篇一：高等代数 (王萼芳 石生明 著) 课后答案 高等教育出版社
高等代数习题答案（一至四章）
第一章 多项式 习题解答 172621、（1）由带余除法，得q(x)?
3x?
9
,r(x)??
9?9
（2）q(x)?x2?x?1，r(x)??5x?7
2、（1）?p?1?m2?0??m(2?p?m2
)?0
? ， （2）由?得?m?0?q?1?q?m?0??q?1?p?m2
?0
??p?q?1或??p?m2。?23、（1）q(x)?2x4?6x3?13x2
?39x?109,r(x)??327
（2）q（x）=x2
?2ix?(5?2i)，r(x)??9?8i
4、（1）有综合除法：f(x)?1?5(x?1)?10(x?1)2?10(x?1)3?5(x?1)4?(x?1)5
（2）f(x)?11?24(x?2)?22(x?2)2
?8(x?2)3
?(x?2)4
（3）f(x)?24(7?5i)?5(x?i)?(?1?i)(x?i)2
?2i(x?i)3
?(x?i)4
5、（1）x+1（2）1（3
）x2??1 6、（1）u（x）=-x-1 ，v（x）=x+2 （2）u(x)??113
x?
3
，v(x)?
22
23
x?
3
x?1
（3）u（x）=-x-1, v(x)?x3
?x2
?3x?2
7、?u?0?或?u??2?t?2
??
t?3
8、思路：根具定义证明
证：易见d（x）是f（x）与g（x）的公因式。另设?(x)是f（x）与g（x）的任意公因式，下证 由于d（x）是f（x）与g（x）的一个组合，这就是说存在多项式s（x）与t（x），使 d（x）=s（x）f（x）+t（x）g（x）。从而?(x)f(x)，?(x)g(x)，可得?(x)d(x)。即证。
9、证：因为存在多项式u（x），v（x）使（f（x），g（x））=u（x）f（x）+v（x）g（x），所以（f（x），g（x））h（x）= u（x）f（x）h（x）+v（x）g（x）h（x），上式说明（f（x）是f（x）h（x）与g（x）h（x）的一个组合。
另一方面，由(f(x),g(x))f(x)知(f(x),g(x))h(x)f(x)h(x)。同理可得
(f(x),g(x))h(x)g(x)h(x)从而(f(x),g(x))h(x)是f(x)h(x)与g(x)h(x)的一个最大公因式，又
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?(x)d(x)
g（x））h（x 。 ，）1
因为(f(x),g(x))h(x)的首相系数为1，所以(f(x)h(x),g(x))h(x)?(f(x),g(x))h(x)。 10. 证存在u（x），v（x）使所以(f(x)g(x))?0，由消去律可得
有因为f（x），g（x）不全为0，
所以
11.由上题结论类似可得。
12. 证 由假设，存在
使
（2），将（1）（2）两式相乘得
（1）
。
所以(f(x),g(x))h(x)?1
13. 证 由于
反复应用第12题结论，可得同理可证
从而可得
14. 证 有题设知f(x),g(x)?1，所以存在v（x），v（x）使u(x)f(x)+v(x)g(x)=1从而u(x)f(x)-v(x)f(x)+v(x)g(x)+v(x)g(x)=1即[u(x)-v(x)]f(x)+v(x)[f(x)+g(x)]=1所以
(f(x),f(x)?g(x))?1同理(g(x),f(x)?g(x))?1再有12题结论，即证 (f(x)g(x),f(x)?g(x))?1
15
、
?1?
2。
2 第 2 页 共 27 页
16、（1）由x-2得三重因式（2）无重因式。 17、当t=3时有三重根x=1,；当t=18、4p3?27q2?0 19、a=1，b=-2 。
?154
由二重根x?
12
。
20、证 因为f（x）的导函数所以于是
从而f（x）无重根。
21、证 因为是
22、证 必要性：设x0是（fx）的k重根，从而是的一重根，并且x0不是充分性 由
而
的根。于是
，，由于a是的k重根，故a
的k+1重根。代入验算知a是g（x）的根。所以s-2=k+1?s=k+3，即证。
的k-1重根，是的k-2重根。。。。。，是
，而
。 ，知x
0是
，知x0是
的一重根。又由于
的二重根，以此类推，可知x0是f（x）的k重根。
23、解：例如：设f(x)?24、证 要证明 有题设由
25、当n为奇数时，
n?1
n?1
1m?1
x
m?1
?1，那么f(x)?x以0为m重根。
n
'm
，就是要证明f（1）=0（这是因为我们可以把x看做为一个变量。 ，所以
也就是f（1）=0，即证。
x?1?(x?1)[x?(???
n2n?1
)x?1][x?(???
22n?2
)x?1].....[x?(?
2
2
??
2
)x?1]
当n为偶数时
n?1
n?1
x?1?(x?1)(x?1)[x?(???
n2n?1
)x?1][x?(???
22n?2
)x?1].....[x?(?
2
2
??
2
（1）利用)x?1]27、
剩余除法试根：有一有理根：2 （2）有两个有理根：?
12
，?
12
（3）有五个有理根：3，-1，-1，-1，-1。
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3
28、（1）因为?1都不是它的根，所以x2
?1在有理数域里不可约
（2）利用爱森斯坦判别法，取p=2，则侧多项式在有理数域上不可约。 （3）不可约 （4）不可约 （5）不可约
第二章 行列式 习题解答
1、均为偶排列 2、（1）i=8，k=3（2）i=3 k=6 3、
4、当n=4k，4k+1时为偶排列当n=4k+2,4k+3时为奇排列 5、
n(n?1)2
?k
6、正号
7、?a11a23a32a44，?a12a23a34a41，?a14a23a31a42
n(n?1)
(n?1)(n?2)
8、（1）原式=?(?1)
2
n!，
（2）?(?1)n?1
n!（3）?(?1)
2
n!
9、解：行列式展开得一般项可表示为a1j1
a2j2
a3j3
a4j4
a5j5
，列标j3j4j5只可以在个下标中至少有一个要取3,4,5列中一个数，从而任何一个展开式中至少要包含一个零元素，故所给行列式中每一项的乘积必为0，因此行列式只为零。
10、解：含有x4
的展开项中只能是a4
11a22a33a44，所以x的系数为2；同理，含有a3
12a21a33a44，所以x的系数为-1。
11、证：有题设，所给行列式的展开式中的每一项的绝对值为1。而行列式的值为号的项数相同。根据行列式定义，其展开式中的每一项的符号是由该乘积中各因子下表排列的逆序数所决定的，即当该乘积中各因子的第一个下标排成自然顺序，且第二下标所成排列为偶排列时，该项前面所带符号为正，否则为负号。所以，由带正号的项与带符号的项数相等即说明奇偶排列各半。12、解（1）因为所给行列式的展开式中只有第一行含有x，所以若该行列式的第一行展开时含有1
a1a21
....an?21
a2
n?2
应项系数恰为(?1)
n?1
乘一个范得蒙行列式
12a2
....a2
于是，由......................1
an?1
a2
n?1
....an?2
n?1
的数即知含有x
n?1
的对应项的系数不为零，因而p（x）为一个n-1次的多项式。4
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1,2,3,4,5中取不同值，故三
x3
的张开项中只能是
0，这说明带正号与带负 a1,a2,a3....an?1
x
n?1
的对
为互不相同
13、（1）?294?10（2）?2(x3?y3) （3）48（4）160（5）x2y2（6）0 14、提示：将第二列，第三列的同时加到第一列。
5
15、（1）A11=-6，A12=0，A13=0，A14=0，A21=12，A22?6，A23=0，A24=0，A31=15， A32=-6，A33=-3，
A34=0，A41=7， A42=0，A43=1，A44=-2
（2）A11=7，A12=-12，A13=3， A21=6，A22?4，A23=-1， A31=-5， A32=5，A33=5，A34=0。 16、 （1）1 （2）?
1312
（3）-483（4）
n
n?1
38
17、（1）按第一行展开，原式=x?(?1)y。
n
（2）从第二列起个人列减去第一列：
当n?3时，原式=0，当n=2时，原式=(a2?a1)(b2?b1)，当n=1时，原式=a1?b1
n
（3）(?xi?m)(?m)
i?1
n?1
（4） （-2）（n-2）！
（5）各列加到第一列得：(?1)
n?1
12
(n?1)(n?1)!
1ai?1
18、提示：（1）分别将第i（i=2,3…..n+1）行乘以加到第一行?（2）从最后一行起，分别将每一行乘以x后加到起前一行。 （3）导出递推关系式 （4）同（3） （5）解：
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篇二：高等代数知识点总结 第三版 王萼芳与石生明编
1.矩阵的概念
?a11?a1n???
（1）由s?n个数aij（i=1，2…s；j=1,2……n）排成n行n列的数表?????，称为s行n列
?a?a?
sn??s1
矩阵，简记为A?(aij)sn。
（2）矩阵的相等 设A?(aij)mn，B?(aij)lk，如果m=l，n=k，且aji?b对i=1，2…m；j=1,2……nji，都成立，则称A与B相等，记A=B。
（3）各种特殊矩阵行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单
位矩阵。 2.矩阵的运算 （1）矩阵的加法
?a11?a1n??b11?b1n??a11?b11?a1n?b1n?
??????
?????????+=??? ???
?a?a??b?b??a?b?a?b?
sn??s1s1snsn?sn??s1?s1
运算规律：
i) A+B=B+A
i)(A+B)+C=A+(B+C) iii) A+O=A iv）A+(-A)=O （3）数与矩阵的乘法
?a11?a1n??ka11?ka1n?????k??????????? ?a?a??ka?ka?
sn?sn??s1?s1
运算规律：
（k+l）A=kA+lA， k(A+B)=ka+kB k(lA)=(kl)A l ?A=A.
（3）矩阵的乘法
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?a11?a1n??b11?b1n??c11?c1n??????????????????????? ?a?a??b?b??c?
sn??s1sn??s1?m1?cmn?
其中cij?ai1b1j?ai2b2j?........?ainbnj,i?1,2,....s;j?1,2.....m 运算规律：
i) （AB）C=A(BC) i)A(B+C)=AB+AC iii) (B+C)A=BA+CA iv）k(AB)=A(kB)=(kA)B 一般情况， AB ?BA
AB=AC,A ?0 B=C AB=0 A=0或B=0 （4）矩阵的转置
?a11?a1n??a11?as1?????A?????? A的转置就是指矩阵A'??????
?a?a??a?a?
sn?sn??s1?1n
运算规律：
i）(A')'?A ii）(A?B)?A?B iii）(AB)?BA iv）(kA)?kA （5）方阵的行列式
'
'
'
''
'
'
'
a11?a1n?a11?a1n???
设方阵A?????? A的行列式为A????
?a?a?as1?asnsn??s1
运算规律：
'
i) A?A
ii) kA?kA
iii) AB?AB?BA,这里A,B均为n级方阵。
n
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1.基本概念
（1）矩阵可逆的定义
n级方阵A称为可逆的，如果有n级方阵B，使得AB=BA=E，这里E是单位矩阵。 （2）伴随矩阵
?a11?a1n??设A???????中元素aA*
??A11?ij是矩阵A?ij的代数余子式，矩阵?a???
?n1
?ann?
???An1?随矩阵。
2.基本性质
?0），而A?1
?A*
（1）矩阵A可逆的充分必要条件是A非退化（AA
（2）如果矩阵A，B可逆，那么A'
与AB也可逆，且
(A')?1?(A?1)' (AB)?1?B?1A? 1
(3)设A是s?n矩阵，如果P是s?s可逆矩阵，Q是n?n可逆矩阵，
那么 秩（A）=秩（PA）=秩（AQ）
了解分块矩阵的概念及运算，特别是准对角矩阵的性质。 对于两个有相同分块的准对角矩阵
?A??A10?????? , B??B10????
?如果它们相应的分块是同级的，则
??0A???0B?
l?l??A1B10?（1）AB?????
??
?0A?
lBl??A1?B1?（2）A?B??0???
?
??
0A?
l?Bl?（3）A?A1A2....Ai
第 3 页 共 17 页 A1n?
??? 称A的伴Ann??3
?A1?1?0??
（4）A可逆的充要条件是A1,A2....Ai可逆，且此时，A?1????
??
Al?1??0
1.基本概念
（1）初等变换
i)用一个非零的数k乘矩阵的第i行（列）记作ri?k(ci?k) ii)互换矩阵中i，j两行（列）的位置，记作ri???rj(ci?cj)
iii）将第i行（列）的k倍加到第j行（列）上，记作rj?kri(cj?kci)称为矩阵的三种初等行（列）矩阵。
初等行，列变换称为初等变换所得到的矩阵。 （2）初等方阵
单位矩阵经一次初等变换所得到的矩阵。、 2.基本性质
（1）对一个s ?n矩阵A作一次初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的s ?s初等矩阵；对A
作一次初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的n ?n初等矩阵。
?1??0??
（2）任意一个s ?n矩阵A都与一形式为?
?0?0??0?0?0?0?
?
1?0?0??????
它称为矩阵A的标准型，?的等价，
0?1?0?0?0?0?
?
0?0?0??
主对角线上1的个数等于A的秩。
（3）n级矩阵A为可逆的充分必要条件是，它能表示成一些初等矩阵的乘积。
（4）两个s?n矩阵A，B等价的充分必要条件是，存在可逆的s级矩阵P与可逆的n级矩阵Q，使
B=PAQ。
3.用初等变换求逆矩阵的方法
把n级矩阵A,E这两个n?n矩阵凑在一起，得到一个n?2n矩阵（AE），用初等行变换把它的左边一半化成E，这时，右边的一半就是A。
?1
4
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知识考点精要
1.二次型及其矩阵表示
（1）二次型
设P是一数域，一个系数在数域P中的x1,x2,.....,xn的二次齐次多项式
22
称为数域f(x1,x2,?xn)?a11x12?2a12x1x2???2a1nx1xn?a22x2???2a2nx2xn???annxn
P上的一个n元二次型。
（2）二次型矩阵
设f(x1,x2,?xn)是数域P上的n元二次型，f(x1,x2,?xn)可写成矩阵形式
f(x1,x2,?xn)X'AX
其中x=(x1,x2,?xn)'，A=(aij)n?n,A?A。A称为二次型f(x1,x2,?xn)的矩阵。秩（A）称为二次型f(x1,x2,?xn)的秩。 （3）矩阵的合同
数域P上n?n矩阵A,B称为合同的，如果有属于P上可逆的n?n矩阵C，使B?CAC
'
'
2．标准型及规范性
定理 数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化成标准型d1y1?d2y2???dnyn
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5
2
2
2
篇三：高等代数知识点总结_第三版_王萼芳与石生明编
1.矩阵的概念
?a11?a1n???
（1）由s?n个数aij（i=1，2…s；j=1,2……n）排成n行n列的数表?????，称为s行n列
?a?a?
sn??s1
矩阵，简记为A?(aij)sn。
（2）矩阵的相等 设A?(aij)mn，B?(aij)lk，如果m=l，n=k，且aji?b对i=1，2…m；j=1,2……nji，都成立，则称A与B相等，记A=B。
（3）各种特殊矩阵行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单
位矩阵。 2.矩阵的运算 （1）矩阵的加法
?a11?a1n??b11?b1n??a11?b11?a1n?b1n?
??????
?????????+=??? ???
?a?a??b?b??a?b?a?b?
sn??s1s1snsn?sn??s1?s1
运算规律：
i) A+B=B+A
i)(A+B)+C=A+(B+C) iii) A+O=A iv）A+(-A)=O （3）数与矩阵的乘法
?a11?a1n??ka11?ka1n?????k??????????? ?a?a??ka?ka?
sn?sn??s1?s1
运算规律：
（k+l）A=kA+lA， k(A+B)=ka+kB k(lA)=(kl)A l ?A=A.
（3）矩阵的乘法
第 1 页 共 17 页 1
?a11?a1n??b11?b1n??c11?c1n??????????????????????? ?a?a??b?b??c?
sn??s1sn??s1?m1?cmn?
其中cij?ai1b1j?ai2b2j?........?ainbnj,i?1,2,....s;j?1,2.....m 运算规律：
i) （AB）C=A(BC) i)A(B+C)=AB+AC iii) (B+C)A=BA+CA iv）k(AB)=A(kB)=(kA)B 一般情况， AB ?BA
AB=AC,A ?0 B=C AB=0 A=0或B=0 （4）矩阵的转置
?a11?a1n??a11?as1?????A?????? A的转置就是指矩阵A'??????
?a?a??a?a?
sn?sn??s1?1n
运算规律：
i）(A')'?A ii）(A?B)?A?B iii）(AB)?BA iv）(kA)?kA （5）方阵的行列式
'
'
'
''
'
'
'
a11?a1n?a11?a1n???
设方阵A?????? A的行列式为A????
?a?a?as1?asnsn??s1
运算规律：
'
i) A?A
ii) kA?kA
iii) AB?AB?BA,这里A,B均为n级方阵。
n
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1.基本概念
（1）矩阵可逆的定义
n级方阵A称为可逆的，如果有n级方阵B，使得AB=BA=E，这里E是单位矩阵。 （2）伴随矩阵
?a11?a1n??设A???????中元素aA*
??A11?ij是矩阵A?ij的代数余子式，矩阵?a???
?n1
?ann?
???An1?随矩阵。
2.基本性质
?0），而A?1
?A*
（1）矩阵A可逆的充分必要条件是A非退化（AA
（2）如果矩阵A，B可逆，那么A'
与AB也可逆，且
(A')?1?(A?1)' (AB)?1?B?1A? 1
(3)设A是s?n矩阵，如果P是s?s可逆矩阵，Q是n?n可逆矩阵，
那么 秩（A）=秩（PA）=秩（AQ）
了解分块矩阵的概念及运算，特别是准对角矩阵的性质。 对于两个有相同分块的准对角矩阵
?A??A10?????? , B??B10????
?如果它们相应的分块是同级的，则
??0A???0B?
l?l??A1B10?（1）AB?????
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??? 称A的伴Ann??3
?A1?1?0??
（4）A可逆的充要条件是A1,A2....Ai可逆，且此时，A?1????
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Al?1??0
1.基本概念
（1）初等变换
i)用一个非零的数k乘矩阵的第i行（列）记作ri?k(ci?k) ii)互换矩阵中i，j两行（列）的位置，记作ri???rj(ci?cj)
iii）将第i行（列）的k倍加到第j行（列）上，记作rj?kri(cj?kci)称为矩阵的三种初等行（列）矩阵。
初等行，列变换称为初等变换所得到的矩阵。 （2）初等方阵
单位矩阵经一次初等变换所得到的矩阵。、 2.基本性质
（1）对一个s ?n矩阵A作一次初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的s ?s初等矩阵；对A
作一次初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的n ?n初等矩阵。
?1??0??
（2）任意一个s ?n矩阵A都与一形式为?
?0?0??0?0?0?0?
?
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它称为矩阵A的标准型，?的等价，
0?1?0?0?0?0?
?
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主对角线上1的个数等于A的秩。
（3）n级矩阵A为可逆的充分必要条件是，它能表示成一些初等矩阵的乘积。
（4）两个s?n矩阵A，B等价的充分必要条件是，存在可逆的s级矩阵P与可逆的n级矩阵Q，使
B=PAQ。
3.用初等变换求逆矩阵的方法
把n级矩阵A,E这两个n?n矩阵凑在一起，得到一个n?2n矩阵（AE），用初等行变换把它的左边一半化成E，这时，右边的一半就是A。
?1
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知识考点精要
1.二次型及其矩阵表示
（1）二次型
设P是一数域，一个系数在数域P中的x1,x2,.....,xn的二次齐次多项式
22
称为数域f(x1,x2,?xn)?a11x12?2a12x1x2???2a1nx1xn?a22x2???2a2nx2xn???annxn
P上的一个n元二次型。
（2）二次型矩阵
设f(x1,x2,?xn)是数域P上的n元二次型，f(x1,x2,?xn)可写成矩阵形式
f(x1,x2,?xn)X'AX
其中x=(x1,x2,?xn)'，A=(aij)n?n,A?A。A称为二次型f(x1,x2,?xn)的矩阵。秩（A）称为二次型f(x1,x2,?xn)的秩。 （3）矩阵的合同
数域P上n?n矩阵A,B称为合同的，如果有属于P上可逆的n?n矩阵C，使B?CAC
'
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2．标准型及规范性
定理 数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化成标准型d1y1?d2y2???dnyn
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《高等代数第三版(王萼芳石生明著)课后答案高等教育出版社》出自：百味书屋
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