?P(A2)?0.所求概率为P(A3)。分别用Aa,Ab,Ac,Aab,Aac,Abc表示边a,b,c，二边ab,ac,bc与平行线相交，则P(A3)?
P(Aab?Aac?Abc).
显然P(Aa)P(Aab)?P(Aac)，P(Ab)?P(Aab)?P(Abc)，
P(Ac)?P(Aac)?P(Abc)。所以
12
P(A3)?
[P(Aa)?P(Ab)?P(Ac)]?
22?d
(a?b?c)?
1
?d
(a?b?c)
（用例1.12的结果）
1.19 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。 解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段内随机投点。则事件A“该点命中AB的中点”的概率等于零，但A不是不可能事件。
1.20 甲、乙两人从装有a个白球与b个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。
b个???
解?1表示白，?2表示黑白，?3表示黑黑白，??b?1表示黑?黑白
，
则样本空间??{?1，?2，?，?b?1}，并且P({?1})?
P({?2})?
b
a?ba?b?1
?
a
aa?ba
， ，?，
， P({?3})?
???
b
a?ba?b?1a?b?2
?
b?1
?
P({?i})?
b
a?ba?b?1
b!a
?
b?1b?(i?2)
a?b?(i?2)a?b?(i?1)
?
a
P({?b?1})?
(a?b)(a?b?1)?a
甲取胜的概率为P({?1})+P({?3})+P({?5})+? 乙取胜的概率为P({?2})+P({?4})+P({?6})+?
1.21 设事件A,B及A?B的概率分别为p、q及r，求P(AB)，P(AB)，P(AB)，P(AB) 解 由P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)得
P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?p?q?rP(AB)?P(A?AB)?P(A)?P(AB)?r?qP(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?r
，P(AB)?r?p
1.22 设A1、A2为两个随机事件，证明： (1) P(A1A2)?1?P(A1)?P(A2)?P(A1A2);
(2) 1?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2).
证明 (1) P(A1A2)?P(A1?A2)?1?P(A1?A2)=1?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)
(2) 由(1)和P(A1A2)?0得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。 1.23 对于任意的随机事件A、B、C，证明：P(AB)?P(AC)?P(BC)?证明 P(A)?P[A(B?C)]?P(AB)?P(AC)?P(ABC)
P(A)
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