篇一：立体几何试题及答案
【模拟试题】
一. 选择题（每小题5分，共60分）1. 给出四个命题：
①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；
②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体； ③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； ④长方体一定是正四棱柱。 其中正确命题的个数是（ ） A. 02. 下列四个命题：
B. 1
C. 2
D. 3
①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥； ②底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ③棱锥的所有面可能都是直角三角形； ④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。 正确的命题有________个 A. 1B. 2C. 3
D. 4
3. 长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1：2：3，它的表面积为88，则它的对角线长为（ ） A. 12
B. 24
C. 2
D. 414
4. 湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm，深为8cm的空穴，则该球的半径是（ ） A. 8cm
B. 12cm
C. 13cm
D. 82cm
5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是（ ）
1?2?
1?4?
1?2?
1?4?
A.
2?
B.
4?
C.
?
D.
2?
6. 已知直线l?平面?，直线m?平面?，有下面四个命题：
①?//??l?m；②????l//m；③l//m????；④l?m??//?。 其中正确的两个命题是（ ） A. ①②B. ③④
C. ②④D. ①③
7. 若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ） A. 63cm
B. 6cm
C. 2
2
3
D. 312
8. 设正方体的全面积为24cm2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（ ）
32
A. 6?cm
3
B. 3
?cm
3
8
C. 3
?cm
3
4
D. 3
?cm
3
9. 对于直线m、n和平面?、?能得出???的一个条件是（ ） A. m?n，m//?，n//? C. m//n，n??，m??
B. m?n，????m，n?? D. m//n，m??，n??
10. 如果直线l、m与平面?、?、?满足：l????，l//?，m??，m??，那么必有（ ） A. ???和l?m
B. ?//?，和m//? D. ???且???
C. m//?，且l?m
11. 已知正方体的八个顶点中，有四个点恰好为正四面体的顶点，则该正四面体的体积与正方体的体积之比为（ ） A. 1：3
B. 1：2
C. 2：3
D. 1：3
12. 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（ ）
二. 填空题（每小题4分，共16分）
13. 正方体的全面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是__________。
14. 正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5：2：8，体积为14cm3，则棱台的高为____________。
15. 正三棱柱的底面边长为a，过它的一条侧棱上相距为b的两点作两个互相平行的截面，在这两个截面间的斜三棱柱的侧面积为____________。
16. 已知?、?是两个不同的平面，m、n是平面?及?之外的两条不同的直线，给出四个论断：
①m⊥n，②???，③n??，④m??。
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______________。
三. 解答题（共74分）
17. （12分）正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F、G分别是棱DA、DC、DD1的中点，试找出过正方体的三个顶点且与平面EFG平行的平面，并证明之。18. （12分）球内有相距1cm的两个平行截面，截面的面积分别是
5?cm和8?cm
2
2
，球心不在截面之间，求球的表面积与体积。
19. （12分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱锥的表面积。
3
20. （12分）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的2，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的全面积是（5?2）?，求这个旋转体的体积。
21. （12分）有一块扇形铁皮OAB，∠AOB=60°，OA=72cm，要剪下来一个扇形ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面（大底面）。（如图）试求 （1）AD应取多长？ （2）容器的容积。
22. （14分）如图，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4，E、F分别为AB、BC的中点，EF?BD?G。 （1）求证：平面B1EF?平面BDD1B； （2）求点D1到平面B1EF的距离d； （3）求三棱锥B1?EFD1的体积V。
【试题答案】 一.
1. B 7. B 二.
?
2. B 8. D
3. C 9. C
4. C 10. A
5. A 11. D
6. D 12. B
13. 2
a
2
14. 2cm 15. 3ab
16. m?n，m??，n??????（或m??，n??，????m?n）
三.
17. 证明：过A、C、D1的平面与平面EFG平行，由E、F、G是棱DA、DC、
DD1的中点可得GE//AD1，GF//CD1，GE?
平面EFG，GF?平面EFG
∴AD1//平面AEG，CD1//平面EFG 又AD1?CD1?D1 ∴平面EFG//平面ACD1
18. 解：如图，设两平行截面半径分别为r1和r2，且r2?
r1
22
依题意，?r1?5?，?r2?8?
?r1?5，r2?8
?OA1和OA2都是球的半径ROO1?OO2?
?
22
R?r1?R?r2?R?5?
222
2
22
R?5R?8R?8?1?R?3
2
2
2
解得R?9
2
?S球?4?R
?36?(cm)
3
2
V球?
43
?R?36?(cm)
2
19. 解：由三视图知正三棱锥的高为2mm
由左视图知正三棱锥的底面三角形的高为23mm
3
a?23
?a?4
设底面边长为a，则2 ∴正三棱柱的表面积
篇二：立体几何练习题及答案
数学立体几何练习题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上
的点，A1M＝AN＝
a
，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( ) 3
A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定
2．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，E是CD中点，则?AED的大小为（）
A.45?B.30?C.60?D.90?
3．PA，PB，PC是从P引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线PC与平面PAB
所成的角的余弦值为（）
A．
12
B
。
2
C
3
D
3
4．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED与D1F所成角的余弦值是
A．
15
13
12
2
B。 C。 D
5． 在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、
AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（ ）
A．
5
B．
23
C．
55
D．
5
）
6．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，A A1=1，则点A到平面A1BC的距离为（
A．
34
B．
32
C．
334
D．3
7．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=1,则AB1与C1B所成的角的大小为 （ ）
A.60oB. 90oC.105oD. 75o
8．设E，F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面
A1ECF成60°角的对角线的数目是（ ）
A．0 B．2C．4D．6 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则
?????????
sin〈CM，D1N〉的值为_________.
10．如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点， A、B、M是顶点，
那么点M到截面ABCD的距离是 .
C
M B
11．正四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等，E为PC中点，则直线AC与截面BDE所成的角为．
12．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面
B1DC所成角的正弦值为. 13
．已知边长为的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA⊥面ABC，
且PA=2，设平面?过PF且与AE平行，则AE与平面?间的距离为． 14．棱长都为2的直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD=60°，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的余弦值为________.
三、解答题:本大题共6小题，共80分。解答需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.
15．如图，直三棱柱ABC
?A1B1C1，底面?ABC
中，CA＝CB＝1，?BCA
?90
?
，棱AA1
?2
，M、
N分别A1B1、A1A是的中点． (1) 求BM的长； (2) 求cos?BA1,CB1?的值； (3) 求证：A1B?C1N．
y
16．如图，三棱锥P—ABC中， PC?平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，x D是PB上一点， 且CD?平面PAB．
(1) 求证：AB?平面PCB； P (2) 求异面直线AP与BC所成角的大小；(3)求二面角C-PA-B的大小的余弦值．
C
17．如图所示，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a>0），PA⊥平面AC，且PA=1．
P （1）试建立适当的坐标系，并写出点P、B、D的坐标； （2）问当实数a在什么范围时，BC边上能存在点Q，
使得PQ⊥QD？
（3）当BC边上有且仅有一个点Q使得PQ⊥QD时， 求二面角Q-PD-A的余弦值大小．
18. 如图，在底面是棱形的四棱锥P?ABCD中，?ABC
A
Q
D
C
?60,PA?AC?a,PB?PD?
?
2a
，点E
在PD上，且PE:ED＝2:1．
(1) 证明 PA?平面ABCD；
(2) 求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角?的大小；
(3) 在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．
19. 如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG＝4，AG?
20.已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面
ABCD，E是SC上的任意一点． (1)求证：平面EBD⊥平面SAC；
(2)设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离； SA
(3)的值为多少时，二面角B－SC－D的大小为120°？
AB
理科立体几何训练题（B）答案
一、选择题
二、 9.
填空题
E
C D
13
GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点．
C
(1)求异面直线GE与PC所成的角的余弦值； (2)求点D到平面PBG的距离；
(3)若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求
PFFC
的值．
3452234
10． ° 12． 13． 14 93543
三、解答题
15解析：以C为原点建立空间直角坐标系O?xyz. (1) 依题意得B（0，1，0），M（1，0，1）．?
(1?0)?(0?1)?(1?0)
2
2
2
?3
.
y
(2) 依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，
1，2）
.
?BA
1?(1,?1,2),CB1?(0,1,2),BA1?CB1?3?
6?
5
?cos?BA1,CB1??
?
3010
.
(3) 证明：依题意得C1（0，0，2），N(
?A1B?C1N??
12?12
?0?0,?A1B?C1N
1111
,,2),?A1B?(?1,1,?2),C1N?(,,0)2222
.
16．解析： (1) ∵PC⊥平面ABC,AB?平面ABC， ∴PC?AB.∵CD?平面PAB，AB?平面PAB， ∴CD?AB．又PC?CD?C，∴AB?平面PCB． (2 由(I) AB?平面PCB，∵PC=AC=2，
又∵AB=BC，可求得BC=．以B为原点， 如图建立坐标系．则Ａ（０,2,０），Ｂ（0,0,0），C（０,0），P（０,2）．
????????
=(2,－，=(． BCAP?????
则AP?BC=．
????????
????????2AP?BCcos?AP,BC?==
AP?BC22?
P
z
= 2
12
．
∴异面直线AP与BC所成的角为
?
3
．
????????
（3）设平面PAB的法向量为m= (x，y，z)．AB=(0, AP=(
－2,2)，
x
y
????????y?0,?AB?m?0,??0,则????
即解得?令z= -1,得 m= (?
x??????2z?0.?AP?m?0.
2，0，-1)．
?
由PC?平面ABC易知：平面PAC?平面ABC，取AC的中点E，连接BE，则BE为
?
平面PAC的一个法向量，BE?(为n= (1，1，0)．
cos?m,n??
m?nmn
223
,
22
,0)?
22
(1,1,0)，故平面PAC的法向量也可取
=
23?
2
?
3
. ∴二面角C-PA-B的大小的余弦值为
33
．
17．解析：（1）以A为坐标原点，AB、AD、
别为x、y、z轴建立坐标系如图所示． ∵PA=AB=1，BC=a，
∴P（0，0，1），B（1，0，0），
D（0，a，0）．
（2）设点Q（1，x，0），则
????????
DQ?(1,x?a,0),QP?(?1,?x,1)．
由DQ?QP?0，得x2-ax+1=0．
显然当该方程有非负实数解时，BC边上才存在点Q，使得PQ⊥QD，故只须⊿=a2-4≥0． 因a>0，故a的取值范围为a≥2．
（3）易见，当a=2时，BC上仅有一点满足题意，此时x=1，即Q为BC的中点．
取AD的中点M，过M作MN⊥PD，垂足为N，连结QM、QN．则M（0，1，0），P（0，0，1），D（0，2，0）．∵D、N、P三点共线，
??????????????MD??MP(0,1,0)??(0,?1,1)(0,1??,?)∴MN?． ??
1??1??1??
?????????????
又PD?(0,2,?1)，且MN?PD?0，
????????
故
(0,1??,?)1??
?(0,2,?1)?
2?3?1??
?0???
23
．
?????
于是MN?
(0,1?1?
22,)
?(0,1,2)
．
255
3
???????????????????????12
故NQ?NM?MQ??MN?AB?(1,?,?)．
55
????????
12
∵PD?NQ?0?2?(?)?(?1)?(?)?0，
55
∴PD?NQ．（资料来源：） ∴∠MNQ为所求二面角的平面角．
?????????NM?NQ∵cos?MNQ??，
6|NM|?|NQ|
????????
注：该题还有很多方法解决各个小问，以上方法并非最简.
18解析：（1）传统方法易得证明（略）
（2）传统方法或向量法均易解得??30?；
（3）解 以A为坐标原点，直线AD,AP分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系（如图）．由题设条件，相关各点的坐标为
A(0,0,0),B(
32a,?
12a,0),C(
23
13
32
a)
a,
12
a,0)
D(0,a,0),P(0,0,a),E(0,a,
32a,12a,0)
所以
AE?(0,
23
a,
13
a)，AC?(，
B
篇三：高一必修二立体几何练习题(含答案)
《立体几何初步》练习题
一、 选择题
1、一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ） A、垂直 B、平行 C、相交不垂直 D、不确定 2. 在正方体ABCD?A1B1C1D1中, 与A1C垂直的是（ ）
A. BDB. CDC. BCD. CC1 3、线m,n和平面?、?，能得出???的一个条件是( )
A.m?n,m//?,n//? B.m⊥n,?∩?=m,n??C.m//n,n??,m?? D.m//n,m??,n?? 4、平面?与平面?平行的条件可以是（ ）
A.?内有无穷多条直线与?平行；B.直线a//?,a//?
C.直线a??,直线b??,且a//?,b//?D.?内的任何直线都与?平行 5、设m、n是两条不同的直线，?,?,?是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m??，n//?，则m?n ②若?//?，?//?，m??，则m?? ③若m//?，n//?，则m//n④若???，???，则?//?
其中正确命题的序号是()A.①和② B.②和③ C.③和④D.①和④
6.点P为ΔABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O,若PA=PB=PC， 则点O是ΔABC的（）
A.内心 B.外心C.重心 D.垂心
7. 若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面， 则下列命题中为真命题的是（）
A．若?//?,l??,n??，则l//n B．若???,l??，则l?? C. 若l??,l//?，则???D．若l?n,m?n，则l//m
8. 已知两个平面垂直，下列命题中正确的个数是（ ）
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.A.3 B.2C.1 D.0 9．（2013浙江卷）设m.n是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面, A．若m∥α,n∥α,则m∥n B．若m∥α,m∥β,则α∥β C．若m∥n,m⊥α,则n⊥α D．若m∥α,α⊥β,则m⊥β
）
（
10．（2013广东卷）设l为直线,?,?是两个不同的平面,下列命题中正确的是
A．若l//?,l//?,则?//? C．若l??,l//?,则?//?
B．若l??,l??,则?//? D．若???,l//?,则l??
（ ）
二、填空题
11、在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC中点，则三棱锥B—B1EF的体积为
12．对于空间四边形ABCD，给出下列四个命题：①若AB=AC，BD=CD则BC⊥AD；②若AB=CD，AC=BD则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD则BC⊥AD；④若AB⊥CD， BD⊥AC则BC⊥AD；其中真命题序号是．
13. 已知直线b//平面?，平面?//平面?，则直线b与?的位置关系
P
为.
14. 如图，△ABC是直角三角形，?ACB=90?，PA?平面ABC，此图形
A 中有个直角三角形
三、解答题
15.如图，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC求证：AB⊥BCP
A
F16.如图，ABCD和ABEF都是正方形，M?AC，且，N?FBAM?FN。 求证：MN//平面BCE。
17.如图，P为?ABC所在平面外一点，PA?平面ABC，
F
E
C
P
?ABC?90?，AE?PB于E，AF?PC于F
求证：（1）BC?平面PAB；
（2）平面AEF?平面PBC； （3）PC?EF．
A
E
C
B
18、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO?底面ABCD，E是PC的中点。求证：（1）PA∥平面BDE ；（2）平面PAC?平面BDE.
19、如图，长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?AD?1，AA1?2，点P为DD1的中点。求证：
（1）直线BD1∥平面PAC；（2）平面PAC?平面BDD1； （3）直线PB1?平面PAC.
20．如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC—A1B1C1中AC=3，
AB=5，CB?4,AA1?4,点D是AB的中点.
（Ⅰ）求证：AC?BC1（Ⅱ）求证：AC1//平面CDB1； （Ⅲ）求三棱锥A1—B1CD的体积.
C
C1
D1
B1
A1
P
D
B
A
21．如图，在几何体ABCDE中，AB = AD = 2，AB丄AD,AE
丄平面ABD,M为线段BD的中点，
（I）求证:平面BCD丄平面CDE； （II）若N为线段DE的中点, 求证:平面AMN//平面BEC．
22．（2013年北京卷）如图,在四棱锥P?ABCD中
AB//CD,AB?AD,CD?2AB,平面PAD?底面ABCD,PA?AD,E和F分别是CD和PC的中点,
求证: (1) PA?底面ABCD;(2) BE//平面PAD;
(3)平面BEF?平面PCD
23．（2013年山东卷）如图,四棱锥P?ABCD
中,AB?AC,AB?PA,AB∥CD,AB?2CD,
E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点
求证: (Ⅰ) CE∥平面PAD;
(Ⅱ)求证:平面EFG?平面EMN
24．（2013年大纲卷）如图,四棱锥P?ABCD中，?ABC??BAD?90?，BC?2AD
?PAB与?PAD都是边长为2的等边三角形.
(I)证明:PB?CD;
(II)求点A到平面PCD的距离.
参考答案
选择题：AACDA,BCCCB 填空题：11、
1
12、①④ 13、b//?或b??14、4 3
解答题：15、作AD?PB, 16、
作MG//AB交CB于G,NH//EF交BE于H,连接GH,证明四边形MGHN是平行四边形
17、（2）证AE?平面PBC（3）证PC?平面AEF 18、（1）连接OE,OE//PA,(2)证BD?平面PAC
19、(1)设AC?BD?O,连接OP,OP//BD1,(2)证AC?平面BDD1 (3) 由AC?平面BDD1得AC?B1P,计算可以得到?B1PO?90?,B1P?PO 20、（1）AC?平面BB1C1C(2) (1)设B1C?BC1?O,连接OD,OD//AC1
(3)
VA1?B1CD?VC?A1DB1?8,
21、（1）计算得?BCD?90?,BC?CD,?BCE?90?,BC?CE,BC?平面CDE (2) AM//EC,MN//BE
22、 (I)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于两平面的交线AD
所以PA垂直底面ABCD.
(II)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点 所以AB∥DE,且AB=DE 所以ABED为平行四边形,
所以BE∥AD,又因为BE?平面PAD,AD?平面PAD 所以BE∥平面PAD.
(III)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形 所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知PA⊥底面ABCD, 所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD
所以CD⊥PD,因为E和F分别是CD和PC的中点
所以PD∥EF,所以CD⊥EF,所以CD⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD.
23、（1）取PA中点H，连接EH、DH,证明四边形CEHD是平行四边形
或者连接CF，证明平面ECF//平面PAD
（2）证AB?平面EFG,MN//CD//AB,所以MN?平面EFG,
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