篇一：函数的单调性
函数的单调性
【教学目标】
1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．
2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．
3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．
【教学重点】 函数单调性的概念、判断及证明．
【教学难点】 归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性． 【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】 计算机、投影仪． 【教学过程】教学基本流程
一、创设情境，引入课题 课前布置任务：
(1) 由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.
(2) 通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.
课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.
下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.
引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考． 问题：观察图形，能得到什么信息？
预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到； (2)在某时刻的温度；
(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低
.
在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．
问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．
归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小． 〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣． 二、归纳探索，形成概念
对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.
1．借助图象，直观感知
问题1：分别作出函数
变化时，函数值有什么变化规律？
的图象，并且观察自变量
预案：(1)函数
在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数
在整
个定义域内 y随x的增大而减小．
(2)函数
在
上 y随x的增大而增大，在
上y随x的增大而减小．
(3)函数
在上 y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小．
引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)．同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．
问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?
预案：如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数
在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，
在该区间上为增函数；如果函数我们说函数
在该区间上为减函数．
教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识． 〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识． 2．探究规律，理性认识
问题1：下图是函数和减函数吗？
的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数
学生的困难是难以确定分界点的确切位置．
通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．
〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性． 问题2：如何从解析式的角度说明
在
2
为增函数？
2
预案： (1) 在给定区间内取两个数，例如1和2，因为1<2,所以为增函数．
(2) 仿(1)，取很多组验证均满足，所以(3) 任取
，所以
在
,因为为增函数．
在
为增函数．
在
,即
对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量
．
〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.
3．抽象思维，形成概念
问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?
师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义． (1)板书定义 (2)巩固概念 判断题：
① ②若函数 ③若函数函数．
在区间
和(2,3)上均为增函数，则函数
．
．
在区间(1,3)上为增
④因为函数在区间
上是减函数.
上都是减函数，所以在
通过判断题，强调三点：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．
③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．
思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?
篇二：函数单调性的判定方法
函数单调性的判定方法
1.判断具体函数单调性的方法
1.1 定义法
一般地，设f为定义在D上的函数。若对任何x1、x2?D，当x1?x2时，总有
(1)f(x1)?f(x2)，则称f为D上的增函数，特别当成立严格不等f(x1)?f(x2)时，称f为D上的严格增函数；
(2)f(x1)?f(x2),则称f为D上的减函数，特别当成立严格不等式f(x1)?f(x2) 时，称f为D上的严格减函数。
利用定义来证明函数y?f(x)在给定区间D上的单调性的一般步骤： （1）设元，任取x1,x2?D且x1?x2； （2）作差f(x1)?f(x2)；
（3）变形（普遍是因式分解和配方）；
（4）断号（即判断f(x1)?f(x2)差与0的大小）；
（5）定论（即指出函数 f(x) 在给定的区间D上的单调性）。 例1.用定义证明f(x)??x3?a(a?R)在(??,??)上是减函数。
证明：设x1,x2?(??,??)，且x1?x2，则
33332f(x1)?f(x2)??x1?a?(?x2?a)?x2?x1?(x2?x1)(x12?x2?x1x2).
2
?x1x2?(x1?由于x12?x2
x2232
)?x2?0，x2?x1?0 24
2
则f(x1)?f(x2)?(x2?x1)(x12?x2?x1x2)?0，即f(x1)?f(x2)，所以f(x)在???,???上是减函数。
例2.用定义证明函数f(x)?x?
k
(k?0) 在(0,??)上的单调性。 x
证明：设x1、x2?(0,??)，且x1?x2，则
f(x1)?f(x2)?(x1?
kkkk
)?(x2?)?(x1?x2)?(?)
x1x2x1x2
1
?(x1?x2)?k(
x2?x1x?x2xx?k
)?(x1?x2)?k(1)?(x1?x212)， x1x2x1x2x1x2
又0?x1?x2 所以x1?x2?0，x1x2?0，
当x1、x2?(0,k]时x1x2?k?0?f(x1)?f(x2)?0，此时函数f(x)为减函数； 当x1、x2?(k,??)时x1x2?k?0?f(x1)?f(x2)?0，此时函数f(x)为增函数。 综上函数f(x)?x?
k
(k?0)在区间(0,k]内为减函数；在区间(k,??)内为增函数。 x
此题函数f(x)是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于
x1x2?k与0的大小关系(k?0)不是明确的，因此要分段讨论。
用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数x1,x2当x1?x2时，容易得出
f(x1)与f(x2)大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐。 1.2 函数性质法
函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性结合起来使用。对于一些常见的简单函数的单调性如下表：
2
一些常用的关于函数单调的性质可总结如下几个结论： ⑴．f(x)与f(x)+C单调性相同。（C为常数）
⑵．当k?0时，f(x)与kf(x)具有相同的单调性；当k?0时， f(x)与kf(x)具有相反的单调性。 ⑶．当f(x)恒不等于零时，f(x)与
1
具有相反的单调性。 f(x)
⑷．当f(x)、g(x)在D上都是增（减）函数时，则f(x)＋g(x)在D上是增（减）函数。 ⑸．当f(x)、g(x)在D上都是增（减）函数且两者都恒大于0时，f(x)g(x)在D上是增（减）函
数；当f(x)、g(x)在D上都是增（减）函数且两者都恒小于0时，f(x)g(x)在D上是减（增）函数。
⑹．设y?f(x),x?D为严格增（减）函数，则f必有反函数f?1，且f?1在其定义域f(D)上也是严
格增（减）函数。
例3.判断f(x)?x?x3?log2x3?2x?1(x2?1)?5的单调性。
解:函数f(x)的定义域为(0,??)，由简单函数的单调性知在此定义域内x,x3,log2x3 均为增函数，因为2x?1?0,x2?1?0由性质⑸可得2x?1(x2?1)也是增函数；由单调函数的性质⑷知再由性质⑴知函数f(x)?x?x3?log2x3?2x?1(x2?1)+5在(0,??)为单调x?x3?log2x为增函数，
3
递增函数。
x?a
(a?b?0)，判断f(x)在其定义域上的单调性。 x?bx?a
解:函数f(x)?的定义域为(??,?b)?(?b,??).
x?b
a?bx?a
先判断f(x)在(?b,??)内的单调性，由题可把f(x)?转化为f(x)?1?，又a?b?0故
x?bx?b
1a?ba?b
a?b?0由性质⑶可得为减函数；由性质⑵可得为减函数；再由性质⑴可得f(x)?1?
x?bx?bx?b
例4.设函数f(x)?
在(?b,??)内是减函数。
同理可判断f(x)在(??,?b)内也是减函数。故函数f(x)?
x?a
在(??,?b)?(?b,??)内是减函数。 x?b
函数性质法只能借助于我们熟悉的单调函数去判断一些函数的单调性，因此首先把函数等价地转化成我们熟悉的单调函数的四则混合运算的形式，然后利用函数单调性的性质去判断，但有些函数不能化成简单单调函数四则混合运算形式就不能采用这种方法。
1.3 图像法
用函数图像来判断函数单调性的方法叫图像法。根据单调函数的图像特征，若函数f(x)的图像在区间I上从左往右逐渐上升则函数f(x)在区间I上是增函数；若函数f(x)图像在区间I上从左往右逐渐下降则函数f(x)在区间I上是减函数。、
例5. 如图1-1是定义在闭区间[-5,5]上的函数y?f(x)的图像，试判断其单调性。
解：由图像可知：函数y?f(x)的单调区间有[-5,-2），[-2,1），[1,3），[3,5）.其中函数y?f(x)在区间[-5,-2），[1,3）上的图像是从左往右逐渐下降的，则函数y?f(x)在区间[-5,-2），[1,3）为减函数；函数y?f(x)在区间[-2,1），[3,5]上的图像是从往右逐渐上升的，则函数y?f(x)在区间[-2,1），[3,5]上是增函数。
例6.利用函数图像判断函数?f(x)?x?1；?g(x)?2x；?h(x)?2x?x?1在[-3,3]上的单调性。
分析：观察三个函数，易见h(x)?f(x)?g(x)，作图一般步骤为列表、描点、作图。首先作出
f(x)?x?1和g(x)?2x的图像，再利用物理学上波的叠加就可以大致作出h(x)?2x?x?1的图像，
4
最后利用图像判断函数h(x)?2x?x?1的单调性。
解:作图像1-2如下所示：由以上函数图像得知函数?f(x)?x?1在闭区间[-3,3]上是单调增函数；?g(x)?2x在闭区间[-3,3]上是单调增函数；利用物理上波的叠加可以直接大致作出?h(x)?2x?x?1在闭区间[-3,3]上图像，即?h(x)?2x?x?1在闭区间[-3,3]上是单调增函数。事实上本题中的三个函数也可以直接用函数性质法判断其单调性。
用函数图像法判断函数单调性比较直观，函数图像能够形象的表示出随着自变量的增加，相应的函数值的变化趋势，但作图通常较烦。对于较容易作出图像的函数用图像法比较简单直观，可以类似物理上波的叠加来大致画出图像。而对于不易作图的函数就不太适用了。但如果我们借助于相关的数学软件去作函数的图像，那么用图像法判断函数单调性是非常简单方便的。 1.4 复合函数单调性判断法
u?g(x)在X内单调，定理1：若函数y?f(u)在U内单调，且集合{u︳u?g(x)，x?X}?U
（1）若y?f(u)是增函数，u?g(x)是增（减）函数，则y?f[g(x)]是增（减）函数。（2）若y?f(u)是减函数，u?g(x)是增（减）函数，则y?f[g(x)]是减（增）函数。归纳此定理，可得口诀：同则增，异则减（同增异减） 复合函数单调性的四种情形可列表如下：
６
篇三：函数的单调性
《函数的单调性》
信息化教学设计
学院：数学与信息科学与我院
班级：10级数学与应用数学二班 姓名：张海娥
学号：41005079
目 录
一、 教材分析 ………………………………………………………… 2
二、 学习对象分析 …………………………………………………… 2
1. 学习对象 ……………………………………………………… 2
2. 知识基础……………………………………………………… 2
3. 能力基础……………………………………………………… 2
4. 学习风格分析………………………………………………… 2
三、 学习目标 ………………………………………………………… 3
1. 知识目标 ……………………………………………………… 3
2. 能力目标 ……………………………………………………… 3
3. 情感态度价值观目标 ………………………………………… 3
四、 学习重、难点 …………………………………………………… 4
五、 学习研究目标 …………………………………………………… 4
六、 学习思路设计 …………………………………………………… 5
1.课程目标的确立上……………………………………………… 5
2.学习内容的调整上……………………………………………… 5
3.教法和学法的设计……………………………………………… 5
教法方面 ……………………………………………… 5
学法方面 ……………………………………………… 5
学习流程 ……………………………………………… 6
七、 学习软件设计（学习资源与环境） …………………………… 6
八、 问题设计 ………………………………………………………… 6
九、 课时安排 ………………………………………………………… 6
十、 学习程序设计 …………………………………………………… 6
（一）学习流程图………………………………………………… 6
（二）详细教学设计 …………………………………………… 9
《函数的单调性》教学设计
一、教材分析
本节课选自人民教育出版社A版教材普通高中课程标准实验教科书必修一
第一章第三节（1.3.1）《函数的单调性》。在此之前，学生已经学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，为本节课的学习奠定了基础。本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是前面函数知识的应用及延伸，也是研究和讨论初等函数有关性质的基础，起着十分重要的承上启下的作用。掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，以及分析问题和解决问题的能力。
二、学习对象分析
1.学习对象
本课的教学对象是高一学生，在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及函数表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。这节内容是初中有关函数内容的深化、延伸和提高。另外，学生在探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡，所以学生学习起来仍有一定难度。
2.知识基础
（1）学生已学习了函数的概念、定义域、值域及函数表示法；
（2）学生初中对函数的增减性也有了初步的了解。
3.能力基础
（1）学生通过对高中数学中函数的学习，对解决一些数学问题有一定的能力，由观察到抽象的数学活动过程已有一定体会，已初步了解了数形结合的思想；
（2）高一学生基本上能理解特殊与一般、归纳与演绎、理论与实践等的辩证关系，能用全面的、发展的、联系的观点去分析和解决问题。
4.学习风格分析
（1）对新鲜事物有强烈的好奇心，并喜欢积极去探索新事物，发现新知识。学生思维的敏捷性、深刻性、灵活性、独创性和批判性明显增强。
（2）喜欢和别人竞争，有强烈的争强好胜心和进取心。
（3）能够认识到数学的趣味性，想得到老师好评，对学习产生浓厚的兴趣。
（4）学生想要利用网络资源进行学习，去了解更多的新知识，这是我们信息化教学的后盾。
三、学习目标
新课标指出学生学习目标应包括知识目标、能力目标和情感态度价值观目标这三个方面，而这三维目标又应是紧密联系的一个有机整体，学生学会知识与技能的过程也就是成为学习的主人，形成正确价值观的过程。以此为指导我制定了以下的教学目标：
1.知识目标
（1）从形与数两方面理解单调性的概念；
（2）初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法；
（3）通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力。
2.能力目标
（1）通过函数单调性的学习，让学生通过自主探究活动，体会数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图像理解和研究函数的性质。
（2）理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数的单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的 能力。
（3）经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。
3.情感态度与价值观目标
（1）学生通过亲自利用《几何画板》实践操作，使学生了深刻体会到函数
的变化的过程,使问题逐步由具体到抽象, 由特殊到一般，符合学生的认知规律，增强学习函数的积极性和自信心，从而让学生培养学生的创新意识和实践第一的观点，让学生体会知识产生的全过程，培养学生运动变化的辩证唯物主义思想。
（2）能够用函数的性质解决生活中简单的实际问题，使学生感受到学习单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发其积极性。
（3）在函数单调性的学习过程中，体验数学的科学价值和应用价值，了解数学与现实生活息息相关，互动交流，激发学生的学习兴趣，使学生在轻松的氛围中学习数学。
四、学习重难点
1.学习重点
根据这节课的内容特点以及学生实际情况了解，发现学生对抽象的函数单调性及其函数走向缺乏理性认识，为此，在教学过程中让学生自己去感受函数单调性的生成过程以及图象是这堂课的突破口。因此，掌握函数的单调性概念运用“数形结合”的思想分析解决问题，对函数单调性的概念，及判断证明函数的单调性是学习重点。
2.学习难点
（1）函数单调性的概念形成；
（2）如何来引导学生讨论、质疑、展示及评价。
3.突破难点的关键
通过学生间的讨论、交流及多媒体的动态演示、运用几何画板教具等手段，使学生对所学知识，由具体到抽象，从感性认识上升到理性认识，由此来突破难点。因此，在教学过程中我选择让学生先用几何画板画出几个特殊的函数图像，并通过观察点的移动和坐标的变化描点画图，自己去感受函数的单调性做为这堂课的突破口。
五、学习研究目标
1．师生共同学习和探究几何画板、Microsoft Math等数学应用软件。
（1）培养学生应用数学应用软件的能力，特别是网络等与现代媒体相关的软件的应用能力。
《函数的单调性ppt》出自：百味书屋
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