篇一：指数函数知识点及经典例题
基本初等函数
一、知识和数学思想梳理：
1．指数式和对数式：①根式概念；②分数指数幂；③指数幂的运算性质；④对数概念；⑤对数运算性质；⑥指数和对数的互化关系；
2．指数函数：①指数函数的概念；②指数函数的图象与性质；③指数函数图象变换；④指数函数性质的应用（单调性、指数不等式和方程）；
3．对数函数：①对数函数的概念；②对数函数的图象与性质；③对数函数图象变换；④对数函数性质的应用（单调性、指数不等式和方程）；
4.解指数不等式、指数方程、对数不等式、对数方程，先要化同底，即 ．．．．
?x1?x2(a?1)xx
，a1?a2(a?0,且a?1)?x1?x2 a?a(a?0,且a?1)??
?x1?x2(0?a?1)
x1
x2
?x?x2?0(a?1)
， logax1?logax2(a?0,且a?1)??1
0?x?x(0?a?1)?12
logax1?logax2(a?0且a?1)?x1?x2?0；
5.要明确区分指数函数、对数函数与指数型函数、对数型函数；
6.反函数：①反函数概念；②互为反函数定义域和值域的关系；③求反函数的步骤；④互为反函数图象的关系；
7.函数应用：①解应用题的基本步骤；②几种常见函数模型（一次型、二次型、指数型（利息计算）、几何模型、物理和生活实际应用型）；
8.学会灵活应用数形结合思想、方程思想、分类讨论思想解决问题。 二、典型示例
（一） 函数定义域和值域 例1．求下列函数的定义域 （1）（2010湖北文）
函数y?
的定义域为（ ）
（C）（1，+∞）
（D）. (
（A）.(
3
,1) 4
（B）(
3
,∞) 43
,1)∪（1，+∞） 4
(2) 已知f(x?1)的定义域为?2，4?,求f(2x?1)的定义域 例2．求下列各函数的值域
t2?4t?1
（1）、（2010重庆文数）已知t?0，则函数y?的最小值为____________ .
t
（2）（2010湖北文）已知函数f(x)??
（A）.4
?log3x,x?0
x
?2,x?0
，则f(f())?
19
（B）.
1 4
（C）.-4 （D）-
1 4
（二）求下列函数的增区间
y?log1(x2?x?6)
例3.（1）
2
（2
）y?
（三）函数奇偶性
例4．1、（2010山东理4）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2+2x+b(b为常数)，则f(-1)=（）
（A） 3 （B）1 （C -1（D）-3
2、（2010江苏卷）设函数f(x)=x(e
（四）指对数函数
例5．(1)(2010辽宁文）设2?5?m，且
a
b
x
x
+ae-x)(x?R)是偶函数，则实数a=________________
11
??2，则m? ab
（A
（B）10 （C）20（D）100
232352525（,b?（c?（，则a，b，c的大小关系是 (2)（2010安徽文）设a?555
（A）a＞c＞b （B）a＞b＞c （C）c＞a＞b （D）b＞c＞a
1－x
（3）．已知f(x)＝－x＋log21＋x
11
(1)求f()＋f(－的值；
2 0052 005
(2)当x∈(－a，a](其中a∈(0,1)，且a为常数)时，f(x)是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如
果不存在，请说明理由．
（五）函数与方程
例6（1）（2010上海文）若x0是方程式 lgx?x?2的解，则x0属于区间 （ ） （A）（0，1）.（B）（1，1.25）.（C）（1.25，1.75） （D）（1.75，2） （2）（2010浙江文）（9）已知x是函数f(x)=2x+
，则 （ ） x2∈（x0，+?）
（A）f(x1)＜0，f(x2)＜0 （B）f(x1)＜0，f(x2)＞0 （C）f(x1)＞0，f(x2)＜0 （D）f(x1)＞0，f(x2)＞0
(3)（2010天津文）（4）函数f（x）=e?x?2的零点所在的一个区间是(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1）(D) （1,2）
x
1
的一个零点.若x1∈（1，x0）， 1?x
三、巩固并提高
1．（湖南卷）f(x)＝?2x的定义域为；2．
（江苏卷）函数y?
；
3．（2006年广东卷）函数f(x)?
3x2?x
?lg(3x?1)的定义域是 ；
4．（2010陕西文）13.已知函数f（x）＝?
?3x?2,x?1,?x?ax,x?1,
2
若f（f（0））＝4a，则实数a＝ ；
x5．（2010山东文）(3)函数f?x??log23?1的值域为（）；
??
A. ?0,??? B. ??1,??? ?0,??? C. ?1,??? D. ?7．（2010山东理）函数y=2-x的图像大致是
x
2
8．已知f(x?3)?x2?2x?1，求f(x?3)；
2
y?f(x)?ax?2(a?3)x?1在区间[?2,??)递减，求a取值范围； 9．若
x
10．（2010山东文）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x?0时，f(x)=2+2x-b（b为常数），则
f(?1)(
)
（A）-3 （B）-1 （C）1(D)3
211.（2010天津文）(6)设a?log54，b?（log53），c?log45，则
（）
(A)a<c<b(B) )b<c<a (C) )a<b<c(D) )b<a<c
?log2x,x?0,?
12.（2010天津理）若函数f(x)=?log(?x),x?0,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是（ ）
1
??2
（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞） （C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1） 13.（2010四川理）（3）2log510＋log50.25＝ （ ）
（A）0 （B）1（C） 2（D）4
14.（2010天津理）（2）函数f(x)=2?3x的零点所在的一个区间是（ ） (A)（-2，-1） (B)（-1,0）(C)（0,1） (D)（1,2）
x
?x2+2x-3,x?0
15.（2010福建文）7．函数（的零点个数为 ( ) fx)=?
?-2+lnx,x>0
（A）．3 （B）．2 （C）．1（D）．0 1x1x16．已知函数f(x)＝??2＋4－2.
(1)判断函数f(x)的单调性； (2)求函数的值域；
(3)解方程f(x)＝0；(4)解不等式f(x)>0.
17.已知函数f(x)?2x?1的反函数为f?1(x), g(x)?log4(3x?1).
(1) 若f?1(x)?g(x)，求x的取值范围D; (2) 设函数H(x)?g(x)?
1?1
f(x)，当x?D时, 求函数H(x)的值域. 2
篇二：知识讲解_指数函数及其性质_基础
指数函数及其性质
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域； 2.掌握指数函数图象： (1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质； (2)掌握底数对指数函数图象的影响；
(3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别．
3.学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型；
4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法；
5.通过对指数函数的研究，要认识到数学的应用价值，更善于从现实生活中发现问题，解决问题． 【要点梳理】
要点一、指数函数的概念：
x
函数y=a(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R. 要点诠释：
（1）形式上的严格性：只有形如y=a(a>0且a≠1)的函数才是指数函数．像y?2?3，y?2，
x
x
1x
y?3x?1等函数都不是指数函数．
（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：
x
??x?0时，a恒等于0，
①如果a?0，则? x
x?0时,a无意义.??
②如果a?0，则对于一些函数，比如y?(?4)，当x?
x
x
11
,x?,???时，在实数范围内函数值不存在．
24
③如果a?1，则y?1?1是个常量，就没研究的必要了．
要点诠释：
（1）当底数大小不定时，必须分“a?1”和“0?a?1”两种情形讨论。 （2）当0?a?1时，x???,y?0；当a?1时x???,y?0。 当a?1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快。 当0?a?1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快。
?1
?
（3）指数函数y?a与y???的图象关于y轴对称。
?a?
x
x
要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）
① y?a②y?b ③y?cx ④y?dx
则：0＜b＜a＜1＜d＜c
又即：x∈(0,+∞)时，bx?ax?dx?cx（底大幂大） x∈(－∞,0)时，bx?ax?dx?cx （2）特殊函数
x
x
y?2x,y?3x,
1y?()x,
21
y?()x的图像：
3
要点四、指数式大小比较方法
(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法
比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：
①若A?B?0?A?B；A?B?0?A?B；A?B?0?A?B； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断【典型例题】
类型一、指数函数的概念
例1．函数y?(a?3a?3)a是指数函数，求a的值． 【答案】2
【解析】由y?(a?3a?3)a是指数函数，
2
x
2
x
AA
?1，或?1即可． BB
?a2?3a?3?1,?a?1或a?2,
可得?解得?，所以a?2．
a?0且a
?1,??a?0,且a?1,
【总结升华】判断一个函数是否为指数函数：
（1）切入点：利用指数函数的定义来判断；
（2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量x．
举一反三：
【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？
（1）y?4；（2）y?x；（3）y??4；（4）y?(?4)； （5）y?(2a?1)x(a?
x
4
xx
1
且a?1)；（6）y?4?x． 2
x
【答案】（1）（5）（6）
?1?
【解析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）y?4=??，符合指数函数的定义，而（2）中底
?4?
?x
数x不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数4x的乘积；（4）中底数?4?0，所以不是指数函数．
类型二、函数的定义域、值域
例2．求下列函数的定义域、值域.
3xxx(1)y?；(2)y=4-2+1；
；
(4)y?x
1?3
【答案】（1）R，(0，1)；（2）R [
为大于1的常数)
3?1?
（3）??,??? ?0,???；（4）(-∞，-1)∪[1，+∞) ,??)；
24??
[1，a)∪(a，+∞)
x
【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切x?R，3≠-1).
(1?3x)?11xx
?1?∵ y?，又∵ 3>0， 1+3>1， xx
1?31?3
11
， ∴ ?1?1???0，
1?3x1?3x
1
∴ 0?1??1， ∴值域为(0，1).
1?3x
1231xx2xxx
(2)定义域为R，y?(2)?2?1?(2?)?，∵ 2>0， ∴ 2? 即 x=-1时，y取最小
242
333
值，同时y可以取一切大于的实数，∴ 值域为[,??). 444
12x?1
(3)要使函数有意义可得到不等式3??0，即32x?1?3?2，又函数y?3x是增函数，所以
9
∴ 0?
1?1?
2x?1??2，即x??，即??,???，值域是?0,???.
2?2?
(4)∵
2xx?1?1??0∴ 定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)， x?1x?1
x?1x?1
?0且?1，∴ y?a又∵
x?1x?1
2x
?1x?1
?1且y?a
2x?1x?1
?a， ∴值域为[1，a)∪(a，+∞).
【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第(4)小题中
x?12
???1不能遗漏. x?1x?1
举一反三：
【变式1】求下列函数的定义域：
x-1
(1)y?
2 (2)y?2
(3)y?
y?a?0,a?1)
3?；0?；0<a<1时，?0，+?? 【答案】（1）R；（2）?-?，（3）?0,+??；（4）a>1时，?-?，
【解析】(1)R
3?． (2)要使原式有意义，需满足3-x≥0，即x?3，即?-?，
(3) 为使得原函数有意义，需满足2-1≥0，即2≥1，故x≥0，即?0,+??
x
x
0?；0<a<1时，?0，+??. (4) 为使得原函数有意义，需满足1?a?0，即a?1，所以a>1时，?-?，
x
x
【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性，根据所给的同底指数幂的大小关系，结
合单调性来判断指数的大小关系.
类型三、指数函数的单调性及其应用
例3．讨论函数f(x)???
?1??3?
x2?2x
的单调性，并求其值域．
x2?2x
?1?
【思路点拨】对于x∈R，??
?3?
?0恒成立，因此可以通过作商讨论函数f(x)的单调区间．此函数
是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性，综合得到结果．
【答案】函数f(x)在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数 （0，3] 【解析】
解法一：∵函数f(x)的定义域为（－∞，+∞），设x1、x2∈（－∞，+∞）且有x1＜x2，
?1?∴f(x2)???
?3?
2x2?2x2
1
?1?
，f(x1)???
?3?
x2?2x1
，
?1?22
x2?x1?2(x2?x1)(x2?x1)(x2?x1?2)??f(x2)?3?11????
． ???2????x1?2x1
f(x1)?1??3??3?
???3?
（1）当x1＜x2＜1时，x1+x2＜2，即有x1+x2－2＜0．
2x2?2x2
?1?
又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＜0，则知??
?3?
(x2?x1)(x2?x1?2)
?1．
又对于x∈R，f(x)?0恒成立，∴f(x2)?f(x1)．
∴函数f(x)在（－∞，1）上单调递增．
（2）当1≤x1＜x2时，x1+x2＞2，即有x1+x2－2＞0． 又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＞0，则知
?1?0????3?
(x2?x1)(x2?x1?2)
?1．∴f(x2)?f(x1)．
∴函数f(x)在[1，+∞）上单调递减．
综上，函数f(x)在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数．
1?1?
∵x2―2x=(x―1)2―1≥－1，0??1，0???
3?3?
∴函数f(x)的值域为（0，3]．
x2?2x
?1?
????3． ?3?
?1
?1?
解法二：∵函数f(x)的下义域为R，令u=x2－2x，则f(u)???．
?3?
?1?
∵u=x―2x=(x―1)―1，在（―∞，1]上是减函数，f(u)???在其定义域内是减函数，∴函数f(x)
?3?
2
2
u
u
在（－∞，1]内为增函数．
?1?
又f(u)???在其定义域内为减函数，而u=x2―2x=(x―1)2―1在[1，+∞）上是增函数，∴函数f(x)
?3?
在[1，+∞）上是减函数．
值域的求法同解法一．
【总结升华】由本例可知，研究y?a般地有：即当a＞1时，y?a
f(x)
f(x)
u
型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一
f(x)
的单调性与y?f(x)的单调性相同；当0＜a＜1时，y?a
的单调与
y?f(x)的单调性相反．
举一反三：
【变式1】求函数y?3
?x2?3x?2
的单调区间及值域.
1
33
【答案】x?(??,]上单增，在x?[,??)上单减. (0,34]
22
【解析】[1]复合函数——分解为：u=-x+3x-2， y=3；
[2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间； [3]求值域.
2u
设u=-x+3x-2， y=3，
其中y=3为R上的单调增函数，u=-x+3x-2在x?(??,]上单增，
u
2
2
u
32
篇三：指数运算和指数函数
第五讲 指数运算和指数函数
一、知识点
1.根式的性质
（1）当n为奇数时，有a
n
n
?a （2）当n为偶数时，有a
nn
?a,(a?0)
?a??
?a,(a?0)?
（3）负数没有偶次方根 （4）零的任何正次方根都是零 2.幂的有关概念
(1)正整数指数幂：an?a??a??a.............a(n?N?) ?????
n
(2)零指数幂a0?1(a?0) (3)负整数指数幂 a
m
?p
?
1a
p
(a?0.p?N?)
(4)正分数指数幂 a
n
?
?mn
m
a(a?0,m,n?N?,且n?1)
(5)负分数指数幂a?
1
m
(a?0,m,n?N?,且n?1)
a
n
(6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义 3.有理指数幂的运算性质
(1)ar?as?ar?s,(a?0,r,s?Q)(2)(ar)s?ars,(a?0,r,s?Q) (3)(ab)r?ar?as,(a?0,b?0,r?Q)
4．指数函数定义：函数y?ax(a?0且a?1)叫做指数函数。
1．函数y?(x?5)?(x?2)2
A．{x|x?5,x?2}B．{x|x?2}
?
1
（ ）
C．{x|x?5} D．{x|2?x?5或x?5} 2．若指数函数y?ax在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a等于
A．
1?25
（ ）
B．
?1?
2
5
C．
1?2
5
D．
5?12
?2?x?1,x?0
?
3．函数f(x)??1，满足f(x)?1的x的取值范围
2??x,x?0
（ ）
A．(?1,1)
1
B． (?1,??) D．{x|x?1或x??1}
C．[2,??)
1
C．{x|x?0或x??2} 4．函数y?()
?x?x?2
2
21
A．[?1,]
2
得单调递增区间是 B．(??,?1]
（ ）
D．[,2]
2
5．已知f(x)?
e?e
x?x
2
A．奇函数，在R上为增函数B．偶函数，在R上为增函数 C．奇函数，在R上为减函数D．偶函数，在R上为减函数 二、填空题
，则下列正确的是 （ ）
6．已知函数f (x)的定义域是（1，2），则函数f(2x)的定义域是. 7．当a＞0且a≠1时，函数f (x)=ax－2－3必过定点.
1
8．已知－1<a<0，则三个数3,a3,a3由小到大的顺序是 . 三、解答题
9．（12分）求函数y?
10．（12分）已知函数y?a
11．（12分）（1）已知f(x)?
x
2x
a
1
x
的定义域.
5x?1?1
?2a?1(a?1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值.
x
23?1
x
?m是奇函数，求常数m的值；
（2）画出函数y?|3?1|的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3Ｘ－１｜＝k无
解？有一解？有两解？
12．已知函数f(x)＝
a?1a?1
xx
(a>0且a≠1).
(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性.
参考答案（6）
一、DCDDDAAD D A
2
1
3
a
二、11．(0,1)； 12．(2，－2)；13．a三、
15． 解：要使函数有意义必须：
3
；14．a3?a?3 ；
?x?1?0
?x?1?
? ?x??0?x?0?
?x?1
∴定义域为：?xx?R且x?0,x?1?
r
r
rr
a??b?，其中0?16． 解：a?b??
?????r
ac
?1,0?
r
r
bc
r
?1.
c?c?
r
?c?
r
当r＞1时，?a?
ab?b?，所以a????????1
cc?c??c?
r
r
+b＜c；
rrra?ab?b?当r＜1时，?，所以a+b＞c. ????????1
?c??c?
cc
17．解： y?a
2x
?2a?1(a?1)， 换元为y?t?2t?1(
x2
1a
?t?a)，对称轴为t??1.
当a?1，t?a，即x=1时取最大值，略 解得 a=3 (a= －5舍去)
18．解： （1）常数m=1
（2）当k<0时，直线y=k与函数y?|3?1|的图象无
交点,即方程无解;
x
y?|3?1|
当k=0或k?1时, 直线y=k与函数的图象有唯一
的交点，所以方程有一解;
当0<k<1时, 直线y=k与函数y?|3?1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解。 19．解： （1）设0?t1?t2，
x
x
因为g(t)为常数，g(t1)?g(t2)，即[g(0)?
pr
][e
r
?t1v
?e
r?t2v
]?0， 则g(0)?
pr
；
（2）设0?t1?t2，g(t1)?g(t2)?[g(0)?
pr
][e
r?t1v
?e
r?t2v
]
r
=[g(0)?
pr
]?
e
v
t2r
r
?e
t1?t2
v
t1
ev
因为g(0)?
pr
?0，0?t1?t2，g(t1)?g(t2). 污染越来越严重.
20．解：(1)是奇函数.(2)值域为(－1，1).(3)设x1＜x2，
则f(x1)?f(x2)?
aa
x1x1
?1?1
?
aa
x2x2
?1?1
x2
。=
(a
x1
?1)(a
x2
?1)?(a
x1
x1
?1)(a
x2
?1)
(a
x1
?1)(a
x2
x2
?1)
∵a＞1，x1＜x2，∴a＜a
x1
. 又∵a+1＞0，a+1＞0，
∴f (x1)－f (x2)＜0，即f (x1)＜f (x2).
函数f(x)在(－∞，+∞)上是增函数.
《指数函数》出自：百味书屋
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