篇一：2015年高考真题分类汇编——解析几何大题
2015年高考真题分类汇编——解析几何大题
1、（2015上海文22） 已知椭圆x2?2y2?1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、
B和C、D，设?AOC的面积为S.
（1）设A(x1,y1)，C(x2,y2)，用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明
S?2|x1y2?x2y1|；
（2）设l1:y?kx，C(
1,)，S?，求k的值；
333
（3）设l1与l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1与l2如何变动，面积S保持不变. 【答案】 【解析】学科网
试题分析：（1）依题意，直线l1的方程为y?
y1
x，
x1
（2）设直线l1的斜率为k，直线l1的的方程为y?kx，
?y?kx1
x??联立方程组?2，消去解得， y22
x?2y?1?2k?
根据对称性，设x1?
1?2k
2
，则y1?
k?2k
2
，
所以S?
1131|x1y2?x2y1|??|x1?y1|?， 2233
所以|x1?y1|?
2|k?1|
， ?
232k?1
解得k??1或k??
1. 5
m， k
（3）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为
?y?kx1
设直线l1的的方程为y?kx，联立方程组?2，消去解得， x??y22
x?2y?1?2k?
根据对称性，设x1?
1?2k
2
，则y1?
k?2k
2
，
同理可得x2?
kk?2m
2
2
，y2?
mk?2m
2
2
，
11|m?k2|
所以S?|x1y2?x2y1|??，
22(1?2k2)(k2?2m2)
设
|m?k2|(1?2k)(k?2m)
2
2
2
?c（常数），
所以(m?k2)2?c2(k2?2k4?2m2?4k2m2)， 所以k4?2mk2?m2?c2[2k4?(1?4m2)k2?2m2]， 由于左右两边恒成立，
2
??2c?1
所以只能是?2， 2
??c(1?4m)??2m
?c2?1
2?
S?所以?，此时， 1
4?m??
2?
综上所述m??
12
，S?. 24
方法二：设直线l1、l2的斜率分别为所以mx1x2??y1y2，
所以mx1x2?y1y2?mx1x2y1y2，
222
2
2
y1yyy
、2，则12?m， x2x1x1x2
因为A(x1,y1)，C(x2,y2)在椭圆x?2y?1上，
22
22222222
所以(x1?2y12)(x2?2y2)?x12x2?4y12y2?2(x12y2?x2y1)?1，
即(
1222
?4m)x1x2y1y2?2(x12y2?x2y1)?1， m
2222
所以x1y2?x2y1?2x1x2y1y2?(x1y2?x2y1)2
11
[1?(4m?)x1x2y1y2]?2x1x2y1y2 2m11
?2)x1x2y1y2， ??(2m?
22m
?
因为S是常数，所以|x1y2?x2y1|是常数， 所以令2m?
1
?2?0即可， 2m
所以m??
12，此时S?.24
12
，S?.24
综上所述m??
2
2、（2015上海理21）已知椭圆x?2y?1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、
2
B和C、D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S.
（1）设A(x1,y1)，C(x2,y2)，用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明
S?2|x1y2?x2y1|；
（2）设l1与l2的斜率之积为?【答案】
1
，求面积S的值. 2
（2）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为?设直线l1的的方程为y?kx，联立方程组?
1， 2k
?y?kx?x?2y?1
k?2k
2
22
，消去y解得x??
1?2k
2
，
根据对称性，设x1?
1?2k
2
，则y1?
，
即?4x1x2y1y2?2(x1y2?x2y1)?1， 所以(x1y2?x2y1)?
2
2222
12，即|x1y2?x2y1|?， 22
所以S?2|x1y2?x2y1|?2.
3、（2015年北京文20）已知椭圆C:x?3y?3，过点D?1,0?且不过点??2,1?的直线与
2
2
椭圆C交于?，?两点，直线??与直线x?3交于点?． （Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若??垂直于x轴，求直线??的斜率；
（Ⅲ）试判断直线??与直线D?的位置关系，并说明理由．
【答案】（1
【解析】
（2）1；（3）直线BM与直线DE平行.
试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先将椭圆方程化为标准方程，得到a，b，c的值，再利用e?
c
计算离心率；第二问，由直线ABa
的特殊位置，设出A，B点坐标，设出直线AE的方程，由于直线AE与x=3相交于M点，所以得到M点坐标，利用点B、点M的坐标，求直线BM的斜率；第三问，分直线AB的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线AB和直线AE的方程，将椭圆方程与直线AB的方程联立，消参，得到x1?x2和x1x2，代入到kBM?1中，只需计算出等于0即可证明kBM?kDE，即两直线平行.
x2
?y2?1.
试题解析：（Ⅰ）椭圆C的标准方程为3
所以a?b?
1，c?
所以椭圆C
的离心率e?
c?. a（Ⅱ）因为AB过点D(1,0)且垂直于x轴，所以可设A(1,y1)，B(1,?y1). 直线AE的方程为y?1?(1?y1)(x?2). 令x?3，得M(3,2?y1). 所以直线BM的斜率kBM?
2?y1?y1
?1.
3?1
（Ⅲ）直线BM与直线DE平行.证明如下： 当直线AB的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知kBM?1. 又因为直线DE的斜率kDE?
1?0
?1，所以BM//DE. 2?1
当直线AB的斜率存在时，设其方程为y?k(x?1)(k?1). 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则直线AE的方程为y?1?
y1?1
(x?2). x1?2
令x?3，得点M(3,
y1?x1?3
).
x1?2
篇二：解析几何高考题汇编
解析几何
（9）过点（3，1）作圆（x-1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 A
（A）2x+y-3=0（B）2x-y-3=0（C）4x-y-3=0（D）4x+y-3=0
2y2（10）已知椭圆C:2?2?1(a?b?
0)x2?y2?1的渐近线ab与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程
为（D ）
2222yyyy（A）??1 （B）??1 （C）??1（D）??1 82126164205
2
2
2
2
2axy
4、设F1，F2是椭圆E:2+2=1 (a＞b＞0)的左、右焦点 ，P为直线x?上的一点，
3ba
是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为C △F2PF1
（A）
22
1234
（B） （C） （D） 2345
x2y2
10a＋b1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点。若
AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 ( D) x2y2
A、45361
x2y2
B3627＝1
x2y2
C、27181
x2y2
D18＋9＝1
x2y2
（4）双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为A
412
（A
）（B）2（C
（D）1
x2y22
9. 设双曲线2?2?1的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的
ab
离心率为(D ).A.
5 B. 5C. D.5 42
x2y222
（8）已知双曲线2?2?1（a>0,b>0）的两条渐近线均和圆C：x+y-6x+5=0相切，
ab
且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为A
x2y2x2y2
（A） ??1 （B）??1
5445x2y2x2y2
（C）（D）??1 ??1
3663
（12）已知双曲线E的中心为原点，P(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(?12,?15),则E的方程式为B
x2y2x2y2x2y2x2y2
??1 (B) ??1 (C) ??1(D) ??1 (A)
36456354
（7）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于 A,B两点，
AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为B
（A
（B
（C）2 （D）3
x2y2
6.若双曲线2?2?
1B
ab
A.y=±2x B.y
= C.y??
1x
D.y?x 27.直线l过抛物线C: x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于C A.
48 B.2 C.
D. 333
x21
?y2?1的右焦点的连线交（11）抛物线C1：y= x2(p＞0)的焦点与双曲线C2： 32p
C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=D
A.B
．C
．D
．
（13）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线?的方程为_____ y=x ________. x2y25
4、已知双曲线C:a－b＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，则C的渐近线方程为 (C )
1
A、y=±
4
1
（B）y=
3
1
（C）y=±x
2
（D）y=±x
x2
3．双曲线?y2?1的顶点到其渐近线的距离等于（ c）
4
A．
24
B． C
D
55
3
,在双曲线C的方程是 2
7．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F?3,0?,离心率等于( B )
x22x22x2y2x2y2
?1 B．??1 A . D
．?1 C．??1 424525已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l:y?x?1被圆C所截得的弦
长为22，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为 x?y?3?0
x2y2
14．椭圆?:2?2?1(a?b?0)的左．右焦点分别为F1,F2，焦距为2c
，若直线
ab
y?x?c)与椭圆?的一个交点M满足?MF1F2?2?MF2F1，则该椭圆的离心
率等于
?1____
（14）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1,F2在 x轴上，离心
率为
。过l的直线 交于A,B两点，且?ABF2的周长为16，那么C的方程为2
x2y2
??1 。 168
2
13．已知直线y?a交抛物线y?x于A,B两点。若该抛物线上存在点C，使得?ABC
为直角，则a的取值范围为_[1,??) __ _____。
（22）（本小题满分14分）
x2y2
设椭圆E: 2?2?1（a,b>0）过M（2
，
两点，O为坐标原点，
ab
（I）求椭圆E的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且
OA?OB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
x2y2
（22）解:（1）因为椭圆E: 2?2?1（a,b>0）过M（2
，
,1)两点,
ab2?4?11
??1?222???a2?8x2y2?ab?a8
??1 所以?解得?所以?2椭圆E的方程为84?b?4?6?1?1?1?1
???a2b2?b24
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点
?y?kx?m
?
A,B,且OA?OB,设该圆的切线方程为y?kx?m解方程组?x2y2得
?1??4?8
x2?2(kx?m)2?8,即(1?2k2)x2?4kmx?2m2?8?0,
则△=16k2m2?4(1?2k2)(2m2?8)?8(8k2?m2?4)?0,即8k?m?4?0
2
2
4km?
x?x??12??1?2k2?2
?xx?2m?8?121?2k2?
k2(2m2?8)4k2m22m2?8k2y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?km(x1?x2)?m???m? 222
1?2k1?2k1?2k
2
2
,
?要使OA
O,B需使x1x2?
2
2m2?8m2?8k2
??0,所以y1?y20,即
1?2k21?2k2
?m2?23m2?822
3m?8k?8?0,所以k??0又8k?m?4?0,所以?2,所以
83m?8?
2
2
m2?
8,
即m?
或m?,因为直线y?kx?m为圆心在原点的圆的一条3
m2m28??切线,
所以圆的半径为r?,r?,所求的r?223m?831?k1?
8
2
圆为x?y?
22
8,此时圆的切线y?kx?
m都满足m?
或m?,而当切3x2y2??1的两个交点
为线的斜率不存在时切线
为x?与椭圆84(
?
或(??满足OA?OB,综上, 存在圆心在原点的圆3333
8
，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA?OB. 3
x2?y2?
4km?
x?x??12??1?2k2
因为?, 2
?xx?2m?8?121?2k2?
4km22m2?88(8k2?m2?4)所以(x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2?(?,
)?4??
1?2k21?2k2(1?2k2)2
2
2
|AB|?
??
??
①当k?
0时|AB|?
因为4k?
2
1
?4?8所以0?k2
11
?, 4k2?2?48
k
所以
32321?[1?]?12,
332
4k?2?4
k
篇三：解析几何高考题精选
2007—2013一、选择题
年高考陕西文数解析几何真题
1．抛物线x2?y的准线方程是（）
（A）4x?1?0 （C）2x?1?0
（B）4y?1?0 （D）2y?1?0
x2y2
2．已知双曲线C∶2?2?1(a＞0,b＞0),以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆
ab
的半径是（）（A）a
(B)b
(C)ab
22
(D)a?b
3
?y?m?0与圆x2?y2?2x?2?0相切，则实数m等于（） A
B
．
C
．?
D
．?
x2y2
4．双曲线2?2?1（a?0，b?0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为
30
ab
的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（） A
B
C
D
2
2
5.过原点且倾斜角为60?的直线被圆x?y?4y?0所截得的弦长为 ( )（A
（B）2 （C
（D）
6.“ m?n?0”是”方程mx?ny?1表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ） （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D) 既不充分也不必要条件7.已知抛物线y?2px(p?0)的准线与圆(x?3)?y?16相切，则p的值为（）
2
2
2
2
2
（A）
1
2
2
（B）1 （C）2 （D）4
8．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x??2，则抛物线的方程是（ ）（A）y??8x （B）y??4x （C）y?8x （D）y?4x 9. 已知圆C:x?y?4x?0，l过点P(3,0)的直线，则（ ）
（A）l与C相交（B） l与C相切（C）l与C相离（D）以上三个选项均有可能
22
10．已知点M(a，b)在圆O：x＋y＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()．
1
2
2
2
2
2
A．相切B．相交 C．相离D．不确定 二、填空题
11. 右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 __________ 米。
x2y2
??1的离心率为__________． 12．双曲线
169
三、解答题
13. (本小题满分14分)
x2y26
已知椭圆C:2?2=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为3.
3ab
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为的最大值.
14．（本小题满分12分）
已知抛物线C：y?2x2，直线y?kx?2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．
（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
（Ⅱ）是否存在实数k使NANB?0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
15．（本小题满分12分）
，求△AOB面积2
y2x2已知双曲线C的方程为2?2?1(a?0,b?
0)，离心率e?，
ab2
顶点到渐近线的距离为
。 5
（I） 求双曲线C的方程；
(II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP??PB,??[,2]，求?AOB面积的取值范围。
2
13
16.（本小题满分13分）
x2y2
如图，椭圆C:2?2?1的顶点为A1,A2,B1,B2，焦点为F1,F2，
ab
A1B1?S
B1A1B2A2
?2S
B1F1B2F2
.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设n 为过原点的直线，l是与n垂直相交于P点，与椭圆相交于A, B两点的直线，
OP?1.是否存在上述直线l使OA?OB?0成立？若存在，求出直线l的方程；并说出；若
不存在，请说明理由.
17.（本小题满分12分）
3x2y2
设椭圆C: 2?2?1?a?b?0?过点（0，4），离心率为．
5ab
（1）求C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为
18. （本小题满分13分）
4
的直线被C所截线段的中点坐标． 5
x2
?y2?1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率。 已知椭圆C1:4
（1）求椭圆C2的方程；
（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，OB?2OA，求直线AB的方程。
19． (本小题满分13分)已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍．
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率．
3
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