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高一数学函数单调性知识点复习

2016-12-03 10:37:18 来源网站:百味书屋

篇一:高一数学:函数的单调性知识点+例题讲解+课堂练习

第3讲函数的单调性

教学内容

一、知识梳理

单调性定义

设函数y=f(x)的定义域为A,区间M?A.

如果取区间M上的任意两个值x1 , x2,改变量?x?x2?x1>0,则 当?y?f(x2)?f(x1)>0时,就称函数f(x)在区间M上是增函数; 当?y?f(x2)?f(x1)<0时,就称函数f(x)在区间M上是增函数. 如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间).

25

二、方法归纳

在同一单调区间上,两个增(减)函数的和仍为增(减)函数,但单调性相同的两个函数的积未必是增函数.

设x1,x2??a,b?,若有 (1)

f(x1)?f(x2)

x>0,则有f(x)在?a,b?上是增函数.

1?x2(2)

f(x1)?f(x2)

x<0,则有f(x)在?a,b?上是减函数.

1?x2

在函数f(x)、g(x)公共定义域内,

增函数f(x)?增函数g(x)是增函数; 减函数f(x)?减函数g(x)是减函数; 增函数f(x)?减函数g(x)是增函数; 减函数f(x)?增函数g(x)是减函数. 函数的单调性常应用于如下三类问题: (1)利用函数的单调性比较函数值的大小.

(2)利用函数的单调性解不等式,常见题型是,已知函数的单调性,给出两个函数的大小,求含于自变量中的某个特定的系数,这时就应该利用函数的单调性“脱”去抽象的函数“外衣”,以实现不等式间的转化.

(3)利用函数的单调性确定函数的值域,求函数的最大值和最小值. 若函数y?f(x)在定义域?a,b?上递增,则函数值域为(f(a),f(b));

若函数y?f(x)在定义域?a,b?上递减,则函数值域为(f(b),f(a)); 若函数y?f(x)在定义域?a,b? 上递增,则函数值域为 [f(a),f(b)] ; 若函数y?f(x)在定义域 ?a,b? 上递减,则函数值域为 [f(b),f(a)];若函数y?f(x)在定义域?a,b?上递增,则函数的最大值为f(b),最小值为

f(a) ;

若函数y?f(x)在定义域?a,b?上递减,则函数的最大值为f(a),最小值为

26

f(b);

三、典型例题精讲

[例1]若y?ax与y??b

x

在?0,???上都是减函数,对函数y?ax3?bx的单调性描述正确的是()

A. 在???,???上是增函数 B. 在?0,???上是增函数

C. 在???,???上是减函数 D. 在???,0?上是增函数,在?0,???上是减函数解析: 由函数 y?ax在?0,???上是减函数,得 a<0,

又函数y??

b

x

在?0,???上是减函数,得 b<0, 于是,函数ax3

,bx在???,???上都是减函数, ∴ 函数y?ax3?bx在???,???上是减函数,故选C.

【技巧提示】 熟悉函数y?ax,y?ax3

,y?bx,y?

b

x

的单调性与a、b的符号的关系,就能正确的描述由它们组合而成的函数的单调性.

[例2]求函数f(x)?

x?1?x?3的最大值.

解析:由f(x)?

x?1?x?3?

4x?1?x?3

知函数f(x)?x?1?x?3在其定义域 [3,+? ?上是减函数. 所以f(x)?

x?1?x?3的最大值是f(3)?2.

【技巧提示】 显然由x?1?x?3?

4x?1?x?3

使得问题简单化,当然函数定义域是必须考虑的.

又例 已知x??0,1?,则函数y?x?2??x的值域是 .

解析:∵ y?

x?2??x在x??0,1?上单调递增,

∴ 函数y?x?2??x的值域是?f(0),f(1)?.

2?1,3?.

27

再例 求函数y?x??2x的值域.

解析:∵ y?x??2x 在定义域??1?

??2,????上是增函数,

∴ 函数y?x??2x的值域为 ??1?

??2,????

[例3]函数f(x)在R上为增函数,求函数y?f(x?)单调递减区间. 解析:令u?x?,则u在(-∞,-1]上递减, 又函数f(x)在R上为增函数,

∴ 函数y?f(x?)单调递减区间为(-∞,-1].

【技巧提示】 这是一个求复合函数的单调性的例子,同时又含有抽象函数.只要知道函数x?的单调性,y?f(x?)与x?的单调性和单调区间相同.如果变函数f(x)在R上为减函数,那么函数y?f(x?)的单调性与函数

x?1的单调性相反,即函数y?f(x?)单调递增区间为(-∞,-1].

又例 设函数f(x)在R上为减函数,求函数y?f(1

x

)单调区间. 再例 设函数f(x)在R上为增函数,且f(x)>0,求证函数y?

1

f(x)

在R上单调递减.

[例4]试判断函数f(x)?ax?b

x

(a?0,b?0)在?0,???上的单调性并给出证明.

解析:设x1?x2?0 ,f?x1??f?x2???xax1x2?b

1?x2?

x 由于x1?x2?01x2

故当x??x?

1,x2??? 时f??1??f?x2??0,此时函数f?x

?在???

?

上增函数,同理可证函数f?x

?在??

?上为减函数.

?28

【技巧提示】 f(x)?ax?

b

要引起足够(a?0,b?0)是一种重要的函数模型,

x

?b的重视.事实上,函数f?x??ax??a?0,b?

0?的增函数区间为???,?x?

和????

??,

减函数区间为和?.但注意本题中不能说f?x?

??????

????

?

????

?上为增函数,

在?????????上为减函数, ??

??

在???,?

??

在叙述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”.

2

又例:求函数y?x?5的最小值.

x2?4

解析:由y?

x2?5x2?4

?x2?4?

1x2?4

?u?

1

?g?u?,u??2,???,用单u

调性的定义法易证g?u??u?

21

在?2,???上是增函数,易求函数y?x?5的ux2?4

最小值为

5

为所求. 2

x2?2x?a

,x??1,???. 若对于x??1,???,f(x)再例:已知函数f?x??

x

>0恒成立,试求a的取值范围.

x2?2x?aa

解析:由f(x)= ?x??2,x??1,???.

xx

当a>0时, f?x??x?a?2 显然有f(x)>0 在?1.???恒成立; x

x2?2x?aa

a≤0时,由f?x???x??2,x??1,???知其为增函数,只需

xx

f(x)的最小值f(1)=3+a>0,解之,a>-3.

∴当a>-3时,f(x)>0在?1,???上恒成立.

[例5]已知f(x)是定义在R上的增函数,对x∈R有f(x)>0,且f(10)=1,

设F(x)=f(x)?

1

,讨论F(x)的单调性,并证明你的结论. f(x)

解析:在R上任取x1、x2,设x1<x2,∴f(x2)>f(x1),

29

篇二:高一数学(必修1)专题复习一函数的单调性和奇偶性

高一数学(必修1)专题复习一

函数的单调性和奇偶性

一.基础知识复习

1.函数单调性的定义:

如果函数f(x)对定义域内的区间I内的任意x1,x2,当x1?x2时都有

f?x1??f?x2?,则f?x?在I内是增函数;当x1?x2时都有f?x1??f?x2?,则f?x?在I内时减函数.

f?x1??f?x2?2.单调性的定义①的等价形式:设x1,x2??a,b?,那么?0?f?x?在 x1?x2

f?x1??f?x2??0?f?x?在?a,b?是减函数;?a,b?是增函数;

x1?x2

?x1?x2???f?x1??f?x2????0?

f(x)在?a,b?是减函数.

3.函数单调性的应用:利用定义都是充要性命题.

即若f(x)在区间I上递增(递减)且f(x1)?f(x2)?x1?x2(x1,x2?I);

若f(x)在区间I上递递减且f(x1)?f(x2)?x1?x2(x1,x2?I).

① 比较函数值的大小; ② 可用来解不等式; ③ 求函数的值域或最值等.

4.证明或判断函数单调性的方法:讨论函数单调性必须在其定义域内进行,因此要研究 函数单调性必须先求函数的定义域,函数的单调区间是定义域的子集. (1)用定义. (2)用已知函数的单调性.(3)图象法.

(4)如果f(x)在区间I上是增(减)函数,那么f(x)在I的任一非空子区间上也是增(减)函数

(5)复合函数的单调性结论:“同增异减” .

(6)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性. (7)在公共定义域内,增函数f(x)?增函数g(x)是增函数;减函数f(x)?减函数g(x)是减函数;增函数f(x)?减函数g(x)是增函数;减函数f(x)?增函数g(x)是减函数. (8)函数y

?ax?

??b(a?0,b?0)在???,或??上单调递增;

在???x??

???或0???上是单调递减. ?????

5.函数的奇偶性的定义:设y?f(x),x?A,如果对于任意x?A,都有f(?x)??f(x),则称函数y?f(x)为奇函数;如果对于任意x?A,都有f(?x)?f(x,则称函数)y?f(x)为偶函数.

6.奇偶函数的性质:

(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.

(2)f(x)是偶函数?f(x)的图象关于y轴对称;f(x)是奇函数?f(x)的图象关于原点对称.(3)f(x)为偶函数?f(x)?f(?x)?f(|x|). (4)若奇函数f(x)的定义域包含0,则f(0)?0.

二.训练题目

(一)选择题

1.下列函数中,在区间(??,0]上是增函数的是() A.y?x2?4x?8 B.y?log1(?x)C.y??

2

2

D.y??x x?1

2.若函数f(x)?x2?2(a?1)x?2在区间???,4?上是减函数,则实数a的取值范围是 A.??3,???B.???,?3? C.???,3? D.?3,??? 3.函数f(x)在递增区间是??4,7?,则y?f(x?3)的递增区间是() A.??2,3? B.??1,10?C.??1,7?D.??4,10?

?1?

???f?1?的实数x的范围是()x??

A.??1,1? B.?0,1?C.??1,0???0,1? D.???,?1???1,??? 5.如果奇函数f(x)在区间?3,7?上是增函数,且最小值为5,那么在区间??7,?3?上是 A.增函数且最小值为?5 B.增函数且最大值为?5 C.减函数且最小值为?5 D.减函数且最大值为?5

6.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(??,0]上是减函数,且f(2)?0,则使得f(x)?0的x的取值范围是()A.???,2? B.?2,??? C.???,?2???2,??? D.??2,2?

a

7.若f(x)??x2?2ax与g(x)?在区间?1,2?上都是减函数,则a的取值范围是

x?1

A.??1,0???0,1?B.??1,0???0,1? C.?0,1? D.?0,1?

4.已知函数f?x?为R上的减函数,则满足f??

8.若函数f(x)是定义在R上的奇函数,则函数F(x)?f(x)?f(x)的图象关于()

A.x轴对称B.y轴对称C.原点对称 D.以上均不对 9.设f(x)是R上的任意函数,下列叙述正确的是( )

A.f(x)?f(?x)是奇函数 C.f(x)?f(?x)是偶函数

B.f(x)?f(?x)是奇函数

D.f(x)?f(?x)是偶函数

10.已知f(x)是偶函数,x?R,当x?0时,f(x)为增函数,若x1?0,x2?0,且

|x1|?|x2|,则()

A.f(?x1)?f(?x2) B.f(?x1)?f(?x2) C.?f(x1)?f(?x2) D.?f(x1)?f(?x2)

(二)填空题

1.已知f(x)是R上的奇函数,且在(0,??)上是增函数,则f(x)在(??,0)上的单调性 为 .

2.已知奇函数f(x)在?0,???单调递增,且f(3)?0,则不等式xf(x)?0的解集 是.

3.已知偶函数f(x)在[0,若a?f(?1),2]内单调递减,b?f(log1

2

1

),c?f(lg0.5),

4

则a、b、c之间的大小关系是_____________.

4.若函数f(x)?ax?b?2在?0,???上为增函数,则实数a、b的范围是. 5.已知y?f(x)为奇函数,若f(3)?f(2)?1,则f(?2)?f(?3)?.

(x?1)(x?a)

为奇函数,则a?.

x

7.已知函数f(x)?ax2?bx?c,x???2a?3,1?是偶函数,则a?b?.

6.设函数f(x)?

8.已知f(x)?ax7?bx5?cx3?dx?5,其中a,b,c,d为常数,若f(?7)??7,则f(7)?.

9.已知函数f(x)是定义在???,???上的偶函数,当x????,0?时,f(x)?x?x4,则当x??0,???时,f(x)?. 10.定义在(?1,1)上的函数f(x)?(三)解答题

1.写出下列函数的单调区间

(1)y?x?2?x? (2)y?

2.判断下列各函数的奇偶性:

(1)f(x)?2(x?1)?6x(x?2)?2(2

)f(x)?

3

x?m

是奇函数,则常数m?____,n?_____ .

x2?nx?1

2x?1

(3)y???x?3?x

3x?2

2?(x?0)?x2?x?x

(3)f(x)?(4)f(x)??2

x?2?2(x?0)???x?x

3.利用单调性的定义:

(1)证明函数f(x)??x?1在(-∞,+∞)上是减函数.

(2)讨论函数f(x)?

3

ax

(a?0)在(-1,1)上的单调性. 2

x?1

4.(1)已知奇函数f(x)在定义域(?1,1)内单调递减,且f(1?m)?f(1?m2)?0,求m的取值范围.

(2)设定义在??2,2?上的偶函数f(x)在区间?0,2?上单调递减,若f(1?m)?f(m),求实数m的取值范围.

5.

设函数f(x)?上是单调函数.

其中a?0.求证:当a≥1时,函数f(x)在区间?0,???ax,

exa

?x是R上的偶函数.6.设a?0,f(x)?(1)求a的值;(2)证明f(x)在(0,??)ae

上为增函数.

7.已知函数f(x)的定义域是x?0的一切实数,对定义域内的任意x1,x2都有

x?1时f(x)?0,f(2)?1, f(x)1?x2)?f(x1)?f(x2,且当

2

(1)求证:f(x)是偶函数;(2) f(x)在(0,??)上是增函数;(3)解不等式f(2x?1)?2

篇三:高一数学必修一函数知识点总结

二、函数的有关概念

1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意:

1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零,

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ? ;②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法

3. 函数图象知识归纳

(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . (2) 画法 A、 描点法: B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4.区间的概念

(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间

(3)区间的数轴表示. 5.映射

一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象)?B(象)” 对于映射f:A→B来说,则应满足:

(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;

(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况.

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. 补充:复合函数

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

二.函数的性质

1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数

设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2 时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2) 图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法:

1 任取x,x∈D,且x<x; ○

2 作差f(x)-f(x); ○

3 变形(通常是因式分解和配方); ○

4 定号(即判断差f(x)-f(x)的正负); ○

5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). ○

1

2

1

2

1

2

1

2

(B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”

注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数

一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数. (2).奇函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤:

1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; ○

2确定f(-x)与f(x)的关系; ○

3作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-○

f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.

注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式

(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法

10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)

1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ○

2 利用图象求函数的最大(小)值 ○

3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: ○

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b); 例题:

1.求下列函数的定义域:

⑴y?

y?2.设函数f(x)的定义域为[0,1],则函数f(x2)的定义域为_ _

3.若函数f(x?1)的定义域为[?2,3],则函数f(2x?1)的定义域是

?x?2(x??1)

?4.函数 ,若f(x)?3,则x= f(x)??x2(?1?x?2)

?2x(x?2)?

5.求下列函数的值域:

⑴y?x2?2x?3 (x?R) ⑵y?x2?2x?3 x?[1,2]

(3)

y?x

y6.已知函数f(x?1)?x2?4x,求函数7.已知函数

f(x),f(2x?1)的解析式

f(x)满足2f(x)?f(?x)?3x?4,则f(x)= 。

8.设f(x)是R上的奇函数,且当x?[0,??)时

,f(x)?x(1,则当x?(??,0)时 f(x)在R上的解析式为 9.求下列函数的单调区间: ⑴ y?x2?2x?3

⑵yf(x)=

⑶ y?x2?6x?1

10.判断函数y??x3?1的单调性并证明你的结论. 11.设函数f(x)?

1?x2判断它的奇偶性并且求证:1

f()??f(x). 2

1?xx

第三章 基本初等函数

一、指数函数

(一)指数与指数幂的运算

1.根式的概念:一般地,如果x?a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N.

*

n

?

负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作0?0。

当n是奇数时,an?a,当n是偶数时,an?|a|??2.分数指数幂

正数的分数指数幂的意义,规定:

?a(a?0)

??a(a?0)

a?a(a?0,m,n?N,n?1),a

mn

m*

?

mn

?

1a

mn

?

1

am

(a?0,m,n?N*,n?1)

? 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)a〃a?a

r

r<%2
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