篇一：常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案
习 题 1-1
1.验证下列函数是右侧相应微分方程的解或通解: （１）y?c2x1e?c2e?2x, y?
??4y?0.证
明
：
?
y?cx1e2?c?2x2e,
则
y?
=
2c2x1e2x?2c2e?,
y???4cx1e2?4cx2e?2,y?
??4y?0.∴ y?
sinx
x
, xy??y?cosx． 证明：∵
y?
sinx
, y??
xcosx?sinxx
则
x2
xy??y?
xcosx?sinxx?sinx
x
?cosx
（３）y?x(?exx
dx?c), xy??y?xex
．
证明：∵y?x(?exxdx?c), 则 y???exex
x?c?x
x, exex∴xy??y?x?x?c?x
xx(?ex
?x
?c)?xex ?
?(x?
2)（４） ??
4,???x?c1
,y??
?0,cy'
?
1?x??c2,
??
(x?2)
?4
,c2?x???,证明
： （1）当
???x?c1
时2
y=?
(x?)1
4
,y'=?
x?2
其他情况类似.
２．求下列初值问题的解：
（１）y????x, y(0)?a0, y?(0)?a1, y??(0)?a2．
解：∵y????x, ∴y???
12
x2
?c1, ∵y??(0)?a2，∴c1?a2，∴y??
16
x3
?a2x?c2, ∵y?(0)?a1, ∴c2?a1， （２），
∴y?
124x4?1
2
a2x2?a1x?c，∵y(0)?a0, 满足初值问题的解为：y?141
24x?2
a22x?a1x?a0． dy
dx
?f(x), y(0)?0, （这里f(x)是一个已知的连续函数） 解：∵
dy
dx
?f(x), 即 dy?f(x)dx, ∴x
x
?dy??f(t)dt?c,
x
∴y(x)?y(0)?
?f(t)dt?c, ∵y(0)?0, ∴
c?0 0
x
∴ 满足初值问题的解为：y(x)?
?
f(t)dt.
（３）
dR
dt
??aR, R(0)?1,解：① 若R?0, 则 ∵
dR
R
??adt， 两边积分得：lnR??at?c ∵R(0)?1 ∴c?1
∴满足初值问题的解为：R?e
?at
（４）
dy
dx
?1?y2， y(x0)?y0，解：∵
dydx?1?y2， ∴dy1?y
2?dx，两边积分得：arctgy?x?c.
∵y(x0)?y0， ∴c?arctgy0?x0.
∴满足初值问题的解为：y?tg(x?arctgy0?x0).
（１） 函数y??(x,c1,c2,
,cn)是微分方程F(x,y,y?,
,y(n))?0
的通解，其中
c1,c2,cn是独立的任意常数，
（２） 存在一组常数(1,2,
,cn)?Rn和空间中的点
0(0,0,0
,,y
(n?1)0
)
（３） 满足
３．假设
??0??(0,1,,cn)???0?(0,
1,,cn)??
?x
?
?(n?1)?(n?1)?
0???
?xn?1
(0,1,,cn)
试证明：存在点0的某一邻域 U，使得对任意一点
M0(x?,(n?1)0,y0,y0,y0),
可确定一组数ci?ci(M0),
i?1,2,
,n，使得
y??(x,c1(M0),c2(M0),
,cn(M0))
是初值问题
???y(x,y?(x,y
(n?1)
(x1)0)?y00)?y0,0)?y(n?0??F(x,y,y?,,y
(n?1)
)?0 的解． 证明：因为y??(x,c1,c2,,cn)是微分方程F(x,y,y?,
,y(n))?0的
通解，
所以初值问题
???y(x(n?1)
0)?y0,y?(x0)?y0,,y
(x(n?1)0)?y0 ??F(x,y,y?,,y
(n?1)
)?0的解应具有形式y??(x,c??1,c2,
,c?，其中(c??n)1,c2,,c?n)应
满足：
??
y0??(x0,c?1,,c?n)
?y????(x,c?1
,,c??0?
?x0n
)
，（*） ?
?(n?1)?(n?1)??
y0???xn?1
(
x0,c?1,,c?
n)如何确定(c?1,c?2,
,c?n)呢？
由条件（２）及隐函数定理知，存在点 0的某一邻域U，使得
对任意一点M?1)0(x0,y0,y?0
,,y
(n0
)可确定一组数
c??i?ci(M0),i?1,2,
,n，使得
（*）成立．得证．
4. 求出：
（１） 曲线族y?cx?x2
所满足的微分方程；
解：y?cx?x2， y??c?2x， xy??cx?2x2
，
则有：xy??x2
?y.
（２） 曲线族y?c1ex?cx2xe所满足的微分方程；
xx解：由y?c??y??c1e?cx
2e?c1
xe1ex?c2xex????y???cxxx
, 1e?2c2e?c1xe
联立消去c1,c2得：y???2y??y?0.
(3)平面上以原点为中心的一切圆所满足的微分方程；
解：平面上以原点为中心的圆的方程为x2?y2?r2(r?0)将视y为x的函数，对x求导得：2x?2yy??0
平面上以原点为中心的一切圆所满足的微分方程为x?yy??0．
(4)平面上一切圆所满足的微分方程．
解：平面上圆的方程为：(x?a)2?(y?b)2?r2(r?0),将y视为x的函数，对x求导得：
??2(x?a)?2(y?b)y??0
?
2?2?2(y?b)y???2?y'?
?0联立消去a,b得，???2(y?b)y????4y???0
[1?(y?)2]y????3y?(y??)2?0．
习 题 1-2
１．
作出如下方程的线素场：
（１）y??
xyxy
（２）y??(y?1)2
（３）y?
?x2?y2
2. 利用线素场研究下列微分方程的积分曲线族：
（１）y??1?xy
篇二：常微分方程教程+第二版+丁同仁+李承志+答案和练习第2章习题 第二章答案
习 题 ２-１
判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解： １．(3x2?1)dx?(2x?1)dy?0
解：P(x,y)?3x2?1， Q(x,y)?2x?1，
则?P?y?0，?Q?x?2， 所以 ?P?Q
?y??x
即 原方程不是恰当方程．
２．(x?2y)dx?(2x?y)dy?0
解：P(x,y)?x?2y,Q(x,y)?2x?y,
则?P?y?2,?Q?x?2, 所以?P?Q
?y??x
，即 原方程为恰当方程 则xdx?(2ydx?2xdy)?ydy?0,
两边积分得：x222xy?y2
?2
?C. 3．(ax?by)dx?(bx?cy)dy?0 （a,b和c为常数）． 解：P(x,y)?ax?by,Q(x,y)?bx?cy,
则
?P?y?b,?Q?x?b, 所以?P?Q
?y??x
，即 原方程为恰当方程 则axdx?bydx?bxdy?cydy?0,
ax2cy2
两边积分得：2?bxy?2
?C. 4．(ax?by)dx?(bx?cy)dy?0
(b?0)
解：P(x,y)?ax?by,Q(x,y)?bx?cy,
则
?P?Q?y??b,?x?b, 因为 b?0, 所以?P?Q?y??x
，即 原方程不为恰当方程
５．(t2?1)cosudu?2tsinudt?0
解：P(t,u)?(t2
?1)cosu,Q(t,u)?2tsinu
则
?P?t?2tcosu,?Q?x?2tcosu, 所以?P?y??Q
?x
，即 原方程为恰当方程
则(t2
cosudu?2tsinudt)?cosudu?0,
两边积分得：(t2?1)sinu?C. ６．(yex?2ex?y2)dx?(ex?2xy)dy?0
解： P(x,y?yex?2ex?y2,Q(x,y)?ex?2xy，
则
?P?y?ex?2y,?Q?x?ex?2y, 所以?P?y??Q
?x
，即 原方程为恰当方程
则2exdx?[(yex?y2)dx?(ex?2xy)dy]?0, 两边积分得：(2?y)ex?xy2?C.
７．(
y
x
?x2)dx?(lnx?2y)dy?0 解：P(x,y)?yx
?x2
Q(x,y)?lnx?2y,
则
?P1?Q?y?x,?x?1x, 所以?P?Q
?y??x
，即 原方程为恰当方程
则(yx
dx?lnxdy)?x2
dx?2ydy?0
两边积分得：x3
3
?ylnx?y2?C. ８．(ax2?by2)dx?cxydy?0(a,b和c为常数)
解：P(x,y)?ax2?by2,
Q(x,y)?cxy,
则
?P?Q?y?2by,?x?cy, 所以 当?P?Q
?y??x
，即方程为恰当方程
则ax2dx?(by2dx?cxydy)?0
两边积分得：ax3
?bxy23
?C. 而当2b?c时原方程不是恰当方程．
９．2s?1s?t?s2
dst
2dt?0 解：P(t,s)?2s?1t)?s?s2
,Q(t,st
2, 则?P?t?1?2s?Q1?2s?P?Qt2,?s?t2, 所以?y??x
， 方程,
s?s2
两边积分得：t
?C． 2b?c时， 原 即原方程为恰当
10．xf(x2?y2)dx?yf(x2?y2)dy?0, 其中f(?)是连续的可微函数．
解：P(x,y)?xf(x2?y2),Q(x,y)?yf(x2?y2),
则?P?Q?y?2xyf?,?x?2xyf?, 所以?P?y??Q
?x
， 即原方程为恰当方程,
两边积分得：
?f(x
2
?y2
)dx?C,
即原方程的解为F(x2?y2)?C (其中F为f的原积分)．
习 题 ２-2
.1. 求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义的区域:：
dyx2
（１）dx?
y
解：原方程即为：ydy?x2dx 两边积分得：3y2
?2x3
?C,
y?0．
dyx2
（２）dx?y(1?x3
)
解：原方程即为：ydy?x2
1?x
3
dx
两边积分得：3y2?2ln?x3
?C,
y?0,x??1．
（３）
dy
dx
?y2sinx?0解： 当y?0时
原方程为：
dy
y2
?sinxdx?0 两边积分得：1?(c?cosx)y?0．
又y=0也是方程的解，包含在通解中，则方程的通解为
1?(c?cosx)y?0．
（４）dy
dx
?1?x?y2?xy2；解：原方程即为：dy
1?y
2
?(1?x)dx 两边积分得：arctgy?x?x2
2?c， 即 y?tg(x?x2
2
?c)． （５）
dy
dx
?(cosxcos2y)2 解：①当cos2y?0时
原方程即为：
dy(cos2y)
2
?(cosx)2
dx 两边积分得：2tg2y?2x?2sin2x?c． ②cos2y=0，即y?
k?2??
4
也是方程的解. （６）x
dy
dx
??y2解：①当y??1时原方程即为：
dydx?y2
?
x
两边积分得：arcsiny?lnx?c． ② y??1也是方程的解.
dyx?e?x
（７）．dx?
y?ey
解．原方程即为：(y?ey
)dy?(x?e?x
)dx
k?N）（
22
两边积分得：
y2?ey?x2
?e?x?c， 原方程的解为：y2?x2?2(ey?e?x)?c.
2. 解下列微分方程的初值问题．
（１）sin2xdx?cos3ydy?0, y(?)?
?
23
；
解：两边积分得：?cos2x2?sin3y
3
?c， 即 2sin3y?3cos2x?c
因为 y(?2
)?
?
3
, 所以 c?3.
所以原方程满足初值问题的解为：2sin3y?3cos2x?3．（２）．xdx?ye?x
dy?0， y(0)?1；
解：原方程即为：xex
dx?ydy?0，
两边积分得：(x?1)ex
dx?y2
2
dy?c， 因为y(0)?1， 所以c??
1
2
， 所以原方程满足初值问题的解为：2(x?1)exdx?y2dy?1?0．
（３）．
dr
d?
?r， r(0)?2；解：原方程即为：dr
r
?d?，两边积分得：l???c， 因为r(0)?2， 所以c?ln2，
所以原方程满足初值问题的解为：l???ln2 即
r?2e?．
（４）．
dy
dx?lnx1?y
2,y(1)?0;解：原方程即为：(1?y2
)dy?lnxdx,
两边积分得：y?y3
3
?x?xlnx?c, 因为y(1)?0， 所以c?1，
所以原方程满足初值为：y?y3
3
?x?xlnx?1
篇三：第2章习题 2第二章答案 常微分方程教程+第二版+丁同仁+李承志+答案和练习
（１）y?1)3. v?1?2， 2v?1
ln
1?u?1?u ?x?c，
?8y??c． ?3 ,
（２）, x2
z?ce. ?x2?1
(v?u)?
2.
（１）y??cos(x?y)2
x?v,y2?u，
①当cosu?11 两边积分得：ctg2 解：令u?x?y ②当cosu?1（２）(3uv?v)du?(u 解：方程两边同时乘以2
2
?u??1 得?， 令v??2?m?z，则m?zn，令n n，
?2x2?y2?3)3.
(3u2v?uv2)du?即 (3uvdu?u2322
, u?y,v?xdy（３）(x?y?3)?dx2
2
?m?
n?
343.udx
，
?
udx
＋
p(x)ue?
udx
?q(x)e
?
udx
．
即有：u2?u??p(x)u5.
c?2x)．
45?．
解：设此曲线为y?y(x)dyy?
dxx?tg45??1dyy1?
dxx
6. 探照灯的反光镜（旋转面）反射成平行线束？
维坐标系．
设所求曲面由曲线?
?0；
?3e3xy2)dy?0，
?ey?c． 3x
3
?y??z?结为
求 xy 平面上的曲线1
?(2xe2y?)dy?0 y
即
(edx?2y1?)dy?0， y2
6（３）．(3x?)dxy?2dy)?0，
y (3x2y即 (3x2x
?c. （４）．ydx?(x2? 2
)?dy?0， ylny?c（5）．2xydx?(x3
2
?0 ，
《常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案》出自：百味书屋
链接地址：http://www.850500.com/news/17659.html
转载请保留,谢谢!