篇一：数值分析习题集及答案[1]
数值分析习题集
（适合课程《数值方法A》和《数值方法B》）
长沙理工大学
第一章 绪 论
1. 设x>0,x的相对误差为δ,求lnx的误差.
2. 设x的相对误差为2％,求x的相对误差.
3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出
它们是几位有效数字: 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:
*****x1?1.1021,x2?0.031,x3?385.6,x4?56.430,x5?7?1.0.
n
************
(i)x1?x2?x4,(ii)x1x2x3,(iii)x2/x4,其中x1,x2,x3,x4
均为第3题所给的数.
5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少? 6. 设Y0?28,按递推公式
( n=1,2,…)
Y计算到Y100.
27.982(五位有效数字),试问计算100将有多大误差?
Yn?Yn?12
7. 求方程x?56x?1?0的两个根,使它至少具有四位有效数字
27.982).
8. 当N充分大时,怎样求
?
??
N
1dx1?x2?
2
9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10. 设
误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列
S?
12gt2假定g是准确的,而对t的测量有±0.1秒的误差,证明当t增加时S的绝对
{yn}满足递推关系yn?10yn?1?1(n=1,2,…),
若y0??1.41(三位有效数字),y10时误差有多大?这个计算过程稳定吗?
计算到
6
12.
计算f?1),
?1.4,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?
3
?? 13.
f(x)?ln(x,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若
改用另一等价公式
计算,求对数时误差有多大?
ln(x???ln(x
14. 试用消元法解方程组
?
x1?1010x2?1010;x1?x2?2.
假定只用三位数计算,问结果是否可靠?
1?absinc,0?c?22,且测量a ,b ,c 的误差分别为15. 已知三角形面积其中c为弧度,
?a,?b,?c.证明面积的误差?s满足
s?
?s?a?b?c
???.sabc
第二章 插值法
1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令
1
Vn(x)?Vn(x0,x1,?,xn?1,x)?
11
证明Vn(x)是n次多项式,它的根是x0,?,xn?1,且
x0?xn?1x
2
x0
???
nx0
?x2
?xn
2nxn?xn?1?1
Vn(x)?Vn?1(x0,x1,?,xn?1)(x?x0)?(x?xn?1).
2. 当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式.
3.
4. 给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,
研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.
maxl2(x)x?x?khx0?x?x3k05. 设,k=0,1,2,3,求.
xj
6. 设
为互异节点(j=0,1,…,n),求证:
i) ii) 7. 设
?xl(x)?x
kjjj?0n
n
k
(k?0,1,?,n);
?(x
j?0
j
?x)klj(x)???k?1,2,?,n).
2
f(x)?C?a,b?且f(a)?f(b)?0,求证maxa?x?b
x
?6
1
f(x)?(b?a)2maxf?(x8a?x?b
x
8. 在?4?x?4上给出f(x)?e的等距节点函数表,若用二次插值求e的近似值,要使截
断误差不超过10,问使用函数表的步长h应取多少? 9. 若yn?2,求?yn及?yn.
10. 如果f(x)是m次多项式,记?f(x)?f(x?h)?f(x),证明f(x)的k阶差分
n
4
4
?kf(x)(0?k?m)是m?k次多项式,并且?m?lf(x)?0(l为正整数).
11. 证明?(fkgk)?fk?gk?gk?1?fk. 12. 证明k?0
n?1n?1
n?1
?f?g
k
k
?fngn?f0g0??gk?1?fk.
k?0
13. 证明
??
j?0
2
yj??yn??y0.
n?1n
14. 若f(x)?a0?a1x???an?1x?anx有n个不同实根x1,x2,?,xn,证明
?f?(x)
j?1
j
n
xkj
?
?
0,0?k?n?2;
?1an,k?n?1.
15. 证明n阶均差有下列性质: i)
若F(x)?cf(x),则
F?x0,x1,?,xn??cf?x0,x1,?,xn?;
Fx,x,?,xn??f?x0,x1,?,xn??g?x0,x1,?,xn?.
ii) 若F(x)?f(x)?g(x),则?01
74f?20,21,?,27?f?20,21,?,28?f(x)?x?x?3x?1????. 16. ,求及
17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是
并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.
R3(x)?f(4)(?)(x?xk)2(x?xk?1)2/4!,??(xk,xk?1)
18. 求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足P(0)?P(?k?1)并由此求出分段三次
埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式P(x),以便使它能够满足以下边界条件
P(0)?P?(0)?0,P(1)?P?(1)?1,P(2)?1.
20. 设
f(x)?C?a,b?,把?a,b?分为n等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数?n(x)
并证明当n??时,?n(x)在?a,b?上一致收敛到f(x).
2
f(x)?1/(1?x),在?5?x?5上取n?10,按等距节点求分段线性插值函数Ih(x),21. 设
计算各节点间中点处的Ih(x)与f(x)的值,并估计误差.
a,b?上的分段线性插值函数Ih(x),并估计误差.
22. 求f(x)?x在?
24
23. 求f(x)?x在?a,b?上的分段埃尔米特插值,并估计误差.
试求三次样条插值并满足条件 i) ii)
2
f(x)?C?a,b?,S(x)是三次样条函数,证明 25. 若
S?(0.25)?1.0000,S?(0.53)?0.6868; S?(0.25)?S?(0.53)?0.
i)
??f?(x)?dx???S?(x)?dx???f?(x)?S?(x)?dx?2?
a
a
a
b
2
b
2
b
2
b
a
S?(x)?f?(x)?S?(x)?dx
;
ii) 若f(xi)?S(xi)(i?0,1,?,n),式中xi为插值节点,且a?x0?x1???xn?b,则
?
b
a
S?(x)?f?(x)?S?(x)?dx?S?(b)?f?(b)?S?(b)??S?(a)?f?(a)?S?(a)?
.
26. 编出计算三次样条函数S(x)系数及其在插值节点中点的值的程序框图(S(x)可用(8.7)
式的表达式).
第三章 函数逼近与计算
1. (a)利用区间变换推出区间为?
a,b?的伯恩斯坦多项式.
?上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的(b)对f(x)?sinx在?
马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:
0,?/2
(a)当m?f(x)?M时,m?Bn(f,x)?M. (b)当f(x)?x时,Bn(f,x)?x.
0,2??的最佳一致逼近多项式.
3. 在次数不超过6的多项式中,求f(x)?sin4x在?
a,b?上连续,求f(x)的零次最佳一致逼近多项式.
4. 假设f(x)在?
5. 选取常数a,使0?x?1
maxx3?ax
达到极小,又问这个解是否唯一?
0,?/2?上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.
6. 求f(x)?sinx在?
0,17. 求f(x)?e在??上的最佳一次逼近多项式.
x
?1,1?上与零偏差最小?r是否唯一?
8. 如何选取r,使p(x)?x?r在?
2
0,19. 设f(x)?x?3x?1,在??上求三次最佳逼近多项式.
4
3
***
T(x)?T(2x?1),x?0,1??T(x),T(x),T(x),T3(x). nn01210. 令,求
11. 试证12. 在?
?T
*
n
(x)?
是在?0,1
?上带权
??
的正交多项式.
?1,1?上利用插值极小化求1f(x)?tg?1x的三次近似最佳逼近多项式.
?
x?1,1?上的插值极小化近似最佳逼近多项式为Ln(x),若f?Ln
13. 设f(x)?e在?
有界,
证明对任何n?1,存在常数?n、?n,使
?nTn?1(x)?f(x)?Ln(x)??nTn?1(x)(?1?x?1).
112331541655
?(x)?1?x?x?x?x?x?1,1??28243843840,试将?(x)降低到3次多14. 设在上
项式并估计误差. 15. 在?
?1,1?上利用幂级数项数求f(x)?sinx的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.
?a,a?上的连续奇(偶)函数,证明不管n是奇数或偶数,f(x)的最佳逼近多项式
16. f(x)是?
Fn*(x)?Hn也是奇(偶)函数.
?ax?b?sinx?dx为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.
17. 求a、b使?
1
g(x)?C?a,b?,定义 f(x)18. 、
2
?
2
(a)(f,g)??f?(x)g?(x)dx;(b)(f,g)??f?(x)g?(x)dx?f(a)g(a);
a
a
bb
问它们是否构成内积?
1
x6
?01?x19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,
并比较其结果.
20. 选择a,使下列积分取得最小值:21. 设空间
?
1
?1
(x?ax2)2dx,?x?ax2dx
?1
1
.
???span?1,x?,?2?span?x100,x101?
,分别在?1、?2上求出一个元素,使得其为
x2?C?0,1?的最佳平方逼近,并比较其结果.
?1?span?1,x2,x4?f(x)?x?1,1??22. 在上,求在上的最佳平方逼近.
sin(n?1)arccosxun(x)?
23.
是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系
un?1?x??2xun?x??un?1?x?.
24. 将
近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.
f(x)?sin
1
x??1,1?2在上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼
?1,1?上展成切比雪夫级数.
25. 把f(x)?arccosx在?
26.
y?a?bx.
2
27.
用最小二乘拟合求.
29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT算法的程序框图. 31. 现给出一张记录?
xk???4,3,2,1,0,1,2,3?,试用改进FFT算法求出序列?xk?的离散频谱
?Ck?(k?0,1,?,7).
第四章 数值积分与数值微分
篇二：数值分析习题解答1
第一章 引论（习题）
2．证明：x的相对误差约等于x的相对误差的1/2.
证明记 f(x)?
Er(f)?x ，则 ?x?x*
x(x?x)*x?x*x
?x?x*1??Er(x).□ *x2x?xx
3．设实数a的t位?进制浮点机器数表示为fl(a). 试证明fl(a?b)?(a?b)/(1??),|?|?
其中的记号*表示+、-、?、/ 中一种运算.
证明： 令： ??11?t?， 2(a?b)?fl(a?b) fl(a?b)
c?1可估计： |fl(a?b)|??
故： |?|? （c为a?b阶码）， 1c?tc?111?t???? 22
于是：fl(a?b)?(a?b)(1??). □
4．改变下列表达式使计算结果比较精确：
（1）
（2）
（3） 11?x?,1?2x1?xx?1?xx?1,x对|x|??1; 对x??1; 1?cosx,x
2对x?0,|x|??1. 解 (1) 2x
(2) (1?x)(1?2x). . x
(x?x?x?x)
1?cosxsin2xsinx?? (3) . □ xx(1?cosx)1?cosx
6．设a?0.937关于精确数x有3位有效数字，估计a的相对误差. 对于f(x)??x，估计f(a)对于f(x)的误差和相对误差.
解 a的相对误差：由于|E(x)|?x?a?1x?a, ?10?3. Er(x)?2x
11Er(x)?10?2??10?2.（Th1） 2?918
f(a)对于f(x)的误差和相对误差. |E(f)|?|?x??a|=a?x
?x??a??3???102
2?0.25=10?3 |Er(f)|?10
?3?a?4?10?3.□
9．序列{yn}满足递推关系：yn?1?100.01yn?yn?1. 取y0?1,y1?0.01及y0?1?10?5,
定的. y1?0.01，试分别计算y5，从而说明该递推公式对于计算是不稳
解递推关系： yn?1?100.01yn?yn?1
(1) 取初值 y0?1， y1?0.01 计算
可得： y2?100.01?10
?6?2?1?1.0001?1?10?4 ?8y3?10 ， y4?10
(2) 取初值 0?1?10
记： ?n?yn?n, ?5 ， y5?10?2?10 ， … ， 1?10,
序列 ??n? ，满足递推关系，且?0??10?5 ， ?1?0
?n?1?100.01?n??n?1, 于是： ?2?10?5,
?3?100.01?10?5, ?4?(100.01)2?10?5?10?5,
?5?(100.01)?103?5?200.02?10?5,
n?2 可见随着 ?n 的主项 (100.01)?10?5 的增长，说明该递推关系式是不稳定的.
篇三：《数值分析》习题1
习题1
1． 以下各表示的近似数，问具有几位有效数字？并将它舍入成有效数。
（1）x1＝451.023， x1＝451.01；
*（2）x2＝－0.045 113， x2＝－0.045 18； *
*（3）x3＝23.421 3，x3＝23.460 4；
（4）x*
4＝1， x4＝0.333 3； 3
*（5）x5＝23.496， x5＝23.494；
*（6）x6＝96×105，x6＝96.1×105；
*（7）x7＝0.000 96， x7＝0.96×10?3；
*（8）x8＝－8 700， x8＝－8 700.3。
解：(1) x1?451.023 x1?451.01
*x1*1?x1?0.013??10?1，x1具有4位有效数字。x1?451.0 2
*(2) x2??0.045 113 x2??0.045 18
11*?10?4?x2?x2?0.045 18?0.045113=0.000 067??10?3 22
x2具有2位有效数字，x2??0.045
*(3)x3?23.4213 x3?23.4604 *x31?x3?23.4213?23.4604?23.4604?23.4213?0.0391??10?1 2x3 具有3位有效数字，x3?23.4 (不能写为23.5)
(4) x4?*1 ，x4?0.3333 3
*x4?x4?0.000033???10?4 ,x4具有4位有效数字，x4?0.3333
*?23.496，x5?23.494 (5) x512
1*x5?x5?23.496?23.494?0.002??10?2 2
x5 具有4位有效数字， x5?23.50 (不能写为23.49)
*?96?105?0.96?107 x6?96.1?105?0.961?107 (6) x6
1*x6?x6?0.001?10?7??10?2?10?7 2
x6具有2位有效数字，x6?0.96?107?96?105
*?0.00096 x7?0.96?10?3 (7) x7
**x7?0.96?10?3 x7?x7?0 x7精确
*??8700 x8??870.03 (8) x8
*x81?x8?0.3??100x8具有4位有效数字，x8??8700精确 2
2.以下各数均为有效数字：
(1) 0.1062 + 0.947;
(3)2.747?6.83; (2)23.46―12.753; (4)1.473 / 0.064 。
问经过上述运算后，准确结果所在的最小区间分别是什么？
解：(1) x1=0.1062，x2=0.947，x1+x2=1.0532
11?4 e(x1)??10，e(x2)??10?3 22
e(x1?x2)?e(x1)?e(x2)?e(x1)?e(x2)?
=0.00055 11?10?4??10?3 22
**x1?x2?[1.0532?0.00055，1.0532+0.00055]=[1.05265，1.05375]
(2) x1=23.46， x2??12.753 x1?x2?10.707
11?2，??10??10?3 e(x1)e(x2)22
e(x1?x2)?e(x1)?e(x2)?e(x1)?e(x2)
11?2??10??10?3=0.0055 22
**x1?x2?[10.707?0.0055, 10.707+0.0055]=[10.7015,10.7125]
(3) x1?2.747 x2?6.83 x1x2?18.76201,
11?3e(x1)??10, e(x2)??10?2 22
e(x1x2)?x2e(x1)?x1e(x2)?x2e(x1)?x1e(x2)
111?6.83??10?3?2.747??10?2??10?2?(0.683+2.747)=0.01715 222
**x1x2?[18.76201?0.01715,18.76201?0.01715]?[18.74486,18.77916]
(4) x1?1.473 ,x2?0.064 ,x1x2?23.015625
x111xe(x2) e(x1)??10?3,e(x2)??10?3 e(1)?e(x1)?1
22x222x2
e(x12)?x1111.4731?3?3e(x1)?1e(x)? ??10???10222x20.06422x20.064
=0.187622
*x1*x2?[23.015625?0.187622, 23.015625+0.187622]
=[22.828003 , 23.203247]
3.对一元2次方程x2?40x?1?0，如果399?19.975具有5位有效数字，求其具有5位有效数字的根。
解：x2?40x?1?0
x2?40x?400?399
**x1?20? ,x2?20?399?1
20?
1记 x*? ,x?19.975e(x)??10?3 2
1?x20=20+19.975=39.975 x1?e(x1)?e(x2)??10?3 2
? x1具有5位有效数字。
111x2????0.0250156347? 20?x20?19.97539.975
e(x2)??e(x)
(20?x)2 ，
1?3?10e(x)1?6?6e(x2)?? ?0.313?10??10222(20?x)39.975
因而 x2具有5位有效数字。 x2?0.025016
也可根据 x1x2?1 得到 x2?11??0.0250156347? x139.975
1?6?10e(x)e(x)e(x2)??21 e(x2)?21? 2x139.975x1
4.若x1?0.937具有3位有效数字，问x1的相对误差限是多？设f(x)??x，求f(x1)的绝对误差限和相对误差限。
1 解：x1?0.937e(x1)??10?3 2
1?10?3e(x)er(x1)???0.534?10?3 x10.937
f(x)??x ,f?(x)??1 2?x
e(f)?f?(x)e(x)??11?e(x) , 2?x
e(f(x1))?11111?e(x1)????10?3?0.996?10?3 2?x12?0.9372
e(f)11e(x)， er(f)????21?xf
er(f(x1))?11111?e(x1)????10?3 21?x121?0.9372
=0.00397?3.97?10?3
5.取2.01?1.42，2.00?1.41试按A?2.01?2.00和A?0.(2.01?2.00)两种算法求A的值，并分别求出两种算法所得A的近似值的绝对误差限和相对误差限，问两种结果各至少具有几位有效数字？
**?2.01 ，x1?1.42 ，x2 解：1) 记 x1=2.00 ，x2?1.41
则 e(x1)?11?10?2 ，e(x2)??10?2 22
A* ?2.01?2.00?1.42?1.41?0.01
A1?1.42?1.41?0.01
e(A1)?e(x1?x2)?e(x1)?e(x2)
11e(A1)?e(x1)?e(x2)?e(x1)?e(x2)??10?2??10?2?10?2 22
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