篇一：一阶常微分方程模型—人口模型与预测
辽宁工程技术大学
数 学 建 模 课 程 成 绩 评 定 表
赵常新 魏文楷 潘洋 一阶常微分方程模型—人口模型与预测
数学建模
一阶常微分方程模型—人口模型与预测
一．摘要：
二．模型的背景问题描述
三．模型假设
四.分析与建立模型
下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（t?0），
N0?101654万人，Nm?200000万人。
要求：（1）建立中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。
（2）建立中国人口的Logistic模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。
（3）利用MATLAB图形，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线。
赵常新 魏文楷 潘洋 一阶常微分方程模型—人口模型与预测
（4）利用MATLAB图形，画出两种预测模型的误差比较图，并分别标出其误差。
模型一：指数增长模型（马尔萨斯（Malthus）模型）
假设：人口净增长率r是一常数
符号：x(t)??t时刻时的人口，可微函数x0??t?0时的人口 则r?
x(t??t)?x(t)
x(t)?t
?dx
于是x（t）满足如下微分方程：??dt?rx
??x(0)?x0解为：x(t)?x0ert 模型二：Logistic模型
人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(x)
?dx
从而有：??dt?r(x)x
??
x(0)?x0对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令 r(x)=r-ax此时得到微分方程：
dxdt?(r?ax)x或dxdt?r(1?x
x)x m
可改写成：
dxdt?rx(xm?x)x m
分离变量：??1?1?
x?dx?rdt
?xm?x?两边积分并整理得： x?
xm
1?Ce
?rt
令x(0)=xxm?x00，求得： C?
x?xm
x?1 00
满足初始条件x(0)=xxm
0的解为： x(t)?
1?(x
m?1)e?rt
x0
数学建模
易见： limx(t)?xm
t???
五．模型的求解
1、运行结果
p = 0.0131 11.5342
y?0.0131t?11.5342
?lnx0?11.5342?x0?102150.2451 ?x(t)?102150.24514e0.0131t
预测公式预测1991--1998年的人口数量可得，1998年的由指数增长模型预测出的人口数于实际人口数相差最小，而其他年份的真实值与预测值之间有差别：
由1991年开始，指数增长模型预测的结果很好的反映了实际情况。按此模型预测现在中国人口已超过13亿，到2016年中国人口将超过15亿。我们看到，尽管中国出台了计划生育的措施，但中国近几年仍处于高生育期，按指数增长模型预测的结果均比实际人口要多一些。同时由于中国人口调控政策比较得力，中国人口的自然增长率在逐年下降，虽仍有一定误差，但仍基本显示了1991--1998年的人口增长的趋势。
2、运行结果
篇二：微分方程模型—人口模型与预测实验报告
20 12 ——20 13 学年第 2 学期
合肥学院数理系
实验报告?
课程名称： 数学模型
实验项目： 微分方程模型—人口模型与预测 实验类别：综合性□ 设计性□ 验证性□
专业班级：10级 数学与应用数学（2）班 姓 名： 王倩学 号： 1007022039
实验地点： 数理系机房实验时间： 2013年5月2日 指导教师： 闫晓辉 成 绩：
一.实验目的：
掌握常微分方程模型的建模方法，并能用数值算法或MATLAB库函数求解。
二.实验内容：
下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（t?0），
N0?101654万人，Nm?200000万人。
实验要求：
1、建立中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。
2、建立中国人口的Logistic模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。
3、绘图，在图中标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线。
三. 实验方案（程序设计说明）
模型一：指数增长模型（马尔萨斯（Malthus）模型）
假设：人口净增长率r是一常数
符号：x(t)??t时刻时的人口，可微函数x0??t?0时的人口 则r?
x(t??t)?x(t)
x(t)?t
?dx
??rx
于是x（t）满足如下微分方程：?dt
?x(0)?x0?
解为：x(t)?x0ert 模型二：Logistic模型
人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(x)
?dx
??r(x)x
从而有：?dt
?x(0)?x0?
对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令 r(x)=r-ax此时得到微分方程：
dxxdx
?(r?ax)x或?r(1?)x
dtxmdt
可改写成：
dxr
?(xm?x)x dtxm
?11?
分离变量：???dx?rdt
?xxm?x?
两边积分并整理得： x?
xm
?rt
1?Ce
xm?x0xm
??1 x0x0
令x(0)=x0，求得： C?
满足初始条件x(0)=x0的解为： x(t)?
xm
x
1?(m?1)e?rt
x0
易见： limx(t)?xm
t???
四. 实验步骤或程序（经调试后正确的源程序）
1、matlab源程序
%以1982-1998年共计17个数据为例进行拟合： t=0:16; %输入数据
s=[101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810];
y=log(s); p=polyfit(t,y,1)
2、matlab源程序 t=0:16;
s=101654*(1+0.0131).^t; plot(t,s,'r') hold on t=0:16;
s=[101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810]; plot(t,s,'o') hold on t=0:16;
s=200000./(1+(200000/101654-1)*exp(-0.029*t)); plot(t,s,'c')
五．程序运行结果
1、运行结果
p = 0.0131 11.5342
y?0.0131t?11.5342
?lnx0?11.5342?x0?102150.2451 ?x(t)?102150.24514e0.0131t
预测公式预测1991--1998年的人口数量可得，1998年的由指数增长模型预测出的人口数于实际人口数相差最小，而其他年份的真实值与预测值之间有差别：
由1991年开始，指数增长模型预测的结果很好的反映了实际情况。按此模型预测现在中国人口已超过13亿，到2016年中国人口将超过15亿。我们看到，尽管中国出台了计划生育的措施，但中国近几年仍处于高生育期，按指数增长模型预测的结果均比实际人口要多一些。同时由于中国人口调控政策比较得力，中国人口的自然增长率在逐年下降，虽仍有一定误差，但仍基本显示了1991--1998年的人口增长的趋势。
2、运行结果
如图所示：
圈： 人口的实际统计数据
红线：人口的指数增长曲线
x(t)=x0ert(x0=101654（1982人口），r=0.01116)
篇三：基于指数增长模型的全国人口预测
基于指数增长模型的全国人口预测
摘 要：本文根据每十年一次的全国人口普查中总人口的数据，建立了指数增长模型，并通过1975—2010年度数据验证了它的准确性，同时利用此模型实现了对未来总人口的预测，发现在短时间内，我国人口总数随着时间的增长而不断增大。
关键词：人口增长率；指数增长模型；递归模型
0 引言
我国人口一直呈持续增长趋势，为了发现人口增长的规律，以便于国家对人口政策作出合理调整，所以应该对未来人口进行预测，人口的预测与控制是一个较为复杂的问题，在不考虑资源与环境等干扰因素的影响下，最简单的人口增长与预测方案是人所共知的指数增长模型[1]。
1 指数增长模型
1.1 模型的原理
指数增长是经济学理论中重要的分析工具，当一个变量在一定时期内按固定比率增长时，指数（或几何）增长就发生了。例如：当数量为200的人口每年以3%的比列增加时，在起始年份（第0年），人口为200，第1年人口数为200×（1+0.03）??；第2年人口数为200（1+0.03）??；……；第n年人口数为200×（1+0.03）
《基于常微分方程的中国人口增长预测》出自：百味书屋
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