篇一：高中数学公式-定理-复习指南
篇二：高中数学公式-定理-复习指南
高中数学常用公式
1. 元素与集合的关系
x?A?x?CUA,x?CUA?x?A. 2.德摩根公式
CU(A?B)?CUA?CUB;CU(A?B)?CUA?CUB.
3.包含关系
A?B?A?A?B?B?A?B?CUB?CUA
?A?CUB???CUA?B?R
4.容斥原理
card(A?B)?cardA?cardB?card(A?B)
card(A?B?C)?cardA?cardB?cardC?card(A?B)
?card(A?B)?card(B?C)?card(C?A)?card(A?B?C).
5．集合{a1,a2,?,an}的子集个数共有2 个；真子集有2–1个；非空子集有2 –1个；非空的真子集有2–2个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式f(x)?ax?bx?c(a?0); (2)顶点式f(x)?a(x?h)?k(a?0); (3)零点式f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0). 7.解连不等式N?f(x)?M常有以下转化形式
2
2
n
n
n
n
N?f(x)?M
?
[f(x)?M][f(x)?N]?0
?
M?NM?N
|??|f(x)?22
?
f(x)?N
?0
M?f(x)
11
?
f(x)?NM?N
.
8.方程f(x)?0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)?0不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程ax2?bx?c?0(a?0)有且只有一个实根在(k1,k2)内,等价于f(k1)f(k2)?0,或
f(k1)?0且k1??
k?k2k?k2bb?1???k2. ,或f(k2)?0且12a222a
b
处及区间的两端点处取得，具2a
9.闭区间上的二次函数的最值
2
二次函数f(x)?ax?bx?c(a?0)在闭区间?p,q?上的最值只能在x??
体如下：
(1)当a>0时，若x??
bb
??p,q?，则f(x)min?f(?),f(x)max?max?f(p),f(q)?； 2a2a
b
??p,q?，f(x)max?max?f(p),f(q)?，f(x)min?min?f(p),f(q)?. 2a
bb
??p,q?，则f(x)min?min?f(p),f(q)?，若x????p,q?，则(2)当a<0时，若x??2a2ax??
f(x)max?max?f(p),f(q)?，f(x)min?min?f(p),f(q)?.
10.一元二次方程的实根分布
依据：若f(m)f(n)?0，则方程f(x)?0在区间(m,n)内至少有一个实根 .设f(x)?x2?px?q，则
?p2?4q?0?
（1）方程f(x)?0在区间(m,??)内有根的充要条件为f(m)?0或?p；（2）方程f(x)?0在
???m?2
?f(m)?0?f(n)?0??f(m)?0?f(n)?0?
区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)?0或?p2?4q?0或?或?；
?af(n)?0?af(m)?0?
?m??p?n??2
?p2?4q?0?
（3）方程f(x)?0在区间(??,n)内有根的充要条件为f(m)?0或?p .
???m?2
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间(??,??)的子区间L（形如??,??，???,??，??,???不同）上含参数的二次不等式
f(x,t)?0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)min?0(x?L).
(2)在给定区间(??,??)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)?0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)man?0(x?L).
?a?0
?a?0?42
(3)f(x)?ax?bx?c?0恒成立的充要条件是?b?0或?2.
?c?0?b?4ac?0?
12.
13.
14.四种命题的相互关系
15.充要条件
（1）充分条件：若p?q，则p是q充分条件.
（2）必要条件：若q?p，则p是q必要条件.
（3）充要条件：若p?q，且q?p，则p是q充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性
(1)设x1?x2??a,b?,x1?x2那么
f(x1)?f(x2)
?0?f(x)在?a,b?上是增函数；
x1?x2
f(x1)?f(x2)
?0?f(x)在?a,b?上是减函数. (x1?x2)?f(x)?f(x)?0?12
x1?x2
(2)设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0，则f(x)为增函数；如果f?(x)?0，则f(x)为
(x1?x2)?f(x?f(x0?)??1)2
减函数.
17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)?g(x)也是减函数; 如果函数
y?f(u)和u?g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y?f[g(x)]是增函数.
18．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
19.若函数y?f(x)是偶函数，则f(x?a)?f(?x?a)；若函数y?f(x?a)是偶函数，则
f(x?a)?f(?x?a).
20.对于函数y?f(x)(x?R),f(x?a)?f(b?x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数x?个函数y?f(x?a)与y?f(b?x) 的图象关于直线x?
a?b
;两2
a?b
对称. 2
a
21.若f(x)??f(?x?a),则函数y?f(x)的图象关于点(,0)对称; 若f(x)??f(x?a),则函数
2
y2a的周期函数.
22．多项式函数P(x)?anxn?an?1xn?1???a0的奇偶性
多项式函数P(x)是奇函数?P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数?P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
23.函数y?f(x)的图象的对称性
(1)函数y?f(x)的图象关于直线x?a对称?f(a?x)?f(a?x)
?f(2a?x)?f(x).
(2)函数y?f(x)的图象关于直线x?
a?b
对称?f(a?mx)?f(b?mx) 2
?f(a?b?mx)?f(mx).
24.两个函数图象的对称性
(1)函数y?f(x)与函数y?f(?x)的图象关于直线x?0(即y轴)对称. (2)函数y?f(mx?a)与函数y?f(b?mx)的图象关于直线x?
a?b
对称. 2m
(3)函数y?f(x)和y?f?1(x)的图象关于直线y=x对称.
25.若将函数y?f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y?f(x?a)?b的图象；若将曲线
f(x,y)?0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(x?a,y?b)?0的图象.
26．互为反函数的两个函数的关系
f(a)?b?f?1(b)?a.
27.若函数y?f(kx?b)存在反函数,则其反函数为y?
1?1
[f(x)?b],并不是y?[f?1(kx?b),而函数k
y?[f?1(kx?b)是y?
1
[f(x)?b]的反函数. k
28.几个常见的函数方程
(1)正比例函数f(x)?cx,f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c.
x
(2)指数函数f(x)?a,f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0.
(3)对数函数f(x)?logax,f(xy)?f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1).
(4)幂函数f(x)?x,f(xy)?f(x)f(y),f(1)??.
(5)余弦函数f(x)?cosx,正弦函数g(x)?sinx，f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g(y)，
?
'
f(0)?1,lim
x?0
g(x)
?1. x
29.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=a； （2）f(x)?f(x?a)?0，
1
(f(x)?0)， f(x)1
或f(x?a)??(f(x)?0),
f(x)
1或??f(x?a),(f(x)??0,1?),则f(x)的周期T=2a； 2
1
(f(x)?0)，则f(x)的周期T=3a； (3)f(x)?1?
f(x?a)
f(x1)?f(x2)
(4)f(x1?x2)?且f(a)?1(f(x1)?f(x2)?1,0?|x1?x2|?2a)，则f(x)的周期T=4a；
1?f(x1)f(x2)
(5)f(x)?f(x?a)?f(x?2a)f(x?3a)?f(x?4a)
?f(x)f(x?a)f(x?2a)f(x?3a)f(x?4a),则f(x)的周期T=5a； (6)f(x?a)?f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=6a.
或f(x?a)?30.分数指数幂
(1)a(2)a
mn
?
?
?
mn
1
mn
a?0,m,n?N?，且n?1）. （a?0,m,n?N?，且n?1）.
a
31．根式的性质 （1
）n?a.
（2）当n
?a； 当n
?|a|??32．有理指数幂的运算性质 (1) ar?as?ar?s(a?0,r,s?Q). (2) (ar)s?ars(a?0,r,s?Q).
(3)(ab)r?arbr(a?0,b?0,r?Q).
p
注： 若a＞0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.
33.指数式与对数式的互化式
?a,a?0
.
??a,a?0
logaN?b?ab?N(a?0,a?1,N?0).
34.对数的换底公式
logmN
(a?0,且a?1,m?0,且m?1, N?0).
logma
nn
推论 logamb?logab(a?0,且a?1,m,n?0,且m?1,n?1, N?0).
mlogaN?
35．对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1)loga(MN)?logaM?logaN;
M
?logaM?logaN; N
(3)logaMn?nlogaM(n?R).
(2) loga
2
36.设函数f(x)?logm(ax2?bx?c)(a?0),记??b?4ac.若f(x)的定义域为R,则a?0，且??0;
若f(x)的值域为R,则a?0，且??0.对于a?0的情形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广
1
,则函数y?logax(bx) a11
(1)当a?b时,在(0,)和(,??)上y?logax(bx)为增函数.
aa11和上y?log. (为减函数))(,??)， (2)当a?b时,在(0axbxaa
若a?0,b?0,x?0,x?
推论:设n?m?1，p?0，a?0，且a?1，则 （1）logm?p(n?p)?logmn. （2）logamlogan?loga38. 平均增长率的问题
2
m?n
. 2
篇三：高中数学公式-定理-复习指南
高中数学常用公式
1. 元素与集合的关系
x?A?x?CUA,x?CUA?x?A. 2.德摩根公式
CU(A?B)?CUA?CUB;CU(A?B)?CUA?CUB.
3.包含关系
A?B?A?A?B?B?A?B?CUB?CUA
?A?CUB???CUA?B?R
4.容斥原理
card(A?B)?cardA?cardB?card(A?B)
card(A?B?C)?cardA?cardB?cardC?card(A?B)
?card(A?B)?card(B?C)?card(C?A)?card(A?B?C).
5．集合{a1,a2,?,an}的子集个数共有2n 个；真子集有2n–1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n–2个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式f(x)?ax2?bx?c(a?0); (2)顶点式f(x)?a(x?h)2?k(a?0); (3)零点式f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0). 7.解连不等式N?f(x)?M常有以下转化形式 N?f(x)?M?[f(x)?M][f(x)?N]?0
?|f(x)??
M?N2
|?M?N2
?
f(x)?NM?f(x)
?0
1f(x)?N
?
1M?N
2
.
8.方程f(x)?0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)?0不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程ax?bx?c?0(a?0)有且只有一个实根在(k1,k2)内,等价于f(k1)f(k2)?0,或f(k1)?0且k1??
b
2a2
9.闭区间上的二次函数的最值
?
k1?k2
,或f(k2)?0且
k1?k2
2
??
b2a
?k2.
b2a
2
二次函数f(x)?ax?bx?c(a?0)在闭区间?p,q?上的最值只能在x??
处及区间的两端点处取得，具
体如下：
(1)当a>0时，若x??
x??
b2a
b2a
??p,q?，则f(x)min?f(?
b2a
),f(x)max?max
?f(p),f(q)?；
??p,q?，f(x)max?max
b2a
?f(p),f(q)?，f(x)min?min?f(p),f(q)?.
b2a
??p,q?，则
(2)当a<0时，若x??
??p,q?，则f(x)min?min?f(p),f(q)?，若x??
f(x)max?max?f(p),f(q)?，f(x)min?min?f(p),f(q)?.
10.一元二次方程的实根分布
1
依据：若f(m)f(n)?0，则方程f(x)?0在区间(m,n)内至少有一个实根 .设f(x)?x2?px?q，则
?p2?4q?0?
（1）方程f(x)?0在区间(m,??)内有根的充要条件为f(m)?0或?p；（2）方程f(x)?0在
?m???2?f(m)?0?
f(n)?0??f(m)?0?f(n)?0?2
区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)?0或?p?4q?0或?或?；
af(n)?0af(m)?0???
?m??p?n??2
?p2?4q?0
?
（3）方程f(x)?0在区间(??,n)内有根的充要条件为f(m)?0或?p .
???m?2
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间(??,??)的子区间L（形如??,??，???,??，??,???不同）上含参数的二次不等式
f(x,t)?0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)min?0(x?L).
(2)在给定区间(??,??)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)?0(t为参数)恒成立的充要条件是
f(x,t)man?0(x?L).
?a?0
?a?0?42
(3)f(x)?ax?bx?c?0恒成立的充要条件是?b?0或?2.
?b?4ac?0?c?0
?
12.13.
14.四种命题的相互关系
2
15.充要条件
（1）充分条件：若p?q，则p是q充分条件.
（2）必要条件：若q?p，则p是q必要条件.
（3）充要条件：若p?q，且q?p，则p是q充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性
(1)设x1?x2??a,b?,x1?x2那么 (x1?x2)?f(x)?1(x1?x2)?f(x)?1
f(x0?)??2f(2x?)?
0f(x1)?f(x2)
x1?x2f(x1)?f(x2)
x1?x2
?0?f(x)在?a,b?上是增函数； ?0?f(x)在?a,b?上是减函数.
(2)设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0，则f(x)为增函数；如果f?(x)?0，则f(x)为减函数.
17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)?g(x)也是减函数; 如果函数y?f(u)和u?g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y?f[g(x)]是增函数.
18．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
19.若函数y?f(x)是偶函数，则f(x?a)?f(?x?a)；若函数y?f(x?a)是偶函数，则
f(x?a)?f(?x?a).
a?b2
20.对于函数y?f(x)(x?R),f(x?a)?f(b?x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数x?个函数y?f(x?a)与y?f(b?x) 的图象关于直线x?
a?b2
;两
对称.
a
21.若f(x)??f(?x?a),则函数y?f(x)的图象关于点(,0)对称; 若f(x)??f(x?a),则函数
2
y2a的周期函数.
nn?1
22．多项式函数P(x)?anx?an?1x???a0的奇偶性
多项式函数P(x)是奇函数?P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数?P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数y?f(x)的图象的对称性
(1)函数y?f(x)的图象关于直线x?a对称?f(a?x)?f(a? x)
. ?f(2a?x)?f(x)
(2)函数y?f(x)的图象关于直线x?
?f(a?b?m)x?(f
a?b2
对称?f(a?mx)?f(b? m)x
. m)x
24.两个函数图象的对称性
3
(1)函数y?f(x)与函数y?f(?x)的图象关于直线x?0(即y轴)对称. (2)函数y?f(mx?a)与函数y?f(b?mx)的图象关于直线x?
a?b2m
对称.
(3)函数y?f(x)和y?f?1(x)的图象关于直线y=x对称.
25.若将函数y?f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y?f(x?a)?b的图象；若将曲线
f(x,y)?0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(x?a,y?b)?0的图象.
26．互为反函数的两个函数的关系
f(a)?b?f
?1
(b)?a.
1k[f
?1
27.若函数y?f(kx?b)存在反函数,则其反函数为y?
y?[f
?1
(x)?b],并不是y?[f
?1
(kx?b),而函数
(kx?b)是y?
1k
[f(x)?b]的反函数.
28.几个常见的函数方程
(1)正比例函数f(x)?cx,f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c.
(2)指数函数f(x)?ax,f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0.
(3)对数函数f(x)?logax,f(xy)?f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1).
(4)幂函数f(x)?x?,f(xy)?f(x)f(y),f'(1)??.
(5)余弦函数f(x)?cosx,正弦函数g(x)?sinx，f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g(y)，
f(0)?1,lim
g(x)x
x?0
?1.
29.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=a； （2）f(x)?f(x?a)?0， 或f(x?a)?或f(x?a)??或
12?
1f(x)1f(x)
(f(x)?0)，
(f(x)?0),
?f(x?a),(f(x)??0,1?),则f(x)的周期T=2a；
(3)f(x)?1?
1f(x?a)
(f(x)?0)，则f(x)的周期T=3a；
(4)f(x1?x2)?
f(x1)?f(x2)1?f(x1)f(x2)
且f(a)?1(f(x1)?f(x2)?1,0?|x1?x2|?2a)，则f(x)的周期T=4a；
(5)f(x)?f(x?a)?f(x?2a)f(x?3a)?f(x?4a)
?f(x)f(x?a)f(x?2a)f(x?3a)f(x?4a),则f(x)的周期T=5a； (6)f(x?a)?f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=6a. 30.分数指数幂
m
(1)an?(2)a
?mn
1
?
a?0,m,n?N，且n?1）.
?
1
m
?
（a?0,m,n?N，且n?1）.
an
31．根式的性质
n
（1
）?a.
（2）当n
为奇数时，?a；
4
当n
?|a|??32．有理指数幂的运算性质
?a,a?0??a,a?0
.
(1) ar?as?ar?s(a?0,r,s?Q). (2) (ar)s?ars(a?0,r,s?Q).
(3)(ab)r?arbr(a?0,b?0,r?Q).
p
注： 若a＞0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.
33.指数式与对数式的互化式
b
logN?b?a?N(a?0,a?1,N?0). a
34.对数的换底公式
logaN?
logmNlogma
n
m
(a?0,且a?1,m?0,且m?1, N?0).
nm
logab(a?0,且a?1,m,n?0,且m?1,n?1, N?0).
推论 logab?
35．对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1)loga(MN)?logaM?logaN; (2) loga
MN
n
?logaM?logaN; ?nlogaM(n?R).
m
(3)logaM
36.设函数f(x)?log(ax
2
2
?bx?c)(a?0),记??b?4ac.若f(x)的定义域为R,则a?0，且??0;
若f(x)的值域为R,则a?0，且??0.对于a?0的情形,需要单独检验.
37. 对数换底不等式及其推广若a?0,b?0,x?0,x? (1)当a?b时,在(0,)和(
1
1a1
,则函数y?logax(bx)
,??)上y?logax(bx)为增函数.
aa11
bx(为减函数)和上y?log. )(,??)， (2)当a?b时,在(0ax
aa
推论:设n?m?1，p?0，a?0，且a?1，则 （1）logm?p(n?p)?logmn. （2）logamlogan?loga
2
m?n2
.
38. 平均增长率的问题
x
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有y?N(1?p). 39.数列的同项公式与前n项的和的关系
n?1?s1,
an??( 数列{an}的前n项的和为sn?a1?a2???an).
s?s,n?2n?1?n
40.等差数列的通项公式
an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N)；
*
其前n项和公式为
5
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