篇一：中国人口增长预测
中国人口增长预测
摘要：
本文通过对题目中所给数据和参考资料以及网站上获得的数据进行分析,利用多种模型对数据规律进行归纳提炼.首先我们建立了,Malthus微分方程,通过求借建立了我国人口增长的指数模型,通过常识和分析我们知道,由于受到资源和多种外在和内在因素的影响,人口的这种增长模式是不可能实现的,它只是在理想情况下的一种模式.为了弥补这个模型的缺点,我们又分别建立了[1]L eslie人口模型, 微分差分混和模型,神经网络模型,灰色模型,等多种模型方式. 建立Leslie模型来预测未来中国大陆人口增长模型。根据死亡率，生育率是否变化，我们建立了两个模型，第一个是死亡率变化的模型，在这个模型中，由于两个因素的变化，使得在预测时只能简单的预测下一年的数据，虽然精度很大，但是预测的时间太短。于是，在分析了死亡率和生育率在所给五年的各年龄段的情况，我们提出了忽略两个因素变化所带来的影响，以使模型更大众化。最后通过检验，发现，在做中短期预测时，结果很令人满意，误差很小。但对于长期的预测准确度有所下降。通过对第一个模型—Leslie人口模型的求解，我们分析得到了短期，中期，长期，较长期（在这我们定义1—3年为短期，5—10年为中期，10年以上是长期）的预测人口数量在各个年龄段的分布。再对预测数据进行分析，并结合中国的实际国情，很容易知道Leslie人口模型增长只能用来预测中短期的人口发展规律（对与中国的实际国情而言）。于是为了预测探究长期的人口发展模型，我们必须找到更好的模型，结合别人的资料，然后我们又建立了一个有关人口数量的微分方程，这个微分方程包括了 各方面影响人口增长和变化的因素，如，育龄女性的百分比，潜在育龄女性的百分比，人口老龄百分比等等。这些因素的介入使得分析人口变化规律更接近实际的情况。随后又建立了另外的模型,多种模型相互结合,是本文的一大特色.
关键字：
Malthus模型灰色模型 Leslie人口模型神经网络
一、问题重述
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。
近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1) 还做出了进一步的分析。
关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。
试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。
二、问题分析
对人口的预测主要考虑三方面人口的来源：
1.上一年留下的人口数--由前一年人口总数减掉死亡人数 2.新生儿数--由当年育龄妇女数和生育率决定 3.流动口数--考虑往年的人口流动量
对数据进行数据拟合，其中预期的数值就是预算那部分的和。从而得出数据的模型，
建立好成熟模型后，就可以对以后进行预测求解。
三 模型假设
1 中国大陆人口看作一封闭系统,没有迁入与迁出 2 同一年龄组内是无区别的 3 在t0时刻人口分布情况是已知的 4 无重大自然灾害和重大疾病的发生
四、符号说明
An(i) 第n年年龄为i的总人数；
bn(i)第n年年龄为i的妇女的生育率，即为第n年年龄为i的妇女所生的小孩数与年龄为i的妇女
的总数之比；
dn(i)第n年年龄为i的妇女的死亡率；
?n(i)第n年年龄为i的女性占同龄总人数的比例；
I(t) t年15-49岁的女性人口总数；
RI(t)t年0-15岁女性人口总数；
NI(t)t年各年龄段的男性与50-90+岁女性人口总数之和； NI(t)t年各年龄段人口总数；
A(i) 15-49岁中年龄为i的女性人口总数；
? t年15-49岁女性死亡率；
? 人口年死亡率；
五、建模过程
模型建立初期不考虑其他因素干扰，建立简单模型，在分析和建立模型的过程中进一步优化，建立过程如下：
模型一：人口指数增长模型（马尔萨斯Malthus，1766--1834）
1) 模型假设
1．以P(t)表示时刻t某地区的人口数，设人口数P(t)足够大，可以视做连续函数处理，且P(t)关于t连续可微。
2．时刻t人口增长的速率，即单位时间人口的增长量，与当时人口数成正比，即人口增长率为常数r。 2) 模型建立及求解
据模型假设，在t到t??t时间内人口数的增长量为
P(t??t)?P(t)?r?P(t)??t， 两端除以?t，得到
P(t??t)?P(t)
?r?P(t)
?t,
即，单位时间人口的增长量与当时的人口数成正比。
令?t?0，就可以写出下面的微分方程：
dP
?r?Pdt，
如果设t?t0时刻的人口数为p0，则p(t)满足初值问题：
?dP
?r?P?dt?
?P(t0)?P0?（1）
下面进行求解，重新整理模型方程（1）的第一个表达式，可得
dP
?r?dtP，
两端积分，并结合初值条件得
显然，当r?0时，此时人口数随时间指数地增长，故模型称为指数增长模型（或Malthus模型）。如下图1所示。
3) 模型检验与分析
注意到limP(t)?limP0er(t?t0)???，而我国资源是有限的，考虑到现实生活中主客观因素的影响，
t??
t??
不可能是人口无限增长，故指数增长模型（Malthus模型）对未来人口总数预测非常荒谬，不合常理，应该予以修正。
4) 模型讨论
做进一步的讨论，阐明此模型组建过程中所做的假设和限制是非常必要的。
篇二：中国人口增长预测
中国人口增长预测
摘要
本文通过对2001-2005年的中国人口调查数据的分析，并结合《国家人口发展战略研究报告》的指导思想，运用数学建模、偏微分方程、概率统计学等知识，借助MATLAB、SAS、EXCEL等工具软件，分别建立了对中国人口短期和长期的模型，得到了合理的数值解，并进行了人口总数预测、人口指数分析与人口控制分析。
首先，针对影响人口总数的主要因素：出生和死亡，在已有的人口偏微分方程理论模型的基础上，根据中短期和长期预测的不同特征，调整理论模型中的参数函数，得到了中短期和长期人口数量预测两个模型。并且在考虑长期预测模型时加入了人口迁移的因素，将人口按城、镇、乡分为三个部分分别计算各自参数函数。然后将方程组离散化成差分方程组的形式，用迭代的思想，借助MATLAB较为便捷地求出了两个模型的数值解。
其次，根据这两个模型，对中国人口总数进行了预测，得到的结果与《国家人口发展战略研究报告》中的预测非常吻合，从而证明了模型的适用性和可靠性。进一步利用这两个模型，对中国人口指数（包括人均寿命、人均年龄和老龄化等）进行了预测和分析，并且也对人口控制这一问题提出了一些新的见解，更加全面的揭示了中国人口的发展特点。
最后，对整个模型的优缺点的总结，使得我们对人口预测这一复杂问题有了更为深刻的理解。
关键词：人口增长 人口迁移率 人口指数 人口控制 偏微分方程
一．问题重述以及研究背景
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。近年来由于人们生活的改善、医疗卫生水平的发展、计划生育的实施以及中华民族的传统观念等原因，中国的人口发展出现了一些新的特点。例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。这些问题在很大程度上制约着我国社会经济的发展，并且已经或是将会引发很多社会问题。因此，根据已有数据，运用数学建模方法，对于中国人口的分析和预测成为了一个十分重要的问题。
关于人口预测和人口控制问题，自七十年代八十年代初就有宋健等人开始用数学的方法分析我国的人口问题，建立人口发展的偏微分模型,并且根据建立的人口发展方程，分析其死亡率函数、生育率函数等参数方程，并进行数值求解，从而预测人口数量以及各种人口指数，从而把我国人口研究从以前单纯的定性分析，引入到定量分析和研究。特别地，把得到的偏微分方程模型看成一个动力系统，则可用控制论的观点来看待人口问题。
然而此后，我国除了用一些新地方法对人口总量、死亡率等数据进行预测外，很少有人再系统地作这方面的研究工作，但是当时的死亡率、生育模式等等参数到现在已经发生了很大的变化，当初建立模型的条件和结论已经不适用于现在的情况，所以需要重新考虑现在的人口状况对人口动力系统进行分析和计算。此外，自从我国实行改革开放以来，我国人口迁移，已经从纯粹的计划下的迁移转变为市场经济规律下的迁移，人口从乡镇迁往城市越来越多，故而人口迁移在人口发展方程中的影响也越来越大，能否精确确立人口迁移模型也对人口发展方程来说越来越重要了。
二．基本假设与符号假定
2．1基本假设
(1) 假设社会长期处于稳定安和的状态，即排除战争、大规模传染病等大灾难发生的可能性。
(2) 在模型讨论中，不考虑国外移民因素，也可等价认为每年移入和移出的总量相同从而相互抵消。
(3) 假设女性的生育年龄在15周岁到49周岁。
(4) 假定婴儿出生年龄为实周岁，即从0岁开始计算。
三．人口增长模型
3．1 模型建立
影响人口数量最直观的两个因素为人口的出生率和死亡率，迁移率会导致人口结构改变从而影响人口的数量，所以迁移率也是影响人口数量的一个重要因素。
我们借用概率论中的密度函数来描述人口的分布情况，即假设人口的密度函数为
p(r,t)，则p(r,t)dr就表示在t时刻年龄为r的人口数量。这样，所有人就像一个个质点
一样，有序地分布在年龄和时间构成的二维平面中。而对影响人口密度的两个重要因素（出生率和死亡率），我们运用同样的思想来描述，即死亡率函数?(r,t)和单位时间出生的婴儿数f(t)。
由密度函数的性质，p(r,t)dr表示时刻t年龄再区间?r,r?dr?内的人到时刻t?dt的情况。他们中活着的那一部分人的年龄变为?r?dr1,r?dr?dr1?，这里dr1?dt。而在dt这段时间内死亡的人数为?(r,t)p(r,t)drdt。于是
p(r,t)dr?p(r?dr1,t?dt)dr??(r,t)p(r,t)drdt
上式可写成
?p(r?dr1,t?dt)?p(r,t?dt)?dr??p(r,t?dt)?p(r,t)?dr???(r,t)p(r,t)drdt
注意到dr1?dt就可得到：
?p?p
????(r,t)p(r,t) ?r?t
(1)
这是人口密度函数p(r,t)的一阶偏微分方程，其中死亡率?(r,t)为已知函数。
方程(1)有两个定解条件：初始密度函数记作p(r,0)?p0(r)；p(0,t)，即单位时间出生的婴儿数，p(0,t)?f(t)。其中p0(r)可由数据资料得到，是已知函数；f(t)则对预测和控制人口起着重要作用，下面我们来着重讨论f(t)。
记女性比率为k(r,t)，即在时刻t年龄在?r,r?dr?的女性人数为k(r,t)p(r,t)dr，将这些女性在单位时间内平均每人的生育数记作b(r,t)，设育龄区间为?r1,r2?，则
f(t)??b(r,t)k(r,t)p(r,t)dr
r1
r2
(2)
再将b(r,t)定义为
b(r,t)??(t)h(r,t)
(3)
其中h(r,t)满足
?
r2
r1
h(r,t)dr?1
r2
(4)
于是
f(t)??(t)?h(r,t)k(r,t)p(r,t)dr
r1
(5)
由(3)、(5)式可以看出，?(t)的直接含义是时刻t单位时间内平均每个育龄女性的生育数；?(t)也表示平均每个女性一生的总和生育数，即总和生育率。
从(3)、(4)式可以看出，h(r,t)是年龄为r女性的生育加权因子，称生育模式。在稳
定环境下可以近似地认为它与t无关，即h(r,t)?h(r)。下面给出了h(r)的示意图：
生育模式
Prob
Age
从图中可看出r?rc附近生育率最高，而且它是偏峰的。我们采用卡方分布来模拟生育模式。其分布密度函数为
r?r1
(r?r1)eh(r)?
???(?)
并取??2，??n/2，这时有
??1
?
?
,r?r1
(6)
rc?r1?n?2
(7)
综上所述，完整的描述短期人口发展的偏微分方程为
??p?p
??r??t???(r,t)p(r,t),t,r?0?
?p(r,0)?p0(r)
?r2p(0,t)??(t)k(r,t)h(r,t)p(r,t)dr??r1?
(8)
考虑到城、镇、乡人口的特征有所区别，所以我们将分别对这三个类别的人口总数进行预测，即分别对这三类人口应用方程(8)。
3．2模型求解：
可以证明方程(8)的解存在[1]，但是求解这个方程的解析解较为复杂。而我们关心的是人口的总量，所以我们将方程(8)离散化，求出其数值解。
定义xi?t?是t年代满i周岁但不到i?1周岁人口数，则有
xi?t???
i?1
i
p?r,t?dr，i?0,1,?,m?1
(9)
其中，m表示人能活到最高年龄，记x?t???x0(x),x1(t),?,xm?1(t)?，称之为人口状态向量，则在(9)中对r从i到i?1积分，得
xi?1?t?1??xi(t)???u(r,t)p(r,t)dr
i
i?1
由积分中值定理
xi?1?t?1??xi(t)??u(?,t)?
i?r?i?1
i?r?r?1
i?1
i
p(r,t)dr
其中infu(r,t)?u(?,t)?supu(r,t)，令ui(t)?u(?,t)，则上式变为
xi?1?t?1??xi(t)??ui(t)xi?t?
边界条件的离散化：f(t)是单位时间婴儿的出生数，则f(t)可表示为
f(t)＝??t??k(r,k)h(r,t)p(r,t)dr
r1
r2
则?t?1时间内出生的婴儿数f(t)为
篇三：数学建模习题中国人口增长预测
中国人口增长预测
本题是一个人口发展预测的问题。人口发展与一般种群增长一样，是由自然增长率决定的。然而，人类个体是一种社会的个体，所以人口发展有自己的特点。想到人口的迁移，性别比例，城镇化等。同时，人口发展受政策的影响，例如计划生育；也要受到人们意识的影响，像生育意识等。但是从社会层面上看，生育
意识在整个社会上体现为妇女的生育模式，进而可以特别地去考虑。
思考方法：首先，数据的处理。在经过EXCEL分析和验证后，适当修正题中的个别有误数据后，利用有效数据进行建模求解，在此过程中，我们提取出死亡率、生育率等感念，且把人的一生按年龄分为青年期、衰老期等阶段。这是求解人口增长模型的必要过程和方法。
其次，模型建立。和一般的预测模型一样，本模型也是个预测模型，所以考虑到用题目所给的五年的信息，来推测今后几十年的人口的总数和结构情况。对此，我们选用差分方程模型和数据参数拟合等方法。同时，将死亡率与出生率分开分别计算和拟合，通过五年的实际数据拟合出相应函数的参数，再利用此函数进行评估和预测。
最后，利用已有信息以及上述所求出的对应函数和方程，对中短期与长期进行估计和预测，进而得出人口结构、人口比例、人口数量等一系列的相关数据。
以下是解答过程：
1.数据说明：
xm： 表示最大的年龄；
i=1,2,3,4,5,6其中 1表示市男性，2表示市女性， 3表示镇男性，4表示镇女性， 5表示乡男性，6表示乡女性； A ：表示婴儿性别比例矩阵； * ：表示点乘；
Pi(x,t) ：表示t时刻年龄为x的人口数量；
biri(x,t) ：表示t时刻年龄为x的出生率；
deai?x,t? ：表示t时刻年龄为x的死亡率；
k?t? ：表示t时刻婴儿的死亡率；
i
trai(x,t) ：表示t时刻年龄为x的人口迁出率；
2.假设条件
1. 假设国内社会环境稳定，无异常大量死亡或出生情况发生，人口比例，人口
总数不会出现突变状况； 2. 假设只存在乡向城镇迁出，不存在其他迁移方式，且不同年龄段迁移率相同； 3. 假设不考虑国家之间的迁入与迁出，把中国内部看为一个封闭的模型； 4. 对于90岁以上的人都按照90岁处理； 5. 假设只存在乡向城镇迁出，不存在其他迁移方式，且不同年龄段迁出率相同，
按照0.6%均匀增长。
3.实际解答
T
P?x,t?=(P1?x,t?，P2?x,t?，P3?x,t?，P4?x,t?，P5?x,t?，P6?x,t?）
dea(x,t)=( dea1(x,t), dea2(x,t), dea3(x,t), dea4(x,t), dea5(x,t), dea6(x,t)) T
bir(x,t)=(bir1(x,t),bir2(x,t),bir3(x,t),bir4(x,t),bir5(x,t),bir6(x,t) T tra(x,t)=( tra1(x,t), tra2(x,t), tra3(x,t), tra4(x,t), tra5(x,t), tra6(x,t))T k(t)=( k1(t), k2(t), k3(t), k4(t), k5(t), k6(t)) T
2.由已有的人口模型可知：
P?x??x,t??t??P?x,t??t?P?x,t??t??P?x,t?
+ =—[tra(x,t)+dea(x,t)]*P(x,t))
?x?t
使?x ?0，?t ?0，则可得：
?P?P
??—[tra(x,t)+dea(x,t)]*P(x,t)) ?t?x
又由1994到2005年的城镇乡点的男女出生比例求平均值可得婴儿出生比例的矩阵A，即：
000??00.5280
??00.4720000???0000.54100?A???
0000.45900???000000.545????000000.455???
最后结合条件可得人口微分模型:
??P?P
??t??x??[tra(x,t)?dea(x,t)]*P(x,t)?xm?
?P(0,t)?(1?k)*A?bir(x,t)*P(x,t)dx（1）
0?
?P(x,0)?P0(x)?
P(xm,t)?0?
将其转化成差分方程可得：
P?x??x,t??t??P?x,t??t?P?x,t??t??P?x,t????[tra(x,t)?dea(x,t)]*P(x,t)
?x?t
P(0,t)?(1?k)*A?bir(x,t)*P(x,t)?x
0xm
P(x,0)?P0(x)
P(xm,t)?0
为了求解上述方程，则只需已知出生率，死亡率，迁移率的值，在模型求解
于是衰老期的死亡率可以表示为：（与t无关）
??dea1(x,t)??0.0836e
?dea(x,t)??0.0014e0.1489x?
??2??
?0.04646e0.09854x???dea(x,t)?3???
dea(x,t)?????0.10422x?
?dea4(x,t)??0.08033e??dea5(x,t)??0.02744e0.09723x? ????
0.1020x???dea6(x,t)????0.02333e?
有其数据可以发现其死亡率与时间几乎没有相关性，故对其求平均值可得其
0.1016x
死亡率如下表：
比较高，远远高于青年期的死亡率，故不能将其纳入青年期的求解中，应单独对其进行求解。通过对2001年到2005年的数据进行分析，可以发现婴儿期死亡率没有明显的趋势变化，且每一年都相对比较稳定，因此对其求平均值，如下表：
B
建立函数 a1?A?（ｔ表示时间），再用MATLAB工具箱曲线拟合可得参数
t
A和B： 镇：A?138.8，B?13.12，即 a1?138.8?
13.12
t
28.43
乡：A?156.5，B?28.43，即 a1?156.5?
t
于是分别得到市镇乡生育率的方程如下：
x?25.7062??()4.636?115.0875e
?x?24.712
?()13.12?4.572
bir(x,t)??(138.8?)e
t?
x?24.4762
??()28.435.19(156.5?)e?
t?
三、 迁出率的求解
改革开放以来，中国城市化进程明显加快，现阶段已进入到高速城市化的起
飞线上。城市化进程中比较显著的变化就是大量人口从乡村转移到城镇，而城镇与乡村人口在出生率、死亡率等因素上又存在显著差异，故而由城市化引起的人口迁移在分析人口增长时是不可或缺的因素。
人口各年迁出率并无数据可用，且迁出率数据直接计算并不可行，而各年中国城市化率的数据较容易得到，经查阅资料知各年城市化率，且知中国城市化进程将会在2050年趋于饱和，届时城市化率将达到极值70%。为简化模型，此处我们用平均迁出率作为每年的迁出率，即有：
tra1?x,t??tra2?x,t??tra3?x,t??tra4?x,t????0.7?0.4299?/45??0.006
tra5?x,t??tra6?x,t??0.012 七、模型结果及其分析
把模型求解中所求出的具体参数——死亡率、生育率、迁出率带入到已建立好的模型中（模型建立中的表达式（1）），对此方程进行离散化求解，化为差分方程，然后用MATLAB编程，最后得出结果，现整理如下：
1. 人口总量预测
通过MATLAB编程，计算得到的2006年到2050年的全国人口总量的预测列表如下：
人口数量预测表（单位：十亿）
《基于常微分方程的中国人口增长预测》出自：百味书屋
链接地址：http://www.850500.com/news/86999.html
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