篇一：线性代数练习册第四章习题及答案
第四章 线性方程组
4-1 克拉默法则
一、选择题
1．下列说法正确的是（ C）
A.n元齐次线性方程组必有n组解； B.n元齐次线性方程组必有n?1组解；
C.n元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；
D.n元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B）
A.当D?0时，非齐次线性方程组只有唯一解； B.当D?0时，非齐次线性方程组有无穷多解； C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则D?0； D.若非齐次线性方程组有无解，则D?0. 二、填空题
??x1?x2?x3?0?
1．已知齐次线性方程组?x1??x2?x3?0有非零解，
?x?2?x?x?0
23?1
则?? 1，?? 0.
2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式D?0, 则方程组有唯一解xi?DiD
.
三、用克拉默法则求解下列方程组
?8x?3y?2
1．?
6x?2y?3?
解：
D?
86
32
??2?0
??5
D2?
86
23??12
D1?
23
32
，
D1D?52,y?
所以，x?
D2D
??6
?x1?2x2?x3??2?
2．?2x1?x2?3x3?1
??x?x?x?0
23?1
1D?2
?2111
1?3?1
r2?2r1r3?r1
100011010011
?23?1?5
1
?5??5?00
解：
?2D1?1
01D2?2
?11D3?2
?1
?1?211?210?211D1D
?3r1?2r21?11
05
?3??5?1?5?3??10?101??50D3D
，
?3r1?2r22?1?2
?15
，
1r1?2r220?1,x2?
?1D2D
?1
所以， x1??2,x3?
?2x?z?1?
3．?2x?4y?z?1
??x?8y?3z?2?
2D?2
048?1
?10048
?1
?1?20?03
解：
1D1?1
22D2?2
?12D3?2
?1
?1c1?2c303
1
0482
50
?1048112048D1D
?1c3?c113?1
2
0?205112048
00?0511?202D3D
，
?1c3?c2231
?10
，
1c1?2c302?1,y?
?5D2D
?1
所以， x??0,z?
?x1?x2?x3?x4?5?
?x1?2x2?x3?4x4??24．?
?2x1?3x2?x3?5x4??2?3x?x?2x?11x?0
234?1
解：
1D?
1231??5?2
12?31?2?3?15D1?
?2?205??2?2
1D2?
123?7??12?151D3?
123?2??511
5?2?212?31?1?555?2?20?2?3?15?2?20?10?1828
1?1?123?7812?31
14?511
r2?r1r3?2r1r4?3r1100
1000
11?5?23
8??142145
12?310
32??142?225?7?12?1500?112?310?2951
07?27
??426?13?31??28485?2?20
?10?182801?2?3?1
13?78?1?550
?10?18280
1?2?3?1
13?78
r2?5r1r3?2r11?1?12
1
?2?13?5
4c3?2c2?2?5c4?11c2?211
0?27231000
0?1?35
?10?18281?1?123?781
c1?5c2c3?10c2
14?511
r2?r1r3?2r1r4?3r1
2333?15?2?5
r1?2r3r2?3r3
4c1?3c2112c2?5c11c3?5c1
2?2?511
?5c4?11c211
1D4?
123?2??511
?1?55
12?315?2?2
D1D
1?1?12
5?212?315
?1?550
5?2?20
?2c1?3c2?5?2c3?2c2110
?256
D2D
0?100
r3?r2r2?5r1
?27?142?4
D3D
?3,x4?
D4D
??1
所以， x1??1,x2??2,x3?
4-2 齐次线性方程组
一、选择题
1．已知m?n矩阵A的秩为n?1，?1,?2是齐次线性方程组AX?0 的两个不同的解，k 为任意常数，则方程组AX?0的通解为（ D ）. A.k?1； B.k?2；C.k(?1??2)； D.k(?1??2).
解：因为m?n矩阵A的秩为n?1，所以方程组AX?0的基础解系 含1个向量。而?1,?2是齐次线性方程组AX?0的两个不同的解， 所以?1??2?0为AX?0的解，则方程组AX?0的通解为k(?1??2)。
?kx1?x2?x3?0?
2．设线性方程组?x1?kx2?x3?0 有非零解，则正确的是（ C ）
?2x?x?x?0
23?1
A.k必定为0； B. k必定为1；
C. k为0或1； D.这样的k值不存在.
?a1b1?a2b1
3．A??
?M??anb1
a1b2a2b2Manb2
LLOL
a1bn?
?a2bn
?,且a?0(i?1,2,L,n)，?0(j?1,2,L,n)， bij?M?anbn?
则Ax?0的基础解系中含有（A）个向量.
A.n?1； B.n； C.1； D.不确定.
?a1b1?a2b1
解：因为A??
?M??anb1
a1b2a2b2Manb2
LLOL
a1bn??a1?
???a2bna
???2??b
1
M??M????anbn??an?
b2
L
bn?
所以，R(A)?1；又a1b1?0?R(A)?1，所以，R(A)?1。
4．设A为n阶方阵，r(A)?n?3 ，且a1,a2,a3是Ax?0的三个 线性无关的解向量，则Ax?0的基础解系为（ A）．
A．a1?a2,a2?a3,a3?a1；B．a2?a1,a3?a2,a1?a3； C．2a2?a1,二、填空题
1．n元齐次线性方程组Am?nX?0有非零解的充分必要条件是R(A)?n .
?(1??)x1?2x2?4x3?0
?
2．当??0或??2或??3时，齐次线性方程组?2x1?(3??)x2?x3?0有非零解.
?x?x?(1??)x?0
23?1
12
a3?a2,a1?a3； D．a1?a2?a3,a3?a2,?a1?2a3．
3．写出一个基础解系由?1???2,1,0?，?2??3,
T
0,
1?组成的
T
齐次线性方程组___ __x1?2x2?3x3?0.
?x1??2x2?3x3
?
解：方程组可为?x2?x2
?x?x3?3
即x1?2x2?3x3?0
篇二：线性代数练习册第四章习题及答案(本)
第四章 线性方程组
4-1 克拉默法则
一、选择题
1．下列说法正确的是（ C）
A.n元齐次线性方程组必有n组解； B.n元齐次线性方程组必有n?1组解；
C.n元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；
D.n元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B）
A.当D?0时，非齐次线性方程组只有唯一解； B.当D?0时，非齐次线性方程组有无穷多解； C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则D?0； D.若非齐次线性方程组有无解，则D?0. 二、填空题
??x1?x2?x3?0?
1．已知齐次线性方程组?x1??x2?x3?0有非零解，
?x?2?x?x?0
23?1
则?? 1，?? 0.
2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式D?0, 则方程组有唯一解xi?DiD
.
三、用克拉默法则求解下列方程组
?8x?3y?2
1．?
6x?2y?3?
解：
D?
86
32
??2?0
??5
D2?
86
23??12
D1?
23
32
，
D1D?52,y?
所以，x?
D2D
??6
?x1?2x2?x3??2?
2．?2x1?x2?3x3?1
??x?x?x?0
23?1
1D?2
?2111
1?3?1
r2?2r1r3?r1
100011010011
?23?1?5
1
?5??5?00
解：
?2D1?1
01D2?2
?11D3?2
?1
?1?211?210?211D1D
?3r1?2r21?11
05
?3??5?1?5?3??10?101??50D3D
，
?3r1?2r22?1?2
?15
，
1r1?2r220?1,x2?
?1D2D
?1
所以， x1??2,x3?
?2x?z?1?
3．?2x?4y?z?1
??x?8y?3z?2?
2D?2
048?1
?10048
?1
?1?20?03
解：
1D1?1
22D2?2
?12D3?2
?1
?1c1?2c303
1
0482
50
?1048112048D1D
?1c3?c113?1
2
0?205112048
00?0511?202D3D
，
?1c3?c2231
?10
，
1c1?2c302?1,y?
?5D2D
?1
所以， x??0,z?
?x1?x2?x3?x4?5?
?x1?2x2?x3?4x4??24．?
?2x1?3x2?x3?5x4??2?3x?x?2x?11x?0
234?1
解：
1D?
1231??5?2
12?31?2?3?15D1?
?2?205??2?2
1D2?
123?7??12?151D3?
123?2??511
5?2?212?31?1?555?2?20?2?3?15?2?20?10?1828
1?1?123?7812?31
14?511
r2?r1r3?2r1r4?3r1100
1000
11?5?23
8??142145
12?310
32??142?225?7?12?1500?112?310?2951
07?27
??426?13?31??28485?2?20
?10?182801?2?3?1
13?78?1?550
?10?18280
1?2?3?1
13?78
r2?5r1r3?2r11?1?12
1
?2?13?5
4c3?2c2?2?5c4?11c2?211
0?27231000
0?1?35
?10?18281?1?123?781
c1?5c2c3?10c2
14?511
r2?r1r3?2r1r4?3r1
2333?15?2?5
r1?2r3r2?3r3
4c1?3c2112c2?5c11c3?5c1
2?2?511
?5c4?11c211
1D4?
123?2??511
?1?55
12?315?2?2
D1D
1?1?12
5?212?315
?1?550
5?2?20
?2c1?3c2?5?2c3?2c2110
?256
D2D
0?100
r3?r2r2?5r1
?27?142?4
D3D
?3,x4?
D4D
??1
所以， x1??1,x2??2,x3?
4-2 齐次线性方程组
一、选择题
1．已知m?n矩阵A的秩为n?1，?1,?2是齐次线性方程组AX?0 的两个不同的解，k 为任意常数，则方程组AX?0的通解为（ D ）. A.k?1； B.k?2；C.k(?1??2)； D.k(?1??2).
解：因为m?n矩阵A的秩为n?1，所以方程组AX?0的基础解系 含1个向量。而?1,?2是齐次线性方程组AX?0的两个不同的解， 所以?1??2?0为AX?0的解，则方程组AX?0的通解为k(?1??2)。
?kx1?x2?x3?0?
2．设线性方程组?x1?kx2?x3?0 有非零解，则正确的是（ C ）
?2x?x?x?0
23?1
A.k必定为0； B. k必定为1；
C. k为0或1； D.这样的k值不存在.
?a1b1?a2b1
3．A??
?M??anb1
a1b2a2b2Manb2
LLOL
a1bn?
?a2bn
?,且a?0(i?1,2,L,n)，?0(j?1,2,L,n)， bij?M?anbn?
则Ax?0的基础解系中含有（A）个向量.
A.n?1； B.n； C.1； D.不确定.
?a1b1?a2b1
解：因为A??
?M??anb1
a1b2a2b2Manb2
LLOL
a1bn??a1?
???a2bna
???2??b
1
M??M????anbn??an?
b2
L
bn?
所以，R(A)?1；又a1b1?0?R(A)?1，所以，R(A)?1。
4．设A为n阶方阵，r(A)?n?3 ，且a1,a2,a3是Ax?0的三个 线性无关的解向量，则Ax?0的基础解系为（ A）．
A．a1?a2,a2?a3,a3?a1；B．a2?a1,a3?a2,a1?a3； C．2a2?a1,二、填空题
1．n元齐次线性方程组Am?nX?0有非零解的充分必要条件是R(A)?n .
?(1??)x1?2x2?4x3?0
?
2．当??0或??2或??3时，齐次线性方程组?2x1?(3??)x2?x3?0有非零解.
?x?x?(1??)x?0
23?1
12
a3?a2,a1?a3； D．a1?a2?a3,a3?a2,?a1?2a3．
3．写出一个基础解系由?1???2,1,0?，?2??3,
T
0,
1?组成的
T
齐次线性方程组___ __x1?2x2?3x3?0.
?x1??2x2?3x3
?
解：方程组可为?x2?x2
?x?x3?3
即x1?2x2?3x3?0
篇三：线性代数第四章练习题答案
第四章
二 次 型
练习4、1
1、写出下列二次型的矩阵
2
（1）f(x1,x2,x3)=2x12?x2?4x1x3?2x2x3；
（2）f(x1,x2,x3,x4)=2x1x2?2x1x3?2x1x4?2x3x4。
解：（1）因为
?2
?
f(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3)?0
?2??2?
所以二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为：?0
?2?
0?1?1
0?1?1
2???1?0??
?x1
??x2?x?3
???, ??
2???1?。 0??
（2）因为
?0??1
f(x1,x2,x3,x4)=(x1,x2,x3,x4)?
1??1??0??1
所以二次型f(x1,x2,x3,x4)的矩阵为：?
1??1?
1000
1001
1000
1001
1??0?1??0??
?x1
??x2?x?3?x?4????， ???
1??0?。 ?1?0??
2、写出下列对称矩阵所对应的二次型： ?
?1?
1
（1）??
?2?1??2
12
??0
1?
??
2??1
?
?2?； （2）2
??
??1?
2?????0
?
12?11212
?112012
?0??1?2?。 1??2?1???
?
0?2
T
解：（1）设X?(x1,x2,x3)，则
??1?
1
f(x1,x2,x3)=XTAX=(x1,x2,x3)??
?2?1??2
?
12
0?2
1??2??2?
??2??
?x1??x2?x?3??? ??
=x12?2x32?x1x2?x1x3?4x2x3。 （2）设X?(x1,x2,x3,x4)T，则
??0??1?
f(x1,x2,x3,x4)=XTAX=(x1,x2,x3,x4)2
???1???0?
12?11212
?112012
?0??1?2?1??2?1???
?x1??x2?x?3?x?4???? ???
22
=?x2?x4?x1x2?2x1x3?x2x3?x2x4?x3x4。
练习4、2
1、用正交替换法将下列二次型化为标准形，并写出所作的线性替换。
22
（1）f(x1,x2,x3)=2x1?x2?4x1x2?4x2x3；
（2）f(x1,x2,x3)=2x1x2?2x2x3；
222
（3）f(x1,x2,x3)=x1?2x2?3x3?4x1x2?4x2x3。
解：（1）二次型f(x1,x2,x3)的矩阵 ?2
?
A=??2
?0?
?21?2
0???2?。 0??
A的特征方程为
??2
det?(E?A)=
20
20
2=(??2)(?2?5??4)=0，
??12
?
由此得到A的特征值?1??2，?2?1，?3?4。
对于?1??2，求其线性方程组(?2E?A)X?0，可解得基础解系为
?1?(1,2,2)T。
对于?2?1，求其线性方程组(E?A)X?0，可解得基础解系为：?2?(2,1,?2)T。
对于?3?4，求其线性方程组(4E?A)X?0，可解得基础解系为：?3?(2,?2,1)T。
将?1,?2,?3单位化，得 ?1?
1
11
?1?(,
122T
,)， 33321
23
T
?2?
21
?2?(,,?
3323
)，
?3?令
3
?3?(,?
21T
,)， 33
?1??32
P=(?1,?2,?3)=?
?3?2??3
23132?3
2??3?2
??， 3?1??3?
??2?
则 PTAP=diag(-2,1,4)=?0
?0?
010
0??0?。 4??
作正交替换X=PY，即
122?
x?y?y?y3
12?1
333
?212?
?x2?y1?y2?y3，
333?
?x?2y?2y?1y3123?333?
二次型f(x1,x2,x3)可化为标准形：
222
?2y1?y2?4y3。
（2）类似题（1）方法可得：
?1??2?
P=?0
??1??2
??121212
?
1??2??0
?1?T
，PAP=?0?2?0?
?1?
?2?
020
??0?， ?2??
2
即得标准形：2y2?2
2y3。
（3）类似题（1）的方法可得： ?2??3
1
P=??
?3?2???3
132?323
2??3??2
?2?T
， PAP=?03??01???3?
050
0??0?， ?1??
222
即得标准形：2y1?5y2?y3。
2、用配方法将下列二次型化为标准形：
222
（1）f(x1,x2,x3)=x1?2x2?5x3?2x1x2?2x1x3?6x2x3；
（2）f(x1,x2,x3)=2x1x2?4x1x3；
（3）f(x1,x2,x3)=?4x1x2?2x1x3?2x2x3。 解：（1）先将含有x1的项配方。
f(x1,x2,x3)=x1+2x1(x2?x3)+(x2?x3)－(x2?x3)+2x2+6x2x3+5x3
222
=(x1?x2?x3)+x2+4x2x3+4x3，
22222
再对后三项中含有x2的项配方，则有
22222
f(x1,x2,x3)=(x1?x2?x3)+x2+4x2x3+4x3=(x1?x2?x3)+(x2?2x3)。
?1?TT
设Y=(y1,y2,y3)，X=(x1,x2,x3)，B=?0
?0?
2
2
110
1??2?， 0??
令Y=BX，则可将原二次型化为标准形y1?y2。
（2）此二次型没有平方项，只有混合项。因此先作变换，使其有平方项，然后按题（1）
的方法进行配方。
令
?x1?y1?y2?x1??1
????
?x2?y1?y2，即?x2?=?1
?x?y?x??0
33??3??
1?10
0?
?0?1??
?y1?
??y?2?。 ?y??3?
则原二次型化为
f(x1,x2,x3)=2(y1?y2)(y1?y2)+4(y1?y2)y3
2
=2y12－2y2+4y1y3+4y2y3
=2(y1?y3)2－2(y2?y3)2， ?1
?TT
设Y=(y1,y2,y3)，Z=(z1,z2,z3)，B=?0
?0?
010
1???1?， 0??
2
令Z=BY，则可将原二次型化为标准形2z12?2z2。
（3）类似题（2）的方法，可将原二次型化为标准形：
?4z1?4z2?z3。
2
2
2
3、用初等变换法将下列二次型化为标准形：
222
（1）f(x1,x2,x3)=x1?2x2?4x3?2x1x2?4x2x3；
222
（2）f(x1,x2,x3)=x1?3x2?x3?2x1x2?2x1x3?6x2x3；
（3）f(x1,x2,x3)=4x1x2?2x1x3?6x2x3。（此题与课本貌似而已，注意哈） 解：（1）二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为 ?1
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A=?1
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122
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《线性代数练习册第四章习题及答案》出自：百味书屋
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