篇一：弦切角定理及推论
弦切角定义
顶点在圆上，一边和圆相交，另
图示
一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角）如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB，∠TCA，∠PCA，∠PCB都为弦切角。
弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. 弦切角定理证明：证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。∵∠TCB=90-∠OCB∵∠BOC=180-2∠OCB∴,∠BOC=2∠
TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（圆心角等于圆周角的两倍）∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：（弦切角定理）证明：分三种情况：
（1） 圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角
B点应在A点左侧
（2） 圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m所对的
劣弧上有一点E那么，连接EC、ED、EA则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB∴ ∠CEA=∠CAB∴ （弦切角定理）
（3） 圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D那么 ∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90∴∠CDA=∠CAB∴（弦切角定理）
弦切角推论
推论内容
若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等
应用举例
例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60° , AB=a 求BC长.解：连结OA，OB.∵在Rt△ABC中, ∠C=90∴∠BAC=30°∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半）
例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.求证：EF∥BC.证明：连DF.AD是∠BAC的平分线 ∠BAD=∠DAC∠EFD=∠BAD∠EFD=∠DAC⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC∠EFD=∠FDCEF∥BC
例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求
证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.证明：∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90∵CD⊥AB∴∠ACD=∠B， ∵MN切⊙O于C∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD.
篇二：弦切角定理导学案
弦切角定理导学案
【学习目标】：
1.理解弦切角的概念，掌握弦切角定理及其推论，能运用它们解决有关问题。
2.通过弦切角定理的证明，了解分情况证明数学命题的思想和方法。 3.体会分类、转化的思想方法。
【学习重点】：弦切角的概念，弦切角定理及其推论。 【学习难点】：弦切角定理的运用。
【自主学习】：
1.弦切角的定义：__________________________. 2.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的____________________. 3.下面各图形中的角是弦切角的是（填写正确的序号）. C
A
A
A
4.AB切⊙O于A点，圆周被AC所分成的优弧与劣弧之比为3∶1，则夹劣弧的弦切角?BAC?_______.
5.如图，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于点B，连接DB，
若?D?20?，则?DBE的大小为()
A. 20? B. 40?C. 60? D. 70?
【例题应用】：
例1如图，AC与△ABD的外接圆⊙O相切于A.(1)若弦切角∠BAC=30o ，则AB =_________,∠AOB=_________ , ∠ADB=_________;
(2)若已知⊙
O的半径为
3cm，AB长为
?cm，求弦切角∠BAC的度数。
例2.已知如图，?1??2， EF切圆于点D, 求证：EF∥BC。
例3.已知，如图PA,PB分别与圆O相切于点A,B,AC是圆O的直径， 求证：?APB?2?BAC.
【达标检测】
1.如图1，CD是⊙O的切线，T为切点，A是 上的一点，若∠TAB＝100°，
则∠BTD的度数为( ）
A．20°B．40°C．60° D．80°
（1）
（2）
2.如图2，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于点C，AD⊥EF于点D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为( )
A．2 B．3 C
． D．4
3.如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E.证明： (1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.
【课堂小结】：
【作业】
课本P16.1 2
篇三：切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
以及与圆有关的比例线段
［学习目标］ 1.切线长概念
切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。（PA长） 2.切线长定理
对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个） 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。 7.与圆有关的比例线段 定理 图形 已知 结论 证法 相交弦定⊙O中，AB、CD为弦，交PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：理 于P. △APC∽△DPB.
相交弦定理的推论
⊙O中，AB为直径，CD⊥ABPC＝PA·PB. 于P.
（特殊情况）
1
2
用相交弦定理.
切割线定理 ⊙O中，PT切⊙O于T，PT＝PA·PB 割线PB交⊙O于A
2
连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT
切割线定理推论
PB、PD为⊙O的两条割线，PA·PB＝PC·PD 交⊙O于A、C
过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理
（记忆的方法方法）
圆幂定理
⊙O中，割线PB交⊙O于P'C·P'D＝r－延长P'O交⊙O于M，延
2
A，CD为弦 OP' 长OP'交⊙O于N，用相交
22
PA·PB＝OP－r 弦定理证；过P作切线用r为⊙O的半径 切割线定理勾股定理证
2
8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
【典型例题】
例1.如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。
图1
解：由切线长定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE 设CE为x，在Rt△ADE中，由勾股定理 ∴
，
，
2
例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。
图2
解：由相交弦定理，得 AE·BE＝CE·DE
∵AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm， ， ∴
，
即 ∴CE＝3cm或CE＝4cm。 故应填3或4。
点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。
例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则解：∵∠P＝∠P ∠PAC＝∠B， ∴△PAC∽△PBA， ∴
，
∴。
又∵PA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得
∴
，
即 ， 故应填PC。
点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。
________。
3
例
4.如图3，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm。
图3
解：∵PC是⊙O的切线，PAB是⊙O的割线，且PA：PB＝1：4 ∴PB＝4PA 又∵PC＝12cm 由切割线定理，得∴∴
，
∴
∴PB＝4×6＝24（cm） ∴AB＝24－6＝18（cm）
设圆心O到AB距离为d cm， 由勾股定理，得
故应填。
例5.如图4，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D，（1）求证：
；（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。
图4
点悟：要证证明：（1）连结BE
，即要证△CED∽△CBE。
4
（2）
。
又∵
，
∴厘米。
点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。
例6.如图5，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD的延长线于E。
图5
求证： 证明：连结BD， ∵AE切⊙O于A， ∴∠EAD＝∠ABD
∵AE⊥AB，又AB∥CD， ∴AE⊥CD
∵AB为⊙O的直径 ∴∠ADB＝90°
∴∠E＝∠ADB＝90° ∴△ADE∽△BAD ∴
∴
∵CD∥AB
∴AD＝BC，∴
5
《弦切角定理证明方法》出自：百味书屋
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