篇一：正弦定理练习题
正弦定理练习题
1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于( )
62 C.3 D．26
2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )
32
A．42 B．43C．6 D.
3
3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，则角B为( )
A．45°或135°B．135°C．45° D．以上答案都不对
4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于( )
A．1∶5∶6B．6∶5∶1 C．6∶1∶5D．不确定
5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b2，则c＝( )
11
A．1 B.C．2 24cos Ab
6．在△ABC中，若，则△ABC是( )
cos Ba
A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
7．已知△ABC中，AB3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为( )
33333 B.C.或3D.或 24242
8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于( )
6B．2 C.3 D.2
π
9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝3，C＝则A＝________.
3
43
10．在△ABC中，已知a＝，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.
3
11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.
12．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．
a＋b＋c
13．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则________，
sinA＋sinB＋sinC
c＝________.
a－2b＋c
14．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则＝________.
sin A－2sin B＋sin C
1
15．在△ABC中，已知a＝2，cosC＝，S△ABC＝43，则b＝________.
3
16．在△ABC中，b＝43，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．
17．△ABC中，ab＝603，sin B＝sin C，△ABC的面积为3，求边b的长．
正弦定理
1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于( )
62 C.3 D．26
abasinB
解析：选A.应用正弦定理得：b＝6.
sinAsinBsinA
2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )
32
A．42 B．43C．6 D.
3
asinB
解析：选C.A＝45°，由正弦定理得b＝46.
sinA
3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，则角B为( )
A．45°或135°B．135°C．45° D．以上答案都不对
abbsinA2
解析：选C.由正弦定理＝sinB＝，又∵a>b，∴B<60°，∴B＝45°.
sinAsinBa2
4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于( )
A．1∶5∶6B．6∶5∶1 C．6∶1∶5D．不确定
解析：选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6. 5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b2，则c＝( )
11
A．1 B.C．2 24
bc2×sin 30°
解析：选A.C＝180°－105°－45°＝30°，由c＝1.
sinBsinCsin45°
cos Ab
6．在△ABC中，若，则△ABC是( )
cos Ba
A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
bsin Bcos Asin B
解析：选D.∵＝，∴＝
asin Acos Bsin A
sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B
π
即2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝2
7．已知△ABC中，AB3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为( )
33B.243333D.242
ABAC3
解析：选D.，求出sinC＝，∵AB＞AC，
sinCsinB2
∴∠C有两解，即∠C＝60°或120°，∴∠A＝90°或30°.
1
再由S△ABC＝AB·ACsinA可求面积．
2
8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于( )
6B．2 3D.2
62
解析：选D.由正弦定理得，
sin120°sinC
1
∴sinC2
又∵C为锐角，则C＝30°，∴A＝30°， △ABC为等腰三角形，a＝c＝2.
π
9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝3，C＝则A＝________.
3
ac
＝
sinAsinC
a·sinC1
所以sinA＝.
c2
ππ
又∵a＜c，∴A＜CA＝36
π答案：6
43
10．在△ABC中，已知a＝，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.
3ab
解析：由正弦定理得＝
sinAsinB12bsinA3
?sinB＝＝a432
3
3
答案：
2
11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.
解析：C＝180°－120°－30°＝30°，∴a＝c，
ab12×sin30°由＝得，a＝＝， sinAsinBsin120°∴a＋c＝83. 答案：812．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．
解析：由正弦定理，得a＝2R·sinA，b＝2R·sinB， 代入式子a＝2bcosC，得 2RsinA＝2·2R·sinB·cosC， 所以sinA＝2sinB·cosC， 即sinB·cosC＋cosB·sinC＝2sinB·cosC， 化简，整理，得sin(B－C)＝0. ∵0°＜B＜180°，0°＜C＜180°， ∴－180°＜B－C＜180°， ∴B－C＝0°，B＝C. 答案：等腰三角形
a＋b＋c
13．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则________，
sinA＋sinB＋sinC
c＝________.
a＋b＋ca311
解析：由正弦定理得＝＝＝12，又S△ABC＝bcsinA，∴
22sinA＋sinB＋sinCsinAsin60°×12×sin60°×c＝183，
∴c＝6.
答案：12 6
a－2b＋c
14．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则＝________.
sin A－2sin B＋sin C
解析：由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3得，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
a1
∴2R＝＝2，
sinAsin30°
又∵a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
a－2b＋c2R?sin A－2sinB＋sin C?
∴＝＝2R＝2. sin A－2sin B＋sin Csin A－2sin B＋sin C答案：2
1
15．在△ABC中，已知a＝2，cosC＝，S△ABC＝43，则b＝________.
3
221
解析：依题意，sinC＝S△ABC＝absinC＝43，
32
解得b＝23. 答案：23
16．在△ABC中，b＝43，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．
1
解析：∵bsinC＝＝23且c＝2，
2
∴c<bsinC，∴此三角形无解． 答案：0
17．如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？
1
解：在△ABC中，BC＝＝20，
2
∠ABC＝140°－110°＝30°， ∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°， 所以∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°， 由正弦定理得
BC·sin∠ABCAC＝
sinA
20sin30°＝2(km)． sin45°
即货轮到达C点时，与灯塔A的距离是102 km.
CC1
18．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝23，cos，sin Bsin C
224
A
＝cosA、B及b、c.
2
CC11
解：由sinsinC＝
2242
π5π
又C∈(0，π)，所以CC＝66A
由sin Bsin C＝cos
21
sin Bsin C－cos(B＋C)]，
2
即2sin Bsin C＝1－cos(B＋C)，
即2sin Bsin C＋cos(B＋C)＝1，变形得 cos Bcos C＋sin Bsin C＝1，
π5π
即cos(B－C)＝1，所以B＝C＝B＝C＝(舍去)，
66
2π
A＝π－(B＋C)＝3abc
由正弦定理，得
sin Asin Bsin C
12sin B
b＝c＝a22.
sin A3
2
2ππ
故A＝，B＝b＝c＝2.
36
19．(2009年高考四川卷)在△ABC中，A、B为锐角，角A
、B、C所对应的边分别为a、b、
310
c，且cos 2A＝，sin B.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝2－1，求a，b，c的值．
510
10
解：(1)∵A、B为锐角，sin B＝，
10
3∴cos B＝1－sinB＝103525
又cos 2A＝1－2sin2AsinA＝cos A＝
555
∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B 253105102＝－.
5105102
π
又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝4
3π(2)由(1)知，C＝sin C＝.
42abc
由正弦定理：得
sin Asin Bsin C
5a＝10b＝2c，即a＝2b，c5b.
∵a－b＝2－12b－b＝2－1，∴b＝1. ∴a2，c＝5.
20．△ABC中，ab＝603，sin B＝sin C，△ABC的面积为3，求边b的长．
11
解：由S＝sin C得，3＝×603×sin C，
221
∴sin C＝C＝30°或150°.
2
又sin B＝sin C，故∠B＝∠C. 当∠C＝30°时，∠B＝30°，∠A＝120°.
ab
又∵ab＝603，＝b＝15.
sin Asin B
当∠C＝150°时，∠B＝150°(舍去)．
篇二：正弦定理习题及答案
正弦定理习题及答案
一、选择题(每小题5分，共20分)
11．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin B＝2，sin A＝，2
则b的值为( )
A．2
C．6
解析： 由正弦定理得b＝B．4 D．8 asin B24. sin A12
答案： B
2．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC是( )
A．等边三角形
C．直角三角形
解析： ∵sin2A＝sin2B＋sin2C.
∴由正弦定理可得a2＝b2＋c2
∴△ABC是直角三角形．
答案： C
3．在△ABC中，若A＝60°，C＝75°，b＝6，则a等于( ) A.
C.6B．3 D．36 B．等腰三角形 D．锐角三角形
解析： ∵B＝180°－(60°＋75°)＝45°，
36×2bsin A∴a＝＝36. sin B2
2
答案： D
4．在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是( )
A．b＝10，A＝45°，B＝70°
C．a＝7，b＝5，A＝80°B．a＝60，c＝48，B＝100° D．a＝14，b＝16，A＝45°
解析： D中，bsin A＝2，a＝14，所以bsin A<a<b，所以三角形有两个解．故选
D.
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比为a∶b∶c为________．
1
解析： ∵A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，
∴A＝90°，B＝60°，C＝30°，
设abc＝＝k， sin Asin Bsin C
3k，c＝ksin C＝22则a＝ksin A＝k，b＝ksin B＝
∴a∶b∶c＝2∶3∶1.
答案： 23∶1
6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知a＝15，b＝2，A＝60°，则tan B＝________.
bsin A231解析： 由正弦定理得sin B＝×， a1525
根据题意，得b<a，
故B<A＝60°，因此B为锐角．
cos B＝1－sinB＝
sin B1故tan B＝＝cos B21答案： 2
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．(1)在△ABC中，已知A＝30°，a＝6，b＝3，求B.
(2)在△ABC中，已知A＝60°，a＝6，b＝2，求B.
623解析： (1)在△ABC中，由正弦定理可得＝ sin 30°sin B
解得sin B＝222. 5
∵b>a，∴B>A.
∴B＝45°或135°.
62(2)在△ABC中，由正弦定理可得＝ sin 60°sin B
解得sin B＝2 2
∵b<a，∴B<A.
∴B＝45°.
a28．在△ABC中，若sin B＝＝B为锐角，试判断△ABC的形状． c2
解析： ∵sin B＝
2，且B为锐角， 22
∴B＝45°.
a2∵＝. c2
sin A∴由正弦定理得， sin C2
又∵A＋C＝135°，
∴sin(135°－C)整理得cos C＝0.
∴C＝90°，A＝45°.
∴△ABC是等腰直角三角形． 尖子生题库☆☆☆
9．(10分)△ABC的各边均不相等，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且acos A＝bcos a＋bB的取值范围． c
解析： ∵acos A＝bcos B，
∴sin Acos A＝sin BcosB，
∴sin 2A＝sin 2B.
∵2A,2B∈(0,2π)，
∴2A＝2B或2A＋2B＝π，
π∴A＝B或A＋B＝. 2
如果A＝B，则a＝b不符合题意，
π∴A＋B＝2
a＋bsin A＋sin B∴sin A＋sin B＝sin A＋cos A csin C
π2sin(A＋， 4
π∵a≠b，C＝ 2
ππ0，且A ∴A∈??24
a＋b∴(12)． c
2sin C， 2
3
篇三：正弦定理典型例题与知识点
正弦定理
教学重点：正弦定理
教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用,边角转化。多解问题
1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即
abc
== siAnsinBsinC
2. 三角形面积公式
在任意斜△ABC当中S△ABC=absinC?acsinB?bcsinA 3.正弦定理的推论：
abc
===2R（R为△ABC外接圆半径） sinAsinBsinC
12
12
12
4.正弦定理解三角形
1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角；
2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。 3）已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:（多解情况）
1若A为锐角时: ○
无解?a?bsinA ?
一解(直角)?a?bsinA
?
?bsinA?a?b二解(一锐, 一钝)?a?b 一解(锐角)?
已知边a,b和?A
a<CH=bsinA
无解
a=CH=bsinA仅有一个解
CH=bsinA<a<b有两个解
?a?b 无解
2若A为直角或钝角时:?○
?a?b 一解(锐角)
1、已知中，，，则角等于 ( D)
A． B．C． D．
2、ΔABC的内角
A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sinA=，
b
=sin B，则a等于 ( D)
A．3 B． C． D．
1. 在?ABC中，若sin2A?sin2B，则?ABC一定是( )
3.在Rt△ABC中，C=
?
2
，则sinAsinB的最大值是_______________.
[解析] ∵在Rt△ABC中，C=
?
2
，∴sinAsinB?sinAsin(
?
2
?A)?sinAcosA
?
1??1sin2A，∵0?A?,∴0?2A??,∴A?时，sin
AsinB取得最大值。 2242
13,cosB?，则角C的大小是__________ 210
4.
若?ABC中，tanA?
解析
11
?tanA?,cosB??O?B??,?sinB??tanB?
23?tanC?tan(??A?B)??tan(A?B)?
2
tanA?tanB3?
??1,?O?C???C?
tanAtanB?14
7.在△ABC中，已知2a?b?c，sinA?sinBsinC，试判断△ABC的形状。 解：由正弦定理
abcab
???2R得：sinA?，sinB?， sinAsinBsinC2R2R
sinC?
c。 2R
2R
2R2R
2a2bc2
)??所以由sinA?sinBsinC可得：(，即：a?bc。
又已知2a?b?c，所以4a2?(b?c)2，所以4bc?(b?c)2，即(b?c)2?0， 因而b?c。故由2a?b?c得：2a?b?b?2b，a?b。所以a?b?c，△ABC 为等边三角形。 ６．在?ABC中，
sinBsinA
?是A?B成立的(C ) ab
Ａ．必要不充分条件 Ｂ．充分不必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，b=6，B=120°,则 a等于
A. 答案 D
3.下列判断中正确的是
（ ）
B.2
（ ）
C.3 D.2
A.△ABC中，a=7，b=14，A=30°,有两解 B.△ABC中，a=30,b=25,A=150°，有一解 C.△ABC中，a=6,b=9，A=45°，有两解 D.△ABC中，b=9,c=10,B=60°,无解 答案 B
4. 在△ABC中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC一定是
（ ）
A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形 D.等边三角形 答案 B
10. 在△ABC中，已知a=3,b=,B=45°,求A、C和c. 解 ∵B=45°＜90°且asinB＜b＜a,∴△ABC有两解. 由正弦定理得sinA=
asinB3sin45?
= =, b22
则A为60°或120°.
①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°, c=
bsinC2sin75?
==sinBsin45?
2sin(45??30?)?2
=.
sin45?2
②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°, c=
bsinC2sin15?
==sinBsin45?
2sin(45??30?)?2
=.
sin45?2
故在△ABC中，A=60°,C=75°,c=
6?2?或A=120°,C=15°,c=.
22
2
2
12. 在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a+b）sin（A-B）=（a-b）sin（A+B），判断三角形的形状.
解 方法一 已知等式可化为a［sin（A-B）-sin（A+B）］=b［-sin（A+B）-sin(A-B)］∴2acosAsinB=2bcosBsinA
由正弦定理可知上式可化为：sinAcosAsinB=sinBcosBsinA
∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0∴sin2A=sin2B,由0＜2A,2B＜2? 得2A=2B或2A=?-2B,即A=B或A=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
?
-B,∴△ABC为等腰或直角三角形. 2
2
方法二 同方法一可得2acosAsinB=2bsinAcosB
222
b2?c2?a22a?c?b22222222
由正、余弦定理,可得ab= ba ∴a(b+c-a)=b(a+c-b)
2bc2ac
2
即(a-b)(a+b-c)=0∴a=b或a+b=c∴△ABC为等腰或直角三角形.
43
2．在△ABC中，已知∠B＝45°，c＝2，b＝A等于( )
3A．15°
B．75°
C．105°
D．75°或15°
22222222
《正弦定理例题》出自：百味书屋
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