篇一：数值分析习题与答案
第一章 绪论
习题一
1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。 解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有
已知
x*的相对误
差
，故
即
2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得
有5位有效数字，其误差
限
有2
位有效数字，
有5
位有效数字，
3.下列公式如何才比较准确？ （1）（2）
，相对误差
限
满
足
，
而
解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 （1）
（2）
4.近似数x*=0.0310,是 3位有数数字。 5.计算
四个选项：
取
，利用 ：
式计算误差最小。
第二、三章 插值与函数逼近
习题二、三 1.
给定
的数值表
用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解： 仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值
误
差
限
，
因
，故
二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton
插值
误
差
限，故
2. 在-4≤x≤4
上给出
的等距节点函数表，若用二次
，函数表的步长h
插值法求
的近似值，要使误差不超过应取多少?
解：用误差估计式（5.8），
令因得
3. 若
，求
和.
解：由均差与导数关系
于是4. 若
的值，这里p≤n+1.
解
：
可知当
而当P＝n＋1时
于是得
有
互异，求
，由均差对称
性
5.
求证.
解：解：只要按差分定义直接展开得
6.
已知的函数表
求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差. 解：根据给定函数表构造均差表
由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式
N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得
f(0.23) N3(0.23)=0.23203 由余项表达式(5.15)可得
由于
7. 给定f(x)=cosx的函数表
参考答案1 一、1．2
2．xn?1?xn?3．1, 0 4．7,
f(xn)
(n?0,1,?) ?f(xn)
25 7
?(k?1)15(k)
??x2
?x11336. ? ,
1(k?1)
?x2??x1(k?1)12
20?
?200
3??10?2?4二、(1) L?
?0?1
3?
?00?1??
(2)
1?0?
1???20??
?,U??01
?0?
?00?
5??
?4???00
0?2
3
10
?0??0?? 3??4?1??
l65?
a65?(l61u15?l62u25?l63u35?l64u45);
u55
u56?a55?(l51u16?l52u26?l53u356?l54u46)
三、先造差分表如下：
（1）选x1?0.4,x2?0.6,x3?0.8,x4?1.0为节点，构造三次向前Newton插值多项式
?2y1?3y1
N(x?th)?y1??y1?t(t?1)?t(t?1)(t?2) 31 2!3!
将x1和h代入上式，则有
N3(0.4?0.2t)?25?2t?1/2*t(t?1)?5/6*t(t?1)(?2)
由0.4?0.2t?0.7解得t?1.5,所以
f(0.7)?N(0.7)?21.3125
(2) 选x3?0.8,x4?1.0,x5?1.2为节点，构造二次向前Newton插值式
?2y3
N2(x3?th)?y3??y3t?t(t?1)
2!
将x3和h代入上式，则有
N2(0.8?0.2t)?20?t?t(t?1) 由0.8+0.2t=0.95解得t=0.75,所以 f(0.95)?N2(0.95)?20.5625
（3）由
f???(?)3
ht(t?1)(t?2)3!
(0.2???1.2,0?t?2)R2(x0?th)?
f???(?)3600
有R（2(xi?0.2t)?0.2t(t?1)(t?2)?*0.008*maxt(t?1)(t?2)
0?t?23!3!
?0.30792?0.5
可知f(x)有两位整数，故能保证有两位有效数字。 四、
?0?x??1,?1?x??x2,f(x)在M2中的最佳平方逼近元为
P?x??a0?0?x??a1?1?x?则a0和a1满足如下正规方程组
???0，?0???0，?1???a0????0，f??????，????，?????a?????f??
011??1??1??1
设
?22/3??1?即????
?2/32/5??1/2?解得a1?15/16,a0?3/16所求最佳平方逼近元为P(x)?3/16?15/16*x2
五、 (1)
因Q对称正定，则对任意向量x,二次型xTQx?0,故f(x)?xQx?0,且当仅当x?0时f(x)?0.
T
设c为任意实数，则
(2) f(cx)?
(cx)TQ(cx)?c2xTQx
?cxTQx?cf(x)
下边证明三角等式f(x?y)?f(x)?f(y)成立.
f(x?y)?(x?y)TQ(x?y)?xTQx?yTQy?xTQy?yTQx?xTQx?yTQy?2xTQy
因Q对称正定，则Q一定有因子分解形式。
Q?BTB
从而xTQy?(BxT)(By),于是有
(3)
xTQy?(Bx)T(By)?(Bx)T(Bx)(By)T(By)代入上面的f(x?y)则有
f(x?y)?xTQx?yTQy?2xTBTBxyTBTBy?xTQx?yTQy?2xTQxyTQy?xTQx?yTQy?f(x)?f(y)
所以三角不等式立，f(x)?xTQx是x的一种范数
六、
设?为B的任一特征值，u?0为相应的特征向量，则Bu??u,从而
uT(A?BAB)u?uTAu?uTBABu
?uTAu?(Bu)TA(Bu)?uTAu?(?u)TA(?u)?(1??2)(uTAu)
因为A?BAB和A正定，
故
uT(A?BAB)u?(1??2)uTAu?01??2?0
即
??1,?(B)?1
因此此格式对任意初始点x(0)都收敛。
篇三：数值分析复习题及答案
数值分析复习题
一、选择题
1. 3.142和3.141分别作为?的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4
2
2. 已知求积公式
?
1
f?x?dx?
121
f?1??Af()?f(2)636，则A＝（ ）
1112
A． 6 B．3C．2 D．3
3. 通过点
?x0,y0?,?x1,y1?的拉格朗日插值基函数l0?x?,l1?x?满足（ ）
＝0，
A．
l0?x0?l0?x0?
l1?x1??0l1?x1??1
B．
l0?x0?l0?x0?
＝0，
l1?x1??1l1?x1??1
C．＝1，D． ＝1，
4. 设求方程
f?x??0
的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。
A．超线性 B．平方 C．线性 D．三次
?x1?2x2?x3?0?
?2x1?2x2?3x3?3??x?3x?2
2
5. 用列主元消元法解线性方程组?1 作第一次消元后得到的第3个方程（）.
?x2?x3?2
?2x2?1.5x3?3.5
?2x2?x3?3
x2?0.5x3??1.5
A． B． C．D．
二、填空
?
1. 设 x?2.3149541...，取5位有效数字，则所得的近似值x=.
f?x1,x2??
2.设一阶差商
f?x2??f?x1?x2?x1
?
f?x3??f?x2?6?151?4
??3f?x2,x3????2?1x3?x24?22
，
则二阶差商
f?x1,x2,x3??______
T
X?(2,?3,?1)3. 设, 则||X||2? ，||X||?? 。
2
4．求方程 x?x?1.25?0 的近似根，用迭代公式
x?
x0?1， 那么 x1?______。
?y'?f(x,y)
?
y(x0)?y0y?______。
5．解初始值问题 ?近似解的梯形公式是 k?1 ?11?
A???
?51??6、 ，则A的谱半径
＝ 。
7、设
f(x)?3x2?5, xk?kh, k?0,1,2,... ,
。
，则
f?xn,xn?1,xn?2??
f?xn,xn?1,xn?2,xn?3??
8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都。 9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为。
y?10?
10、为了使计算成。
123
??
x?1(x?1)2(x?1)3的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写
T
X?(2,3,?4)11. 设, 则||X||1? ，||X||2?12. 一阶均差
f?x0,x1??
133?3??3?
C0?,C1???C2??3?
C88，那么3? 已知n?3时，科茨系数
因为方程
f?x??x?4?2x?0
在区间
?1,2?上满足 ，所以f?x??0在区间内有根。
15. 取步长h?0.1，用欧拉法解初值问题
??y
?y?2?y
x?
?y?1??1?
的计算公式 .
*
*
16.设x?2.40315是真值x?2.40194的近似值，则x有 位有效数字。
3
17. 对f(x)?x?x?1, 差商f[0,1,2,3]?()。
T
||X||??X?(2,?3,7)18. 设, 则。
19.牛顿—柯特斯求积公式的系数和k?0
(n)C?k?
n
20. 若a=2.42315是2.42247的近似值，则a有( )位有效数字.
?l(x),l(x),?,l(x)0,1,?,n01n21. 是以为插值节点的Lagrange插值基函数，则i?0
22. 设f (x)可微，则求方程x?f(x)的牛顿迭代格式是().
(k?1)(k)
X?BX?f收敛的充要条件是。 23. 迭代公式
n
ili(x)?
().
(k?1)(k)
x?Bx?f中的B称为(). 给定方程24. 解线性方程组Ax=b (其中A非奇异，b不为0) 的迭代格式
?9x1?x2?8?
x?5x2??4，解此方程组的雅可比迭代格式为( 组?1 )。
25、数值计算中主要研究的误差有和。
26、设
n
lj(x)(j?0,1,2?n)
是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则
lj(xi)?
(i,j?0,1,2?n)；
?l(x)?
jj?0
。
27、设
lj(x)(j?0,1,2?n)
是区间[a,b]上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为；插值
型求积公式中求积系数
Aj?
?A
j?0
n
j
?
。
28、辛普生求积公式具有次代数精度，其余项表达式为。
2f(x)?x?1,则f[1,2,3]?_________,f[1,2,3,4]?_________。 29、
30.设x* = 1.234是真值x = 1.23445的近似值，则x*有
3设 f(x)?x?x?1,则差商(均差)f[0,1,2,3]?，f[0,1,2,3,4]? 31.
32.求方程
x?f(x)根的牛顿迭代格式是 。
?12?A???A??A?34??33.已知,则 , 。
34. 方程求根的二分法的局限性是 三、计算题
19
f(x)?x, x0?, x1?1, x2?
44 1．设
?19??4,4?f?x??上的三次Hermite插值多项式??x?使满足（1）试求 在 ?
32
H(xj)?f(xj), j?0,1,2,...H'(x1)?f'(x1)
，
??x?
以升幂形式给出。
（2）写出余项 R(x)?f(x)?H(x)的表达式
2．已知
的
满足
，试问如何利用
构造一个收敛的简单迭代函数
，使
0，1…收敛？
?y'?f(x,y)h'''?y?y?(yn?1?4yn?ynn?1n?1?1)y(x)?y00?33． 推导常微分方程的初值问题 的数值解公式：
（提示： 利用Simpson求积公式。）
4． 利用矩阵的LU分解法解方程 组
?x1?2x2?3x3?14
?
?2x1?5x2?2x3?18?3x?x?5x?20
3?12
y?
5. 已知函数
1
1?x2的一组数据：
的近似值.
求分段线性插值函数，并计算
f?1.5?
?10x1?x2?2x3?7.2?
??x1?10x2?2x3?8.3??x?x?5x?4.2
23
6. 已知线性方程组?1（1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2）于初始值X????0,0,0?
，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算X
?1?
（保留小数点后五位数字）.
3?1,2?之间的近似根 7. 用牛顿法求方程x?3x?1?0在
（1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.
1?01?x8. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分.
1
9．用二次拉格朗日插值多项式
L2(x)计算sin0.34
的值。
插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。
?2
10.用二分法求方程f(x)?x?x?1?0在 [1.0,1.5]区间内的一个根，误差限??10。
3
?4x1?2x2?x3?11?
?x1?4x2?2x3?18?2x?x?5x?22(0)T
x?(0,0,0)123?11.用高斯-塞德尔方法解方程组 ，取，迭代三次(要求按五位有效数字计算).。
12.求系数
1
A1,A2和A3,使求积公式
11
f(x)dx?Af(?1)?Af(?)?Af()对于次数?2的一切多项式都精确成立123??1
33
?3x1?2x2?10x3?15
?
?10x1?4x2?x3?5?2x?10x?4x?8
2313. 对方程组 ?1试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由
14. 确定求积公式
数精度.
?
1
?1
f(x)dx?Af(?0.5)?Bf(x1)?Cf(0.5)
的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代
?y??3x?2y?
15. 设初值问题 ?y(0)?1
0?x?1
. (1) 写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式；
(2)写出用改进的Euler法（梯形法）、步长h=0.2解上述初值问题数值解的公式，并求解y1,y2，保留两位小数。
?x
16. 取节点x0?0,x1?0.5,x2?1，求函数y?e在区间[0,1]上的二次插值多项式P2(x)，并估计误差。
17、已知函数y?f(x)的相关数据
1?P()P3(x
)2的近似值。 由牛顿插值公式求三次插值多项式
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