篇一：数学建模陈东彦版课后答案
第一部分 练习与思考题
2.9-3.7 3.6-5.144.1-7.14.4-7.35.9-11.1 5.1-9.1 6.5-4.7 6.10-4.14
第1章 建立数学模型
1.1 在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？（稳定的椅子问题见姜启源《数学模型》第6页）
1.2 在商人们安全过河问题中，若商人和随从各四人，怎样才能安全过河呢？一般地，有n名商人带n名随从过河，船每次能渡k人过河，试讨论商人们能安全过河时，n与k应满足什么关系。（商人们安全过河问题见姜启源《数学模型》第7页）
1.3 人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。问人、狗、鸡、米怎样过河？
1.4 有3对夫妻过河，船至多载两人，条件是任一女子不能在其丈夫不在的情况下与其他的男子在一起。问怎样过河？
1.5 如果银行存款年利率为5.5%，问如果要求到2010年本利积累为100000元，那么在1990年应在银行存入多少元？而到2000年的本利积累为多少元？
1.6 某城市的Logistic模型为
dNdt?125N?1
25?10
6N2，如果不考虑该市的流动人口的影响以及非正常死亡。设该市1990
年人口总数为8000000人，试求该市在未来的人口总数。当t??时发生什么情况。
1.7 假设人口增长服从这样规律：时刻t的人口为x(t)，最大允许人口为xm，t到t??t时间内人口数量与xm?x(t)成正
比。试建立模型并求解，作出解的图形并与指数增长模型和阻滞增长模型的结果进行比较。
1.8 一昼夜有多少时刻互换长短针后仍表示一个时间？如何求出这些时间？
1.9 你在十层楼上欲乘电梯下楼，如果你想知道需要等待的时间，请问你需要有哪些信息？如果你不愿久等，则需要爬上或爬下几个楼层？
1.10 居民的用水来自一个由远处水库供水的水塔，水库的水来自降雨和流入的河流。水库的水可以通过河床的渗透和水面的蒸发流失。如果要你建立一个数学模型来预测任何时刻水塔的水位，你需要哪些信息？
第2章 初等模型
2.1 学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者.
（2）2.1节中的Q值方法.
（3）d’Hondt方法： 将各宿舍的人数用正整数n?1,2,
3,?相除，其商数如下表：
将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配席位.你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额.将3种方法两次分配的结果列表比较.
（4）你能提出其他的方法吗.用你的方法分配上面的名额. 2.2 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种想象了吗.比如洁银牙膏50克装的每支1.50元,120克装的每支3.00元,二者单位的重量的价格比是1.2:1,试用比例方法构造模型解释这个现象.
（1）分析商品的价格C与商品重量W的关系.价格由生产成
本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量W成正比，有的与表面积成正比，还有与W无关的因素。
(2)给出单位重量价格C与W的关系。画出它的简图，说明W越大C越小，但是随着W的增加C减小的程度变小。解释实际意义是什么。
2.3 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用与测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假设鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到了8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：
先用机理分析建立模型，再用数据确定参数。 2.4用已知尺寸的矩形板材加工一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法使加工出尽可能多的圆盘。
2.5雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速与雨滴质量的关系。
2.6生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物体重与心率之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。
2.7 举重比赛按照运动员的体重分组,你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重之间的关系吗。下面是一界奥运会竞赛的成绩，可供检验你的模型。
2.8 速度为v的风吹在迎风面积s为的风车上，空气密度是
?。用量纲分析方法确定风车获得的功率P与v，s，?的关系。
2.9 雨速的速度v与空气密度?、粘滞系数?和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩力与
速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数。用量纲分析方法给出速度v的表达式。
2.10 原子弹爆炸时巨大的能量从爆炸点以冲击波形式向四周传播。据分析在时刻t冲击波达到的半径r与释放能量e，大气密度?，大气压强p有关（设t?0时r?0）。用量纲分析方法
?et2
证明，r?????
?????p5t6?????e2?3???
，?是未定函数。 2.11 用量纲分析方法研究人体浸在匀速流动的水里时损失
的热量。记水的流速v，密度?，比热c，粘性系数?，热传导系数k，人体尺寸d。证明人体与水的热交换系数h与上述各物理量的关系可表为h?
kd????v?d??,?c?
k???
，?是未定函数，h定义为单位时间内人体的单位面积在人体与水的温差为1?
C时的热量交换。
2.12 在小说《格里佛游记》中,小说国中的人们决定给格里佛相当与一个小人食量1728倍的食物.他们是这样推理的,因格里佛身高是小人的12倍.他的体格是小人的123?1728倍.所以他需要的食物是一个小人的食量的1728倍.为什么他们的推理是错误的?正确的答案是什么?
2.13 战后Olympic运动会女子铅球记录如下:
你是否可以从这些数据中预测2000年的奥运会女子铅球的最佳
成绩.
第3章 简单的优化模型
3.1 在存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用。重新确定最优订货周期和订货批量。证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样。而在允许缺货模型中最优订货周期和定货批量都比原来结果减少。
3.2 建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速率为常数k，销售速率为常数r，k?r在每个生产周期T内，开始的一段时间(0?t?T0)一边生产一边销售，后来的一段时间(T0?t?T)只销售不生产，画出贮存量q(t)的图形。设每次生产准备费为c1，单位时间每件产品贮存费为c2，以总费用最小为目标确定最优生产周期。讨论k??r和k?r的情况。
3.3 在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度?与开始救火时的火势b有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型。
3.4 在雨中从一处沿直线跑道另一处，若雨速为常数且方向不变。试建立数学模型讨论是否跑的越快，淋雨量越少。将人体简化成一个长方体，高a?1.5m（颈部以下），宽b?0.5m，厚
c?0.2m，设跑步距离d?1000m，跑步最大速度vm?5m/s，
雨速u?4m/s，降雨量w?2cm/h，记跑步速度为v。按以下
步骤进行讨论：
（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。
（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，
且与人体的夹角为?，如图1，建立总淋雨量与速度v及参数a，
b，c，d，u，w，?之间的关系，问速度v多大，总淋雨量
最少。计算??0?，??30?
时的总淋雨量。
（3）雨从背后吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且
与人体的夹角为?，如图2。建立总淋雨量与速度v及参数a，
b，c，d，u，w，?之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。计算??30?
时总淋雨量。
（4）以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对(3)作图（考 虑?的影响），并解释结果的实际意义。
（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什 么变化。
图1
图2
3.5 甲乙两公司通过广告来竞争销售商品的数量，广告费分别是x和y。设甲乙公司商品的售量在两公司总售量中占的份额，是它们的广告费在总广告中所占份的函数f(
xx?y)和f(yx?y
)。又设公司的收入与售量成正比，从收入中扣除广告费即为公司的
利润。试构造模型的图形，并讨论甲公司怎样确定广告费才能使
利润最大。
（1）令t?x
x?y
，则f(t)?f(1?t)?1。画出f(t)的示意图。
（2）写出甲公司利润的表达式p(x)。对于一定的y，使p(x)最大的x的最优值应满足什么关系。用图解法确定这个最优值。 3.6 人行走时作的功是抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和。试建立模型讨论在作功最小的准则下每秒走几步最合适（匀速行走）。
（1）设腿长l，步长s，证明人体重心在行走时升高
??s2l(s?l)
（2）将腿看作均匀直杆，行走看作腿绕腰部的转动。设腿的质量m，行走速度v，证明单位时间所需动能为mv2s。
（3）设人体质量M，证明在速度v一定时每秒行走 n?
3Mg
4ml
步作功最小。Mm?4,l?1m分析这个结果合理吗。
（4）将（2）的假设修改为：腿的质量集中在脚部，行走看作脚的直线运动。证明结果应为n?
Mg
4ml
步。分析这个结果合理。
3.7 驶于河中的渡轮，它的行驶方向要受水流的影响。船在河的位置不同，所受到水流的影响也不同。试设计一条使渡轮到达对岸时间最短的航线。
3.8 发电站的设计者们在堰坝上安装水轮机，当潮水通过堰
3.9 别为p，q室（如图所示）少应宽多少？
3.10 程中鱼类选择的消耗能量最小的运动方式。
（1）设鱼总是以常速v运动，鱼在水中净重w，向下滑行时的阻力是w在运动方向的分力；向上游动时所需的力是w在运动方向分力与游动所受阻力之和，而游动的阻力是滑行阻力的k倍，水平方向游动时阻力也是滑行阻力的k倍，写出这些力。
（2）证明当鱼要从A点到达处于同一水平线上的B点时（见下图），沿折线ACB运动消耗的能量与沿水平线AB运动消耗的能量之比为（向下滑行不消耗能量）ksin??sin?
ksin(???)
。
（3）根据实际观察 C tan??0.2，试对不同
的k值（1.5，2，3）， 根据消耗能量最小的准则 估计最佳的?值。
B
篇二：数学建模
2009-2010第二学期 《数学建模》选修课试题卷
班级： 姓名： 学号： 成绩：
一、解释下列词语(每条词语满分5分，共15分)
1．原型：人们在现实世界中关心、研究或从事生产、管理的实际对象称为原型。原
型包括研究对象、实际问题等。
2．数学模型：是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。也可定义为由数字、字母或其它数学符号组成，描述实际对象数量规律的数学公式、图形或算法。
3．思维模型：思维模型是通过抽象、概括和一般化，把研究的对象或问题转化为本质（一个已有的关系或结构），从而加以解决问题的思维方法。
二、简答题（每小题满分8分，共24分）
1.模型的分类
（1）按时间变化对模型的影响，可分为时变和时不变模型，静态与动态模型等。
（2）按变量情况可分为离散模型和连续模型，确定性与随机性模型等 （3）按实际系统与周围环境相互关系可分为自治的或非自治模型。
（4）按研究方法和对象的数学特征，可分为优化模型、逻辑模型、稳定性模型、扩散模型等。
（5）按研究对象的实际领域可分为人口模型、交通模型、生态模型、经济模型、社会模型等。
2．数学建模的基本步骤
（1） 根据问题的背景和建模的目的做出假设； （2） 用字母表示要求的未知量；
（3） 根据已知的常识列出数学式子或图形； （4） 列出数学式子的解答；
（5） 验证所得结果的正确性。
3．数学模型的作用
数学模型在解决具体的实际问题中具有优点:首先在于数学模型为原型提供了简洁的形式化语言。它用数学符号、图像、公式揭示原型的性质、规律和结构等,便于人们把握原型系统。而数学模型所提出的数学问题的解完全依赖于数学的概念、命题、演算方法和逻辑推理。这又为人们提供了抽象思维的工具。所以数学模型也是人们把握感情经验无法把握的客观现象的有效手段。 再有,科学发展的一条规律是从定性描述到定量分析,数学模型就为具体问题提供了数量分析和计算方法,牛顿运动定律和开普勤的行量运动三大定律都是数学上定量分析的结果。
三、解答题（满分20分）
A 题 (3n, 3n+1)
小童父亲要到美国访问，授人之托希望多带点东西。中国民航的《国际旅
游须知》中有关“计件免费行李额”中规定“适应于中美、中加国际航线上的行李运输……。经济和旅游折扣票价，免费交运的行李件数为两件，每件箱体三边之和不得超过62英寸，但两件之和不得超过107英寸，每件的最大重量不得超过32公斤。”试问这两件箱子的长、宽、高各为多少可达最大体积？请你到市场上看一看，商店出售的行李箱的尺寸与你的计算结果是否接近？为什么？
解：设x1,y1,z1分别表示第一个箱子的长、宽、高，x2,y2,z2分别表示第二个箱子的长、宽、高。于是建立模型如下：
Max V=x1*y1*z1+x2*y2*z2 s.t.
x1+y1+z1<=62 x2+y2+z2<=62
max{x1,y1,z1}+max{x2,y2,z2}<=107
x1>0,y1>0,z1>0,x2>0,y2>0,z2>0
当x1=y1=z1=x2=y2=z2=64/3时，体积最大。
B 题 (3n+1, 3n+2)
录像带上有一个四位计数器，一盘180分钟的录像带在开始计数时为0000，到结束时计数为1849，实际走时为185分20秒. 我们从0084观察到0147共用时3分20秒.若录像机目前的计数为1428，问是否还能录完一个60分钟节目？建立数学模型给于回答.
解：设录像带的厚度为d，录像带速度为v，圆盘半径为r，计数器n所用时间为t，于是
:
??1n??r??2?d?a?b?
1
?2
??
?r2??
dvt?an2?bn
842a?84b?t1
1472a?147b?t2
18492a?1849b?11120于是：t2?t1?200
165380
94237983260965420b?
94237983
22
进而所用时间：?t?a?1849?1428??b?1849?1428??3586.96
a?
所以不能录完一个六十分钟的节目
四，综合题(41分)
E . 跑步中的数学问题(3n+1, 3n)
跑步是基本活动技能，是人体快速移动的一种动作姿势。跑步和走路的主要区别在于两腿在交替落地过程中有一个腾空阶段。跑步是最简便而易见实效的体育健身内容。近二三十年来，跑步已成为国内外千百万人参加的群众健身运动， 是深受广大群众所欢迎的健身项目。人们普遍认为跑步是最好的健身方法。 每个正常人都经历过跑步，有人会疲惫不堪。 我们的问题是：怎样跑不能使我们消耗的能量尽可能的少？
一、论文题目：跑步中的数学问题
二、论文摘要：跑步跟走路之间的区别在于，跑步有一个双腿腾空的过程，不像走路，两脚至少有一个脚是着地的，在两脚腾空的时候我们会做功，这时的功率比走路时大，大家都将
跑步当成是最简便的健身方法，但是有的人方法不对，就会累的气喘嘘嘘，今天我们主要研究怎么样跑步最省力气，也就是说耗能最小。 三、双腿腾空、健身、气喘吁吁、耗能最小。 四、论文正文： （一）、问题重述：跑步跟走路之间的区别在于跑步有一个两脚腾空的阶段，在这个阶段中我们会做功，近二三十年来，人们普遍把跑步当成是锻炼身体最简捷的方法，但是还是有一些人跑完步会气喘吁吁，我们今天的问题是：怎样跑步最省力气？ （二）、问题分析：将跑步所花费的时间分成两部分：第一部分为两腿同时离开地面的时间；第二部分为一条腿或两条腿同时离开地面的时间。 （三）、模型假设：设研究者的质量为m，重心大概位臵为h,跨步距离为a,腿长为b,跑步时中心变化高度为d，速度为v，腿部力量为m' （四）、模型设计及计算结果
（1） 根据重心高度h，跨步距离a、腿长b、跑步时变化高度d，可列以下方程
da? hb
(2) 假设跑步是匀速的，跑步所消耗的能量为 Wf??h?d?mg Ws?
1'2
mv2
1'2mv 2
于是，跑步时所消耗的能量总和为
W?Wf?Ws??h?d?mg?
'
3
（3） 用L表示人的身高、不妨设m、m与L成正比，a与L成正比，即 m?C1L3,m'?C2L3,a?C3L. 模型求解
重心离开B上升到最高点所需要的时间t? 因此，最高的高度为
b 2v
12gb2
h?gt?
28v2
所以
8v22
?a?b?,从而单位时间所消耗的 能量为
又因为完成一个周期跑步的时间为
v
Wbmg2m'v3
p???
8v2a?bv
再由第二假设，令b=ja,于是
?a?b?bmg21'2
?mvW?
L4v3L2
p?C4j? ?C5?
1?jv
dp
?0,有再令dj
C5v4v4
??1?j??
C4L2L2
2
所以，人在跑步时速度的平方等于身高时，最省力气。
F .飞机降落曲线(3n+2, 3n+1)
在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分析飞机的降落曲线（图1）. 根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条五次多项式. 飞行的高度为h，飞机着陆点O为原点，且在这个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数u. 出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值
g
不得超过，此处g是重力加速度. 1. 若飞机从距
10
图1
降落点水平距离s处开始降落，试确定出飞机的降落曲线. 2. 求开始下降点s所能允许的最小值.
1．论文题目：飞机降落曲线
2．论文摘要：为了飞机降落的的安全性，需要研究飞机降落的曲线和允许的最低高度。利用数学建模知识和高数知识，对该问题进行研究。
3．关键词：问题研究 求解 结果分析 4．论文正文： （1）问题提出：技术人员在研究飞机的自动着陆系统时，必须考虑飞行高度，着陆点，飞机的水平速度和垂直加速度之间的关系。现要设计一个安全降落系统，从而确定飞机降落曲线和下降点的最小值。
（2）问题分析：
a.根据题目得到一个关于飞机降落曲线的五次多项式：
y?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4?a5x5;
b.根据高数知识求各阶导数，代入相应数值，得到各项系数;
c.对得到的曲线方程求关于时间t的两阶导数，得到垂直加速度小于等于则可求出s。
（3）模型假设：
a.假设飞机降落曲线函数y是以水平距离x为自变量的连续函数。 b.降落过程中忽略一切自然因素（包括天气状况等）的影响。 c.飞机水平速度不变。 d.降落的加速度不变。
e.飞行员操作误差忽略不记。f.飞行过程中没有任何事故。 （4）模型设计：h——飞行高度 x——水平距离 y——飞行曲线函数 u——飞机水平速度 t——时间变量 （5）模型的求解与结果： 解：设曲线方程为：
g，10
y?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4?a5x5
由已知条件得：
y(0)?a0?0
y(s)?a0?a1s?a2s?a3s?a4s?a5s?h y'(0)?a1?0
y(s)?a1?a2s?a3s?a4s?a5s?0
'
2
3
4
2
3
4
5
篇三：数学建模
承 诺 书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：
参赛队员 (打印并签名) ：1.指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)
日期： 2010 年 11 月 22 日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编 号 专 用 页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
对等高线图转化为三维地形图以及水的流向的探讨
摘要：
在等高线地形图上，根据等高线不同的弯曲形态，可以判读出地表形态的一般状况。
等高线呈封闭状时，高度是外低内高，则表示为凸地形（如山峰、山地、丘顶等）；等高线高度是外高内低，则表示的是凹地形（如盆地、洼地等）。等高线是曲线状时，等高线向高处弯曲的部分表示为山谷；等高线向低处凸出处为山脊。数条高程不同的等高线相交一处时，该处的地形部位为陡崖，并在图上绘有陡崖图例。由一对表示山谷与一对表示山脊的等高线组成的地形部位为鞍部。等高线密集的地方表示该处坡度较陡；等高线稀疏的地方表示该处坡度较缓。
问题一：由等高线图转换为三维地形图有好多种方法，本文用坡度、坡向、等高线膨胀法以及建立空间直角坐标系的方法建立数学模型，把等高线图转化成三维地形图。
问题二：把地面无限细分为无限个单元格。根据DEM栅格单元和八个相邻单元格之间的最大坡度来确定水流方向。
关键字 ：
坡度、坡向、等高线膨胀法、直角坐标系、DEM
问题一：
一、 问题重述：
等高线能反映地表起伏的势态和地表形态的特征。随着计算机技术和图像仿真技术的发展，人们越来越需要真实的地貌环境。以前的等高线地形图上存在一些重要信息，需要还原为三维立体图形。建立数学模型，根据等高线生成三维地形图，评价模型的合理性。
二、模型假设：
2.1假设地表不存在微小的凹凸，只考虑由等高线图生成三维地形图。 2.2假设三维地形图的函数
X?kX?i?kXhl?100%
?f?
Y?kY?a?kYarctan?X?
?fY?
Z?M?f(MX,MY)
是连续的。
三、符号说明：
M高程
MX 地面上某点M的X轴坐标 MY 地面上某点M的Y轴坐标
i 坡度
h地面上某点的铅直高度 l 地面的水平宽度
fXX方向高程变化率 fY是Y方向高程变化率
a 坡向
h1 等高线 h2 等高线 h3 等高线 h4 等高线 h5 等高线
kX X轴的权重系数
kY Y轴的权重系数
四、模型分析：
利用D8算法根据DEM栅格单元和八个相邻单元之间的最大坡降来确定水流的流向，即通过图论的方法来判断局部范围内的最低点，进而来判断水流的流向。
五、模型建立与求解
5.1高程：
高程指的是某点沿铅垂线方向到绝对基面的距离，成为绝对高程，简称高程。“高程”是测绘用词，通俗的理解，高程其实就是海拔高度。“高程”是确定地面点位置的一个要素。高程测量的方法有水准测量和三角高程测量，水准测量是精密测定高程的主要方法。水准测量是利用能提供水平视线的仪器(水准仪)，测定地面点间的高差，推算高程的一种方法。
若已知地面上某点M的平面位置
(MX,MY)
则该点的高程为：
M?f(MX,MY)
《数学建模陈东彦版课后答案》出自：百味书屋
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