篇一：抽象函数习题精选精讲.doc
含有函数记号“f(x)”有关问题解法
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。由于函数概念比较抽象，对函数记号f(x)的更是感到困惑，针对这一问题，归纳这类知识进行分析如下： 一、定义域问题
2
例1. 已知函数fx的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。
222
解：fx的定义域是［1，2］，是指1?x?2，所以fx中的x2满足1?x?4，从而函数f(x)
??
??
??
的定义域是［1，4］ 评析：一般地，已知函数f
???x??的定义域是A，求f(x)的定义域问题，相当于已知f???x??中x
??
?
的取值范围为A，据此求??x?的值域问题。
例2. 已知函数f(x)的定义域是??1,2?，求函数f?log1?3?x??的定义域。
2
?
解：f(x)的定义域是??1,2?，意思是凡被f作用的对象都在??1,2?中，由此可得
11?1??1?
?1?log1?3?x??2????3?x????1?x?
4?2??2?2
???11?
所以函数f?log1?3?x??的定义域是?1?
?4??2?
评析：这类问题的一般形式是：已知函数f(x)的定义域是A，求函数f???x??的定义域。正确理解
函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知??x?的值域B，且
2?1
B?A，据此求x的取值范围。例2和例1形式上正相反。
二、函数值与值域问题
?
例1. 已知定义域为R的函数f(x)，同时满足下列条件：①f?2?=1，f?6?=
1；②5
f?x?y??f?x??f?y?，求f?3?，f?9?的值。
解：取x=2，y=3得f?6??f?2??f?3?。因为f?2?=1，f?6?=又取x?y?3，得f?9??f?3??f?3???
评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取x=2，y=3，这样便把已知条件f?2?=1，f?6?=与欲求的f?3?沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。
例2. 设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，f?x?y??f?x?f?y?总成立，且存在
14
，所以f?3??? 55
8
5
15
x1?x2，使得f?x1??f?x2?，求函数f(x)的值域。
解：
x1?x2时，f?x1??f?x2?，?函数为单调函数。 令x?y?0，得f?0????f?0???，即有f?0??0 或 f?0??1。若f?0??0，则f?x??f?x?0??fxf?0??0，?f?x?=0，? 对??
2
任意x?R，f?x?=0均成立，这与存在实数x1?x2，使得f?x1??f?x2?成立矛盾，故f?0??0，必有f?0??1。由于f?x?y??f?x?f?y?对任意x、y?R均成立，因此，对任意x?R，有
?xx??x?
f?x??f????f??f
?22??2?
下面来证明，对任意x?R，f(x)?0
?x??????f?2???x??
????0 ?2??
2
设存在x0?R，使得f(x0)=0，取x?x0,y??x0，则f(0)=f?x?x0??f?x0?f??x0??0 这与上面已证的f?0??1矛盾，因此，对任意x?R，f(x)?0， 所以f?x??0
评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。
例3、（递推法求函数值） 已知f?x?是定义在R上的函数，f?1?=1,且对任意x∈R都有
f?x?5??f?x??5，f?x?1??f?x??1。若g?x??f?x??1?x，则g?2002?=_________.
解： 由g?x??f?x??1?x， 得f?x??g?x??1?x，
所以g?x?5???x?5??1?g?x???x?1??5，g?x?1???x?1??1?g?x???x?1??1 即 g?x?5??g??x，所以g?x??g?x?5??g?x?4??g?x?3??g?x?2??g?x?1?
故g?x?=g?x?1? ， 又g?1??1， 故 g?200?2? 1
三、求表达式：（5种方法）
1.换元法：即用中间变量u表示原自变量x的代数式，从而求出f(x)，这也是证某些公式或等式常用的方法。
x
)?2x?1,求f(x). x?1xuuu?1x?1?u,则x??1?解：设∴f(u)?2 ∴f(x)? x?11?u1?u1?u1?x
例1：已知 f(
2.凑合法或称为配凑法：已知f(g(x))?h(x)，利用公式对代数式变形，把h(x)并凑成以g(u)表示的代数式，再利用代换，即可求出f(x)。 例2：已知f(x?)?x?
1
x
3
1
，求f(x) x3
2
解：∵f(x?)?(x?)(x?1?
1x
2
1x111211)?(x?)((x?)?3)|x?|?|x|??2 又∵2xxxx|x|
∴f(x)?x(x?3)?x?3x，(|x|≥2)
注意：函数定义域的求解
3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
2
例3． 已知f(x)是二次实函数，且f(x?1)?f(x?1)?x+2x+4,求f(x).
3
解:设f(x)=ax?bx?c?a?0?，则
2
f(x?1)?f(x?1)?a(x?1)2?b(x?1)?c?a(x?1)2?b(x?1)?c
?2(a?c)?4
13?
?a?,b?1,c? =2ax2?2bx?2(a?c)?x2?2x?4，比较系数得 ?2a?1
22?2b?2
?
∴ f(x)?
123x?x? 22
4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y=f(x)为奇函数,当 x>0时,f(x)?x2?2x,求f(x)
解:∵f(x)为奇函数，∴f(x)的定义域关于原点对称，故先求x<0时的表达式。
2
设x?0， -x>0, ∴ f(?x)???x??2??x??x?2x, ∵ f(x)为奇函数，
2
∴f??x???f?x? ∴当x<0时 f(x)??f?x?=－（x?2x）=?x?2x
2
2
?x2?2x,x?0?
∴f(x)??2
???x?2x,x?0
练习：已知y=f(x)为奇函数,当 x>0时,f(x)?lg(x?1),求f(x)
解:∵f(x)为奇函数，∴f(x)的定义域关于原点对称，故先求x<0时的表达式。 ∵-x>0, ∴f(?x)?lg(?x?1)?lg(1?x),∵f(x)为奇函数，∴lg(1?x)?f(?x)??f(x)， ∴当x<0时
?lg(1?x),x?0
f(x)??lg(1?x)， ∴f(x)??
?lg(1?x),x?0?
例5．已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且有f(x)+g(x)?
1
， 求f(x),g(x). x?1
解：∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，∴f(?x)?f(x),g(?x)??g(x),
1
………①中的x, x?111
∴f(?x)?g(?x)?即f(x)－g(x)??……②
?x?1x?1
1x
显见①+②即可消去g(x),求出函数f(x)?2再代入①求出g(x)?2
x?1x?1
不妨用-x代换f(x)+g(x)=
5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出f(x)的表达式
例6：设f(x)的定义域为自然数集，且满足条件f(x?y)?f(x)?f(y)?xy,及f(1)=1,求f(x)
解：∵f(x)的定义域为N，取y=1,则有f(x?1)?f(x)?x?1，∵f(1)=1,∴f(2)=f(1)+2,f(3)?f(2)?3……f(n)?f(n?1)?n，
以上各式相加，有f(n)=1+2+3+……+n=
n(n?1)1
， ∴f(x)?x(x?1),x?N 22
6、方程组法：通过变量代换，构造方程组，再通过加减消元法消去无关的部分。 例 7.已知f(x)+2f()?x?1，求f(x)的表达式 解：用
1
x
1111
代替x得到f()+2f(x)??1 （1），又f(x)+2f()?x?1 （2） xxxx
22x1
?? 2（1）-（2）得到：3f(x)??x?1，于是 f(x)?
x3x33
四、利用函数性质，解f(x)的有关问题 1.判断函数的奇偶性：
例1 已知f(x?y)?f(x?y)?2f(x)f(y),对一切实数x、y都成立，且f(0)?0,求证f(x)为偶函数。
证明：令x=0, 则已知等式变为f(y)?f(?y)?2f(0)f(y)……①
在①中令y=0，则2f(0)=2?f(0)? ，∵ f(0)≠0 ， ∴f(0)=1 ∴f(y)?f(?y)?2f(y)∴f(?y)?f(y) ∴f(x)为偶函数。 2、单调性问题
例2. 设f?x?定义于实数集R上，当x?0时，f?x??1，且对于任意实数x、y，有
2
f(x?y)?f(x)?f(y)，求证：f?x?在R上为增函数。
证明：在f(x?y)?f(x)?f(y)中取x?y?0， 得f(0)=?f(0)? ，则f?0??1或f?0??0， 若f?0??0，令x?0， y?0，得f?x?0??f?x?f?0??0， 则f?x??0，与x?0时f?x??1的已知条件矛盾，所以f?0??0，即有f(0)=1，当x?0时，f?x??1>0； 当x?0时，?x?0，
2
f??x??1?0，而f?x??f??x?=f?0?=1 ， 所以1?f?x?=
1
?0，又当x?0时，
f?xf?0??1?0 ，所以对任意x?R，恒有f?x??0。设???x1?x2???，则
x2?x1?0,f?x2?x1??1，所以f?x2??f??x1??x2?x1???=f?x1?f?x2?x1??f?x1?，所以y?f?x?在R上为增函数。
，y?0，代入f(x?y)?f(x)?f(y)，得f?1?0?=f?1?f?0?，另解f?0??1，论证如下：x?1
由已知当x?0时，f?x??1，则f?0??1
评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分
解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。
x?y)?fx()f?y()变式训练1. 设f?x?定义于实数集R上，对于任意实数x、y，有f(
时，都有f?x??0，求证：f?x?在R上为减函数。
，当x?0
证明：设???x1?x2???，则f?x2??f??x1??x2?x1???=f?x1??f?x2?x1?，即
f?x2??f?x1??f?x2?x1?，x2?x1?0，?f?x2?x1??0，所以y?f?x?在R上为减函数。
变式训练2：设f?x?定义于?0,???上，对于任意实数x、y??0,???，有f(xy)?f(x)?f(y)，当x?1时，都有f?x??0，求证：f?x?在?0,???上为减函数。
?x??x??x?x2
?1，f?x2??f?x12??f?x1??f?2?，f?x2??f?x1??f?2?，
x1
?x1??x1??x1?
?x?
已知当x?1时，都有f?x??0，f?x2??f?x1??f?2??0，f?x2??f?x1?，则f?x?在?0,???
?x1?
证：设0?x1?x2，?
上为减函数。 3、对称性问题
（1）设a,b均为常数，函数y?f(x)对一切实数x都满足f(a?x)?f(a?x)?2b?函数y?f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称图形。
（2）设a,b均为常数，函数y?f(x)对一切实数x都满足f(a?x)?f(b?x)?0?函数y?f(x)
a?b
,0)成中心对称图形。 2
（3）设a,b均为常数，函数y?f(x)对一切实数x都满足f(a?x)?f(b?x)?函数y?f(x)的
a?b
图象关于轴x?对称。
2
例3. 已知函数y?f?x?满足f?x??f??x?=2002，求f?1?x??f?1?2002?x?的值。
的图象关于点(
解：已知式即在对称关系式f?a?x??f?a?x?=2b中，取a?0，2b?2002，所以函数y?f?x?的图象关于点（0，1001）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数y?f?1?x?的图象关于点
?x?1001??f?1?1001?x?=0
?1?1
将上式中的x用x?1001代换，得f?x??f?2002?x??0
（1001，0）对称。 所以f
?1
评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a、b均为常数，函数y?f?x?对一切实数x都满足f?a?x??f?a?x?=2b，则函数y?f?x?的图象关于点（a，b）成中心对称图形。下对该性质进行证明：任取x?R，令x1?a?x,x2?a?x，则x1?x2?a?a，若f(x1)?f(x2)?2b，而点(x1,f(x1))与点(x2,f(x2))的中点为（
x1?x2f?x1??f?x2?,），即22
(a,b)。由x的任意性，知函数y?f(x)的图象关于点(a,b)对称.
另证明：设P（x0,y0）为y?f?x?图上任一点，则P关于(a,b)对称点是（2a-x0,2b-y0），则
f（2a-x0）=f（a+(a-x0)）=2b-f轾a+(a-x0)=2b-f（x0）=2b-y0，所以点 臌
（2a-x0,2b-y0）也在函数y?f(x)的图象上，所以函数y?f(x)的图象关于点(a,b)对称。
4.确定参数的取值范围
2
例4：奇函数f(x)在定义域（-1，1）内递减，求满足f(1?m)?f(1?m)?0的实数m的取值范围。 22
解：由f(1?m)?f(1?m)?0得f(1?m)??f(1?m)， ∵f(x)为奇函数，
篇二：抽象函数习题精选精讲
含有函数记号“
由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号
f(x)”有关问题解法
f(x)的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地
掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：
一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量的灵活性及变形能力。
表示原自变量x的代数式，从而求出
f(x)，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生
x
)?2x?1,求f(x). x?1xuu2?u?u,则x??1?解：设∴f(u)?2x?11?u1?u1?u
例1：已知
f(
∴
f(x)?
2?x
1?x
2.凑合法：在已知
f(g(x))?h(x)的条件下，把h(x)并凑成以g(u)表示的代数式，再利用代换即可求f(x).此解法简洁，
还能进一步复习代换法。
例2：已知
11f(x?)?x3?3
xx
，求
f(x)
解：∵
1111111
f(x?)?(x?)(x2?1?2)?(x?)((x?)2?3)又∵|x?|?|x|??1
xxxxxx|x|
∴
f(x)?x(x2?3)?x3?3x，(|x|≥1)
3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知解:设
f(x)二次实函数，且f(x?1)?f(x?1)?x2+2x+4,求f(x).
f(x)=ax2?bx?c，则f(x?1)?f(x?1)?a(x?1)2?b(x?1)?c?a(x?1)2?b(x?1)?c
?2(a?c)?4
1313?22
?a?,b?1,c?∴f(x)?x2?x? =2ax?2bx?2(a?c)?x?2x?4比较系数得?2a?1
2222?2b?2
?
4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知解:∵
y=f(x)为奇函数,当 x>0时,f(x)?lg(x?1),求f(x)
f(x)为奇函数，∴f(x)的定义域关于原点对称，故先求x<0时的表达式。∵-x>0,∴f(?x)?lg(?x?1)?lg(1?x),
∵
f(x)为奇函数，∴lg(1?x)?f(?x)??f(x)∴当x<0时f(x)??lg(1?x)∴
f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且有f(x)+g(x)?
?lg(1?x),x?0
f(x)??
?lg(1?x),x?0?
例5．一已知解：∵
1
， 求f(x),g(x). x?1
f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，∴f(?x)?f(x),g(?x)??g(x),
f(x)+g(x)=
1
???①中的x, x?1
不妨用-x代换
11
即f(x)－g(x)????②
?x?1x?1
1x
显见①+②即可消去g(x),求出函数f(x)?2再代入①求出g(x)?2
x?1x?1
∴
f(?x)?g(?x)?
5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出例6：设解：∵
f(x)的表达式
f(x)的定义域为自然数集，且满足条件f(x?1)?f(x)?f(y)?xy,及f(1)=1,求f(x)
f(x)的定义域为N，取y=1,则有f(x?1)?f(x)?x?1
∵f(1)=1,∴f(2)=f(1)+2,f(3)?f(2)?3??f(n)?f(n?1)?n
n(n?1)1
以上各式相加，有f(n)=1+2+3+??+n=∴f(x)?x(x?1),x?N
22
二、利用函数性质，解
f(x)的有关问题
1.判断函数的奇偶性： 例7 已知
f(x?y)?f(x?y)?2f(x)f(y),对一切实数x、y都成立，且f(0)?0,求证f(x)为偶函数。
f(y)?f(?y)?2f(0)f(y)??①
证明：令x=0, 则已知等式变为在①中令
y=0则2f(0)=2f(0)∵ f(0)≠0∴f(0)=1∴f(y)?f(?y)?2f(y)∴f(?y)?f(y)∴f(x)为偶函数。
2.确定参数的取值范围 例8：奇函数解：由
f(x)在定义域（-1，1）内递减，求满足f(1?m)?f(1?m2)?0的实数m的取值范围。
f(1?m)?f(1?m2)?0得f(1?m)??f(1?m2)，∵f(x)为函数，∴f(1?m)?f(m2?1)
??1?1?m?1?
又∵f(x)在（-1，1）内递减，∴??1?m2?1?1?0?m?1
?1?m?m2?1?
3.解不定式的有关题目 例9：如果
f(x)=ax2?bx?c对任意的t有f(2?t)?f2?t),比较f(1)、f(2)、f(4)的大小
f(2?t)?f2?t)∴x=2为抛物线y=ax2?bx?c的对称轴
解：对任意t有
又∵其开口向上∴∴
f
(2)最小，
f
(1)=
f
(3)∵在［2，＋∞)上，
f(x)为增函数
f
(3)<
f
(4),∴
f
(2)<
f
(1)<
f
(4)
五类抽象函数解法
1、线性函数型抽象函数
线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。
例1、已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。 分析：由题设可知，函数f（x）是
的抽象函数，因此求函数f（x）的值域，关键在于研究它的单调性。
解：设∵∴
在条件中，令y＝－x，则（x）为奇函数，
∴ f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2 f（－1）＝－4， ∴ f（x）的值域为［－4，2］。 例2、已知函数f（x）对任意
，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不，即，∵当
，
，∴f（x）为增函数。
，再令x＝y＝0，则f（0）＝2 f（0），∴ f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f
，∴
，
等式的解。
分析：由题设条件可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设
，∵当
，
即
，∴f（x）为单调增函数。
∵
， 又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3
。∴
，∴
，则
，∴
2、指数函数型抽象函数
， 即，解得不等式的解为－1 < a < 3。
例3、设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：
存在成立。求：
（1）f（0）； （2）对任意值x，判断f（x）值的正负。 分析：由题设可猜测f（x）是指数函数解：（1）令y＝0代入
。若f（x）＝0，则对任意
（2）令y＝x≠0，则
，使得，对任何x和y，
的抽象函数，从而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。 ，则
，∴
，这与题设矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1。
，有
，又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故对任意x，
f（x）＞0恒成立。
例4、是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x ∈N；②时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。 分析：由题设可猜想存在（1）x＝1时，∵
，又由f（2）＝4可得a＝2．故猜测存在函数
，用数学归纳法证明如下：
，结论正确。 ；③f（2）＝4。同
，又∵x ∈N时，f（x）＞0，∴
（2）假设结论正确。
综上所述，x为一切自然数时3、对数函数型抽象函数
对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。 例5、设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足
（1）f（1）；
（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。 分析：由题设可猜测f（x）是对数函数解：（1）∵（2
）即
的抽象函数，f（1）＝0，f（9）＝2。 ，∴f（1）＝0。
，从而有f（x）＋f（x－8）≤f（9），
，∵f（x）是（0，＋∞）上的增函数，故
，求：
。 时有
，则x＝k＋1时，
，∴x＝k＋1时，
，解之得：8＜x≤9。
例6、设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由。
分析: 由题设条件可猜测y＝f（x）是对数函数的抽象函数，又∵y＝f（x）的反函数是y＝g（x），∴y＝g（x）必为指数函数的抽象函数，于是猜想g（a＋b）＝g（a）·g（b）正确。
解：设f（a）＝m，f（b）＝n，由于g（x）是f（x）的反函数，∴g（m）＝a，g（n）＝b
，从而
，∴g（m）·g（n）＝g（m＋n），以a、b分别代替上式中的m、n即得g（a
＋b）＝g（a）·g（b）。 4、三角函数型抽象函数
三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。
例7、己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：
①当是定义域中的数时，有；
②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）； ③当0＜x＜2a时，f（x）＜0。
试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由。 （2）在（0，4a）上,f（x）的单调性如何？说明理由。 分析: 由题设知f（x）是
的抽象函数，从而由
及题设条件猜想：f（x）是奇函数且在（0，4a）上是增函数
（这里把a看成进行猜想）。
解：（1）∵f（x）的定义域关于原点对称，且
是定义域中的数时有
，∴在定义域中。∵
，
∴f（x）是奇函数。
（2）设0＜x1＜x2＜2a，则0＜x2－x1＜2a，∵在（0，2a）上f（x）＜0，
∴f（x1），f（x2），f（x2－x1
）均小于零，进而知（0，2a）上f（x）是增函数。
中的，于是f（x1）＜ f（x2），∴在
又
＜x－2a＜2a，
，∵f（a）＝－1，∴，∴f（2a）＝0，设2a＜x＜4a，则0
，于是f（x）＞0，即在（2a，4a）上f（x）＞0。设2a＜x1＜x2＜4a，则0＜x2
－x1＜2a，从而知f（x1），f（x2）均大于零。f（x2－x1）＜0，∵，∴，即
f（x1）＜f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函数。综上所述，f（x）在（0，4a）上是增函数。
5、幂函数型抽象函数
幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。
例8、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明； （3
）若
，求a的取值范围。
时，
。
分析：由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f（x）是偶函数，且在［0，＋∞）上是增函数。
解：（1）令y＝－1，则f（－x）＝f（x）·f（－1），∵f（－1）＝1，∴
f（－x）＝f（x），f（x）为偶函数。
（2）设，∴，，
∵时，，∴，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在0，＋∞）上是增函数。
，
（3）∵f（27）＝9，又
∴，∴，∵，∴，
篇三：抽象函数习题精选精讲
含有函数记号“f(x)”有关问题解法
由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号f(x)的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量
表示原自变量x的代数式，从而求出f(x)，这也是证某些公式或等式常用的方
法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
f(
例1：已知
x
)?2x?1x?1,求f(x).
xuu2?u2?x?ux?f(u)?2?1?f(x)?
1?u∴1?u1?u∴1?x 解：设x?1,则
2.凑合法：在已知f(g(x))?h(x)的条件下，把h(x)并凑成以g(u)表示的代数式，再利用代换即可求f(x).此解法简洁，还能进一步复习代换法。
11
f(x?)?x3?3
xx，求f(x) 例2：已知
111121112
|x?|?|x|??1f(x?)?(x?)(x?1?2)?(x?)((x?)?3)
x|x|xxxxx解：∵又∵
23
f(x)?x(x?3)?x?3x，(|x|≥1) ∴
3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
2
f(x)f(x?1)?f(x?1)?x例3． 已知二次实函数，且+2x+4,求f(x).
222f(x)f(x?1)?f(x?1)?a(x?1)?b(x?1)?c?a(x?1)?b(x?1)?c ax?bx?c解:设=，则
22
2ax?2bx?2(a?c)?x?2x?4比较系数得=
13f(x)?x2?x?
22
4?2a(?c?)
13?
2a?1?a?,b?1,c??
22?2b?2
?
∴
4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知
y=f(x)为奇函数,当 x>0时,f(x)?lg(x?1),求f(x)
解:∵f(x)为奇函数，∴f(x)的定义域关于原点对称，故先求x<0时的表达式。∵-x>0,∴
f(?x)?lg(?x?1)?lg(1?x),
∵
f(x)为奇函数，∴lg(1?x)?f(?x)??f(x)∴当x<0
时
f(x)??lg(1?x)∴
?lg(1?x),x?0f(x)??
??lg(1?x),x?0
例5．一已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且有f(x)+
g(x)?
1
x?1， 求f(x),g(x).
解：∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，∴f(?x)?f(x),g(?x)??g(x),
1
不妨用-x代换f(x)+g(x)=x?1 ???①中的x, f(?x)?g(?x)?
∴
11
g(x)??
?x?1即f(x)－x?1??②
f(x)?
1x
g(x)?
x2?1再代入①求出x2?1
显见①+②即可消去g(x),求出函数
5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出f(x)的表达式
例6：设f(x)的定义域为自然数集，且满足条件f(x?1)?f(x)?f(y)?xy,及f(1)=1,求f(x)
y解：∵f(x)的定义域为N，取=1,则有f(x?1)?f(x)?x?1
∵f(1)=1,∴f(2)=f(1)+2,f(3)?f(2)?3??f(n)?f(n?1)?n
n(n?1)1
f(x)?x(x?1),x?N
2∴2以上各式相加，有f(n)=1+2+3+??+n=
二、利用函数性质，解f(x)的有关问题 1.判断函数的奇偶性：
y例7 已知f(x?y)?f(x?y)?2f(x)f(y),对一切实数x、都成立，且f(0)?0,求证f(x)为偶函数。
证明：令x=0, 则已知等式变为f(y)?f(?y)?2f(0)f(y)??① 在①中令
y=0则2f(0)=2f(0)∵ f(0)≠0∴f(0)=1∴f(y)?f(?y)?2f(y)∴f(?y)?f(y)∴
f(x)为偶函数。
2.确定参数的取值范围
2
f(x)f(1?m)?f(1?m)?0的实数m的取值范围。 例8：奇函数在定义域（-1，1）内递减，求满足222
解：由f(1?m)?f(1?m)?0得f(1?m)??f(1?m)，∵f(x)为函数，∴f(1?m)?f(m?1)
??1?1?m?1?2
??1?m?1?1?0?m?1?1?m?m2?1
f(x)又∵在（-1，1）内递减，∴?
3.解不定式的有关题目
2
例9：如果f(x)=ax?bx?c对任意的t有f(2?t)?f2?t),比较f(1)、f(2)、f(4)的大小 2yf(2?t)?f2?t)ax?bx?c的对称轴 xt解：对任意有∴=2为抛物线=
又∵其开口向上∴f(2)最小，f(1)=f(3)∵在［2，＋∞)上，f(x)为增函数 ∴f(3)<f(4),∴f(2)<f(1)<f(4)
五类抽象函数解法
1、线性函数型抽象函数
线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。
例1、已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。 分析：由题设可知，函数f（x）是它的单调性。 解：设∵∴
在条件中，令y＝－x，则
，即，∵当
，
，∴f（x）为增函数。
，再令x＝y＝0，则f（0）＝2 f（0），∴ f（0）＝0，故
，∴
，
的抽象函数，因此求函数f（x）的值域，关键在于研究
f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数，
∴ f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2 f（－1）＝－4， ∴ f（x）的值域为［－4，2］。 例2、已知函数f（x）对任意＞2，f（3）＝5，求不等式
，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）
的解。
分析：由题设条件可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。
解：设
，
∴
，
即
，
∴
f
（
x
）
为
单
调
增
函
数
。
∵
，
，∵当
则
， 又∵f（3）＝5，∴f（1）
＝3。∴
2、指数函数型抽象函数
例3、设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x和y，
成立。求：
，使得
，对任何
，∴
， 即
，解得不等式的解为－1 < a < 3。
（1）f（0）； （2）对任意值x，判断f（x）值的正负。 分析：由题设可猜测f（x）是指数函数解：（1）令y＝0代入
的抽象函数，从而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。 ，则
，有
，∴
，这与题设矛盾，∴f（x）
。若f（x）＝0，则对任意
≠0，∴f（0）＝1。 （2）令y＝x≠0，则
（x）＞0，故对任意x，f（x）＞0恒成立。
，又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f
例4、是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x ∈N；②
③f（2）＝4。同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。 分析：由题设可猜想存在纳法证明如下： （1）x＝1时，∵结论正确。 （2）假设
∴x＝k＋1时，结论正确。 综上所述，x为一切自然数时
。 时有
，则x＝k＋1时，
，又∵x ∈N时，f（x）＞0，∴
，又由f（2）＝4可得a＝2．故猜测存在函数
；
，用数学归
，
，
3、对数函数型抽象函数
对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。 例5、设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足
（1）f（1）；
（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。 分析：由题设可猜测f（x）是对数函数解：（1）∵
的抽象函数，f（1）＝0，f（9）＝2。
，∴f（1）＝0。
，求：
（2）即
，从而有f（x）＋f（x－8）≤f（9），
，∵f（x）是（0，＋∞）上的增函数，故
，解之得：8＜x≤9。
例6、设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g
（b）是否正确，试说明理由。
分析: 由题设条件可猜测y＝f（x）是对数函数的抽象函数，又∵y＝f（x）的反函数是y＝g（x），∴y＝g（x）必为指数函数的抽象函数，于是猜想g（a＋b）＝g（a）·g（b）正确。
解：设f（a）＝m，f（b）＝n，由于g（x）是f（x）的反函数，∴g（m）＝a，g（n）＝b
，从而
，∴g（m）·g（n）＝g（m＋n），以a、b分别代替上式
中的m、n即得g（a＋b）＝g（a）·g（b）。
4、三角函数型抽象函数
三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。
例7、己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：
①当是定义域中的数时，有；
②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）； ③当0＜x＜2a时，f（x）＜0。 试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由。
（2）在（0，4a）上,f（x）的单调性如何？说明理由。 分析: 由题设知f（x）是
的抽象函数，从而由
及题设条件猜想：f（x）是奇函数且在
（0，4a）上是增函数（这里把a看成进行猜想）。
是定义域中的数时有
解：（1）∵f（x）的定义域关于原点对称，且
，∴在定义域中。∵
，
∴f（x）是奇函数。
（2）设0＜x1＜x2＜2a，则0＜x2－x1＜2a，∵在（0，2a）上f（x）＜0，
∴f（x1），f（x2），f（x2－x1）均小于零，进而知＜ f（x2），∴在（0，2a）上f（x）是增函数。
中的，于是f（x1）
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