篇一：全等三角形习题选(含答案)
经典三角形证明题选讲（含答案） 三角形辅助线做法线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验
1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD
D
1. 证明：延长AD到E,使DE=AD, 则△ADC≌△EBD ∴BE=AC=2 在△ABE中,AB-BE<AE<AB+BE ，∴10-2<2AD<10+2 4<AD<6
又AD是整数,则AD=5
思路点拨：三角形中有中线，延长中线等中线。
2.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2
2.证明：连接BF和EF.
∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ △BCF≌△EDF(边角边). ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF. 连接BE.
在△BEF中,BF=EF，∴∠EBF=∠BEF又∵ ∠ABC=∠AED，∴ ∠ABE=∠AEB. ∴ AB=AE
在△ABF和△AEF中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF. ∴ △ABF≌△AEF∴∠1=∠2.
思路点拨：解答本题的关键是能够想到证明AB=AE,而AB、AE在同一个△ABE中，可利用∠ABE=∠AEB来证明.同一三角形中线段等，可用等角对等边
3.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC 证明： 过E点，作EG//AC，交AD延长线于G
则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2
又∵CD=DE∴△ADC≌△GDE（AAS）∴EG=AC ∵EF∥AB∴∠DFE=∠1
∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE∴EF=EG∴EF=AC 思路点拨：角平分线平行线，等腰三角形来添。
4.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C 证明： 延长AC到E使CE=CD，连接 ED，则∠CDE= ∠E
∵ AB=AC+CD ∴AB=AC+CE=AE
又∵∠BAD=∠EAD，AD=AD∴△BAD≌△EAD ∴∠B=∠E
∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠ACB=2∠B
方法二
在AC上截取AE=AB，连接ED A
∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD
又∵AE=AB，AD=AD∴⊿AED≌⊿ABD（SAS）
∴∠AED=∠B，DE=DB CBD∵AC=AB+BD ，AC=AE+CE
∴CE=DE∴∠C=∠EDC
∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠B=2∠C
思路点拨：线段等于线段和，理应截长或补短
5.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明：过C作CF⊥AD交AD的延长线于F.在△CFA
和△CEA中
∴∠CFA＝∠CEA＝90°又∵∠CAF＝∠CAE， AC=AC
∴△CFA≌△CEA ， ∴AE＝AF＝AD＋DF， CE=CF
∵∠B＋∠ADC＝180°，∠FDC＋∠ADC＝180°
∴∠B＝∠FDCE
在△CEB和△CFD中 ，
CE=CF,∠CEB＝∠CFD＝90°, ∠B＝∠FDCE
∴△CEB≌△CFD
∴BE＝DF∴ AE＝AD＋BE
思路点拨：图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现
6. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。
证明:在BC上截取BF=BA,连接EF. ∵
∠ABE=∠FBE,BE=BE,
∴ ⊿ABE≌ΔFBE(SAS),
∠EFB=∠A;
∵AB∥CD, ∴∠A+∠D=180°;
又∵∠EFB+∠EFC=180°,
∴∠EFC=∠D;
又∵∠FCE=∠DCE,CE=CE, ∴⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.
∴BC=BF+FC=AB+CD.
思路点拨：线段等于线段和，理应截长或补短
法二：延长BE交CD的延长线于点F，易证BC=FC=FD+DC
又∵∠BCE=∠FCE∴BE=FE; 易证⊿ABE≌ΔDFE ∴AB=FD
∴ BC=AB+DC
法三：易证∠BEC=90°,取BC中点F，连接EF,则EF?
∴∠FEB=∠FBE=∠ABE∴AB∥EF同理DC∥EF
又∵F为BC中点 ∴E为BC中点 ∴EF?(AB?DC)
∴BC=AB+DC
思路点拨：三角形两边有中点，连接可得中位线。
1BC?BF； 212
梯形一腰有中点，亦可尝试中位线
法四：过E作EF//AB交BC于点F,则∠FEB=∠ABE=∠FBE
1
2
1又∵EF//AB//DC ∴AE=ED ∴EF?(AB?DC) 2∴EF=BF,同理EF=CF, ∴BF=CF, EF=BC
∴ BC=AB+DC
思路点拨：角平分线平行线，等腰三角形来添。
7. 已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C
证明：连接BE E D
∵AB∥ED,
∴∠ABE=∠DEB
又∵∠EAB=∠BDE ,BE=EB
∴△ABE≌△DEB，
∴AE=DB
又∵AF=CD,EF=BC ∴△AFE≌△DCB，
∴∠C=∠F
8．如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．
证明：延长AD至H交BC于H;
∵BD=DC， ∴∠DBC=∠DCB
∵∠1=∠2， ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2;
即∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC
∴△ABD≌△ACD， ∴∠BAD=∠CAD
∴AD⊥BC
思路点拨：中线、垂线、角平分线，三线合一试试看。
9．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．
求证：∠OAB=∠OBA
证明：∵OM平分∠POQ ，
MA⊥OP,MB⊥OQ
∴MA=MB
∴∠MAB=∠MBA
∵∠OAM=∠OBM=90度
∴∠OAB=90-∠MAB ，
∠OBA=90-∠MBA
∴∠OAB=∠OBA
思路点拨：同一三角形中角相等，可用等边对等角
10已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：AF⊥CD
证明：同2先证出AB=AE,然后连接AC、AD,再证明
△ABC≌△AED，从而AC=AD, 又∵F是CD的中点，∴AF⊥CD
11.如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠1=∠2，求证：BD=DC．
证明：∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB
又∵ ∠1=∠2 ∴∠DBC=∠DCB∴BD=DC．
12（改编）如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠ADB=∠ADC，求证：BD=DC．
提示：将△ADB绕点A逆时针旋转∠BAC得△AEC，
连接DE,可证出∠CDE=∠CED
从而CD=CE=BD
思路点拨：当题中出现等腰三角形时，可以考虑用旋转的方法打开思路，添加辅助线。特别是题中有正方形、等边三角形、等腰直角三角形时 ，更是如此
13．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，
AF=CE，BD交AC于点M．
（1）求证：MB=MD，ME=MF
（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．
（1）证明：连接BE，DF．
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，
∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，
∵AF=CE，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA，
∴DE=BF．
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴MB=MD，ME=MF；
（2）解：上述结论仍然成立证明如下：
连接BE，DF．
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，
∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，
∵AF=CE，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA，
∴DE=BF．
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴MB=MD，ME=MF．
本题也可以用证明两次三角形全等的方法
14．已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，
（1）求证：△AED≌△EBC．
（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再A写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：
DE
B
C(1) 证明：∵DC∥AE，且DC=AE，∴四边形AECD是平行四边形。于是知AD=EC，且∠EAD=∠BEC。由AE=BE， ∴△AED≌△EBC。 （2）解：△AEC、△ACD、△ECD都与△AED面积相等。
篇二：全等三角形 提高练习(含答案)
全等三角形提高练习
1. 如图所示，△ABC≌△ADE，BC的延长线过点E，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=10°，
∠B=50°，求∠DEF的度数。
2. 如图，△AOB中，∠B=30°，将△AOB绕点O顺时针旋转52°，得到△A′OB′，边
A′B′与边OB交于点C（A′不在OB上），则∠A′CO的度数为多少？
A
3. 如图所示，在△ABC中，∠A=90°，D、E分别是AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△
EDC，则∠C的度数是多少？
4. 如图所示，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，
若∠A′DC=90°，则∠A=
5. 已知，如图所示，AB=AC，AD⊥BC于D，且AB+AC+BC=50cm,而AB+BD+AD=40cm，则AD
是多少？
A
6. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B、C作过点A的垂线BC、CE，垂足
分别为D、E，若BD=3，CE=2，则DE=
7. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，连接EF，交AD
于G，AD与EF垂直吗？证明你的结论。
B
8. 如图所示，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC
2
的面积是28cm,AB=20cm，AC=8cm，求DE的长。
B'
C
9. 已知，如图：AB=AE，∠B=∠E，∠BAC=∠EAD，∠CAF=∠DAF，求证：AF⊥CD
C 10. 如图，AD=BD，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点H，则BH与AC相等吗？
为什么？
B
11. 如图所示，已知，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，
FD=CD，求证：BE⊥AC
B12. △DAC、△EBC均是等边三角形，AF、BD分别与CD、CE交于点M、N，求证：（1）AE=BD
（2）CM=CN （3）△CMN为等边三角形 （4）MN∥BC
AC13. 已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，AN交MC于点
E，BM交CN于点F （1） 求证：AN=BM
（2） 求证：△CEF为等边三角形
14. 如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，下列结论：①AE=CD；②BF=BG；③BH
平分∠AHD；④∠AHC=60°；⑤△BFG是等边三角形；⑥FG∥AD
A．3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
A 15. 已知：BD、CE
是△ABC的高，点F在BD上，BF=AC，点G在CE的延长线上，CG=AB，
求证：AG⊥AF
B
16. 如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的
延长线上截取CG=AB，连结AD、AG
求证：（1）AD=AG
（2）AD与AG的位置关系如何
B
17．如图，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE=∠FAE
求证：AF=AD-CF 18．如图所示，已知△ABC中，AB=AC，D是CB延长线上一点，∠ADB=60°，E是AD上一点，
且DE=DB，求证：AC=BE+BC
D19．如图所示，已知在△AEC中，∠E=90°，AD平分∠EAC，DF⊥AC，垂足为F，DB=DC，求证：BE=CF
20．已知如图：AB=DE，直线AE、BD相交于C，∠B+∠D=180°，AF∥DE，交BD于F，求证：CF=CD
21．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F是OC上一
点，连接DF和EF，求证：DF=EF
22．已知：如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，且BD=CD，求证：（1）△BDE≌△CDF （2）
点D在∠A的平分线上
A
23．如图，已知AB∥CD，O是∠ACD与∠BAC的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB
与CD之间的距离是多少？
24．如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN，按下列要求画图并回答： 画∠MAB、∠NBA的平分线交于E （1）∠AEB是什么角？
（2）过点E作一直线交AM于D，交BN于C，观察线段DE、CE，你有何发现？
（3）无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，①AD+BC=AB；②AD+BC=CD
谁成立？并说明理由。
B
25．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于？
C
26．正方形ABCD中，AC、BD交于O，∠EOF=90°，已知AE=3，CF=4，则S△BEF为多少？
27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD
于H，交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE
B
28．在△
ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E （1）当直线MN绕点C
旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE （2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE
（3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问DE、AD、BE
接写出这个等量关系。
M
AA
图1
1 解：∵△ABC≌△AED ∴∠D=∠B=50° ∵∠ACB=105° ∴∠ACE=75° ∵∠CAD=10° ∠ACE=75° ∴∠EFA=∠CAD+∠ACE=85°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） 同理可得∠DEF=∠EFA-∠D=85°-50°=35°
2 根据旋转变换的性质可得∠B′=∠B，因为△AOB绕点O顺时针旋转52°，所以∠
BOB′=52°，而∠A'CO是△B′OC的外角，所以∠A′CO=∠B′+∠BOB′，然后代入数据进行计算即可得解．
解答：解：∵△A′OB′是由△AOB绕点O顺时针旋转得到，∠B=30°， ∴∠B′=∠B=30°，
∵△AOB绕点O顺时针旋转52°， ∴∠BOB′=52°，
∵∠A′CO是△B′OC的外角，
∴∠A′CO=∠B′+∠BOB′=30°+52°=82°． 故选D．
3 全等三角形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理．
分析：根据全等三角形的性质得出∠A=∠DEB=∠DEC，∠ADB=∠BDE=∠EDC，根据邻补角定义求出∠DEC、∠EDC的度数，根据三角形的内角和定理求出即可． 解答：解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC，
∴∠A=∠DEB=∠DEC，∠ADB=∠BDE=∠EDC， ∵∠DEB+∠DEC=180°，∠ADB+∠BDE+EDC=180°， ∴∠DEC=90°，∠EDC=60°， ∴∠C=180°-∠DEC-∠EDC， =180°-90°-60°=30°．
4分析：根据旋转的性质，可得知∠ACA′=35°，从而求得∠A′的度数，又因为∠A的对应角是∠A′，即可求出∠A的度数．
解答：解：∵三角形△ABC绕着点C时针旋转35°，得到△AB′C′ ∴∠ACA′=35°，∠A'DC=90° ∴∠A′=55°，
∵∠A的对应角是∠A′，即∠A=∠A′， ∴∠A=55°； 故答案为：55°． 点评：此题考查了旋转地性质；图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动．其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．解题的关键是正确确定对应角．
5因为AB=AC 三角形ABC是等腰三角形 所以 AB+AC+BC=2AB+BC=50 BC=50-2AB=2(25-AB)
又因为AD垂直于BC于D，所以 BC=2BD BD=25-AB
AB+BD+AD=AB+25-AB+AD=AD+25=40 AD=40-25=15cm
6 解：∵BD⊥DE，CE⊥DE ∴∠D=∠E
∵∠BAD+∠BAC+∠CAE=180° 又∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°
∵在Rt△ABD中，∠ABD+∠BAD=90° ∴∠ABD=∠CAE
篇三：强烈推荐：全等三角形优秀习题及答案(6套)
图12
《全等三角形练习题(含答案)》出自：百味书屋
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