篇一：高中数学必修四向量知识点
向量知识点总结
一、向量的概念
（1）向量：既有大小，又有方向的量； （2）数量：只有大小，没有方向的量；
（3）有向线段的三要素：起点、方向、长度； （4）零向量：长度为0的向量；
（5）单位向量：长度等于1个单位的向量； （6）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行； （7）相等向量：长度相等且方向相同的向量。 二、向量加法运算
⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式：a?b?a?b?a?b． ⑷运算性质：
①交换律：a?b?b?a；②结合律：a?b?c?a?b?c； ③a?0?0?a?a。
⑸坐标运算：设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b??x1?x2y,1?y三、向量减法运算
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量； ⑵坐标运算：设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b??x1?x2y,1?y设?、?两点的坐标分别为
22
????
C a
?。
?
b
?
?，
a?b??C?????C
?x1,y1?
，
?x2,y2?
，则
????x1
x?,2y1
。y2 ??
四、向量数乘运算
⑴实数?与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作?a； ①
?a??a；
②当??0时，?a的方向与a的方向相同；当??0时，?a的方向与a的方向相反；当
??0时，?a?0；
⑵运算律：①???a??????a；②?????a??a??a；③?a?b??a??b； ⑶坐标运算：设a??x,y?，则?a???x,y????x,?y?；
1
??
五、向量共线定理
向量aa?0与b共线，当且仅当有唯一一个实数?，使b??a；
??
bb?0设a??x1,y1?，其中b?0，则当且仅当x1y2?x2y1?0时，向量a、b??x2,y2?，
共线；
六、平面向量基本定理
??
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数?1、?2，使a??1e1??2e2．（不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的一组基底） 七、分点坐标公式
设点?是线段?1?2上的一点，?1、?2的坐标分别是?x1,y1?，?x2,y2?，当?1?????2时，点?的坐标是?
?x1??x2y1??y2?
,?； 1????1??
八、平面向量的数量积
⑴a?b?abcos?a?0,b?0,0???180．零向量与任一向量的数量积为0；
??
a?b?ab；⑵性质：设a和b都是非零向量，则①a?b?a?b?0．②当a与b同向时，
2
当a与b反向时，a?b?
?ab；a?a?a?a或a?
2
a?b?ab；
⑶运算律：①a?b?b?a；②??a??b??a?b?a??b；③a?b?c?a?c?b?c； ⑷坐标运算：设两个非零向量a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b?x1x2?y1y2，
22
若
a??x,y?，则a?x?y，或a?
2
????
??
设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b?x1x2?y1y2?0；
设a、b都是非零向量，a??x1,y1?，b?
?x2,y2?，?是a与b的夹角，则
cos??
a?bab
?
2
篇二：高一数学必修4_向量复习讲义[整理]
数学必修4平面向量
一、基本概念：
1、向量：既有大小又有方向的量叫向量．
?
????a
2、单位向量：长度为一个单位长度的向量。 与非零向量a共线的单位向量a0??
a
????
3. 平行向量：若非零向量a,b方向相同或相反，则a//b；规定零向量与任一向量平行 ????
4、向量相等：a?b? 模相等，方向相同；相反向量：a??b?模相等，方向相反 ?????
5、两个非零向量a、b的夹角：做OA=a；OB=b；?AOB叫做a与b的夹角。
6、坐标表示：i、j分别是与x轴、y轴同向的单位向量，若a?xi?yj，则?x,y?叫做
????
a的坐标。7.向量a在b方向上的投影：设?为a、b的夹角，则acos?为a在b方向上
??
?
的投影
二、基本运算：
三、基本定理、公式：
???
1、平面向量基本定理：若e1与e2不共线，则对平面内的任意一个向量a，有且只有一对
实数?1、?2；使得a??1e1??2e2。
?
2、向量的模：a＝co?s?
?
＝
x?y
22
??
；非零向量a与b的夹角：
a?b?
x1x2?y1y2x1?y1
2
2
x2?y2
22
?
x1y2?x2y1；向量垂直：a⊥
??
3、向量平行：a∥b
?a??b?
?
b?a?b?0?x1x2?y1y2?0
四、基础训练
??
（1
）已知?2?3，且a?b?4，则向量b在向量a上的投影为
（2）已知A（3，y），B（?5，2），C（6，?9）三点共线，则y=_________.
?????????
（3）非零向量a和b满足：|a|?|b|?|a?b|，则a与a?b的夹角等于. 五、典例讲解.
??????????????
例1. 已知AB?a?(1,2)，BC?b?(?3,2)，CD?(6,4)（1）证明：A,B,D三点共
????????
线.（2）k为何值时，① 向量ka?b与a?3b平行 ② 向量ka?b与a?3b垂直
????????????
（1，7），OB?（5，1），OP?（2，1）例2、平面内有向量OA?，点Q为直线OP上一
????????
动点，1）求QA?QB取最小值时，点Q的坐标 2）当点Q满足1）的条件和结论时，求
cos?AQB的值。
????
例3. 已知向量a?(sin?,1)，b?(1,cos?)，??(?,)
22
??????
（1）若a?b 求?的值。 （2）求a?b的最小值.（3）求函数y?f(?)=a·b的单调
增区间
六、巩固练习
1．已知平面内三点A（-1，0），B（x，6），P（3，4），且AP=?PB，x和?的值分别为( ) A．-7，2 B．5，2 C．-7，
25
???
???
D．5，
25
2、向量a，b
?6
?10? 3
、已知
?6，
?8
??10??． 4、已知a?e1+e2，b?２e1－e2，则向量a+2b与2a－b（ ） A、一定共线 B、一定不共线 C、仅当e1与e2共线时共线D、仅当e1=e2时共线 5、已知?ABC顶点A（―1，?为__________
????????
6．已知O（0，0）和A（6，3）两点，若点P在直线OA上，且PA?2OP，又P是线段
12
12
），B（2，3）及重心坐标G（1，），则顶点C的坐标
OB的中点，则点B的坐标是7、已知|a|=|b|，a?b，且（a+b）?（ka-b），则k的值是( ) A．1B．-1 C．0D．-2
?????
8、已知a?(1,2),b?(1,1)，且a与a??b的夹角为锐角，则实数?的取值范围
为_____________________
9、已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）,P为一动点，及OP?OA?tAB， （1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？
（2）四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。
?
?
?
?
???
?
????
10、已知a?1，b?2，且a与b的夹角?为600
?????
2
（1）求a?b，(a?2b)，a?3b
???
（2）证明：a?b与a垂直
?
?
11、已知：a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a=（1，2）
?
?
?
（1）若|c|=2
?
5，且c‖a，求c的坐标
?
??
（2）若|b|=
52
?
，且a+2b与2a-b垂直，求a与b的夹角?.
?
??
?
?
12、已知等边三角形ABC的边长为2，⊙A的半径为1，PQ为⊙A的任意一条直径，
????????????????
（Ⅰ）判断BP?CQ?AP?CB的值是否会随点P的变化而变化，请说明理由； ????????
（Ⅱ）求BP?CQ的最大值．
P
A
Q
B
C
篇三：高中数学必修4：总复习平面向量
高三数学总复习平面向量
[本周题目]平面向量
[本周重点]向量的运算与应用
[本周难点]向量的应用、向量与函数、三角、解析几何综合问题
[考点分析]
1. 向量是数形结合的典型。向量的几何表示法----有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中，借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释，有时甚至更简捷。
向量运算中的基本图形：①向量加减法则：三角形或平行四边形；
②实数与向量乘积的几何意义----共线；
③定比分点基本图形----起点相同的三个向量终点共线等。
2. 向量的三种线性运算及运算的三种形式。
向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。
??????????加法：a?b?b?a,(a?b)?c?a?(b?c) ?????????实数与向量的乘积：?(a?b)??a??b;(???)a??a??a,?(?a)?(??)a ?????????????????两个向量的数量积：a?b?b?a；(?a)?b?a?(?b)??(a?b),(a?b)?c?a?c?b?c
说明：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正??2?2???2确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如(a?b)?a?2a?b?b
3. 重要定理、公式 ??(1)平面向量基本定理：如果e1?e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任????????一向量a，有且只有一对数数?1,?2满足a=?1e1??2e2，称?1e1??2e2为e1,e2的线性组合。 ??根据平面向量基本定理，任一向量a与有序数对(λ1，λ2)一一对应，称(λ1，λ2)为a在基???????底{e1,e2}下的坐标，当取{e1,e2}为单位正交基底{i,j}时定义(λ1，λ2)为向量a的平面直角坐标。
向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，????????则OA?(x,y)；当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即若
????A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB?(x2?x1,y2?y1)
(2)两个向量平行的充要条件 ??????符号语言：若a//b,a?0，则a=?b
?????x1=?x2坐标语言：设a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则a//b?(x1,y1)=?(x2,y2)，即?,若
?y1=?y2????x1y2-x2y1=0在这里，实数λ是唯一存在的，当a与b同向时，λ>0；当a与b异向时，λ>0。?????|a|，λ的大小由的大小确定。因此，当 a及b|?|?a,b确定时，λ的符号与大小就确定了。|b|
这就是实数乘向量中λ的几何意义。
(3)两个向量垂直的充要条件 ????符号语言：a?b?a?b?0 ????坐标语言：设a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则a?b?x1x2+y1y2=0
(4)线段定比分点公式 ????????如图，设P1P??PP2 ?????1?????????OP1?OP2 则定比分点向量式：OP?1??1??
定比分点坐标式：设P(x，y)，P1(x1,y1)，P2(x2,y2) x1??x2?x???1??则? y??y2?y?1
?1???
特例：当λ=1时，就得到中点公式：
??????????????实际上，对于起点相同，终点共线三个向量OP,OP1,OP2(O与P1P2不共线)，总有?????????????OP?uOP1?vOP2,u?v?1，即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量，且
系数和为1。
(5)平移公式： x1?x2?x?????1???????????12OP?(OP1?OP2),? y?y22?y?11??2
?'?xh??x①点平移公式，如果点P(x，y)按a?(h,k)，平移至P'(x'，y')，则?分别称(x,y),(x',y')'?yk??y?为旧、新坐标，a为平移向量
在点P新、旧坐标及平移法则三组坐标中，已知两组坐标，一定可以求第三组坐标 ?②图形平移：设曲线C：f(x,y)=0按a?(h,k)平移，则平移后曲线C'对应的解析式为f(x-h,y-k)=0利用平移变换可以化简函数解析式，从而便于研究曲线的几何性质
4. 向量既是重要的数学概念，也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直，线线平行，求夹角等，特别是直角坐标系的引入，体现了向量解决问题的“程序性”特点。
[本周例题]
一. 向量的有关概念与运算
此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量和运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件、定比分点公式、平移公式。
例1. 已知a=(5,4),b=(3,2)，则与2a-3b平行的单位向量为_____
[点拨]与一个非零向量a共线的单位向量有两个：与a同向的单位向量e1?
的单位向量e2??a，与a反向|a|a，求与已知向量平行的向量常用坐标运算。 |a|
[解析]法一：∵
2a-3=2(5,4)-3(3,2)=(1,2)
?|2a?3b|?
?e??2a?3b???, |2a?3b|55法二：令e=(x，y)
∵2a-3b=(1,2)，且e与2a-3b平行
∴x-2y=0，①又∵x2+y2=1②
由①②解得e??, 55
[变式练习]已知b是a=(-3,4)垂直，且|b|=15，求b
答案：(12,9)或(-12，-9)
例2. 已知|a|=1，|b|=1，a与b的夹角为60°，x=2a-b，y=3b-a，则x与y的夹角是多少？
[点拨]要计算x与y的夹角，需求出|x|,|y|，x·y的值，可利用|x|2=x2求解。
[解析]由已知|a|=|b|=1，a与b的夹角为60°，得a?b?|a|?|b|cos??1 2
1?|x|2?x2?(2a?b)2?4a2?4a?b?b2?4?4??1?3 2
1|y|2?y2?(3b?a)2?9b2?6a?b?a2?9?6??1?7 2
3x?y?(2a?b)?(3b?a)?7a?b?2a2?3b2??
2
3又?x?y?|x|?|y|cos?，即
-? 2
?cos???????arccos1414
[点评]①本题利用模的性质|a|2=a2
②在计算x，y的模长时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得： ????????????如图所示，设AB?b,AC?a，AD=2A，?bac=60?。由向量减法的几何意义，得????????????
????BD?AD?AB?2a?b。由余弦定理易得|BD|[变式练习1](2004年高考浙江卷)已知平面上三点A、B、C满足????????????????????????????????????(答案：-25) |AB|?3,|BC|?4,|CA|?5,则AB?BC?BC?CA?CA?AB的值等于_____。
???1)) [变式练习2]
已知|a|?b|?2，a和b的夹角为45°，求使向量a+λb与λa+b的夹角是锐角时λ的取值范围。(
答案：??
例3. 已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(4,1)，B(3,4)，C(-1,2)，BD是∠ABC的平分线，求点D的坐标及BD的长。 ????剖析：∵A、C两点坐标为已知，∴要求点D的坐标，只要能求出D分AC所成的比即可。
????ADAB|BC|??D分AC所成的比
?=== 解：?DCBC2
?4?(?1)??9??xD???由定比分点坐标公式，得? ??yD?????2
∴D
点坐标为(9?
?|BD|??
评述：本题给出了三点坐标，因此三边长度易知，由角平分线的性质通过定比分点可解出D点坐标，适当利用平面几何知识，可以使有些问题得以简化。
当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式。在此基础上，可以设计出有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题。此类题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：
①利用向量平行或垂直的充要条件，
②利用向量数量积的公式和性质
例4 已知平面向量a?b?((1)若存在实数k和t，便得x=a+(t
2-3)b,y=-ka+tb同，且x⊥y，试求函数的关系式k=f(t)；
(2)
根据(1)的结论，确定k=f(t)的单调区间。 1 2
[解析](1)法一：由题意知x?
1y?(
t?
k),又x?y
21故x?y?(t
?k)?0 2133整理得：t3
-3t-4k=0，即k?t?t 44
1法二：?a??1),b?(,?|a|?2,|b|?1且a?b 22
133∵x⊥y,∴x·y=0，即-k|a|2+t(t2-3)|b|2=0，∴t3-3t-4k=0，即k?t?t 44
133323(2)由(1)知：k?f(t)?t?t?k'?f'(t)?t?. 4444
令k'<0得-1<t<1；令k'>0得t<-1或t>1
故k=f(t)的单调递减区间是(-1,1)，单调递增区是(-∞，-1)和(1，+∞).
[点评]第1问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量的垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的(但运算过程大大简化，值得注意)。第2问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用。
??1[变式练习1]
已知平面向量a??1),b?(，若存在不为零的实数k和角α，使向2????????量c?a?(sin??3)b,d??ka?(sin?)b，且c?d，试求实数k的取值范围。
?1?(答案：??,0???0,1?) ?2???23[变式练习2]已知向量a?(x,x?4)，向量b=(x,x),x?[-4,2] 2??????(1)试用x表示a?b；(2)求a?b的最大值，并求此时a?b夹角的大小。
??323(答案：(1)a?b?x?x?6x，(2)最大值为10，此时x=-2
，??arccos) 210
例5 已知a?(cos?,sin?,b?(cos?,sin?)(0??????)
(1)求证：a+b与a-b互相垂直；
(2)若ka+b与a-kb的大小相等(k∈R，且k≠0，)求β-α
(1)证法一：?a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?)
?a?b?(cos??cos?,sin??sin?),a?b?(cos??cos?,sin??sin?)
?(a?b)?(a?b)?(cos??cos?,sin??sin?)?(cos??cos?,sin??sin?)
?cos??cos??sin??sin??0
∴(a+b)⊥(a-b)
证法二：?a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?) 2222
?(a?b)?(a?b)?a2?b2?|a|2?|b|2?0
∵|a|=1,|b|=1
∴(a+b)⊥(a-b)
|a|?1,|b|?1 证法三：?a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?),?????????????????记OA?a,OB?b，则|OA|=|OB|=1
又α≠β，∴O、A、B三点不共线。
由向量加、减法的几何意义，可知以OA、OB为邻边的平行四边形OACB是菱形，其中????????OC?a?b,BA?a?b，由菱形对角线互相垂直，知(a+b)⊥(a-b)
2222(2)解：由已知得|ka+b|与|a-kb| 又?|ka?b|?(kcos??cos?)?(ksin??sin?)?k?1?2kcos(???)
|ka?b|2?(cos??kcos?)2?(sin??ksin?)2?k2??2kcos(???)
?2kcos(???)??2kcos(???)
又∵k≠0,∴cos(β-α)=0
∵0<α<β<π ∴0<β-α<π?????? 2
点评：本题是以平面向量的知识为平台，考查三角函数的有关运算，同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法，常用的方法有三种，一是根据数量积的定义证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用向量运算的几何意义来证明。
例6. (2002年全国高考新课程卷)已知两点M(-1,0)，N(1，0)，且点P使??????????????????????????MP?MN,PM?PN,NM?NP成公差小于零的等差数列。
(Ⅰ)点P的轨迹是什么曲线？ ????????(Ⅱ)若点P坐标为(x0，y0)，记θ为PM与PN的夹角，求tanθ
[分析]本题依托向量把解析几何、三角、数列等知识很自然地融于一体，既考查了向量的长度、角度、数量积，又考查了轨迹方程、等差数列及同角三角函数间关系等重点知识，可谓一举多得。
《高一数学必修四向量复习》出自：百味书屋
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