篇一：立体几何练习题多套(含答案)
立几测001试
一、选择题：
1．a、b是两条异面直线，下列结论正确的是
2．空间不共线的四点，可以确定平面的个数为 ( )
Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．1或4Ｄ．无法确定 A．过不在a、b上的任一点，可作一个平面与a、b都平行 B．过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都相交 C．过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都平行 D．过a可以且只可以作一个平面与b平行
（）
M、N分别为棱AA1、BB1的中点，则异面直线CM和D1N 所成角3．在正方体ABCD?A1BC11D1中，
的正弦值为 ( ) Ａ．
12 Ｂ．
Ｃ．
934．已知平面??平面?，m是?内的一直线，n是?内的一直线，且m?n，则：①m?③m?
?；②n??；
?或n??；④m??且n??。这四个结论中，不正确的三个是．．．
( )
Ａ．①②③ Ｂ．①②④Ｃ．①③④Ｄ．②③④
5.一个简单多面体的各个面都是三角形，它有6个顶点，则这个简单多面体的面数是( ) A. 4B. 5 C. 6 D. 8 ( ) A.
6. 在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地，两地经度差为90°，则甲、乙两地最短距离为（设地球半径为R）
?2?R?RB. R C. R D.
2433
7. 直线l⊥平面α，直线m?平面β，有下列四个命题
(1)?//??l?m (2)????l//m (3)l//m????(4)l?m??//? 其中正确的命题是
()
A. (1)与(2) B. (2)与(4)C. (1)与(3)D. (3)与(4)
8. 正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成角为α，则下列不等式成立的是( ) A. 0???
?
6
B.
?
6
???
?
4
C.
?
4
???
?
3
D.
?
3
???
?
2
9．?ABC中，AB?9，AC?15，?BAC?120?，?ABC所在平面?外一点P到点A、B、C的距离都是14，则P到平面?的距离为( )
Ａ．7Ｂ．9 Ｃ．11 Ｄ．13
10．在一个45?的二面角的一个平面内有一条直线与二面角的棱成角45?，则此直线与二面角的另一个平面所成角的大小为( )
Ａ．30?Ｂ．45? Ｃ．60? Ｄ．90?
11. 如图,E, F分别是正方形SD1DD2的边D1D,DD2的中点,沿SE,SF,EF将其折成一个几何体,使D1,D,D2重合,记作 D.给出下列位置关系:①SD⊥面DEF; ②SE⊥面DEF;
③DF⊥SE; ④EF⊥面SED,其中成立的有: ()
Ａ. ①与② B. ①与③ C. ②与③ D. ③与④
12. 某地球仪的北纬60度圈的周长为6?cm,则地球仪的表面积为()
A. 24?cm B. 48?cm C. 144?cm D. 288?cm
2
2
2
2
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 直二面角α—MN—β中，等腰直角三角形ABC的斜边BC?α，
AC?β，BC与β所成角的正弦值是__________。
14. 如图在底面边长为2的正三棱锥V—ABC中,E是BC中点,若△VAE的面积
是
15．如图，已知矩形ABCD中，AB?1，BC?a，PA?面ABCD。 若在BC上只有一个点Q满足PQ?QD，则a的值等于______.
16. 六棱锥P—ABCDEF中，底面ABCDEF是正六边形，PA⊥底面
ABCDEF，给出下列四个命题
①线段PC的长是点P到线段CD的距离； ②异面直线PB与EF所成角是∠PBC； ③线段AD的长是直线CD与平面PAF的距离； ④∠PEA是二面角P—DE—A平面角。 其中所有真命题的序号是_______________。
三.解答题:（共74分，写出必要的解答过程）
17．(本小题满分10分)
如图，已知直棱柱ABC?A1B1C1中，
一直角边小为
6
，则AB与β所成角大4
1
,则侧棱VA与底面所成角的大小为 4
D
QC
B
M
A
?ACB?90?，?BAC?30?，BC?1，
AA1，M是
C
1B1
A1
CC1 的中点。
求证：AB1
18．（本小题满分12分） 如图，在矩形ABCD
中，AB?
?A1M
BC?，沿对角线BD将?BCD折起，使点C移到P 点，且P
在平面ABD上的射影O恰好在AB上。(第2、3小题答案计算有误) （1）求证：PB?面PAD； （2）求点A到平面PBD的距离； （3）求直线AB与平面PBD的成角的大小
B
AP(C)
C
D
B
19．（本小题满分12分）
如图,已知PA?面ABC,AD?BC,垂足D在BC的延长线上,且BC?CD?DA?1
(1) 记PD?x,?BPC??,试把tan?表示成x的函数,并求其最大值. (2) 在直线PA上是否存在点Q,使得?BQC??BAC P
20. （本小题满分12分）
正三棱锥V-ABC的底面边长是a, 侧面与底面成60°的二面角。 B
A
求（1）棱锥的侧棱长；
C
（2）侧棱与底面所成的角的正切值。 D
21. （本小题满分14分）
已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为8，面的对角线B1C=10，D为AC 的中点，
（1） 求证：AB1//平面C1BD;
（2） 求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值; （3） 求直线AB1到平面C1BD的距离。
22. （本小题满分14分）
已知A1B1C1-ABC为直三棱柱，D为AC中点，O为BC中点，E在CC1上， ∠ACB=90°，AC=BC=CE=2，AA1=6. （1）求二面角A-EB-D的大小； （2）求三棱锥O-AA1D体积.
立测试001
答案
一．选择题：(每题5分,共60分)
二．填空题：(每题4分,共16分) 13.60o 14.arctan
1
4
15. 2 16. ①④ 三.解答题:（共74分，写出必要的解答过程） 17．(10分)解：【法一】?ACB?90??BC
11?AC11，又三棱柱ABC?A1B1C1是直三棱柱，所以B1C1
?面AC1，连结
AC1，则AC1是AB1在面AC1
上的射影
在四边形AAC111
1C中，
AA1AC?AC
??ACM??， 11
C?，且
?AAC1111
1M2
??AAC11?AC11M
，
?AC1?A1M ?AB1?A1M
【法二】以C1
B1为x
轴，C1A1为y轴，C1C为z轴建立空间直角坐标系
由BC?1，AA1??ACB?90?，?BAC?30?，
易得A1，A，M，B1(1,0,0) ?AB1?(1,，A1M?(0,2
?AB1A1M?0?3?(2
?0 ?
AB1?AM1所以AB1?A1
M 18．解：（1）
P在平面ABD上的射影O在AB上，?PO?
面ABD。
故斜线BP在平面ABD上的射影为AB。
又DA?AB，?DA?BP，又BC?CD，?BP?PD ADPD?D ?BP?面PAD
（2）过A作AE?PD，交PD于E。
BP?面PAD，?BP?AE，?AE?面BPD 故AE的长就是点A到平面BPD的距离AD?AB，DA?BC ?AD?面ABP ?AD?AP
在Rt?ABP中，AP?
?
在Rt?BPD中，PD?CD?
APAD在Rt?
PAD中，由面积关系，得AE?
PD??（3）连结BE，
AE?面BPD，?BE是AB在平面BPD的射影
??ABE为直线AB
与平面BPD所成的角
在Rt?AEB中，sin?ABE
?
AE
AB?
3， ??ABE?arcsin3
19．(1)
PA?面ABC,BD?AD,?BC?PD,即?PDB?90.
在Rt?PDB和Rt?PDC中,tan?BPD?2x,tan?CPD?1
x
, 21?tan??tan?BPC?tan(?BPD??CPD)?
??x(x?1)
1?
21xx?2?2x
1?
x?2
?
当且仅当x?,tan?取到最大值4
. x
(2)在Rt?ADB和Rt?DC中,tan?
BAD=2,tan?CAD?1 ?tan?BAC
?tan(?BAD??CAD)?
2?111?2?1?3?
4
故在PA存在点
Q(如AQ?1)满足
13?tan?BQC?
,使?BQC??BAC20. (12分)解：（1）过V点作V0⊥面ABC于点0，VE⊥AB于点E ∵三棱锥V—ABC是正三棱锥∴O为△ABC的中心 则OA=
23?32a?3a，OE=13?32a?3
6
a 又∵侧面与底面成60°角∴∠VEO=60° 则在Rt△VEO中；V0=OE·tan60°=
3a
6a?3?2
在Rt△VAO中，VA=2
?AO2
?a2
a2
7a221a
4?3?12?
6
即侧棱长为
21
6
a
篇二：高一数学立体几何练习题及部分答案汇编
立体几何试题
一．选择题（每题4分，共40分）
1.已知AB//PQ，BC//QR,则∠PQP等于（）
A300 B 300 C1500D以上结论都不对
2.在空间，下列命题正确的个数为（）
（1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边相等的四边形是菱形
（3）平行于同一条直线的两条直线平行 ;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
A 1 B 2C 3D 4
3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（）
A 平行 B 相交C 在平面内 D 平行或在平面内
4.已知直线m//平面?，直线n在?内，则m与n的关系为（ ）
A 平行 B 相交C 平行或异面D 相交或异面
5.经过平面?外一点，作与?平行的平面，则这样的平面可作（）
A 1个 或2个 B0个或1个 C 1个 D0个
6.如图,如果MC?菱形ABCD所在平面,那么MA与BD的位置关系是()
A 平行B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直
7.经过平面?外一点和平面?内一点与平面?垂直的平面有（ ）
A 0个 B1个 C 无数个 D1个或无数个
8.下列条件中,能判断两个平面平行的是()
A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面;
B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
9.对于直线m,n和平面?,?,使???成立的一个条件是()
Am//n,n??,m??B m//n,n??,m??
Cm?n,????m,n?? Dm?n,m//?,n//?
10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有()
A1个 B2个C3个 D4个
二．填空题（每题4分，共16分）
11.已知?ABC的两边AC,BC分别交平面?于点M,N，设直线AB与平面?交于点O，则点O与直线MN的位置关系为_________
12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有
_____________条
13.一块西瓜切3刀最多能切_________块
14.将边长是a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得折起后BD得长为a,则三棱锥D-ABC的体积为___________
三、 解答题
15（10分）如图，已知E,F分别是正方形ABCD?A1B1C1D1的棱AA1和棱CC1上的点，且AE?C1F。求证：四边形EBFD1是平行四边形
16（10分）如图，P为?ABC所在平面外一点，AP=AC,BP=BC,D为PC的中点， 证明：直线PC与平面ABD垂直
C
B
17（12分）如图，正三棱锥A-BCD，底面边长为a，则侧棱长为2a，E,F分别为AC,AD上的动点，求截面?BEF周长的最小值和这时E,F的位置.
D
C
18（12分）如图，长方形的三个面的对角线长分别是a,b,c，求长方体对角线AC?的长
Ab
C1 CB
1.D 2.B3.D 4.C 5.C 6.C 7.D 8.D 9.A 10.D 1三点共线2无数 无数 3. 7 4
1证明:?AE?C1F
AB?C1D1
?EAB??FC1D1
? ?EAB??FC1D1
?EB?FD1
过A1作AG//D1F 1
又由A1E∥BG且A1E=BG
可知EB//AG 1
?EB//D1F
∴四边形EBFD1是平行四边形
2 ∵AP?AC
D为PC的中点
∴AD?PC
∵BP?BC
D为PC的中点
∴BD?PC
∴PC?平面ABD
∴AB?PC
3 提示:沿AB线剪开 ,则BB?为周长最小值.易求得EF的值为
11a. 43a,则周长最小值为43a AC??4解:?2??AC???CC??
222 2??AB???BC??(CC?)2
篇三：高三立体几何习题(含答案)
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高三立体几何习题
一、 填空题
1.已知AB是球O的一条直径，点O1是AB上一点，若OO1?4，平面?过点O1且垂直AB，截得圆O1，当圆
O1的面积为9?时，则球O的表面积是
【答案】100p
2.把一个大金属球表面涂漆，共需油漆2.4公斤．若把这个大金属球熔化制成64个大小都相同的小金属球， 不计损耗，将这些小金属球表面都涂漆，需要用漆 公斤．
【答案】9.6
3.已知球的表面积为64?cm，用一个平面截球，使截面圆的半径为2cm，则截面与球心的距离是cm
【答案】2
4.一个圆锥与一个球体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为．
【答案】4p 【答案】4p
5.一个底面置于水平面上的圆锥，若主视图是边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积为．
1
6.如图所示：在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?BC，AB?BC?BB1，则平面A1B二面角的大小为 ． 【答案】
?
4
二、选择题
AB的中点， 1.如图，已知圆锥的底面半径为r?10，点Q为半圆弧?点P为母线SA的中点．若PQ与SO所成角为全面积与体积分别为（ ）A．,
B．100(1??,
?
，则此圆锥的 4
C． D．100(1??,
【答案】B
2.如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面?上．用一平行于平面?的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（） A．S圆＞S圆环 B．S圆＜S圆环 C．S圆=S圆环 D．不确定
1
3.如图所示，?PAB所在平面?和四边形ABCD所在的平面?互相垂直，且AD??，BC??，AD?4，BC?8，AB?6，若tan?ADP?2tan?BCP?1，则动点P 在平面?内的轨迹是（ ） ? A.线段 B.椭圆的一部分C.抛物线D.双曲线的一部分 【答案】D
4.在空间中，下列命题正确的是（ ）
A．若两直线a,b与直线l所成的角相等，那么a//b B．空间不同的三点A、B、C确定一个平面
C. 如果直线l//平面?且l//平面?，那么?//? D．若直线a与平面M没有公共点，则直线a//平面M
l 【答案】D
A 5.如图，已知直线l?平面?，垂足为O，在△
ABC中，
BC?2,AC?2,AB?P是边AC上的动点.该三角形在空间按以下条
????????
件作自由移动：(1)A?l，(2)C??.则OP?PB的最大值为( )
P
B
(A) 2
. (B)
1
O 【答案】C
C
6.平面?上存在不同的三点到平面?的距离相等且不为零，则平面?与平面?的位置关系为（ ）
(A) 平行 (B) 相交 (C) 平行或重合(D) 平行或相交
【答案】D
7.a、b、c表示直线，?表示平面，下列命题正确的是（）
A．若a//b,a//?，则b//? B． 若a?b,b??，则a??
C．若a?c,b?c，则a//bD ．若a??,b??，则a//b 【答案】D
8.下列命题中，正确的个数是【 】
① 直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行； ② a、b为异面直线，则过a且与b平行的平面有且仅有一个； ③ 直四棱柱是直平行六面体；
④ 两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥．
A、0 B、1 C、2 D、3 【答案】B
9.在四棱锥V?ABCD中，B1，D1分别为侧棱VB，VD的中点，则四面体AB1CD1的体积与四棱锥 V?ABCD的体积之比为（ ） A．1:6 B．1:5 【答案】C
C．1:4
D．1:3
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三、解答题
1.（本题满分14分）本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分． 如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AD?AA1?1，AB?2，点E在棱AB上移动． （1）证明：D1E?A1D；
（2）AE等于何值时，二面角D1?EC?D的大小为
?． 4
x
【答案】解：（1）在如图所示的空间直角坐标系中，A,0,1),D(0,0,0),D1(0,0,1) 1(1
????????????????????
设E(1,y,0)(y?[0,2]) 则D1E?(1,y,?1),DA1?(1,0,1)…所以D1E?DA1?0……所以D1E?A1D……
?
（2）方法一：设n?(u,v,w)为平面DCE的一个法向量 1
????????u?(2?y)v??2v?w?0?n?CD1?0由??????，得?，所以?… ?
w?2vu?yv?w?0????n?D1E?0
??
因为二面角D1?EC?D的大小为，所以cos?| ??
44又y?
[0,2]，所以y?2
AE?2D1?EC?D的大小为
?
4
2.（本题满分14分）本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分． 如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AD?AA1?1，AB?2，点E在棱AB上移动． （1）当E为AB的中点时，求四面体E?ACD1的体积； （2）证明：D1E?A1D．
【答案】解：（1）S?ACE?
D1
A1
A
E
1
C1
11AE?BC?… 22
11
S?ACE?D1D?… 36
因为D1D?平面ACE，所以VE?ACD1?VD1?ACE?（2）正方形ADD1A1中，A1D?AD1……
因为AB?平面ADD1A1D…… 1，所以AB?A1D…所以A1D?平面AD1E…所以D1E?A
3
3.三棱柱ABC?A1B1C1中，它的体积是3，底面?ABC中，?BAC?90，AB?4,AC?3,B1在底面的射影是D，且D为BC的中点．
（1）求侧棱BB1与底面ABC所成角的大小；(7分)
（2）求异面直线B1D与CA1所成角的大小．(6分)
【答案】解：（1）依题意，B1D?面ABC，?B1BD就是侧棱BB1与底面
A1
ABC所成的角?2分
1
VABC?A1B1C1?S?ABC?B1D??4?3?B1D?2
4分
B1D?
5分
5?5
，B1D?BDtan??tan?，
tan?????7分 232
（2）取B1C1的中点E，连EC,A1E，
则?ECA1（或其补角）为所求的异面直线的角的大小 9分 B1D?面ABC，B1D‖CE，面ABC‖面A1B1C1?CE?面A1B1C1，
?CE?A1E 11分
计算BD?
5
AE12分 tan?A1CE???
EC32
?
所求异面直线B1D与CA1所成的角 13分
6
4.在如图所示的几何体中，四边形CDPQ为矩形，四边形ABCD为直角梯形，
1
且?BAD??ADC?90?，平面CDPQ?平面ABCD，AB?AD?CD?
1，PD?
2
（1）若M为PA的中点，求证：AC//平面DMQ；
（2）求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小.
【答案】解：（1）如图，设CP与M的交点为N，连接MN．
易知点N是CP的中点，又M为PA的中点，故AC//MN．…4分
A
于是，由MN?平面DMQ，得AC//平面DMQ．……………6分 （2）如图，以点D为原点，分别以DA、DB、DC为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P．
Q
C
B
?????
易知n1?(0,1,0)为平面PAD的一个法向量，设n2?(x,y,z)为平面PBC的一个法向量．
???????
??????x?y?n2?BC??x?y?0
则???，令y?1，得n2?(1,1．…………………10分 ???????
???z??n2?PC?2y?0
?????n1?n2
1
设平面PAD与平面PBC所成的锐二面角为?，则cos???，…………………12分
2n1n2
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故平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小为
?
3
．………………………………………14分
5.(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分. 在如图所示的直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的 菱形，且?BAD?60?,AA1?4.
（1）求直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的体积； （2）求异面直线AD1与BA1所成角的大小．
【答案】解：（1）因菱形ABCD
的面积为AB2?sin60??……2分
故直四棱柱ABCD?
A1B1C1D1的体积为：
（2）连接BC1、AC，易知，故?A等于异面直线AD1与BA1BC1BC1111//AD1所成角. ……8分
由已知，可得A1B?BC1?AC11?A1
B1
DC1
S底面ABCD?AA1?4?……6分
A
C
……10(第20题图）分
222
AB?BC?AC71111 则在?A1BC1中，由余弦定理，得 cos?A1BC1?……12分 ?.
2A1B?BC1107
故异面直线AD1与BA1所成角的大小为arccos……14分 .
10
6.（本题满分12分）本题共2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.
在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?2，AA1?3，过A1,C1,B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下所示的几何体ABCD?AC11D1.
（1）若A1C1的中点为O1，求求异面直线BO1与A1D
1所成角的大小（用反三角函数值表示）；
（2）求点D到平面A1BC1的距离d．
【答案】解：(1)按如图所示建立空间直角坐标系．由题知，
可得点D(0,0,0)、B(2,2,0)、D1(0,0,3)、A1(2,0,3)、C1(0,2,3)．由O1是AC11中点，可得O1(1,1,3).
??????????
于是，BO1?(?1,?1,3),A1D1?(?2,0,0)．设异面直线BO1与A1D1所成的角为?，
??????????
BO?A1D1 则cos??1??
|BO1||A1D1| 因此，异面直线BO1与A1D1所成的角为???????n?BA1?0,(2)设n?(x,y,z)是平面ABD的法向量． ∴????????
??n?BC1?0.
??????????2y?3z?0,又BA1?(0,?2,3),BC1?(?2,0,3)，∴? 取z?2， ?
??2x?3z?0.
5
．
《立体几何练习题与答案》出自：百味书屋
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